Використання індексного методу у розв’язуванні задач шкільного курсу математики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Використання індексного методу у розв'язуванні задач шкільного курсу математики

Конкурс “Цікаві математичні ідеї”

Роботу виконав: учень 9 класу

Слободян Владислав



Вступ

Сьогоднішні випускники загальноосвітньої школи мають досить мізерну уяву про економіку як сукупність методів, які визначають умови виживання людства та його прогресу.

Перехід від тоталітарної економіки до ринкової системи вимагає знайомства з деякими елементами економіки вже у школі.

Перші економічні знання ми одержуємо вже в 6 класі при вивченні теми «Відсотки». Ми вивчаємо основні задачі на відсотки та способи їх розв'язання. Найповніше розуміння відсоткових обчислень приходять із розв'язуванням відсоткових задач на складання пропорцій. Тут, відсоток для нас виступає математичним терміном. І ось, у 9 класі ми знайомимося із формулами простих і складних відсотків. Саме тоді, ми бачимо, що відсоткові розрахунки найбільше використовуються в економічних обчисленнях.

Здавалося б, що задачі на відсотки не можуть мати інших шляхів розв'язання, окрім трьох шаблонів, що являють собою основні типи задач на відсотки і двох формул простих і складних відсотків. Але знання економічних методів розв'язування математичних задач може спростити розв'язування задач на відсотки.

Індексний метод розв'язування задач на відсотки спрощує обчислення приросту певних показників, їх середні зміни. Цей метод набагато ширше використовується в обчисленні значень економічних показників: швидкість обігу грошової одиниці, маса грошей, інфляція, трудомісткість, продуктивність праці і т. п. Однак, ми побачимо в дії індексний метод у математичних задачах на відсотки.

Отже, об'єктом дослідження є прикладні задачі, застосування математичних методів і індексного методу до їх розв'язування.

Мета роботи - порівняти математичний і індексний методи розв'язування прикладних задач на відсотки. Ми доповнимо наукові знання з математики та економіки, розширимо математичний кругозір.

відсоток індексний прирост



Розділ 1. Відсоткові розрахунки

1.1 Задачі на відсотки

Слово «відсоток» походить від латинського pro centum, що буквально означає «за сотню» або «зі ста». Знак «%» походить, як вважають, від італійського слова cento (сто), яке в процентних розрахунках часто писалося скорочено cto.

Відсотки застосовувалися тільки в торгових і грошових угодах. Потім область їх застосування розширилася, відсотки зустрічаються в господарських і фінансових розрахунках, статистиці, науці і техніці. Нині відсоток - це приватний вид десяткових дробів, сота частка цілого (прийнятого за одиницю).

Ми знаємо, що відсоток - це одна сота, тобто 1% = 1/100 = 0,01.

Основні типи задач на відсотки:

Щоб знайти р% від числа а, потрібно число а помножити на дріб р/100;

1) Щоб знайти число, р% якого дорівнюють b, потрібно число b поділити на дріб р/100;

Щоб знайти, скільки відсотків становить число а від числа b, потрібно поділити а на b і записати результат у відсотках.

Зауважимо, що 100% = 1. Тому, якщо число а треба зменшити на р%, то одержимо число а(1 - р/100). Якщо ж число а треба збільшити на р %, то матимемо число а(1 + р/100).

Формула простих відсотків

Нам відомо, що тема «Відсоткові розрахунки» є однією з найбільш прикладних математичних тем.

Наприклад, працівникам фінансових установ доводиться проводити розрахунки, пов'язані з нарахуванням відсоткових грошей. Розглянемо таку задачу у загальному випадку.

Нехай банк «Грошовитий» нараховує вкладникам р% від внесеної суми. А клієнт банку пан Працьовитий зробив внесок у розмірі А0 грн. Знайдемо суму Аn, яка буде на рахунку пана Працьовитого через n місяців.

