Інтегральне означення функцій

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИКОЛАЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ В.О.СУХОМЛИНСЬКОГО

Кафедра математики

КУРСОВА РОБОТА

Інтегральне означення функцій

Студентки 3 курсу групи 312

напряму підготовки 6.040201 Математика*

Фарафонової С.О.

Керівник: доцент кафедри математики, кандидат фізико-математичних наук, доцент Чадаєв О.М.

Миколаїв - 2016



Зміст

Вступ

Розділ 1. Основні елементарні функції та їх властивості

1.1 Показникова функція

1.2 Степенева функція

1.3 Логарифмічна функція

1.4 Тригонометричні функції

1.4.1 Функція синус

1.4.2 Функція косинус

1.4.3 Функція тангенс

1.4.4 Функція котангенс

Розділ 2. Інтегральне означення деяких елементарних функцій

2.1 Інтегральне означення логарифмічної функції

2.2 Інтегральна показникові функція

2.3 Інтегральний синус

2.4 Інтегральний косинус

Розділ 3. Приклади розв'язання деяких інтегральних функцій

Висновки

Список використаних джерел



Вступ

логарифмічний інтегральний многочлен тригонометричний

Актуальність теми дослідження. Сучасна математика знає безліч функцій , і у кожної свій неповторний вигляд , як неповторний вигляд кожної з мільярдів людини , що живе на Землі.

У навколишньому світі багато предметів, які описують деяку математичну функцію . Розглядаючи гравюри відомого японського художника Кацусика Хокусая , можна побачити , що символ Японії - гора Фудзіяма - теж має функціональну залежність.

Елементамрні фумнкції -- клас функцій, що містить в собі степеневі функції, многочлени, показникові функції, логарифмічні функції, тригонометричні функції, обернені тригонометричні функції, а також функції, що отримуються із перелічених вище за допомогою чотирьох арифметичних операцій (додавання, віднімання, множення, ділення та композиції), застосованих скінченну кількість разів.

Зацікавившись цією ідеєю дослідження елементарних функцій , були досліджені спіралі в природі та біології; еліпси в астрономії; по параболі летить і кинутий вами камінь і гарматне ядро ; навіть відомі прислів'я та приказки можна побудувати за допомогою графіка . Різноманітне застосування функцій в математиці, фізиці, механіці викликали потребу в різних інтерпретаціях елементарних функцій. Одним із видів визначень функцій є інтегральне означення функцій.

Елементарні функції є важливою частиною математичної освіти, і в середніх, і у вищих навчальних закладах, тому для майбутнього вчителя корисно знати різні підходи до їх визначення. У зв'язку з цим дослідження способу інтегрального означення функцій представляє неабиякий інтерес.

Об'єкт дослідження: основні елементарні функції.

Предмет дослідження: інтегральне означення функцій.

Мета курсової роботи дослідити й проаналізувати інтегральні означення деяких основних елементарних функцій.

Завдання курсової роботи:

вивчення математичної літератури;

аналіз способу інтегрального означення деяких функцій та дослідження властивості цього способу, враховуючи відповідні функції.

Практична цінність матеріалів, які містяться в роботі, полягає в тому, що вони можуть бути використані при вивченні матеріалу в школі, а також при викладанні в педагогічному навчальному закладі.



Розділ 1. Основні елементарні функції та їх властивості

1.1 Показникова функція

Функція , де а>0 та a?1, називається показниковою з основою a.

Властивості показникової функції з основою менше одиниці (Рис.1):

Областю визначення показникової функції є вся множина дійсних чисел:

x є (-?;+?).

Область значень: у є (0;+?).

Функція не є ні парною, ні непарною, тобто, вона загального вигляду.

Показникова функція, основа якої менше одиниці, спадає на всій області визначення. Рис.1 у=, 0<a<1

Точок перегину немає.

Горизонтальною асимптотою є пряма y = 0 при х, що прямує до плюс нескінченності.

Графік функції проходить через точку (0; 1).



Властивості показникової функції з основою більше одиниці (Рис.2):

Область визначення показникової функції: x є (-?;+?).

Область значень: у є (0;+?).

