Построение нелинейной и линейной модели поведения гидравлической системы и ее оценка при различных номинальных режимах

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

1. Описание процесса

Объект моделирования - две гидравлические ёмкости, соединенные последовательно с замкнутыми геометрическими пространствами над жидкостью с притоком ниже уровня жидкости в аппарате и естественным стоком при атмосферном давлении.

Рисунок 1 - Объект моделирования где: P1 - избыточное давление на входе в первую емкость; Q1 - расход на входе в первую ёмкость; Р - давление газа в трубке; Р2 - сумма гидростатического давления уровня жидкости в первой емкости и давления газа в соединительной трубе; Q2 - расход на стоке; Q3 - промежуточный расход; h1 - высота уровня жидкости в первой емкости; h2 - высота уровня жидкости во второй емкости; б1 - коэффициент расхода на входе; б2 - промежуточный коэффициент расхода; б3 - коэффициент расхода на стоке

Жидкость подается в ёмкости под давлением P1. За счет этого в ёмкостях создается необходимый уровень, который регулируется при помощи изменения коэффициентов расходов б1, б2, б3. Таким образом, главными выходными параметрами системы являются высоты уровней h1, h2.

Цели моделирования:

- Сравнить нелинейную и линейную модели при различных номинальных режимах.

- Оценить влияние параметров объекта моделирования на его статические и динамические характеристики (геометрические размеры, давление в камере, неуравновешенное усилие от потока среды).

2. Вывод нелинейной математической модели

2.1 Формулировка системы допущений

Для построения математической модели примем следующие допущения:

1. Считаем плотность жидкости ж постоянной величиной, при постоянной температуре, т. к. жидкости мало сжимаемы и имеют малый объемный коэффициент расширения, что позволяет не рассматривать изменение плотности жидкости ж при изменении давления.

2. Температуры жидкости и воздуха в емкости считаем постоянными, что позволяет пренебречь изменениями давления воздуха при колебаниях температуры и считать температуру, при которой емкость заполняется жидкостью равной температуре, при которой объект работает (температуры окружающей среды малы).

1. Давление на выходе из трубопровода - атмосферное, принимаем его за ноль.

2. Давление Р1 - постоянно.

3. Для емкостей выбираем цилиндрическую форму, при которой площадь поперечного сечения постоянна, что позволит не учитывать изменение площади поперечного сечения емкостей с изменением высоты.

1. Других гидравлических сопротивлений, кроме ёмкостей и вентилей регулирования расхода, нет.

2. Утечки из емкостей отсутствуют.

2.2 Модель статики

Для расчетов по математическим моделям принимаем следующие числовые значения:

Задаемся расходами Q1, Q2 и Q3 , давлениемP1, значениями уровней h1 и h2, Н1, Н2, радиусами емкостей r1, r2 и находим коэффициенты б, давление Р, площади сечений емкостей S1, S2:

r = r1 = r2 = 1,5м

S = S1 = S2 = р·r2м2

S= 3.14·(1,5)2 = 7.065

Н1= Н2 = 10м

Из закона PV=P1V1, выразим давление газа P в трубке.

Для первого состояния (когда емкости не заполнены жидкостью):

P1·V=M·R·T (1)

Здесь:

P1 - давление газа до заполнения емкости, оно равно атмосферному давлению Paтм,

V - суммарный объем емкостей,

V= V1+V2, V1=S1·H1, V2=S2·H2

H - высота емкости,

S - площадь сечения емкости,

M- масса воздуха,

R-газовая постоянная воздуха,

T-температура воздуха.

Для второго состояния (когда емкости заполнены жидкостью):

P2·V`=M·R·T (2),

Здесь: V` - объем газа после заполнения емкостей жидкостью:

V`=V1`+V2`=S1(H1-h1)+S2(H2-h2),

h-уровень жидкости в емкости.

Так как масса газа не изменяется (нет утечек, растворения газа в воде и т. д.), температура постоянна, состав газовой смеси не изменяется (M=const), то из (1) и (2) получим:

Paтм (S1·H1+S2·H2)=P2 (S1 (H1-h1) +S2· (H2-h2)) (3)

Из (3) выразим нужное нам давление Р:

Материальный баланс в статике:

Q1 = Q2 = Q3

Приравняв к нулю члены с производными по времени, получаем систему уравнений, описывающую статику объекта:

Q1 = Q2

Q2 = Q3

Нахождение коэффициентов расхода б1, б2, б3 в номинальном режиме:

Из системы уравнений выразим параметр уровня, который требуется определить в статике.

Для решения системы уравнений используем пакет Mathcad.

Зависимость уровней h1,h2, P при изменении коэффициента расхода б1.

Таблица 1

Таблица 2

При изменении заданного номинальных значений коэффициентов гидравлического сопротивления б1 и б3 в диапазоне ±10 % значения уровней жидкости h1 и h2 не достигают предельных значений, соответствующих нулевому значению уровней и максимальной высоте емкости .

