Ірраціональність та трансцендентність числа пі

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВСТУП

Числом пі (позначається ) -- математична константа, що визначається у Евклідовій геометрії як відношення довжини кола до його діаметра . або як площа круга одиничного радіуса.

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

Перші 1000 знаків після коми числа р.

Число виникло в геометрії як відношення довжини кола до довжини його діаметра, проте воно з'являється і в інших областях математики. Вперше позначенням цього числа грецькою літерою рскористався британський математик Джонс (1706), а загальноприйнятим воно стало після робіт Ейлера. Це позначення походить від початкової букви грецьких слів ресйцЭсейб -- оточення, периферія та ресЯмефспт -- периметр. Довжина кола дорівнює р, якщо його діаметр 1. пі число діаметр трансцендентність

Оскільки р є ірраціональним числом, його не можна виразити дробом (або що те саме, його десяткове представлення є нескінченним та неперіодичним). Проте дроби такі як 22/7 і інші часто застосовуються для наближення числа р.

Вважається, що різні цифри у десятковому представленні числа рзустрічаються однаково часто (тобто р є нормальним числом), проте це не доведено. Також р є трансцендентним числом - тобто не є коренем жодного ненульового поліному з раціональними коефіцієнтами. З цього випливає що неможливо розв'язати відому античну задачу про квадратуру круга за допомогою циркуля та лінійки.

Давні цивілізації потребували значення числа р для практичних цілей. У V столітті китайські математики за допомогою геометричних методів його обчислювали до сьомого знаку після коми, а індійські - до п'ятого. Першою точною формулою для числа р є основана на нескінченних рядах формула записана індійськими математиками, що тепер зветься формулою Ляйбніца.

РОЗДІЛ 1. ІСТОРІЯ ЧИСЛА

Вперше позначенням цього числа грецькою буквою скористався британський математик Джонс в 1706 році, а загальноприйнятим воно стало після робіт Леонарда Ейлера у 1737 році. Це позначення походить від початкової букви грецьких слів ресйцЭсейб - коло, периферія і ресЯмефспт - периметр.

Проте ж історія числа р почалася задовго до цього.

За легендою, число р відкрили вавилонські маги. Його використовували при розрахунках будівництва Вавилонської вежі. Проте недостатньо точне числення значення р призвело до краху всього проекту. Розшифровані клинописні таблиці говорять про те, що в IV тисячолітті до нашої ери древні жителі Межиріччя у своїх розрахунках застосовували відношення довжини кола до його діаметру рівне 3.

Одне з ранніх наближень числа р можна витягти з канонічного тексту Біблії, датованого XV століттями до нашої ери. У третій книзі Царств докладно розповідається про те, як майстер Хірам споруджував на замовлення правителя царя Ізраїльського царства Соломонів храм. Цю культову споруду прикрашав великий басейн, для обмивання священнослужителів, під назвою «мідного моря»: «І зробив він лите море - від краю його і до краю його десять ліктів, - зовсім круглясте, і п'ять ліктів, і шнур на тридцять ліктів оточив би його навколо». (Третя книга Царств. Гол. 7, вірш 23).

У даному випадку використовується наближення для числа р=30/10=3. Подальші дослідження показали, що значення р може бути більш точним, якщо в розрахунок брати букву «Гей» (іврит), то вийде більш точне значення: р = 3.1415094, що майже збігається з точним значенням.

Цікаво, що римський архітектор Вітрувій користувався досить грубим наближенням для числа р. Він проектував значних розмірів Римський театр і розробляв проекти міст. Він використовував значення р=3?, тому можна припустити, що використовуване ним грубе значення р призводило до недоліків у будівництві.

Результат китайського математика і астронома Цзу Чун-чжі набагато точніше - відрізняється лише в сьомому знаку після коми. р=3.14159265...