Функція не є ні парною, ні непарною, тобто вона загального вигляду.

Показникова функція, основа якої більше одиниці, зростає при

x є (-?;+?). Рис.2 у= , a>1

Точок перегину немає.

Горизонтальною асимптотою є пряма y = 0 при х, що прямує до мінус нескінченності.

Графік функції проходить через точку (0; 1).

1.2 Степенева функція

Степенемва функція -- функція вигляду у= , де а -- дійсне число.

Властивості степеневої функції (Рис.3, Рис.4):

Область визначення: (0;+?) при а<0, [0;+?) при а>0.

При натуральних показниках степеня a область визначення розширюється на всю числову вісь: . (-?;+?)

Область значень: (0;+?) при а<0, [0;+?) при а>0.

Монотонно спадає при а<0, монотонно зростає при а>0.

При а > 0 функція має єдиний нуль в точці x= 0.

Точок перегину не має.

Рис.3 у = х2 (парабола) Рис.4 у = х3 (кубічна парабола)

1.3 Логарифмічна функція

Логарифмічна функція у= ставить у відповідність кожному значенню змінної її логарифм за наперед обраною основою b (Рис.5).

Властивості логарифмічної функції:

множина визначення логарифмічної функції D = (0;+?),

логарифмічна функція є монотонною, причому

є зростаючою якщо b>1

є спадною якщо 0<b<1

логарифмічні функції за різними основами є пропорційними,

функція у= є оберненою до показникової функції y=.



Рис,5 y=

1.4 Тригонометричні функції

1.4.1 Функція синус

Властивості функції синус y = sinx (Рис.6):

Областю визначення функції синус є вся множини дійсних чисел, тобто, функція y = sinx визначена при x є(-?;+?).

Найменший додатній період функції синуса дорівнює двом пі: T=2

Функція звертається в нуль при x =k, де k є Z , Z - множини цілих чисел.

Функція синус приймає значення з інтервалу від мінус одиниці до одиниці включно, тобто, її область значень є у є [-1;1] .

Функція синус - непарна, так як y(-x) = - y(x).

Функція спадає при x є [ + 2k; + 2 k], k є Z зростає при x є [- + 2k; + 2 k], k є Z.

Функція синус має максимуми в точках ( + 2 k; 1), k є Z,

мінімуми в точках ( - + 2 k; -1), k є Z.

Функція y = sin x увігнута при х є [ - +2k; 2k], k є Z,

опукла при х є [ 2k; +2k], k є Z.

Координати точок перегину ( k; 0), k є Z.

Асимптот немає.

Рис.6 y = sinx(синусоїда)

1.4.2 Функція косинус

Властивості функції косинус y = cos x (Рис.7):

Область визначення функції косинус: х є (-?;+?).

Найменший додатній період функції y = cos x дорівнює двом пі: T= 2.

Функція звертається в нуль при , x = + k, де k є Z, Z - множини цілих чисел.

Область значень функції косинус представляє інтервал від мінус одиниці до одиниці включно: у = [-1;1]

Функція косинус - парна, так як y(-x) = y(x) .

Функція спадає при x є [2k; +2k] , k є Z.

зростає при x є [- + 2k; 2k] , k є Z.

Функція y = cos x має максимуми в точках (2k; 1), k є Z,

мінімуми в точках ( + 2k; - 1), k є Z .

Функція увігнута при х є [ + 2k; + 2k], k є Z,

опукла при х є [ - + 2k; + 2k], k є Z.

Координати точок перегину ( + k; 0), k є Z.

Асимптот немає.

Рис.7 y = cos x ( косинусоїда)

1.4.3 Функція тангенс

Властивості функції тангенс y = tg x ( Рис.8):

Область визначення функції тангенс: (- + k; + k), де k є Z , Z - множина цілих чисел.

Поведінка функції y = tg x на границі області визначення = - ?, = +?

Отже, прямі , де k є Z, є вертикальними асимптотами.

Найменший додатній період функції тангенс T=.

Функція звертається в нуль при x = , де k є Z, Z - множина цілих чисел.

Область значень функції: y є (-?;+?)

Функція тангенс - непарна, так як у(-х) = - у(х).



