Предмет теории вероятности
Рассмотрение и анализ сущности математической статистики, которая тесно связана с теорией вероятности и базируется на ее математическом аппарате. Исследование и характеристика главных особенностей биномиального распределения (распределения Бернулли).
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 28.11.2016 |
| Размер файла | 51,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего обучения «Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева»
Кафедра машиноведения
Контрольная работа по дисциплине: «Основы теории надежности»
Выполнил: студент 3 курса направления подготовки
23.03.03 Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов, профиля «Автомобильный сервис»
Кошкин Петр Геннадьевич
Руководитель курсовой работы: Тончева Н.Н.
Чебоксары 2016
Содержание
1. Основные понятия и определения теории вероятностей
2. Эксплуатационные испытания
Использованная литература
1. Основные понятия и определения теории вероятностей
1. Случайная величина (СВ) и вероятность события.
2. Закон распределения СВ.
3. Биномиальное распределение (распределение Бернулли).
4. Распределение Пуассона.
5. Нормальное (гауссовское) распределение.
6. Равномерное распределение.
7. Распределение Стьюдента.
Случайная величина и вероятность события
Математическая статистика тесно связана с другой математической наукой - теорией вероятности и базируется на ее математическом аппарате.
Теория вероятности - это наука, которая изучает закономерности, порожденные случайными событиями.
Педагогические явления относятся к числу массовых: они охватывают большие совокупности людей, повторяются из года в год, совершаются непрерывно. Показатели (параметры, результаты) педагогического процесса имеют вероятностный характер: одно и то же педагогическое воздействие может приводить к различным следствиям (случайные события, случайным величинам). Тем не менее, при многократном воспроизведении условий определенные следствия появляются чаще других, - это и есть проявление так называемых статистических закономерностей (изучением которых занимаются теория вероятностей и математическая статистика).
Случайная величина (СВ) - это численная характеристика, измеряемая по ходу опыта и зависящая от случайного исхода. СВ реализуемая по ходу опыта и сама является случайной. Каждая СВ задает распределение вероятностей.
Основным свойством педагогических процессов, явлений служит их вероятностный характер (при данных условиях они могут произойти, реализоваться, но могут и не произойти). Для таких явлений существенную роль играет понятие вероятности.
Вероятность (Р) показывает степень возможности осуществления данного события, явления, результата. Вероятность невозможного события равна нулю p = 0, достоверного -- единице p = 1 (100%). Вероятность любого события лежит в пределах от 0 до 1, в зависимости от того, насколько это событие случайно.
Если мы интересуемся событием A, то, скорее всего, можем наблюдать, фиксировать факты его появления. Потребность в понятии вероятности и ее вычисления возникнет, очевидно, только тогда, когда мы наблюдаем это событие не каждый раз, либо осознаем, что оно может произойти, а может не произойти. И в том и другом случае полезно использовать понятие частоты появления события f(A) - как отношения числа случаев его появления (благоприятных исходов) к общему числу наблюдений. Частота наступления случайного события зависит не только от степени случайности самого события, но и от числа (количества) наблюдений за этой СВ.
Существует два вида выборок СВ: зависимые и независимые. Если результаты измерения некоторого свойства у объектов первой выборки не оказывают влияния на результаты измерения этого свойства у объектов второй выборки, то такие выборки считаются независимыми. В тех случаях, когда результаты одной выборки влияют на результаты другой выборки, выборки считают зависимыми. Классический способ получения зависимых измерений - это двукратное измерение одного и того же свойства (или разных свойств) у членов одной и той же группы.
Событие А не зависит от события В, если вероятность события А не зависит от того произошло или нет событие В. События А и В независимы, если Р(АВ)=Р(А)Р(В). На практике независимость события устанавливается из условий опыта, интуиции исследователя и практики.
СВ бывает дискретной (мы можем пронумеровать ее возможные значения), например, выпадение игральной кости = 4, 6, 2, и непрерывной (ее функция распределения F(x) - непрерывна), например, время службы лампочки.
Математическое ожидание - числовая характеристика СВ, приближенно равная среднему значению СВ:
M(x)=x1p1+x2p2+…+xnpn
Закон распределения СВ
Подчиняются ли каким-либо законам явления, носящие случайный характер? Да, но эти законы отличаются от привычных нам физических законов. Значения СВ невозможно предугадать даже при известных условиях эксперимента, мы можем лишь указать вероятности того, что СВ примет то или иное значение. Зато зная распределение вероятностей СВ, мы можем делать выводы о событиях, в которых участвуют эти случайные величины. Правда, эти выводы будут также носить вероятностный характер.
