Уравнение линий в полярных координатах

Размещено на http://allbest.ru

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ

1.1 Полярная система координат (полярные координаты)

1.2 Полярная система координат на плоскости

1.3 Полярная система координат в пространстве

2. ЛИНИИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНИТАХ

2.1 Связь между декартовыми и полярными координатами

2.2 Уравнения линий в полярных координатах

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ



ВВЕДЕНИЕ

Существуют разные версии о введении полярных координат в качестве формальной системы координат.

Полная история возникновения и исследования описана в работе профессора из Гарварда Джулиан Лоувел Кулидж «Происхождение полярных координат». Грегуар де Сен-Венсан и Бонавентура Кавальери независимо друг от друга пришли к похожей концепции в середине XVII века. Сен-Венсан описал полярную систему в личных заметках в1625 году, напечатав свои труды в 1647; а Кавальери напечатал свои труды в 1635 году, и исправленную версию в1653 году.

Кавальери применял полярные координаты для вычисления площади, ограниченной спиралью Архимеда. Блез Паскаль впоследствии использовал полярные координаты для вычисления длин параболических дуг.

В книге «Методы флукций» (написана в 1671 году, напечатана в 1736 году) сэр Исаак Ньютон исследовал преобразование между полярными координатами, которые он обозначал как «Седьмой способ; Для спиралей» («англ. Seventh Manner; For Spirals»), и девятью другими системами координат[6].

В статье, опубликованной в1691 году в журнале Acta eruditorum, Якоб Бернулли использовал систему с точкой на прямой, которые он назвал полюсом и полярной осью соответственно.

Координаты задавались как расстояние от полюса и угол от полярной оси. Работа Бернулли была посвящена проблеме нахождения радиуса кривизны кривых, определённых в этой системе координат.

Введение термина «полярные координаты» приписывают Грегорио Фонтана. В XVIII веке он входил в лексикон итальянских авторов. В английский язык термин попал через перевод трактата Сильвестра Лакруа «Дифференциальное и интегральное исчисление», выполненного в 1816 году Джорджем Пикоком[7][8]

Для трёхмерного пространства полярные координаты впервые предложил Алекси Клеро, а Леонард Эйлер был первым, кто разработал соответствующую систему.

Благодаря радиальной природе полярной системы координат, некоторые кривые могут быть достаточно просто описаны полярным уравнением, тогда как уравнение в прямоугольной системе координат было бы намного сложнее.

Среди самых известных кривых: полярная роза, архимедова спираль, Лемниската, улитка Паскаля икардиоида, и тд.

Данная курсовая работа раскрывает понятие полярной системы координат и нахождение уравнений линий в полярных координатах, что обуславливает актуальность темы.

Тема курсовой работы: « Уравнение линий в полярных координатах»

Цель исследования: Раскрыть понятие полярной системы координат на плоскости и в пространстве и нахождения уравнения линий в полярных координатах.

Задачи:

1. Изучить полярную систему координат на плоскости и в пространстве;

2. Охарактеризовать процесс нахождения уравнения прямой в полярных координатах;

3. Применить нахождение уравнения прямой в полярных координатах на практике.

Методы иследования:

Теоретические: анализ, обобщение;

Эмпирические: изучение документации;

Статистические: обработка количественных данных.

Структура курсовой работы.

Курсовая работа состоит из введения, одной главы, заключения, списка литературы, включающего 15 наименований.

Во введении обоснована актуальность исследования, представлены данные анализа научно-теоретических предпосылок по теме курсовой работы, определены цель, сформулированы задачи, методы исследования.

В основной части рассмотрены полярная система координат на плоскости и в пространстве и нахождения уравнения линий в полярных координатах.

В заключении подведены общие итоги курсовой работы, изложены основные выводы, а так же практическая значимость работы.



1. ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ

1.1 Полярная система координат (полярные координаты)

Полярная система координат на плоскости -- это совокупность точки , называемой полюсом, и полупрямой OX, называемой полярной осью. Кроме того, задается масштабный отрезок для измерения расстояний от точек плоскости до полюса.

Как правило, на полярной оси выбирается вектор , приложенный к точке , длина которого принимается за величину масштабного отрезка, а направление вектора задает положительное направление на полярной оси (рис.1,а).

Рис. 1

Положение точки M в полярной системе координат определяется расстоянием r (полярным радиусом) от точки M до полюса (т.е. )и углом (полярным углом) между полярной осью и вектором .

