Арифметические функции

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Вспомогательные сведения

1.1Понятие функции в математике

1.2 Основная теорема арифметики

2. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

2.1 Мультипликативная и аддитивная арифметическая функция

2.2 Целая и дробная часть числа

2.3 Функция Мёбиуса µ(n

2.4 Функция Эйлера ??(n

2.5 Функция ф(n

2.6 Функция у(n

2.7 Функция

2.8 Функции Чебышева

2.9 Дзета-функция Римана

Заключение

Литература

Приложение



Введение

Теория чисел является наукой о числовых системах с их связями и законами. При этом в первую очередь уделяется внимание числам натурального ряда, которые являются основой для построения других числовых систем: целых, рациональных и иррациональных, действительных и комплексных.

Теория чисел (высшая арифметика) - раздел математики, в котором изучаются свойства чисел. Одной из основных задач теории чисел является изучение свойств целых чисел. Основной объект теории чисел - натуральные числа. Главное их свойство - делимость.

Теория чисел изучает числа с точки зрения их строения и внутренних связей, рассматривает возможность представить одни числа через другие, более простые по своим свойствам, вопросы же строгого логического обоснования понятия натурального числа и его обобщений, а также связанная с ними теория действий рассматриваются отдельно в основаниях арифметики.

Аналитическая теория чисел - часть теории чисел, в которой наряду с собственными методами существенно используется аппарат математики.

В аналитической теории чисел для вывода и доказательства утверждений о числах и числовых функциях используется мощная база математического анализа. В аналитическую теорию чисел включают вопросы распределения простых чисел, аддитивные проблемы, исследование поведения теоретико-числовых функций, теорию алгебраических и трансцендентных чисел.

Эйлер Леонард [4(15).4.1707, Базель, Швейцария, - 7(18).9.1783, Петербург], математик, механик и физик. Он прожил в общей сложности 30 лет и многое сделал для развития науки. Эйлер доказал ряд утверждений, высказанных П. Ферма (например, малая теорема Ферма), разработал основы теории степенных вычетов и теории квадратичных форм, обнаружил (но не доказал) квадратичный закон взаимности и исследовал ряд задач диофантова анализа. В работах о разбиении чисел на слагаемые и по теории простых чисел Эйлер впервые использовал методы анализа, явившись тем самым создателем аналитической теории чисел. В частности, он ввёл ж-функцию и доказал т. н. тождество Эйлера, связывающее простые числа со всеми натуральными. Под влияние трудов Эйлера сложилось творчество П.Л. Чебышева.

Пафнумтий Львомвич Чебышев [4 (16 мая) 1821, Окатово, Калужская губерния -- 26 ноября (8 декабря) 1894, Санкт-Петербург] -- русский математик и механик. Чебышев считается одним из основоположников теории приближения функций. Работы в теории чисел, теории вероятностей, механике.

Амвгуст Фемрдинанд Мёбиус [17 ноября 1790, Шульпфорте, ныне Саксония-Анхальт -- 26 сентября 1868, Лейпциг] -- немецкий математик и астроном-теоретик. Мебиус написал множество узкоспециализированных работ по проективной геометрии, теории чисел. В последней, его именем названа формула обращения, а также функция Мебиуса м(n), которая используется так же в комбинаторике.

Данная курсовая работа посвящена арифметическим функциям. Изучением их свойств, поведение

Работа разделена на две главы. Во второй главе рассматриваются арифметические функции такие, как: функция целой и дробной части числа, функция Эйлера, функция Мёбиуса, функция количества и суммы делителей числа, функция Чебышева и дзета-функция Римана.



1. Вспомогательные сведения

1.1 Понятие функции в математике

Определение1: Функция - термин, используемый в математике для обозначения такой зависимости между двумя величинами, при которой если одна величина задана, то другая может быть найдена.

Обычно функция задается формулой, выражающей зависимую переменную через одну или несколько независимых переменных. Например, площадь круга есть функция его радиуса, и эта зависимость записывается формулой . Функцию можно изобразить графически, нанося точки, координатами которых служат независимые и зависимые переменные, на координатную плоскость. Раздел математики, занимающийся изучением свойств различных функций, называется теорией функций.