Пусть некоторая СВ является дискретной, т.е. может принимать лишь фиксированные значения Xi. В этом случае ряд значений вероятностей P(Xi) для всех (i=1…n) допустимых значений этой величины называют её законом распределения.
Закон распределения СВ - это отношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и вероятностями, с которыми принимаются эти значения. Закон распределения полностью характеризует СВ.
При построении математической модели для проверки статистической гипотезы необходимо ввести математическое предположение о законе распределения СВ (параметрический путь построения модели).
Непараметрический подход к описанию математической модели (СВ не имеет параметрического закона распределения) менее точен, но имеет более широкую область применения.
Точно также, как и для вероятности случайного события, для закона распределения СВ есть только два пути его отыскания. Либо мы строим схему случайного события и находим аналитическое выражение (формулу) вычисления вероятности (возможно, кто-то уже сделал или сделает это до вас!), либо придется использовать эксперимент и по частотам наблюдений делать какие-то предположения (выдвигать гипотезы) о законе распределения.
Конечно же, для каждого из "классических" распределений уже давно эта работа проделана - широко известными и очень часто используемыми в прикладной статистике являются биномиальное и полиномиальное распределения, геометрическое и гипергеометрическое, распределение Паскаля и Пуассона и многие другие.
Для почти всех классических распределений немедленно строились и публиковались специальные статистические таблицы, уточняемые по мере увеличения точности расчетов. Без использования многих томов этих таблиц, без обучения правилам пользования ими последние два столетия практическое использование статистики было невозможно.
Сегодня положение изменилось - нет нужды хранить данные расчетов по формулам (как бы последние не были сложны!), время на использование закона распределения для практики сведено к минутам, а то и секундам. Уже сейчас существует достаточное количество разнообразных пакетов прикладных компьютерных программ для этих целей.
Среди всех вероятностных распределений есть такие, которые используются на практике особенно часто. Эти распределения детально изучены и свойства их хорошо известны. Многие из этих распределений лежат в основе целых областей знаний - таких, как теория массового обслуживания, теория надежности, контроль качества, теория игр и т.п.
Биномиальное распределение (распределение Бернулли)
Возникает в тех случаях, когда ставится вопрос: сколько раз происходит некоторое событие в серии из определенного числа независимых наблюдений (опытов), выполняемых в одинаковых условиях.
Для удобства и наглядности будем полагать, что нам известна величина p - вероятность того, что вошедший в магазин посетитель окажется покупателем и (1- p) = q - вероятность того, что вошедший в магазин посетитель не окажется покупателем.
Если X - число покупателей из общего числа n посетителей, то вероятность того, что среди n посетителей оказалось k покупателей равна
P(X= k) = ,
где k=0,1,…n
Формулу (1) называют формулой Бернулли. При большом числе испытаний биномиальное распределение стремиться к нормальному.
Распределение Пуассона
Играет важную роль в ряде вопросов физики, теории связи, теории надежности, теории массового обслуживания и т.д. Всюду, где в течение определенного времени может происходить случайное число каких-то событий (радиоактивных распадов, телефонных вызовов, отказов оборудования, несчастный случаях и т.п.).
Рассмотрим наиболее типичную ситуацию, в которой возникает распределение Пуассона. Пусть некоторые события (покупки в магазине) могут происходить в случайные моменты времени. Определим число появлений таких событий в промежутке времени от 0 до Т.
Случайное число событий, происшедших за время от 0 до Т, распределено по закону Пуассона с параметром l=аТ, где а>0 - параметр задачи, отражающий среднюю частоту событий. Вероятность k покупок в течение большого интервала времени, (например, - дня) составит
P(Z=k) = (2)
Нормальное (гауссовское) распределение. Нормальное (гауссовское) распределение занимает центральное место в теории и практике вероятностно-статистических исследований. В качестве непрерывной аппроксимации к биномиальному распределению его впервые рассматривал А.Муавр в 1733 г. Через некоторое время нормальное распределение снова открыли и изучили К.Гаусс (1809 г.) и П.Лаплас, которые пришли к нормальной функции в связи с работой по теории ошибок наблюдений.
Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения равна
,
-?<x<?, ??>0, -?<µ<? (3)
Где µ совпадает с математическим ожиданием величины Х:
µ=М(Х), параметр s совпадает со средним квадратическим отклонением величины Х: s =s(Х). График функции нормального распределения, как видно из рисунка, имеет вид куполообразной кривой, называемой Гауссовой, точка максимума имеет координаты (а;).