Крім того давньогрецький філософ Антифон спробував осмислити, що таке довжина кола. Він вписав в коло спочатку квадрат, потім 16-кутник, 32-кутник, 64-кутник і т.д. І Антифон укладає, що таким чином буде вписаний багатокутник, периметр якого можна буде розглядати як довжину окружності.

При будівництві всесвітньо відомого храму Афіни Парфенон, в основу був покладений принцип «золотого перетину», який пов'язаний з числом р.

Ми не можемо не згадати і видатного генія епохи Відродження Леонардо да Вінчі. Згідно з його знаменитим каноном, зріст людини прийнято прирівнювати до розмаху його рук.

Проте ж через час Дюрер зробив уточнення, зігнувши пальці на руках своєї «зразкової людини».

Число р проникає в систему давньоруських сажнів - світ довжини, підібраних пропорційно людині.

Як відомо, цією системою користувалися Стародавні зодчі, зводячи храми на Русі. Зокрема, пропорції, що приховують число р, містить церква Успіння в Старій Ладозі. Поет, письменник і дослідник старовини Андрій Чернов звернув увагу на пропорції ангела, зображеного на плані церкви Успіння в Старій Ладозі (XII століття) які також обчислювалися за допомогою числа р.

Першим великим європейським внеском з часів Архімеда був внесок голландського математика Людольфа ван Цейла, затратив десять років на обчислення числа р з 20-ма десятковими цифрами (цей результат був опублікований в 1596 році). Застосувавши метод Архімеда, він довів подвоєння до n-кутника, де n=60.229. Виклавши свої результати в творі «Про коло» («Van den Circkel»), Лудольф закінчив його словами: «У кого є бажання, хай йде далі». Після смерті в його рукописах було виявлено ще 15 точних цифр числа р. Лудольф заповів, щоб знайдені ним знаки були висічені на його надгробному камені. На честь його число р іноді називали «лудольфовим числом», або «константою Лудольфа».

У Середні століття і епоху Відродження європейські, індійські і арабські математики уточнили значення р до 40 знаків після десяткової точки розкладання числа в безперервний дріб.

У 1794 році Лежандр навів більш строге доведення ірраціональності чисел р і 2р.

Транcцендентність числа р була доведена в 1882 році професором Кенігсберзького, а пізніше Мюнхенського університету Ліндеманн. Доказ спростив Фелікс Клейн в 1894 році.

Дослідження числа р тривають - і ми дізнаємося нові відомості.

У евклідовій геометрії для числа р все зрозуміло, але от як справи з іншими системами? Адже поверхня Землі не площина, а володіє деякою кривизною.

Німецький математик Бернгард Ріман пояснив це таким чином. «Прямі» лінії на сфері - ніщо інше, як великі кола, центри яких співпадають з центром сфери. У цьому випадку знайти площу фігури без числа р просто неможливо.

У площині Лобачевського справедлива аксіома: «Через точку поза прямою можна провести більше однієї прямої, що не перетинає дану пряму.

В геометрії Лобачевського знову зустрічаються знамениті константи р і e.

Точно також, як і в 2-мірному і 3-мірному просторах число р фігурує у вираженні площі гіперсфери в багатовимірному просторі. Піднімаючись вище за шкалою розмірностей, ми отримуємо відрізок, трикутник, тетраедр, Ці фігури названі симплексом і утворюються з попереднього симплекса з додаванням однієї вершини, що вибирається поза його «простором». При необмеженому збільшенні елементарних симплексів «площа їх основи» наближується до площі n-мірної кулі.

У книзі французького математика Бенуа Мандельброта визначення розмірності поширене не тільки на багатовимірні куби, але і на об'єкти, названі самоподібними фракталами (від лат. Fractus - дробовий). Самоподібних фракталів - безліч, які представлені у вигляді непересічних підмножин, отриманих масштабуванням оригіналу. Приклад самоподібного фрактала побудований шведським математиком Гельгой фон Кох у 1904 році. Він отримав назву сніжинка Коха.