1.2 Основная теорема арифметики. Каноническое представление числа

Теорема1 (основная терема арифметики): Каждое натуральное число можно представить в виде произведения простых сомножителей , и притом однозначно с точностью до порядка следования этих сомножителей.

Доказательство основной теоремы арифметики опирается на так называемую лемму Евклида: если простое число делит без остатка произведение двух целых чисел то делит или.

Доказательство:

Существование. Докажем существование от противного. Предположим, существуют числа больше единицы, для которых такого разложения не существует. Тогда пусть -- наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа себя. Если составное, то оно -- произведение двух меньших натуральных чисел. Поскольку они меньше , то каждое из них, согласно условию выше, можно разложить в произведение простых чисел, значит, тоже является произведением простых чисел. Противоречие.

Единственность. Пусть -- наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые -- они одинаковы. В противном случае, пусть -- любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на и получить два разных разложения числа , что невозможно. А если не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на , а другое -- не делится (как следствие из леммы Евклида), что противоречит их равенству. Теорема верна для любых натуральных чисел n больших единицы.

Теорема доказана.

Определение2: Представление числа в виде

различные простые числа,-соответствующие им показатели, называется каноническим разложением числа.

Пример: Написать каноническое разложение числа 120.

120=2і*3*5-каноническое разложение.

120=2*3*5*2- не является каноническим разложением.

Следствие: Если n записано в каноническом виде, то любой натуральный делитель d числа n имеет вид , где ,.

Доказательство: Любое число является делителем числа . Покажем, что если натуральный делитель числа, то он имеет вид

, где ,, т.к. следовательно, всякий простой делитель числа n следовательно будет делитель иметь вид , где ,. Следствие доказано.



2. Арифметические функции

2.1 Мультипликативная и аддитивная арифметическая функция

Определение1: Функция называется числовой, если она определена при всех натуральных значениях аргумента .

Определение2: Числовая функция на множестве натуральных чисел называется мультипликативной, если для любых натуральных чисел m,n выполняются условия:

1) ;

2) (*)

Определение3: Числовая функция на множестве натуральных чисел называется аддитивной, если для любых натуральных чисел m,n выполняются условия:

1) ;

2) (**)

Определение4: Арифметическая функция -- это комплекснозначная функция, определенная на множестве положительных целых чисел.

Многие из арифметических функций, которые будут нами рассмотрены, являются целозначными.

Определение5. Арифметическая функция называется мультипликативной, если:

(i)

(ii) , для любых натуральных чисел

Определение6: Мультипликативная арифметическая функция называется сильно мультипликативной, если справедливо для всех простых и всех натуральных

Определение7: Если условие (*) выполняется для произвольных двух чисел m,n не обязательно взаимно простых, то называется вполне мультипликативной, в этом случае

Определение8: Аддитивная арифметическая функция называется сильно аддитивной, если справедливо для всех простых и всех натуральных.

Определение9: Аддитивная арифметическая функция называется вполне аддитивной , если условие (**) справедливо для произвольных двух чисел m,n не обязательно взаимно простых, в этом случае

Пример: Мультипликативные арифметические функции: функция Эйлера функция Мёбиуса функция функция Аддитивная арифметическая функция: число всех простых делителей, вполне аддитивная арифметическая функция.

2.2 Целая и дробная часть числа

П1. Целая часть числа.

Определение10. Целой частью числа называется наибольшее целое число r, не превышающее .

Обозначается символом или (реже (от франц. “entire” - целый). Если x принадлежит интервалу где r целое число ,то, т.е. находится в интервалеТогда, по свойствам числовых неравенств, разность будет в интервале Число показывают дробной частью числа и обозначаютСледовательно, дробная часть числа всегда неотрицательна и не превышает единицу, тогда как целая часть числа может принимать как положительные значения, так и неположительные. Таким образом, а следовательно

Свойства:

1.произвольное число;

2.при

.

Например:

Функция целая часть числа имеет вид

1. Функция имеет смысл для всех значений переменной x, что следует из определения целой части числа и свойств числовых множеств(непрерывности множества действительных чисел дискретности множества целых чисел и бесконечности обоих множеств). Следовательно, ее областью определения является все множество действительных чисел. .