3. Исследование нелинейной модели в динамическом режиме

Материальный баланс в динамике:

Допустим, что изменился во времени один из входных потоков:

Так как приращения не равны, то в емкостях будет накапливаться жидкость.

Дm1 = (Q1 - Q2)Дt

Дm2 = (Q2 - Q3)Дt

Дm1 = сSДh1

Дm2 = сSДh2

За время t в емкостях накопится:

Так как:

То получим баланс вещества в приращениях в динамике:

расходы, входящие в это выражение:

Подставив полученные выражения в формулу баланса в приращениях, получим математическую модель вещества в динамике:

Таким образом, получили систему дифференциальных уравнений динамики системы:

Исследование зависимости значений уровней h1 и h2 в соответствующих емкостях от изменения коэффициентов расхода б1, б3 в динамике:

Для решения нелинейных дифференциальных уравнений используем функцию «rkfixed», пакета MathCAD, данная функция реализует решение задачи на отрезке методом Рунге - Кутта с постоянным шагом.

Синтаксис функции «rkfixed»:

Где

Z - возвращаемая функцией «rkfixed» матрица решений, состоящая из столбцов (где - количество уравнений в системе) и строк, в первом столбце находятся значения переменной, во втором и последующих столбцах соответствующие значения приближенного решения;

Здесь:

- вектор начальных условий;

- начальная точка отрезка;

- конечная точка отрезка;

- число узлов на отрезке ;

- векторная функция правых частей уравнений системы.

Найдем зависимость значений уровней h1 и h2 при изменении значения коэффициента расхода б1 в интервале ± 10% от номинального режима в динамике, при изменении времени от 0 до 2000 сек.

Таким же образом записываем для б1: , ,,.

Аналогично находим зависимости значений уровней h1 и h2 при изменении значения коэффициента пневматического сопротивления б3 в интервале ± 10% от номинального режима в динамике, при изменении времени от 0 до 2000 сек.

4. Линеаризация полученной нелинейной модели в динамке и сравнение линейной и нелинейной моделей

Вывод линеаризованной модели в динамике.

Линеаризация дифференциального уравнения, описывающего динамику изменения значения уровня жидкости в первой емкости.

,

Где:

Величины , , , , соответствуют значениям величин в заданном статическом режиме. Величины , , , и соответствуют приращению величин во времени.

Линеаризация производится путем разложения в ряд Тейлора полученного нелинейного дифференциального уравнения и дальнейшим отбрасыванием малых величин большего порядка малости.

Линеаризуя первое дифференциальное уравнение получим:

Находим коэффициенты , , , , , выполнив следующее:

Обозначим правую часть нелинейного дифференциального уравнения следующим образом:

Находим частные производные по каждому входному воздействию.

Перенесем член в левую часть уравнения:

Поделим правую и левую части уравнения на :

Введем новые обозначения:

.

С учетом новых обозначений получим первое линеаризованное уравнение:

Линеаризация дифференциального уравнения, описывающего динамику изменения значения уровня жидкости во второй емкости.

Где:

Величины , , и соответствуют значениям величин в заданном статическом режиме. Величины , , и соответствуют приращению величин во времени.

Линеаризация производится путем разложения в ряд Тейлора полученного нелинейного дифференциального уравнения и дальнейшим отбрасыванием малых величин большего порядка малости.

Линеаризуя второе дифференциальное уравнение получим:

.

Находим коэффициенты , , , , выполнив следующее:

Обозначим правую часть нелинейного дифференциального уравнения следующим образом:

.

Находим частные производные по каждому входному воздействию.

Перенесем член в левую часть уравнения:

Поделим правую и левую части уравнения на :

Введем новые обозначения:

.

С учетом новых обозначений получим второе линеаризованное уравнение:

Линейная модель объекта в динамике имеет следующий вид:

динамический статика нелинейный

Полученная линейная модель объекта в динамике достаточно точная, поэтому в случае проектирования системы автоматического регулирования для данного аппарата предпочтительнее будет использовать линеаризованную модель.

Список литературы

1. Моделирование процессов и систем: Учеб.пособие / В.Л. Волков; Нижегород. гос. тех. ун-т. Н.Новгород, 2005 - 80с.

2. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: Учеб. для вузов -- 3-е юд., перераб. и доп. -- М.: Высш. шк., 2001. -- 343с.

3. Авдеев О.Н., Мотайленко Л.В. Моделирование систем: Учебное пособие. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2001.

4. Романовский П.И., Игнатьева А.В., Краснощекова Т.И., Смирнов В.Ф. Курс высшей математики: Учебное пособие. - М.: Высшая школа, 1964. - 684с.

5. Л.И. Лопатников Экономико-математический словарь. АН СССР, ЦЭМИ./Под ред. академика Н.П. Федоренко. - М.: Наука, 1987.

6. Настин Ю.Я. Математическое моделирование в экономике и финансах: Учебное пособие. Калининград, 2003.

7. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. -- 2-е изд., перераб. и доп. -- М.: Финансы и статистика, 2006.

Размещено на Allbest.ru