Нараховуючи щомісяця по р% від А0 грн., за n місяців банк нарахує n р% від А0 грн., або А0 я грн. Через n місяців пан Працьовитий матиме на рахунку

А0 + А0я = А0? ( 1 + ) грн.

Позначемо цю суму через Аn, тоді матимемо формулу

Аn = А0 ? (1 + ),

яку називають формулою простих відсотків. Саме за цією формулою проводять обчислення, пов'язані з нарахуванням пені, амортизацією, зміною ціни тощо.

Формула складних відсотків

Нехай тепер пан Працьовитий вніс до банку «Грошовитий» вклад у сумі А0 грн. під р% річних. Суму А0 назвемо початковим капіталом.

Через рік банк «Грошовитий» нарахує пану Працьовитому р%, або А0? грн. відсоткових грошей. Отже, на рахунку пана Працьовитого стане на р% грошей більше, а саме:

А0 + А?0 = А0 ? ( 1 + ) грн. - нарощений капітал.

За другий рік пану Працьовитому будуть нараховані р% від нової суми. Ця сума зросте на р% і становитиме:

А0 ? ( 1 + ) ? ( 1 + ) = А0 ? ( 1 + )2 грн.

Через n років нарощений капітал становитиме А0 ? (1 + )n грн.

Отже, початковий капітал А0, покладений паном Працьовитим у банк під р% річних, через n років стане нарощеним капіталом Аn, що обчислюють за формулою:

Аn = А0? ( 1 + )n,

яку називають формулою складених відсотків.

Зауважимо, що формула складених відсотків використовується не лише у банківських розрахунках, а й у задачах на обчислення щомісячного, або щорічного середнього відсотка приросту будь-якого показника.

Наприклад, нехай ціна на товар зросла за 2 роки з 20 грн до 33 грн. Обчислити щорічний середній відсоток приросту ціни.

Розв'язання

Нехай ціна товару кожного наступного року становить х % ціни товару попереднього року, тоді за формулою складних відсотків отримали рівняння:

20 (1+ )2 =33;

(1+ )2 = ;

(1+ )2= 1,65;

1 + = ;

1 + ? 1,28;

? 0,28;

? 28 %.

Таким чином, щорічний приріст ціни на товар склав 28 %.

Відповідь: 28 %.

Розділ 2. Індексний метод

Для аналізу зміни будь-якої категорії використовується індексний метод розрахунків. Індекс показує, як змінюється вимірювана величина. Якщо індекс дорівнює 1 (100%), то ситуація не змінилася, якщо індекс більший за 1, то спостерігається зростання показника, якщо ж індекс менший з 1 , то показник зменшився.

Індекс зростання розраховується за формулою: величину показника в поточному періоді поділити на величину показника в базовому періоді. за базовий рік береться рік, із яким ми порівнюємо поточний показник. базова величина - це 1 (або 100%). Якщо показник зріс у 2 рази, то І = 2, а величина показника збільшилася на : (2 - 1)100=100%. Якщо показник зменшився у 2 рази, І = , тобто величина показника зменшилася на: (1 - 0,5)100 = 50%.

Якщо необхідно проаналізувати зміну показника за кілька періодів, то використовують загальне правило операцій над індексами: записані в частках, вони підлягають множенню та діленню.

Ізаг = І1 І2 Іn

Якщо показник, який треба аналізувати, змінюється різними темпами в різні періоди, то щоб проаналізувати середню зміну, необхідно зробити розрахунки за формулою:

ІСЕР = .

Наприклад, якщо відбулося підвищення ціни на 20%, а потім двіччі зниження щоразу на 10%. Як змінилася ціна товару у середньому?

Ізм = 1,2 ? 0,9 ? 0,9 = 0, 972; ІСЕР= .

Розділ 3. Практична частина

Спробуємо розв'язати і порівняти розв'язання задач двома методами: за допомогою методу відсоткових символів і індекснеого методу.

Задача 1. Вартість товару 90 грн. Спочатку її зменшили на 20 %, а потім підвищили на 10 %. Якою стала вартість товару? На скільки відсотків змінилась початкова ціна?