Значит, эта ордината убывает с возрастанием значения s (кривая «сжимается» к оси Ох) и возрастает с убыванием значения s (кривая «растягивается» в положительном направлении оси Оу). Изменение значений параметра µ (при неизменном значении s) не влияет на форму кривой, а лишь перемещает кривую вдоль оси Ох. математический бернулли биномиальный
Нормальное распределение с параметрами µ=0 и s=1 называется нормированным. Функция распределения СВ в этом случае будет иметь вид:
(4)
Для м=0, у=1 график принимает вид:
Эта кривая при м=0, у=1 получила статус стандарта, ее называют единичной нормальной кривой, то есть любые собранные данные стремятся преобразовать так, чтобы кривая их распределения была максимально близка к этой стандартной кривой.
Нормализованную кривую изобрели для решения задач теории вероятности, но оказалось на практике, что она отлично аппроксимирует распределение частот при большом числе наблюдений для множества переменных. Можно предположить, что не имея материальных ограничений на количество объектов и время проведения эксперимента, статистическое исследование приводится к нормально кривой.
Равномерное распределение
Равномерное распределение вероятностей является простейшим и может быть как дискретным, так и непрерывным. Дискретное равномерное распределение - это такое распределение, для которого вероятность каждого из значений СВ одна и та же, то есть:
P(x)=1/N
где N - количество возможных значений СВ.
Распределение вероятностей непрерывной CВ Х, принимающие все свои значения из отрезка [а;b] называется равномерным, если ее плотность вероятности на этом отрезке постоянна, а вне его равна нулю
(5)
Распределение Стьюдента
Это распределение связано с нормальным. Если СВ x1, x2, … xn - независимы, и каждая из них имеет стандартное нормальное распределение N(0,1), то СВ имеет распределение, называемое распределением Стьюдента:
(6)
2. Эксплуатационные испытания
Эксплуатационные испытания разделяются на три основных вида:
1. Опытная эксплуатация. Проводится специально подготовленным персоналом. При ней осуществляется регулярный контроль и учёт наработки в различных условиях, объёмов выполненных транспортных, погрузочно-разгрузочных работ в соответствии с назначением машины, регистрация и анализ отказов, неисправностей и перечисление мероприятий по их устранению.
2. Подконтрольная эксплуатация. При ней учитываются общие условия функционирования и контролируется состояние объекта с документальным оформлением необходимых текущих параметров и отклонений в них с привлечением специалистов-испытателей с целью повышения достоверности информации.
3. Рядовая эксплуатация у потребителя. При ней возможны отклонения от правил использования и обслуживания, а специалисты-испытатели для повседневного наблюдения не привлекаются, и информация о результатах эксплуатации ограничивается сообщениями данных от потребителей.
Более информативными являются первые два вида эксплуатационных испытаний, которые получили наибольшее распространение и методическое обеспечение.
Опытная эксплуатация часто включается в программу испытаний как этап для проверки и оценки эффективности использования новой модели по назначению и выявлению направлений её совершенствования.
Подконтрольная эксплуатация расширяется путём организации опорных экспериментально-производственных пунктов (хозяйств) с включением в их штат специалистов-испытателей. Этот вид эксплуатационных испытаний отличается от полигонных достоверностью информации, так как в основу их методики положен отбор больших партий однотипных машин одной серии выпуска, относительная однородность условий эксплуатации и постоянный контроль за техническим состоянием каждого объекта. В подконтрольной эксплуатации используется единая методика сбора, обработки и представления информации, что даёт возможность сравнительной оценки различных моделей машин, повышает достоверность получаемых оценок, в частности, основных показателей надёжности.
В ряде случаев эксплуатационные испытания проводятся в подразделениях завода-изготовителя.
При эксплуатационных испытаниях решаются следующие основные задачи:
· выявление закономерности возникновения отказов в зависимости от наработки;
· определение коэффициентов готовности и использования в данных условиях эксплуатации;
· определение (уточнение) критериев предельного состояния и ресурса машины в целом или её отдельных узлов, агрегатов, частей;
· выявление действительной потребности в запасных частях, расходов на эксплуатацию;
· установление приспособленности к текущим и капитальным ремонтам;
· выявление типичных повреждений, различных видов отказов, относительной доли каждого вида в общем их числе;
· статистическая оценка стоимости ремонтов и затрат на поддержание в работоспособном состоянии от начала эксплуатации и до истечения гарантийного периода, до исчерпания объявленного ресурса, до списания.