2. Функция ни четная, ни нечетная. Область определения функции симметрична относительно начала координат, но если тo т.е. не выполняется ни условие четности, ни условие нечетности .

3. Функция y=[x] не периодическая.

4. Множество значений функции это множество целых чисел ( по определению целой части числа .

5. Функция неограниченна, так как множество значений функции - все целые числа, множество целых чисел неограниченно.

6. функция разрывна. Все целые значения - точки разрыва первого рода с конечным скачком равным единицы. В каждой точке разрыва имеется непрерывность справа.

7. Функция принимает значение 0 для всех, принадлежащих интервалучто следует из определения целой части числа. Следовательно, нулями функции будут все значения этого интервала.

8. Учитывая свойство целой части числа функции принимает отрицательные значения при меньших нуля, и положительные значения при больших единицы.

9. Функция кусочно-постоянная и неубывающая.

10. Точек экстремума функция не имеет, так как не меняет характер монотонности.

11. Так как функция постоянна на каждом интервалеона не принимает наибольшего и наименьшего значения на области определения

12. График функции.

П2.Дробная часть числа

Свойства:

1. Равенство

2. ;

3.

Функция дробная часть числа имеет вид

1. Функция имеет смысл для значений переменной x , что следует из определения дробной части числа. Таким образом, область определения этой функции все действительные числа.

2. Функция ни четная, ни нечетная. Область определения функции симметрична относительно начала координат, но не выполняется условие четности ни условие нечетности

3. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом .

4. Функция принимает значения на интервале, что следует из определения дробной части числа, т.е.

5. Из предыдущего свойства следует, что функция ограничена

6. Функция непрерывна на каждом интервале, где-целое, в каждой точке функция терпит, разрыв первого рода. Скачок равен единице.

7. Функция обращается в нуль при всех целых значениях , что следует из определения функции, то есть нулями функции будут все целочисленные значения аргумента.

8. Функция по всей области определения принимает только положительные значения.

9. Функция, строго монотонно возрастающая на каждом интервале где n -целое число.

10. Точек экстремума функция не имеет, так как не меняет характер монотонности

11. Учитывая свойство 6 и 9, на каждом интервале функция принимает минимальное значение в точке n.

12. График функции.



2.3 Функция Мёбиуса µ(n)

Определение11. Функция Мёбиуса µ(n)- это арифметическая функция, которая определяется следующим образом:

(i)

(ii) , если n есть произведение k различных простых чисел;

(iii) в противном случае, т. е. если n делится на квадрат целого числа, отличного от единицы.

Из определения сразу же вытекает

Теорема 1. Функция Мёбиуса мультипликативна.

Теорема 2. Справедливо соотношение

Доказательство. Пусть -- каноническое разложение числа . Делители числа, для которых, имеют вид (?k), …, .

Тогда

и, следовательно,

Заметим, что функцию Мёбиуса можно определить, используя теорему 2, и вывести из нее свойства

Наиболее важные приложения этой функции основаны на так называемых формулах обращения Мёбиуса.

Теорема доказана.

Теорема 3. (первая формула обращения Мёбиуса).

Пусть -- арифметическая функция и

Тогда

Доказательство. Мы имеем

и, следовательно, по теореме 2

Справедливо и обратное утверждение:

Теорема 4. Если

то

Доказательство. Мы имеем по теореме 2

В качестве приложения теоремы 3 рассмотрим соотношение

Теорема доказана.

Теорема 5. (вторая формула обращения Мёбиуса).

Пусть функция f определена при и

Тогда при

и обратно.

Сумма интерпретируются как а сумма, не содержащая членов, полагается равной нулю.

Доказательство. Из определения функции g мы имеем при

Группируя в последней сумме члены, для которых получаем

Первая часть теоремы доказана.

Чтобы доказать обратное утверждение, положим при

Тогда

и так же, как выше, последняя сумма может быть записана в виде

Теорема доказана.

2.4 Функция Эйлера ??(n)

Определение12. Числовая функция, заданная на множестве натуральных чисел , которая каждому принадлежащему натуральному числу ставит в соответствие число чисел меньших или равных называется функцией Эйлера.