Розв'язання (методом відсоткових символів)

Скільки гривень становлять 20%?

90 грн - 100%

х грн. - 20%

Яка вартість товару після першої переоцінки?

90 - 18 = 72 (грн)

3) Скільки гривень становлять 10%?

72 грн - 100%

х грн. - 10%

72:х=100:10

грн

Яка вартість товару після другої переоцінки?

7,2 = 79,2 (грн)

Скільки відсотків становить нова ціна від початкової?

90 грн - 100%

79,2 грн - х%

х

На скільки відсотків змінилась початкова ціна?

100% - 88% = 12%

Відповідь: 79,2 грн; на 12% зменшилася

Розв'язання ( індексним методом)

І1 = = 0,8;

І2 = = 1,1;

Ізм = 0,8 ? 1,1 = 0,88;

1 - 0,88 = 0,12.

Отже, початкова ціна на 12% зменшилася.

Щоб знайти нову ціну на товар, достатньо 90 ? 0,88 = 79,2 грн.

Відповідь: 79,2 грн; на 12% зменшилася.

Задача 2. Після двох послідовних знижень цін на одне і те ж число відсотків вартість товару з 400 грн знизилася до 324 грн. На скільки відсотків вартість товару знижувалася кожен раз?

Розв'язання ( за формулою складних відсотків)

400 ? (1-0,01 а) 2 = 324 ;

20 ? (1 - 0,01 а) = 18 ;

1 - 0,01 а = 0,9 ;

а = 10 .

Відповідь: вартість товару щоразу знижувалася на 10%

Розв'язання ( індексним методом)

І1 = ;

І2 = = 0,81;

Ізм = 1 ? 0,81 = 0,81;

Ісер = ;

Ісер = 0,9

1 - 0,9 = 0,1

0,1? 100% = 10 %

Відповідь: вартість товару щоразу знижувалася на 10%

Спробуємо розв'язати індексним методом задачу, розв'язану у першому розділі за допомогою формули складних відсотків.

Задача 3. Нехай ціна на товар зросла за 2 роки з 20 грн до 33 грн. Обчислити щорічний середній відсоток приросту ціни.

Розв'язання ( індексним методом)

І1 = ;

І2 = = 1,65;

Ізм = 1 ? 1,65 = 1,65;

Ісер = ;

Ісер ? 1,28

1,28 - 1 = 0,28

0,28? 100% = 28 %

Отже, щорічний приріст ціни на товар склав 28 %.

Відповідь: 28 %.

Задача 4. Вкладник вніс до банку 1000 грн. під 10% річних. Яку суму він матимеме на рахунку через 3 роки?

Розв'язання ( за формулою складних відсотків)

А3 = 1000?(1+0,1)3;

А3 = 1000 ? 1,13;

А3 = 1000 ? 1,331;

А3 = 1331 грн.

Відповідь: 1331 грн.

Розв'язання ( індексним методом)

І1 = ; І2 =1,1; І3 = 1,1;

Ізм = 1,1 ? 1,1 ? 1,1 = 1,331;

Нарощений капітал = 1000 ? 1,331 = 1331 грн.

Відповідь: 1331 грн.

Олімпіадні задачі.

Задача 5. Чоловік поклав на депозит у банк 9000 грн. За три місяці його вклад збільшився на 4%, а за наступні три місяці - ще на 4%. На скільки відсотків збільшився вклад чоловіка за півроку?

Розв'язання (методом відсоткових символів)

За перші три місяці вклад зріс на 9000:100?4=360 грн і його величина становить 9000+360=9360 грн. За наступні три місяці вклад збільшився на 9360:100?4=374,4 грн. За півроку прибуток чоловіка склав 360+374,4=734,4 грн, що становить 734,4:(9000:100)=8,16%.

Відповідь: 8,16%.

Розв'язання ( індексним методом)

І1 = = 1, 04;

І2 = = 1,04;

Ізм = 1,04 ? 1,04 = 1, 0816;

1, 0816 - 1 = 0,0816;

0,0816 ? 100% = 8,16%.