Полярный радиус и полярный угол составляют полярные координаты точки M, что записывается в виде M(). Полярный угол измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси:

- в положительном направлении (против направления движения часовой стрелки), если значение угла положительное;

- в отрицательном направлении (по направлению движения часовой стрелки), если значение угла отрицательное.

Полярный радиус определен для любой точки плоскости и принимает неотрицательные значения . Полярный угол определен для любой точки плоскости, за исключением полюса , и принимает значения , называемыми главными значениями полярного угла.

В некоторых случаях целесообразно считать, что полярный угол определен с точностью до слагаемых , где . В этом случае значениям полярного угла для всех соответствует одно и то же направление радиус-вектора.

С полярной системой координат можно связать прямоугольную систему координат , начало которой совпадает с полюсом, а ось абсцисс (точнее положительная полуось абсцисс) -- с полярной осью.

Ось ординат достраивается перпендикулярно оси абсцисс так, чтобы получилась правая прямоугольная система координат (рис. 1,б). Длины базисных векторов определяются масштабным отрезком на полярной оси.

1.2 Полярная система координат на плоскости

Луч, выходящий из заданной точки О, называется полярной осью, а. точку О полюсом полярной системы координат (рис. 2). Произвольная точка плоскости имеет полярные координаты , где - расстояние от А до О , а - угол между векторами (направленным отрезком) и полярной осью, отсчитываемый от последней против часовой стрелки.

Введем прямоугольную систему координат х, у, у которой положительная ось х совпадает с полярной осью (рис. 3).



Рис. 2 Рис.3

Система уравнений

(1.1)

осуществляет преобразование полярных координат в декартовые (прямоугольные). Правые части в равенствах (1) - непрерывно дифференцируемые функции с якобианом

. (1.2)

Уравнение

,

где- непрерывная на отрезке функция, определяет в полярных координатах кривую Г - геометрическое место точек, полярные координаты которых удовлетворяют этому уравнению.Будем считать, что . Тогда кривая Г такова, что любой луч, выходящий из полюса О под углом к оси х, где пересекает Г в одной точке (рис.4).



Рис.4

Зададим в плоскости х , у область , ограниченную лучами и кривой Г.

При высказанных условиях любая точка (х, у) соответствует при помощи уравнений (1) только одной паре , где .

Пусть теперь на замыкании нашей области задана непрерывная функция f(x,y) от (x,y) или она может быть ограниченной на и непрерывной всюду, исключая отдельные точки и гладкие линии.

Тогда имеет место равенство

. (1.3)

Согласно формуле (2) мы заменили x,y через посредством равенства (1) и ввели в качестве множителя абсолютную величину якобиана ||=.

Для области пар , соответствующей исходной области , сразу же расставлены пределы - сначала интегрируем по от 0 до , а затем по от до .

Пример 1.1.

Мы следовали формуле (3). Надо учесть, что область, определяемая в декартовых координатах неравенством , в полярных координатах определяется неравенством .

Формулу (3) можно получить из естественных соображений, не прибегая к общей формуле (2)

Плоскость x,y разбиваем на элементарные фигуры близкими концентрическими окружностями и выходящими из полюса полярной системы лучами (рис. 5).

Рис. 5 Рис.6

Площадь произвольной элементарной фигуры (возле точки ) или, как говорят, элемент площади в полярных координатах, равна с точностью до бесконечно малых высшего порядка (заштрихованная фигура на рис. 5 может быть приближенно принята за прямоугольник со сторонами и ).

Поэтому, если просуммировать по этим элементам, то получим

,

где

.

Пример 1.2: Вычислить интеграл

.

Переходя к полярным координатам (рис. 6), получаем

1.3 Полярная система координат в пространстве

Система уравнений

(1.4)



осуществляет переход от полярных (сферических) координат в пространстве к декартовым (рис. 7).

Рис. 7 Рис.8

Здесь - расстояние точки Р(х,у,z) до начала координат (полюса полярной системы), - угол между радиус-вектором точки P и его проекции на плоскость - угол между указанной проекцией и положительным направлением оси x.

Его отсчитывают в том направлении, в котором надо вращать вокруг оси z ось x, чтобы прийти к оси y кратчайшим путем. Можно считать, что и .

Функции справа в (1) непрерывно дифференцируемы с якобианом

. (1.5)



Пусть есть поверхность, описываемая в полярных координатах функцией , непрерывной на замыкании области и пусть - трехмерная область пространства (x,y.z), ограниченная поверхностью и конической поверхностью, лучи которой выходят из нулевой точки и опираются на край (рис. 8).

Тогда для непрерывной на функции f(x,y,z) имеет место равенство

, (1.6)

где .