Лемма. Пусть каноническое разложение тогда:

1. - формула Эйлера

2. в частности .

Доказательство: Пусть пробегает числа. делитель, тогда - числа значений равных равных 1.

Рассмотрим , чтобы она была единицей, когда и была нулем в остальных случаях:

Справа скобка берется по всем делителям числа ,следует делить на и на . Следует что в первой сумме справа в суммировании участвуют только те , которые кратны . Таких ровно штук, следует:

Теорема доказана.

Правило включений и исключений.

Пусть задано множество и выделено его подмножеств. Количество элементов множества , которые не входят ни в одно из выделенных подмножеств, подсчитывается так: надо из общего числа элементов в вычесть количество элементов всех подмножеств, прибавить количество элементов всех их по парных пересечений, вычесть количество элементов всех тройных пересечений, прибавить количество элементов всех пересечений по четыре и т. д. вплоть до пересечения всех подмножеств.

Рассмотрим это правило на примере подсчета функций Эйлера для чисел вида:



Рис.1. Множества и .

Прямоугольник на рис.1. изображает множество всех целых чисел от 0 до ; овал множество чисел, кратных ; кружок- числа кратные ; пересечениеи- множество чисел, делящихся одновременно на и , т. е. на; ; числа вне овала и кружочка взаимно просты с . Для подсчета числа чисел, взаимно простых с , нужно из вычесть количество чисел в(их, соответственно, и штук), при этом общая часть там ).

Теорема6: Функция Эйлера мультипликативна, т. е., при .

Доказательство: Пусть x пробегает значения ,, …, , а у ,, …, .

Функция называется мультипликативной, если:

1) Она определена для всех натуральных n и хотя бы одного такого n отличного от нуля;

2) Для любых взаимно простых и

Для функции Эйлера первое условие выполняется согласно определению. Таким образом, остается доказать, что

, если.

Для доказательства расположим числа от 1 до в виде следующей таблицы:

1,…, k,…, m

m+1,…, m+k,…, 2m

(n-1) m+1,…, (n-1)m+k,…, (n-1)m+m=mn

Чтобы найти ), необходимо узнать сколько в этой таблице имеется чисел, взаимно простых с mn . Но взаимно простыми с произведением mn являются только те и те числа , которые взаимно просты как с m, так с n. Поэтому отберем из этой таблицы сначала все числа, взаимно простые с m , а из них те, которые взаимно простые с n.

Числа одного столбца принадлежат одному классу вычетов по модулю m , поэтому все эти числа имеют с m одинаковый наибольший общий делитель: если одно из них взаимно простое с m, то и все остальные тоже взаимно простое с m. Таким образом, можно говорить о, столбцах взаимно простых с m и судить о количестве таких столбцов по количеству чисел взаимно простых с одной строки, например первой. Очевидно, поэтому столбцов взаимно простых с m, будет

Рассмотрим теперь любой столбец таблицы, например:

K, m+k, 2m+k,…, (n-1)m+k

Числа этого столбца можно рассматривать как значения линейной функции mx +k, когда x пробегает полную систему векторов 0,1,2,…,n-1 по модулю n.

Так как по условию (m,n)=1, то получается такая совокупность чисел, которая независимо от k образует полную систему вычетов по модулю n и содержит поэтому чисел взаимно простых с n.

Итак, любой столбец нашей таблицы содержит чисел, взаимно простых с n.

Таким образом, всего в столбце имеется чисел. Взаимно простых с m , так и с n ,а следовательно, и с mn , так что

Получившееся свойство остается, очевидно, справедливым для любого числа попарно простых сомножителей.

Теорема доказана.

2.5 Функция ф(n)

Определение13: Числовая функция, заданная на множестве натуральных чисел, которая каждому натуральному значению числа n ставит в соответствие число всех его натуральных делителей, называется функцией ф.

ф: N.

Пример: .

Теорема7: (о вычислении ):если

- каноническое разложение натурального числа n, то

Доказательство: Любой натуральный делитель числа имеет вид , где 0, 0 , и таким образом , число натуральных делителей равно числу комплексов (), где , принимает значение от 0 до принимает значение от 0 до принимает значений от 0 до . Число таких комплексов равно ()()…(), т. е.= ()()…(). Теорема доказана.