Її межа складена з трьох однакових фракталів. Кожен з них будується Ітеративно. З початкового відрізка викидається середня частина і додаються два нові відрізка такої ж довжини.

Оскільки математично доведено існування р-мірної кулі, перед нами постає наступне питання. Чи існує фрактал розмірності р?

Коло подібних питань можна розширювати і далі.

РОЗДІЛ 2. ІРРАЦІОНАЛЬНІСТЬ

Ірраціональні числа -- числа, що не є раціональними, тобто не можуть бути виражені відношенням цілих чисел.

Ірраціональнісит числа р була доведена вперше в 1761 році французьким математиком Ламбертом. Доведення Ламберта грунтується на застосуванні неперервних дробів. Ще одне доведення, наведене в даній роботі було дано Нівеном в 1947 році.

Теорема :Число ірраціональне.

Доведення 1: Нехай - довільний многочлен з дійсними коефіцієнтами. Покладемо

Очевидно, що - многочлен, так як , починаючи з деякого k . Маємо

Інтегруючи отримаєм рівність

Що схоже на тотожність Ерміта.

Припустимо протилежне, що - раціональне число, при достатньо великому натуральному n.

Так як многочлен має число 0 коренем кратності n, то

Всі похідні многочлена порядку мають цілі коефіцієнти. Звідси випливає, що всі числа

Є цілими.

Оскільки , то звідки при

Тому Значить, є число із Z.

Отже, права частина рівності (67) є ціле ріціональне число.

Покажемо, що при достатньо великому n буде виконуватись нерівність

Тоді рівність (67) буде протирічною, і теорема буде доведена.

Справді, на інтервалі По неперервності маємо, що

З іншої сторони , існує число таке, що

Для кожного , так як при будь-якому постійному с

Доведення 2: Припустимо, що раціональне, де a, b натуральні числа. При збільшенні n величина , тому можна знайти n таке, що виконується нерівність

Розглянемо для такого n функцію

Замінюючи через і розкладаючи за степенями , можна представити у вигляді:

Так що. Якщо рівність (5) продиференціювати s разів, де s то отримаємо:

Біноміальний коефіцієнт - ціле число, так що - цілі числа.

З рівності (4) видно, що , так що диференціюючи , отримуємо для всіх k

з цього слідує, , а цілі числа .

Інтегруючи f(x) sinx по частинам, отримаєм:

Так як наступна похідна тотожно рівна нулю.

Із рівності (6) отримаєм:

Де А- ціле число. Оскільки в інтервалі (0;) підінтегральна функція f (x)sinx додатня, інтеграл в лівій частині (7) більше нуля і .З іншої сторони, з рівності (4) видно, що при маємо:

І оскільки то при нашому виборі n маємо:

. Припущення, що раціональне, привело нас до протиріччя, отже, - ірраціональне число.

РОЗДІЛ 3.ТРАНСЦЕНДЕНТНІСТЬ ЧИСЛА

Трансцендентні числа -- це числа, які не задовольняють жодне алгебраїчне рівняння з раціональними коефіцієнтами.

р -- трансцендентне число, тобто воно не може бути коренем якого-небудь многочлена з цілими коефіцієнтами.

Теорема 2 (Ф. Ліндемана) Число трансцендентне.

Доведення. Наступні судження базуються на рівності і тотожності Ерміта

Припустимо протилежне , що - алгебраїчне число. Тоді також алгебраїчне число. Нехай числа спряжені з . Маємо і тому

Перемножуючи дужки в лівій частині останньої рівності, отримаємо

Серед показників в середній частині рівності (1) є не рівні нулю, наприклад, при значеннях , а також рівні нулю, наприклад при . Нехай серед усіх цих показників рівно m відмінні від нуля і Тоді позначаючи відмінні від нуля показники рівність (1) можна переписати наступним чином:

Покажемо, що числа складають сукупність усіх коренів деякого многочлена Дійсно, многочлен

Як многочлен від з коефіцієнтами з є симетричний многочлен від . Тому - многочлен з . Коренями многочлена степеня є числа і число 0 з кратністю .

