Системы уравнений с матрицами

Размещено на http://www.allbest.ru

Контрольные задания по теме «Алгебра и геометрия»



ЗАДАЧА 1

Заданы матрицы А, В, С. Найти: а) (3А+2В)·С; б) вычислить определитель матрицы А.

, , ,

матрица уравнение теорема система

Решение:

а) (3А+2В)·С

б) вычислить определитель матрицы А:

Ответ:

а) ; б)



ЗАДАЧА 2

Для матрицы А найти: а) A^-1; б) AA^-1; в) решить систему матричным методом.

,

Решение:

а) A^-1

Найдем определитель матрицы А:

Определитель 36 ? 0, поэтому А^-1 существует.

Пусть имеем невырожденную матрицу А:

EQ A=\b(\a \al \co3 \hs3 (a₁₁;a₁₂;a₁₃;a₂₁;a₂₂;a₂₃;a₃₁;a₃₂;a₃₃))

Тогда:

EQ A^-1 = \f(1;?)\b(\a \al \co3 \hs3 (A₁₁;A₂₁;A₃₁;A₁₂;A₂₂;A₃₂;A₁₃;A₂₃;A₃₃)

где A_ij - алгебраическое дополнение элемента a_ij в определителе матрицы А.



Вычисляем алгебраические дополнения.

Тогда

б) AA^-1



в) решить систему матричным методом

Ответ:

а) ; б) ; в)



ЗАДАЧА 3

Решить систему уравнений методом Гаусса

Решение:

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

~ (умножим вторую строку на (-1) и поменяем местами первую и вторую строки) ~

~ (умножим первую строку на (-2) и сложим поочередно со второй строкой, а затем сложим с третьей) ~

~ (поменяем местами вторую и третью строки) ~

~ (умножим вторую строку на (-6) и сложим с третьей строкой) ~

Теперь исходную систему можно записать как:



Ответ:



ЗАДАЧА 4

Исследовать совместность каждой системы а) и б), для совместной системы найти решение

а) б)

Решение:

а)

Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли.

Выпишем расширенную (В) и основную матрицы (А). Здесь матрица А выделена жирным шрифтом. Приведем матрицу А к треугольному виду.

~ (умножим 1-ю строку на (2). Добавим 2-ю строку к 1-й) ~

~ (умножим 2-ю строку на (-1). Умножим 3-ю строку на (2). Добавим 3-ю строку к 2-й) ~

~ (умножим 1-ю строку на (3). Добавим 2-ю строку к 1-ой) ~

Получили, что в матрице 1-я строка нулевая, следовательно, вычеркиваем ее. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы.

Определим ранг системы.

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно, rang(A) = rang(B) = 2. Поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система является совместной.

Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x, y, значит, неизвестные x, y - зависимые (базисные), а z - свободная.

Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.

x y z

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:



Методом исключения неизвестных находим:

Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x, y через свободную z, то есть нашли общее решение системы:

б)

Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли.

Выпишем расширенную (В) и основную матрицы (А). Здесь матрица А выделена жирным шрифтом. Приведем матрицу А к треугольному виду.

~ (умножим 1-ю строку на (-8), добавим 2-ю строку к 1-й) ~

~ (умножим 2-ю строку на (3), умножим 3-ю строку на (8), добавим 3-ю строку к 2-й) ~

~ (добавим 2-ю строку к 1-й) ~

Ранг матрицы B (rangB=3) больше ранга матрицы A(rangA=2), следовательно, система не совместна.

ЗАДАЧА 5

Даны вершины пирамиды A(1, 1, 1) , B(3, 4, 0), C(-1, 5, 6), D(4, 0, 5). Найти: а) угол между векторами и ; б) площадь грани ABC; в) проекцию вектора на вектор ; г) объем пирамиды; д) длину высоты пирамиды, опущенной из вершины D.

Решение:

Найдем координаты векторов по формулам:

X = x_j - x_i; Y = y_j - y_i; Z = z_j - z_i ; x_i, y_i, z_i - координаты точек

Найдем модули векторов (длины ребер пирамиды)

Длина вектора a(x; y; z) выражается через его координаты формулой:

а) угол между векторами и :

Угол между векторами a₁(x₁;y₁;z₁), a₂(x₂;y₂;z₂) можно найти по формуле:

EQ cos г = \f(a₁a₂;|a₁| * |a₂|)

где a₁a₂ = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂

Найдем угол между ребрами и :

г = arccos(0,86) = 30,68⁰

б) площадь грани ABC:

Площадь грани можно найти по формуле:

EQ S = \f(1;2) |\x\to(AB) x \x\to(AC)|

Векторное произведение:

в) проекция вектора на вектор

Проекцию вектора на вектор можно найти по формуле:

г) объем пирамиды

Объем пирамиды, построенный на векторах (x₁;y₁;z₁), (x₂;y₂;z₂), (x₃;y₃;z₃) равен:

д) длина высоты пирамиды, опущенной из вершины D(4, 0, 5)

Сначала найдем уравнение плоскости АВС, на которую опущена высота.

Если точки A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂), A₃(x₃; y₃; z₃) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

EQ \b\bc\| (\a \al \co3 \hs3 (x-x₁;y-y₁;z-z₁;x₂-x₁;y₂-y₁;z₂-z₁;x₃-x₁;y₃-y₁;z₃-z₁)) = 0

Уравнение плоскости ABC:

Окончательно получаем уравнение плоскости АВС:

Расстояние d от точки M(x₁;y₁;z₁) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно абсолютному значению величины:



EQ d = \f(|A x₁ + B y₁ + C z₁ + D|;\r(A² + B² + C²

Уравнение плоскости ABC: , координаты точки D(4, 0, 5) тогда

Размещено на Allbest.ru