Рис. 8 y = tgx

Функція зростає при

х є (; ), k є Z.

Функція увігнута при

х є (; ), k є Z,

опукла при х є (; ), k є Z.

Координати точок перегину ( k; 0), k є Z.

Похилих і горизонтальних асимптот немає.

1.4.4 Функція котангенс

Властивості функції котангенс y = ctg x (Рис.9):

Область визначення функції котангенс: х є [; + ] , де k є Z , Z - множина цілих чисел.

Поведінка на границі області визначення

= +?, = -?

Отже, прямі x = , де k є Z є вертикальними асимптотами.

Найменший додатній період функції y = ctg x дорівнює пі: T=.

Функція звертається в нуль при x = + , де k є Z , Z - множина цілих чисел.

Область значень функції котангенс: у є (-?;+?).

Функція непарна, так як у(-х) = - у(х).

Функція y = ctg x спадає при х є (; + ), k є Z .

Графік функції котангенс увігнутий при х є (, + ], k є Z

опукла при x є [ + ; ), k є Z.

Координати точок перегину

+ ; 0), k є Z.

Похилих і горизонтальних асимптот немає.



Розділ 2. Інтегральне означення деяких елементарних функцій

2.1 Інтегральне означення логарифмічної функції

Ми знаємо, що при x> 0 виконується рівність:

= ln x - ln 1 = ln x.

Воно дозволяє дати нове визначення логарифмічної функції, що не спирається на поняття показникової функції. Саме, покладемо за визначенням, що при x> 0

ln x =

Виведемо, виходячи з цього визначення, властивості логарифмічної функції.

а) Логарифмічна функція визначена для всіх додатніх значень х. Справді, функція y = неперервна при х > 0 , тому в силу теореми про існування визначеного інтеграла, інтеграл існує при всіх х>0.

б) Логарифмічна функція диференційована і її похідна в будь-якій точці x> 0 дорівнює :

(lnx)? = , x > 0.

Справді, функція y = неперервна при t > 0 , тому в силу теореми про похідну визначеного інтеграла зі змінною верхньою межею маємо:



(lnx)? = ( )? = .

Оскільки будь-яка диференційована функція неперервна, то логарифмічна функція неперервна при x> 0.

в) Логарифмічна функція строго зростає при x> 0. Справді, якщо x> 0,

то > 0 , тобто похідна функції y = ln x додатня. Отже, ця функція строго зростає.

г) Так як ln 1 = = 0 і логарифмічна функція строго зростає, то ln x > 0 при x > 0 і ln x < 0 при x <1.

д) Якщо > 0 > 0 , то виконується рівність:

ln ( ? ) = ln + ln . (1)

Справді, маємо: ln ( ? ) = = + .

Зробимо у другому інтегралі підстановку t = z. Коли t змінюється від до , змінна z змінюється від 1 до . Тому = .

Значить,

ln ( ? ) = = + =ln +ln (2)

Методом математичної індукції можна довести справедливість рівності (1) для будь-якої скінченної множини додатніх чисел , ,…, :

ln(?…?) = ln + ln +…+ ln . (2)

е) Якщо > 0 і > 0 , то виконується рівність:



ln = ln - ln . (3)

Справді, з рівності (1) випливає, що ln + ln = ln = ln звідки без складності виходить необхідна рівність (3).

ж) Якщо x > 0 і n -- натуральне число, то :

ln = n ln x. (4)

Це легко випливає з рівності (2).

з) Логарифмічна функція прямує до + ?, коли x > + ? і до -?, коли x> + 0:

= + ? ; -?. (5)

Справді, візьмемо будь-яке число q > 1. Тоді ln = n ln q. Оскільки ln q> 0 при q > 1, то

= = + ?.

Це показує, що строго зростаюча функція y = ln x може приймати які завгодно великі значення, і тому = + ? . Так як

? ln , a ln = = + ?, то

-?.

З неперервності логарифмічної функції і рівності (5) випливає, що множина її значень збігається з множиною R всіх дійсних чисел. Зокрема, знайдеться значення аргументу, при якому ця функція дорівнює одиниці. Позначимо це значення буквою е. Таким чином, тепер число е визначається рівністю ln e = 1.

