Высшая математика
Методика нахождения общего решения дифференциального уравнения при помощи приведения к каноническому виду. Алгоритм вычисления задачи Коши методом Даламбера. Порядок расчета первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности на заданном отрезке.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.11.2016 |
| Размер файла | 59,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru
Размещено на http://www.allbest.ru
1. Найти общее решение данного уравнения, приведя его к каноническому виду
Решение.
Так как d = 1-1=0, то это уравнение параболического типа. Уравнение характеристик имеет вид:
.
Его общее решение y+x=C. Сделаем замену переменных:
=x +y , = y
Приведем уравнение к каноническому виду:
Это обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Составляем его характеристическое уравнение 2 -4=0. Находим корни 1=0, 2=4. Общее решение имеет вид:
.
После замены переменных =x +y , = y оно представится в виде:
,
где - произвольные дважды дифференцируемые функции.
2. Методом Даламбера найти решения задач Коши:
Решение.
По формуле Даламбера:
имеем:
3. Решить методом Фурье волновое уравнение:
,
колебаний струны, длиной l, закрепленной на концах х=0 и х=l.
Решение.
Следовательно:
4. Решить задачу Дирихле уравнения Лапласа:
0?r?2, R()=5cos3
Решение.
Решение задачи Дирихле ищем в виде:
,
Где:
.
5. Решить первую смешанную задачу для уравнения теплопроводности на отрезке [0, l]:
дифференциальный коши уравнение отрезок
a=2,l=4,
,
Где:
6. Решить экстремальную задачу методом Лагранжа
Решение.
Приведем задачу к каноническому виду.
Составим функцию Лагранжа.
Запишем необходимые условия минимума:
1) Условия стационарности:
2) Условия дополняющей нежесткости:
3) Условия согласования знаков:
4) Условия допустимости:
1. Нерегулярный случай 0=0. Тогда из условий стационарности получим:
Возможен случай, что 1=0, 2=0. Это противоречит третьему условию согласованности.
Если , то .
Из условий допустимости получаем:
При данных ограничениях минимум целевой функции достигается в точке (1,-4) и равно 16.
2. Регулярный случай 0=1. Тогда из условий стационарности имеем:
2.1 Рассмотрим случай 2>0. Тогда условия дополняющей нежесткости принимают вид%
Если здесь 1>0, то получим:
Если 1=0, 2>0.
Тогда:
Первое условие допустимости не выполняется, случай 1=0, 2>0 невозможен
2.2. Рассмотрим случай 2=0. Тогда условия стационарности принимают вид:
Если 1=0, то решений нет.
Если 1>0:
Условия допустимости выполняются.
Значение целевой функции равно 9,46.
. Наименьшее значение принимает в точке (1,24;-3,03).
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Порядок и процедура поиска решения дифференциального уравнения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка, с разделяющими переменными.
лекция [744,1 K], добавлен 24.11.2010Определение наименьшего и наибольшего значения функции в ограниченной области и ее градиента; общего интеграла и общего и частного решения дифференциального уравнения. Исследование ряда на абсолютную сходимость с применением признаков Коши и Даламбера.
контрольная работа [107,2 K], добавлен 25.11.2013Методы построения общего решения уравнения Бернулли. Примеры решения задач с помощью него. Особое решение уравнения Бернулли и его особенности. Понятие дифференциального уравнения, его виды и свойства. Значение уравнения Бернулли в математике и физике.
курсовая работа [183,1 K], добавлен 25.11.2011Порядок и принципы составления дифференциального уравнения, методика нахождения неизвестных значений. Замена исходного дифференциального уравнения на систему n-линейных уравнений относительно n-неизвестных. Формирование и решение системы уравнений.
задача [118,8 K], добавлен 20.09.2013Метод разделения переменных в задаче Штурма-Лиувилля. Единственность решения смешанной краевой задачи, реализуемая методом априорных оценок. Постановка и решение смешанной краевой задачи для нелокального волнового уравнения с дробной производной.
курсовая работа [1003,8 K], добавлен 29.11.2014Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Теорема существования, единственности решения задачи Коши. Общее решение дифференциального уравнения, изображаемое семейством интегральных кривых на плоскости. Способ нахождения огибающей семейства кривых.
реферат [165,4 K], добавлен 24.08.2015Нахождение уравнения гиперболы при заданном значении вещественной полуоси. Вычисление предела функции и ее производных. Составление уравнения нормали к кривой. Решение системы алгебраических уравнений методом Гаусса и при помощи формулы Крамера.
контрольная работа [871,9 K], добавлен 12.10.2014Задачи Коши для дифференциальных уравнений. График решения дифференциального уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к однородному. Однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
лекция [520,6 K], добавлен 18.08.2012Анализ уравнения гиперболического типа - волнового уравнения. Метод распространяющихся волн. Формула Даламбера, неоднородное уравнение. Задача Коши, двумерное волновое уравнение. Теорема устойчивости решения задачи Коши. Формулы волнового уравнения.
реферат [1,0 M], добавлен 11.12.2014Последовательность решения линейной краевой задачи. Особенности метода прогонки. Алгоритм метода конечных разностей: построение сетки в заданной области, замена дифференциального оператора. Решение СЛАУ методом Гаусса, конечно-разностные уравнения.
контрольная работа [366,5 K], добавлен 28.07.2013