Использованная литература
1. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] : учеб. пособие для бакалавров, студентов вузов / В. Е. Гмурман. - 12-е изд. - М. : Юрайт, 2013. - 478, [2] с. - (Бакалавр. Базовый курс). - 359-04.
2. Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математи- ческой статистике [Текст] : учеб. пособие для бакалавров, студентов вузов / В. Е. Гмурман. - 11-е изд., перераб. и доп. - М. : Юрайт, 2013. - 403, [13] с. : ил. - (Бакалавр. Базовый курс).
3. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для бакалавров / В.Н. Калинина. - 2-е изд., перераб. И доп. - М.: Издательство Юрайт, 2015. - 472. - Серия: Бакалавр. Базовый курс. 4. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для бакалавров / А.М. Попов, В.Н. Сотников; под ред. А.М. Попова. - М.: Издательство Юрайт, 2013. - 440 с.
5. Авдонькин Ф.Н. Теоретические основы технической эксплуатации автомобилей. М.: Транспорт, 1985. - 216 с.
6. Аринин И.Н., Коновалов С.И., Баженов Ю.В. Техническая эксплуатация автомобилей / Серия «Высшее профессиональное образование». - Ростов н/Д: Феникс, 2004. - 315 с. ISBN 5-222-05-101-3.
7. Гурвич И.Б., . Эксплуатационная надежность автомобильных двигателей. / И.Б. Гурвич, П.Э, Сыркин. - М.: Транспорт, 1984. - 141 с. 7. Емелин М.И., Защита машин от коррозии в условиях эксплуатации. / М.И. Емелин, А.А. Герасименко. -М.: Машиностроение, 1980. - 224 с.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Применение классического определения вероятности в решении экономических задач. Определение вероятности попадания на сборку бракованных и небракованных деталей. Вычисление вероятности и выборочного значения статистики при помощи формулы Бернулли.
контрольная работа [309,4 K], добавлен 18.09.2010Проверка выполнимости теоремы Бернулли на примере надёжности электрической схемы. Примеры решения задач с игральными костями, выигрыша в лотерею, вероятности брака и др. Биноминальный закон распределения: решение математического ожидания и дисперсии.
контрольная работа [74,4 K], добавлен 31.05.2010Определение вероятности случайного события, с использованием формулы классической вероятности, схемы Бернулли. Составление закона распределения случайной величины. Гипотеза о виде закона распределения и ее проверка с помощью критерия хи-квадрата Пирсона.
контрольная работа [114,3 K], добавлен 11.02.2014Предмет, методы и понятия математической статистики, ее взаимосвязь с теорией вероятности. Основные понятия выборочного метода. Характеристика эмпирической функции распределения. Понятие гистограммы, принцип ее построения. Выборочное распределение.
учебное пособие [279,6 K], добавлен 24.04.2009Особенности выполнения теоремы Бернулли на примере электрической схемы. Моделирование случайной величины по закону распределения Пуассона, заполнение массива. Теория вероятности, понятие ожидания, дисперсии случайной величины и закон распределения.
курсовая работа [29,7 K], добавлен 31.05.2010Теория вероятности, понятие вероятности события и её классификация. Понятие комбинаторики и её основные правила. Теоремы умножения вероятностей. Понятие и виды случайных величин. Задачи математической статистики. Расчёт коэффициента корреляции.
шпаргалка [945,2 K], добавлен 18.06.2012Классификация случайных событий. Функция распределения. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Закон равномерного распределения вероятностей. Распределение Стьюдента. Задачи математической статистики. Оценки параметров совокупности.
лекция [387,7 K], добавлен 12.12.2011Проверка выполнимости теоремы Бернулли на примере вероятности прохождения тока по цепи. Моделирование дискретной случайной величины, имеющей закон распределения Пуассона. Подтверждение гипотезы данного закона распределения с помощью критерия Колмогорова.
курсовая работа [134,2 K], добавлен 31.05.2010Изучение сути и выдвижение предположения о законе распределения вероятности экспериментальных данных. Понятие и оценка асимметрии. Принятие решения о виде закона распределения вероятности результата. Переход от случайного значения к неслучайной величине.
курсовая работа [126,0 K], добавлен 27.04.2013Определение вероятности наступления события по формуле Бернулли. Построение эмпирической функции распределения и гистограммы для случайной величины. Вычисление коэффициента корреляции, получение уравнения регрессии. Пример решения задачи симплекс-методом.
контрольная работа [547,6 K], добавлен 02.02.2012