Мы воспользовались общей формулой (3), учитывая равенство (4) и (5). В данном случае , поэтому .

Чтобы наглядно получить элемент объема в полярных координатах, рассечем пространство на малые части концентрическими шаровыми поверхностями с центром в полярном полюсе (точке ), плоскостями, проходящими через ось z, и коническими поверхностями, определяемыми углами и (рис. 9), имеющими своей осью ось z.

Легко видеть, что полученные при этом малые ячейки можно считать приближенно прямоугольными параллелепипедами с ребрами , поэтому их объем, с точностью до бесконечно малых высшего порядка,

,

где - одна из точек ячейки.



Рис. 9

Пример 1.3. Вычислить тройной интеграл

,

где - область точек с положительными координатами, ограниченная поверхностями x=0, y=0, z=0, .

Введем полярные (сферические) координаты по формулам (1), тогда для области :. Согласно формуле (3) имеем



2. ЛИНИИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНИТАХ

2.1 Связь между декартовыми и полярными координатами

Пару полярных координат и можно перевести в Декартовы координаты x и y путём применения тригонометрических функций синуса и косинуса:

x=r cosц

y=r sinц (2.1)

Эти формулы позволяют найти прямоугольные координаты по известным полярным координатам. Обратный переход выполняется по формулам:

(2.2)

Равенства (2.1) и (2.2) определяют полярный угол с точностью до слагаемых , где . При из них следует, что . Главное значение полярного угла находится по формулам (рис. 10):



Рис. 10

Если на плоскости задана правая прямоугольная система координат, то, приняв положительную полуось абсцисс за полярную ось, получим полярную систему координат {связанную с данной прямоугольной).

В то время как две декартовы координаты x и y могут быть переведены в полярную координату r:

(по теореме Пифагора).

Для определения угловой координаты следует принять во внимание два следующих соображения:

· Для , может быть произвольным действительным числом.

· Для , чтобы получить уникальное значение , следует ограничиться интервалом в .

· Обычно выбирают интервал или .

Для вычисления в интервале , можно воспользоваться такими уравнениями ( обозначает обратную функцию к тангенсу):



Для вычисления в интервале , можно воспользоваться такими уравнениями:

Замечание 2.1.

1. Главное значение полярного угла можно выбрать иначе, например, .

2. Расстояние между двумя точками и (длина отрезка ) вычисляется по формуле

(2.3)

что следует из теоремы косинусов (рис.11).

3. Ориентированная площадь параллелограмма (рис. 11), построенного на радиус-векторах и , находится по формуле



(2.4)

Она положительна, если (при этом ориентация пары радиус- векторов и правая), и отрицательна, если (ориентация пары радиус-векторов и левая).

Рис. 11

Пример 2.1. В полярной системе координат :

а) изобразить координатные линии r=1, r=2, r=3,;

б) изобразить точки с полярными координатами . Найти главные значения полярных углов этих точек;

в) найти прямоугольные координаты точек .

Решение. а) Координатные линии r=1, r=2, r=3 представляют собой окружности соответствующих радиусов, а линии , и -- полупрямые (рис. 12,а).

б) Построим точки и (рис.12,б,в). Их координаты отличаются полярным углом, однако, имеют одно и то же главное значение . Следовательно, это одна и та же точка, которая совпадает с точкой , изображенной на рис. 12,а.

в) Учитывая пункт "б", найдем прямоугольные координаты точки M. По формулам (2. 7) получаем:

то есть

Рис. 12

Пример 2.2. Даны полярные координаты и точек и (рис.2.32). Требуется найти:

а) скалярное произведение ;

б) длину отрезка ;

в) внешнее произведение ;

г) площадь треугольника ;

д) координаты середины отрезка в прямоугольной системе координат, связанной с данной полярной.

Решение. а) По определению скалярного произведения находим



б) Находим длину отрезка (см. замечание 1.8):

в) Внешнее произведение находим как ориентированную площадь параллелограмма, построенного на векторах и :

Площадь положительная, так как векторы и образуют правую пару .

г) Площадь треугольника находим как половину площади параллелограмма, построенного на радиус-векторах и . Так как (см. пункт "в"), то

.

д) Находим прямоугольные координаты точек и :

а затем координаты середины отрезка (см. замечание 2.1):



2.2 Уравнения линий в полярных координатах

По существу, уравнение линии в полярной системе координат представляет собой функцию полярного радиуса от полярного угла (аргумента). При этом полярный угол учитывается в радианах и непрерывно принимает значения от 0 до (иногда следует рассмотреть до бесконечности, или же в ряде задач для удобства от до ).