Пример: n=12,12=

Теорема 8: Функция мультипликативная.

Доказательство: Если и -

каноническое разложение взаимно простых чисел простые числа a и b(все ), то каноническое разложение ab и

Следовательно, теорема доказана.

Функция допускает геометрическую интерпретацию. Число натуральных делителей числа равно n числу решений уравнения в положительных целых числах Следовательно, равно числу целых точек верхнего правого квадранта,-плоскости, которые лежат на гиперболе .

2.6 Функция у(n).

Определение14: Числовая функция, которая каждому натуральному числу ставит в соответствие сумму его натуральных делителей, называется функцией .

Пример:

Теорема9: (о вычислении): если натуральное число n имеет вид

, то

Доказательство: Если раскроем скобки, то получим сумму слагаемых вида

, по следствию из основной теоремы арифметики, все числа такого вида являются натуральными делителями числа n. Всякое число такого вида входит в сумму только один раз. Таким образом, описанная сумма является суммой натуральных делителей числа n. Посчитаем каждый из множителей, как сумму геометрической прогрессии

Следовательно,

.

Теорема доказана.

Пример 2:

Теорема10: Арифметическая функция у(n) мультипликативна.

Доказательство:

Если и - каноническое разложение взаимно простых чисел простые числа a и b (все ), то каноническое разложение ab и

Следовательно, теорема доказана.

Теорема11: Пусть каноническое разложение чисел n>1, тогда

.Доказательство: Поскольку функция мультипликативна, имеем и в частности, при k=1

Следствие: если n записано в каноническом виде, то любой натуральный делитель d числа n имеет вид , ,.

2.7 Функция

Определение15: Арифметическая функция определяется как число представлений в виде суммы двух квадратов; другими словами, значение равно числу решений уравнения в целых числах Решения, отличающиеся друг от друга знаком или порядком, считаются различными.

Пример: Следовательно, функция не мультипликативна.

Рассмотрим сумматорную функцию арифметической функции а Геометрически представляет собой число целых точек внутри и на границе круга. Ясно, что величина приближенно равна площади этого круга.

Теорема1. (Гаусса)

Доказательство. Целые точки на плоскости являются вершинами квадратов единичной площади лежащей внутри или на границе круга, можно поставить в соответствие такой квадрат, взяв, например, за указанную точку его «юго-западный» угол. Тогда будет равно сумме площадей этих квадратов. Некоторые из квадратов не полностью лежат внутри круга; с другой стороны, некоторая часть круга не покрывается этими квадратами. Однако так как диагональ каждого квадрата равна все квадраты.



2.8 Функции Чебышева

Вопросы распределения простых чисел в ряду натуральных принадлежат к труднейшим вопросам теории чисел; ими интересовались математики уже с древнейших времен.

Евклид в «Началах» доказал бесконечность множества простых чисел. Вопрос о том, как часто среди натуральных чисел встречаются простые числа, и как простые числа распространены среди натуральных, весьма сложен. Представим себе, что будем последовательно перебирать все натуральные числа в порядке их возрастания. Будут ли при этом простые числа встречаться сравнительно равномерно, будет ли число встречающихся простых чисел подчиняться каким-либо законам. Или окажется, что они беспорядочно разбросаны среди натуральных чисел? Обозначим через число простых чисел, не превосходящих действительное число x

С переходом от одного простого числа к следующему значение функции увеличивается на единицу; чтобы получить ее значение для нужно просуммировать эти единицы по всем простым числам, не превосходящих действительное число . Поэтому можно записать так же:

Очевидно, что с ростом функция , из теоремы Евклида следует, что она возрастает до бесконечности, . 1798 году Антуан Лежандр доказал, что с ростом Он предложил формулу, по которой можно подсчитать приближенное значение при больших значениях

На самом деле более близкое значение функции к истинным дает выражение

а еще более близкое значения к при больших значениях дает функция

что позднее предположил Гаус.