и) Справедлива рівність = е. Справді, в силу непевності функції y = ln x маємо:

ln = ln , але

так як ln 1= 0, то

= = = =1.

Отже, ln =1, тобто = е.

При описаній вище побудові теорії логарифмічної функції ми визначаємо показникову функцію як зворотну логарифмічній (існування зворотної функції випливає з того, що функція y = ln х строго зростає і неперервна на проміжку (0; + ?). Властивості показникової функції при цьому виводяться з відповідних властивостей логарифмічної функції.

Нарешті, визначимо степінь з будь-яким показником б ,

при x > 0: = .

З властивостей логарифмічної і показникової функції випливає, що при x > 0

і б = маємо:

()? = ( ln x ) = = .

Тому = . Це показує, що дане визначення степеня збігається зі звичайним.



2.2 Інтегральна показникова функція

Інтегральна показникова функція - спеціальна функція, що позначається символом Еі.

Ei z =

Ei z = = + ln (-z) + , ?arg(-z)? , (2)

Подібно ряду для експоненційної функції, нескінченна сума в (2) сходиться в будь-якій точці комплексної площині. Результат інтегрування в (2) залежить не тільки від z, а й від шляху інтегрування, а саме, залежить від того, скільки разів шлях інтегрування огинає точку t = 0, в околиці якої підінтегральний вираз в (2) приблизно дорівнює 1 / t. Таким чином, функція Ei (z)(Рис.10) є багатозначною, а особлива точка z = 0 є логарифмічною точкою розгалуження. Як і у випадку з логарифмічною функцією ln z, відмінність в значеннях різних гілок функції (при фіксованому z) кратно 2i.

Рис.10 Еі(х)



2.3 Інтегральний синус

Інтегральний синус -- спеціальна функція, яка визначається інтегралом:

Si x = dt

Іноді також користуються позначенням si x:

si x = dt = Si x -

Інтегральний синус може бути визначений через інтегральну показникову функцію по аналогії з синусом:

si x = (Ei (ix) - Ei ( - ix))

Інтегральний синус Si (x)(Рис.11) був введений Лоренцо Маскероні в 1790 році.

Інтегральний синус - це непарна функція:

Si (-x) = - Si (x)

Інтегральний синус має локальні екстремуми в точках:



Рис. 11 Si (x)

2.4 Інтегральний косинус

Інтегральний косинус -- це спеціальна функція, яка визначається інтегралом:

Сi (x) =

або + ln x + dt ,

де, -- постійна Ейлера - Маскероні.

Іноді використовуються інші визначення:

Ci(x) = dt

Cin(x) = + ln x - Ci (x)

Також можливе визначення інтегрального косинуса через інтегральну показникову функцію по аналогії зі звичайним косинусом:

Ci(x) = ( Ei(ix) + Ei(-ix))

Інтегральний косинус Сі(х)(Рис.12) був введений Лоренцо Маскероні в 1970 році.

Інтегральний косинус може бути представлений у вигляді ряда:

Ci(x) = + ln x - + - + … = + ln x +

Рис. 12 Сі(х)



Розділ 3. Приклади розв'язання деяких інтегральних функцій

1) Ei z = , z = -x, де х -- дійсне додатнє число.

В цьому випадку:

(x) = - Ei (-x) =

Функцію Е? можна записати у вигляді ряда

= - C + ln + x - + - …,

де C = = 0, 577215…

-- так звана стала Ейлера. При х?1 має місце асимптотичне представлення:

(x) = ( 1 - + - …)

Можна ввести узагальнену інтегральну показникову функцію:

(x) = dt

Фігуруючий тут інтеграл можна звести до функції Е?(х), якщо прийняти до уваги співвідношення:

(x) =[



яке виходить інтегруванням по частинах.