Значить многочлен степеня m має своїми коренями числа і тільки їх. Якщо число найменший спільний знаменник коефіцієнтів цього многочлена, то многочлена, то многочлен

З має своїми коренями числа і тільки їх. Покладемо в тотожності Ерміта послідовно . Складемо всі отримані рівності, скористаючись при цьому рівністю (2). В результаті отримаємо, що

Покладемо в рівності (3)

Де, - деяке достатньо велике число з N. Покажемо, що при такому виборі многочлена рівність (3) приводить до протиріччя.

Отримаємо:

Так як є коренем кратності , то отримаємо рівності

За лемою 1 коефіцієнти похідної порядку многочлена мають цілі коефіцієнти, що діляться на Тому в відповідності з рівностями (6)

Числа цілі алгебраїчні числа, що складають повний набір коренів многочлена з степеня зі старшим коефіцієнтом рівним 1. Далі,

Тому

Із рівностей (5), (7), (8) отримаємо, що

Нехай тепер - будь-яке число з N , задовольняє умовам

Тоді права частина рівності (9) є цілим числом, що не ділиться на , і не рівним нулю. Значить,

Тепер оцінимо праву частину рівності (3). Нехай всі точки знаходяться в крузі . Позначимо де число не залежить від . Тоді

Тому існує число таке, що при будь-якому і задовільняє умовам (10) виконується нерівність

Нерівності (10) і (11) разом з рівністю (3) призводять до протирічної нерівності 1<1. Теорема доведена.

Так як m² містить парне число двійок, а 2n² -- непарне число, отже рівність m²=2n² неможлива. Це означає, що вихідне припущення було невірним, і -- ірраціональне число.

Сума, різниця, частка раціонального числа та ірраціонального завжди є число ірраціональне (у випадку для добутку і частки, коли раціональне число не дорівнює нулю).

ВИСНОВОК

У даній роботі було викладено суть і історичне поява числа р.

Так само були уведені поняття ірраціональних і трансцендентних чисел.Число р - відношення довжини окружності до її діаметра, - величина постійна й не залежить від розмірів окружності. Число, що виражає це відношення, прийнято позначати грецькою буквою р (від «perijereia» - окружність, периферія). Це позначення стало вживаним після роботи Леонарда Ойлера, що ставиться до 1736, однак уперше воно було вжито Вільямом Джонсом (16751749) в 1706. Як і всяке ірраціональне число, воно представляється нескінченним неперіодичним десятковим дробом: р= 3,141592653589793238462643… Потреби практичних розрахунків, що ставляться до окружностей і круглих тіл, змусили вже в далекій давнині шукати для p наближень за допомогою раціональних чисел.

У даній роботі ми довели ірраціональність і трансцендентність числа р. Так само ми показали як можна розкласти число й за допомогою ряду й за допомогою ланцюгового дробу.

Нескінченні ланцюгові дроби можуть бути використані для рішення алгебраїчних і трансцендентних рівнянь, для швидкого обчислення значень окремих функцій.

Невирішені проблеми сучасної математики у розділі теорії чисел:

Невідомо, чи є число р і алгебраїчно незалежними;

Невідомо, чи є суми та комбінації чисел: р+e , р?e , рe , р/e трансцендентними;

Дотепер нічого не відомо про нормальність числа р; невідомо навіть, які із цифр 09 зустрічаються в десятковому поданні числа р нескінченну кількість разів.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Шидловський А. Б. Трансцендентные числа. Москва: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1987.-448 с.

2. Арнольд В.И. Цепные дроби. М.: МЦМНО, 2000. 40 с.

3. Бородін О.І. Теорія чисел.К.: Радянська школа, 1965. 262 с.

4. Бохан К.А. и др. Курс математического анализа т.II. М.: Просвещение 1972.

5. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Просвещение, 1966. - 384 с.

Размещено на Allbest.ru