Каждому значению угла «фи», которое входит в область определения функции , соответствует единственное значение полярного радиуса.

Примером полярной кривой является Архимедова спираль r=ц.

На следующем рисунке изображен её первый виток - когда полярный радиус вслед за полярным углом принимает значения от 0 до :

Спираль Архимеда: Одна из ветвей спирали Архимеда, задаваемая уравнением

r (ц)=ц

для 0<и<6р.

а) б)

Рис. 13



Архимедова спираль названа в честь её изобретателя, древнегреческого математика Архимеда.

Эту спираль можно определить с помощью простого полярного уравнения:

r(ц)=a+bц (2.5)

Изменения параметра приводят к повороту спирали, а параметра -- расстояния между витками, которое является константой для конкретной спирали.

Спираль Архимеда имеет две ветви, одну для а другую для . Две ветви плавно соединяются в полюсе.

Зеркальное отображение одной ветви относительно прямой, проходящей через угол 90°/270°, даст другую ветвь. Эта кривая интересна тем, что была описана в математической литературе одной из первых, после конического сечения, и лучше других определяется именно полярным уравнением.

Окружность: Круг, заданный уравнением

r (ц)=1.

Рис.14



Общее уравнение окружности с центром в () и радиусом имеет вид:

(2. 6)

Это уравнение может быть упрощено для частных случаев, например является уравнением, определяющим окружность с центром в полюсе и радиусом .^[14]

Прямая: Радиальные прямые (те, которые проходят через полюс) определяются уравнением ц=0 где -- угол, на который прямая отклоняется от полярной оси, то есть, где -- наклон прямой в прямоугольной системе координат. Нерадиальная прямая, перпендикулярно пересекает радиальную прямую в точке определяется уравнением

(2. 7)

Полярная роза задана уравнением

. (2. 8)

Рис.15



Полярная роза -- известная математическая кривая, похожая на цветок с лепестками. Она может быть определена простым уравнением в полярных координатах:

для произвольной постоянной (включая 0).

Если -- целое число, то это уравнение будет определять розу с лепестками для нечётных , либо с лепестками для чётных .

Если -- рациональное, но не целое, график, заданный уравнением, образует фигуру, подобную розе, но лепестки будут перекрываться.

Если -- иррациональное, то роза состоит из бесконечного множества частично накладывающихся друг на друга лепестков.

Розы с 2, 6, 10, 14 и т. д. лепестками этим уравнением определить невозможно.

Переменная определяет длину лепестков. Если считать, что радиус не может быть отрицательным, то при любом натуральном мы будем иметь -лепестковую розу. Таким образом, уравнение

будет определять розу с двумя лепестками.

С геометрической точки зрения радиус -- это расстояние от полюса до точки и он не может быть отрицательным.

Трехлепестковая роза- является частным случаем полярной розы.

Трехлепестковая роза задается уравнением



Рис.16

Эллипс. Коническое сечение, один из полюсов которого находится в полюсе, а другой где-то на полярной оси (так, что малая полуось лежит вдоль полярной оси) задаётся уравнением:

(2. 9)

где -- эксцентриситет, а -- фокальный параметр. Если , это уравнение определяет гиперболу; если , то параболу; если , то эллипс. Отдельным случаем является , определяющее окружность с радиусом .

Лемнискамта (от лат. lemniscatus -- «украшенный лентами») -- плоская алгебраическая кривая порядка , у которой произведение расстояний от каждой точки до заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.



Рис.17

Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами равняется , расположены они на оси , и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:

· в прямоугольных координатах:

Проведя несложные преобразования, можно получить явное уравнение:

· в полярных координатах:

Кардиоида -плоская линия, которая описывается фиксированной точкой окружности, катящейся по неподвижной окружности с таким же радиусом^[1]. Получила своё название из-за схожести своих очертаний со стилизованным изображением сердца.

Рис.18

Кардиоида является частным случаем улитки Паскаля, эпициклоиды и синусоидальной спирали.

Пусть - радиус окружностей, начало координат находится в крайней правой точке горизонтального диаметра неподвижной окружности. Тогда уравнения кардиоиды можно записать в следующих формах:

В прямоугольных координатах:

В прямоугольных координатах (параметрическая запись):

В полярных координатах^[2][1]:



Астромида (от греч. буфспн -- звезда и ейдпт -- вид, то есть звездообразная)[1]-- плоская кривая, описываемая точкой окружности радиуса r, катящейся по внутренней стороне окружности радиуса . Иначе говоря, астроида -- это гипоциклоида с модулем k =4.