2) Знайти I(x) = dx

Підстановка = у приводить цей інтеграл до вигляду:

I(x) = d = 2 dy

звідки

I(x) = 2

Ряд, який стоїть під знаком інтеграла сходиться при всіх у, тому

I(x) = 2 (

і, нарешті:

I(x) = 2 (

3) dx

Для його розв'язку зробимо заміну х на . Ми отримаємо:

= 1 -

На підставі ознаки збіжності Даламбера цей ряд сходиться рівномірно в будь-якому сегменті [0, x]. Тому інтегрування цього ряду законне і дає нам:



dx =

= dx=

= ( x -



Висновки

Підсумовуючи, можна сказати, що виникнення елементарних функцій обумовлено потребами обчислювальної практики, а саме необхідністю створення апарату для обчислення елементів різноманітних геометричних фігур за достатньою кількістю їх заданих елементів.

Елементарні функції є важливою частиною математичної освіти, і в середніх, і у вищих навчальних закладах, тому для майбутнього вчителя корисно знати різні підходи до їх визначення.

У даній роботі було розглянуто інтегральне означення деяких елементарних функцій, а саме: інтегральне означення логарифмічної функції, інтегральну показникову функцію, інтегральний синус, інтегральний косинус.

Інтегральне визначення елементарних функцій є дещо складнішим в розумінні, але не можна обмежитися лише цим визначенням, так як різносторонність визначень, яку отримали елементарні функції в математиці, механіці, фізиці, астрономії та інших дисциплінах, потребує різних шляхів визначеннь цих функцій.



Список використаних джерел

1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т. 2 // М.: Наука, 1974. -- С. 149.

2. Бохан К.А. Курс математического анализа / Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. М.: Просвещение, 1972. 439 с. SBN: 593-913-009-7.

3. Войцехівська В. Функціональні рівняння / Валентина Войцехівська. К.: ТОВ «Праймдрук», 2012. 48 с.

4. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. М.: Астрель, 2006. 509 с.

5. Гельфанд И.М. Тригонометрия / Гельфанд И.М., Львовский С.М., Тоом А.Л. М.: Московские учебники, 2003. 200 с. ISBN 5-94057-050-X.

6. Глейзер Г.И. История математики в школе / Г.И. Глейзер. М.: Просвещение, 1982. 240 с.

7. Демидович Д.П. Краткий курс высшей математики / Д.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. М.: Астрель, 2001. 656 с.

8. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. // М.: Наука, 1968. -- С. 625.

9. Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения. -- 2. -- 1963.

10. Лихтарников Л.М. Элементарное введение в функциональные уравнения / Леонид Моисеевич Лихтарников. СПб.: Лань, 1997. 160 с. ISBN: 586-617-044-2.

11. Новоселов С.И. Специальный курс тригонометрии / Сергей Иосифович Новоселов. М.: Высшая школа, 1967. 535 с.

12. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. -- Изд. 2-е. -- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. -- Т. 1. -- С. 320,561,622.

13. Рыбников А.К. Возникновение и развитие математической науки / Константин Алексеевич Рыбников. М.: Просвещение, 1987. 156 с.

14. Система функциональных тригонометрических функций. [Електронний ресурс] / А.А. Андреев., Д.В. Костиков, И.Н. Саушкин // Путеводитель В МИРЕ НАУКИ для школьников 2002. Режим доступу: http://ermine.narod.ru/MATH/STAT/DANILA/sect2.html

15. Справочник по элементарной математике / [Бевз Г.П., Фильчаков П.Ф., Швецов К.И., Яремчук Ф.П.]. К.: Наукова думка, 1972. 527 с.

16. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. / Григорий Михайлович Фихтенгольц. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003, Т. ІІ. 864 с.

17. Ципкін О.Г. Довідник з математики / Олександр Геннадійович Ципкін. К.: Вища школа, 1988. 414 с. ISBN: 5-11-000120-0.

18. Шамолин М.В. Высшая математика / Максим Владимирович Шамолин. М.: Экзамен, 2008. 909 с. ISBN 978-5-377-01452-2.

19. Шипачев В.С. Высшая математика / Виктор Семенович Шипачев. М.: Высшая школа, 2005. 479 с. ISBN 5-06-003959-5.

20. Юшкевич А.П. История математики: у 3-х ч. / А.П. Юшкевич. Часть1: С древнейших времен до начала Нового времени. М.: Наука 1970, 352с.

Размещено на Allbest.ru