Відповідь: вклад збільшиться на 8,16%.

Задача 6. За перший місяць ціна товару підвищилася на 20%, а за другий - ще на 15%. На скільки відсотків зросла ціна товару за два місяці?

Розв'язання (методом відсоткових символів)

Після першого подорожчання ціна становила 100+20=120% від початкової. Зрозуміло, що відсоток другого подорожчання інший, бо він вираховується від більшого числа: 1% другого подорожчання становить 120:100=1,2% початкової ціни. Тому друге подорожчання становить 1,2?15=18% початкової ціни. Отже, за два місяці ціна зросла на 20 +18=38%.

Відповідь: 38%.

Розв'язання ( індексним методом)

І1 = = 1, 2;

І2 = = 1,15;

Ізм = 1,2 ? 1,15 = 1, 38;

1, 38 - 1 = 0,38;

0,38 ? 100% = 38%.

Відповідь: ціна товару зросла на 38%.

Як бачимо, при розв'язуванні олімпіадної задачі 5 для одержання правильної відповіді навіть непотрібно було використовувати початкову суму 9000 грн.

Очевидно, що зміну показника можна обчислити маючи лише відсоткові зміни показника, як у олімпіадні задачі 6. Таку ж тенденцію можна помітити при розв'язанні олімпіадної задачі 7.

Задача 7. Ціна на товар була підвищена на 20%, а потім двічі знижувалася щоразу на 10%. Як змінилася ціна товару?

Розв'язання ( індексним методом)

І1 = = 1, 2;

І2 = = 0,9;

І3 = = 0,9;

Ізм = 1,2 ? 0,9 ? 0,9 = 0, 972;

1- 0, 972 = 0,028;

0,028 ? 100% = 2,8%.

Відповідь: ціна зменшиться на 2,8%.

Очевидно, що обидва методи мають певний шаблон, є однаково зрозумілими і вимагають від учня вміння оперувати десятковими, звичайними дробами, працювати із степенями. В окремих випадках, як у задачі 1, розв'язання індексним методом може бути дещо коротшим.



Висновки

Проаналізувавши розв'язання наших задач, можна стверджувати, що індексний метод розв'язування деяких задач на відсотки є доречним. Він є досить зрозумілим і відрізняється поступовістю кроків виконання обчислень.

Індексний метод дозволяє обчислювати зміни приросту показників, середній приріст показника.

При застосуваннні індексного методу, ми пропускаємо деякі дані задачі, як у олімпіадні задачі 5.

Великою перевагою індексного методу є його зручність при розв'язуванні олімпіадних задач.

Очевидно, що використовуючи метод відсоткових обчислень, можна навчитися складати правильно пропорції, рівняння, думати і діяти поступово.

Однак, добре коли є вміння і розуміння двох методів розв'язування задач на відсотки. Це дає можливість перевіряти правильність виконання обчислень, порівнювати результати, розвивати нові вміння і навички. Вміння застосовувати два методи доповнюють наукові знання з математики та економіки, розширюють математичний кругозір.



Список використаних джерел

1. Бугір М. К. Математика для економістів: Посібник. - К.: Видавничий центр "Академія", 2003. - 520с.

2. Капилев О.А. Застосування геометричної прогресії в економіці. Газета "Математична". - 2001. - №12.

3. Крачук В., Підручна М. Алгебра 9 клас. - Тернопіль, «Підручники і посібники», 2009.

4. Корнес А. І., Бабенко С. П. Математика 6 клас. Зошит для контрольних і самостійних робіт. - Київ, «Ранок», 2004.

5. Лисенко В.І., Пономаренко Ю.І. Економічні задачі у загальноосвітній школі: Математика. - 2003. - № 21.

6. Межейнікова Л. С, Швець В. О. Математичні задачі з фінансовим змістом в основній школі. - Харків.: Видавнича група "Основа", 2005. - 94с.

Размещено на Allbest.ru