1850 году П.Л. Чебышев доказал, что, при заключена между двумя величинами

где a и bположительные постоянные. Чебышев показал, что в качестве a и b можно взять значения так, что a и b сравнительно близки к единице. В дальнейших работах были получены другие значения a и b, более близкие к единице.

Теорема Чебышев: Существуют две постоянные величины a и b, такие, что что для всех выполняются неравенства:

Работы Чебышев поставили пред математиками задачу доказать, что в данных формулах a и b, при достаточно больших значениях могут быть взяты сколь угодно близкими к единице.

т.е. получить асимптотическую формулу или асимптотический закон распределения простых чисел.

1896году не зависимо друг от друга Адамар, Валле-Пуссен была доказана теорема

Определение16: Асимптотический закон распределения простых чисел обычно записывается в виде

где обозначает количество простых чисел, не превосходящих а символ означает, что .

2.9 Дзета-функция Римана

Определение17: Дзета-функцией Римана называется функция, определенная при где , как сумма абсолютно сходящего ряда:

(1)

т.е.

Дзета-функция Римана является частным случаем, так называемых рядов Дирихле, т.е. рядов вида



В теории чисел обычно рассматриваются ряды Дирихле, где в качестве фигурируют различные числовые функции. Многие такие ряды выражаются через с помощью сравнительно простых формул.

Пример: При действительных

Ряд Дирихле (2) справа абсолютно сходится для и равномерно сходится в любой полуплоскости, где определяется как регулярно аналитическую функцию.

Утверждение(тождество Эйлера): При каждом справедливо тождество

Отсюда следует, что для

Теорема12: Если:

1°. Функция непрерывна в интервале

2°. Ряд сходится равномерно на сегменте

3°. Ряд сходится, где для любого действительного определяется равенством:

И предел существует, то имеем

Доказательство:(Бохнер). Если ?? и n - натуральные числа, то имеем

Если

причем сходимость равномерна в , то g непрерывна и периодична с периодом равным единице. Устремляя nв равенстве (5), получаем коэффициенты Фурье функции g:

По теореме Фейера ряд Фурье функции g суммируем (c;1) в каждой точке. Таким образом, при имеем . Если предположим, что сходится, то.Следовательно,

Что доказывает теорему.

содержатся внутри круга так что

Таким образом, следовательно .

Теорема доказана.



Заключение

В данной курсовой работе рассмотрели арифметические функции. Были рассмотрены важные вопросы аналитической теории чисел. Первым успехом аналитической теории чисел было применение комплексного анализа в доказательстве теоремы о распределение теории чисел. Первый результат, в проблеме распределения простых чисел сделал Евклид. Следующий шаг был сделан Чебышевым.

Рассмотрели поведение теоретико-числовых функций: функцию Эйлера ??(n), Мёбиуса µ(n), функция у(n),функцию ф(n), - функцию. Во всех этих задачах достигнуты те же результаты, что и в проблеме распределения простых чисел. Наиболее известной и до сих пор не решенной проблемой аналитической теории чисел является доказательство гипотезы Римана о нулях дзета-функции. Другой проблемой теории чисел стимулировавшей создание мощного метода, была проблема простых чисел Л. Эйлер, доказывая теорему Евклида о бесконечности числа простых чисел, рассмотрел произведение по всем простым числам р.

К. Гаусс продолжая исследования Л. Эйлера, создал теорию квадратичных форм и первыми стали рассматривать проблему о количестве целых точек в областях на плоскости. К. Гаусс доказал, что число целых точек в круге X²+Y² ? R² .



Литература

1. Бухштаб А. А. Теория чисел: Учебное пособие. 3-е изд., стер.- СПб.: Лань, 2008. - 384 с.: ил. - (Учебник для вузов. Специальная литература).

2. Грибанов В. У., Титов П. И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.: Просвещение, 1964. - 144с.

Кудреватов Г. А. Сборник задач по теории чисел. - М.: Просвещение, 1970. - 128с. математический функция риман чебышев

3. Нестеренко Ю. В. Теория чисел: учебник для студ. высш. учеб. заведений/ Ю. В. Нестеренко. - М.: Академия, 2008 . - 272с.

4. Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. - М.: Мир, 1974. - 188с.

Размещено на Allbest.ru