Рис.19

Уравнение в декартовых прямоугольных координатах:

Параметрическое уравнение:

Астроида также является алгебраической кривойрода 1 (и шестого порядка). Уравнение в алгебраическом виде:

Пример 2.3.Составить уравнение прямой линии в полярных координатах.

Решение. Поместим полюс полярной системы координат в начало прямоугольной системы координат, полярную ось совместим с положительной полуосью абсцисс (см. рис. 17).

полярный декартовый спираль кардиоида

Возьмем уравнение прямой в нормальном виде

x cosб+y sinб - p =0

Формулы перехода имеют вид

x=r cosц, y= r sinц

Подставив в это уравнение значения x и y из формулы (2.1), получим

r cosц cosб + r sinц sinб -p =0

Или

r(cosц cosб + sinц sinб)-p=0

Откуда

r cos(ц-б)=p

и окончательно

r =p/cos(ц-б) .



В этом уравнении постоянными величинами являются p и б, величины же r и ц - переменные: это текущие полярные координаты точки на прямой (последняя формула может быть получена также из чертежа).

Пример 2.4. Построить кривую r = a cos 2ц и найти ее уравнение в прямоугольной системе координат.

Решение. Будем давать значения полярному углу ц отц=0 до ц=2р через промежуток б=р/8 и вычислим соответствующие значения r. Найденные значения поместим в таблицу. Примем произвольный отрезок за единицу масштаба, которой будем пользоваться при построении r. По значениямr и ц из таблицы построим точки, соответствующие каждой паре чисел r и ц, и соединим их плавной кривой.

ц	2ц	r=a*cos 2ц
0	0	a
р/8	р/4
р/4	р/2	0
3 р/8	3р/4
р/2	р	- a
5р/8	5 р/4
3р/4	3р/4	0
7р/8	7р/4
р	2р	a
9р/8	9р/4
5р/4	5р/2	0
11р/8	11р/4
3р/2	3р	- a
13р/8	13р/4
7р/4	7р/2	0
15р/8	15р/4
2р	4р	a

Построение кривой показано на следующих рисунках:

На рисунке кривые, построенные на различных этапах, соединены в одну. Полученная кривая называется четырехлепестковой розой.

Теперь найдем уравнение четырехлепесковой розы в прямоугольной системе координат, причем напоминаем, что начало прямоугольной системы координат помещено в полюс полярной системы координат, а ось абсцисс направлена вдоль полярной оси.

Учитывая, что cos2ц=cos²ц-sin²ц , уравнение четырехлепестковой розы r = a cos2ц перепишем в виде r=a(cos²ц-sin²ц ).

Подставляя сюда формулы перехода



Возводя обе части последнего уравнения в квадрат, получим окончательно

(x² + y²)³ = a²(x² - y²)².

Пример 2.5. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется:

1) построить линию по точкам начиная с до и придавая значения через промежуток ;

2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс - с полярной осью;

3) по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.



Решение: Построим линию по точкам, предварительно заполнив таблицу значений r и :

Используя данные таблицы, строим линию:



Найдем уравнение данной линии в декартовой системе координат:

Полученная линия - эллипс



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В полярной системе координат, в отличии от прямоугольной, некоторые кривые могут быть достаточно просто описаны полярным уравнением.

В данной курсовой работе мы исследовали полярную систему координат на плоскости и в пространстве, рассмотрели связь между декартовыми и полярными координатами, а так же уравнения линий в полярных координатах; рассмотрели несколько примеров по нахождению уравнения линий в полярных координатах



Библиоргафия

1) Математическая энциклопедия (в 5-ти томах). -- Москва: «Советская Энциклопедия». -- Т. 3, (Коо-Од). -- С. 234.

2) Маркушевич А. И. Замечательные кривые. -- Гостехиздат, 1952. -- 32 с. -- (Популярные лекции по математике, выпуск 4)

3) Савелов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения (справочное руководство). -- М.: Физматлит, 1960. -- С. 230--233. -- 293 с.. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7.

4) Кардиоида // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. -- М.: Педагогика, 1985. -- С. 130-131. -- 352 с.

5) Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. -- 3-е изд., испр. -- М.: ЛКИ, 2008. -- 248 с. -- ISBN 978-5-382-00839-4.

6) http://www.mathprofi.ru/poljarnye_koordinaty.html

7) Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. - М., 1973 г. - 872 с.

8) Полный курс современного рукоделия. - Издательство: Харвест, 2007 г, 336 с.

Размещено на Allbest.ru