Дискретные и непрерывные случайные величины

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Производная функции: определение, геометрический и механический смыслы

Определение. Производной функции в точке x0 называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, при стремлении приращения аргумента к нулю.

Обозначения производной:

Операция нахождения производной данной функции называется дифференцированием функции. Если существует конечный предел, то говорят, что функция дифференцируема в данной точке (имеет производную).

Скорость движения, механический смысл производной

Рассмотрим неравномерное прямолинейное движение некоторого твердого тела (точки), считая, что путь зависит от времени по закону

S = f (t) .

Пусть в некоторый момент времени t точка находилась на расстоянии S от некоторого начального положения, а в некоторый следующий момент t + t точка оказалась на расстоянии S + S от начального положения.

Нас будет интересовать скорость перемещения точки в момент времени t или мгновенная скорость.

Определим среднюю скорость движения точки за время t



Средняя скорость не может во всех случаях точно охарактеризовать быстроту перемещения точки в момент t. Для того, чтобы точнее выразить эту истинную (мгновенную) скорость с помощью редней скорости, надо взять меньший промежуток времени t . Наиболее полно характеризует скорость движения точки в момент t тот предел, к которому стремится средняя скорость при t 0 . Этот предел и называют мгновенной скоростью движения:

Такой предел называют производной данной функции S в данной точке t и обозначают:

Таким образом, мгновенная скорость движения есть

механический смысл производной: мгновенная скорость неравномерного прямолинейного движенияесть производная от пути по времени.

геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью Ox и касательной к графику функции в данной точке.

y`(xo ) = tg

2. Основные правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций

Основные правила дифференцирования

1.Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций т.е.:

2. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна

произведению производной первой функции на вторую функцию плюс

произведение производной второй функции на первую функцию, т.е.:

3. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е.:

4. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждой из них на все остальные, т.е.:



5. Производная частного двух дифференцируемых функций определяется формулой:

3. Производные высших порядков

Производную y' = f'( x ) функции у = f (x) называют первой производной этой функции или производной первого порядка.

Определение. Производная от первой производной функции y' = f'(x) называется второй производной или производной второго порядка и обозначается как у" или f" (x).

По определению

у " = (у ') '(1) Для второй производной используется также обозначение ,

указывающее, что функция у = f (x) была продифференцирована по x два раза. Механический смысл второй производной - вторая производная от пути по времени есть ускорение

S'' (t) = (S'(t)) ' = V' (t) = a .

Производная от второй производной называется третьей производной функции у = f (x) (или производной функции третьего порядка) и обозначается символом у''' или

у''' = (у ") '.

Производная n-ого порядка функции у = f (x) (n-я производная) есть производная от (n - 1) -ой производной:

Производные, начиная со второй, называются производными высшего порядка.

Пример 1. Найти производную n-ого порядка функции у = exx.

Решение.

4. Правило Лопиталя и его применение к вычислению пределов

При исследовании функции может появиться необходимость нахождения предела дроби , числитель и знаменатель которой при x->a

стремятся к нулю или к бесконечности. Нахождение таких пределов называют раскрытием неопределенностей соответствующего вида. Основой его является правило Лопиталя, выражаемое следующей теоремой.

Теорема. Если функции f (x) и g (x) дифференцируемы в окрестности точки x = a, обращаются в нуль в этой точке, и существует предел от- r f'( x) ношения при x -> a, то существует и предел отношения самих функций, равный отношению производных, т.е.:

Замечания:

1. Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей

2. Правило Лопиталя (13) справедливо и для случая, когда

3. Правило Лопиталя можно применять повторно, если производные функций удовлетворяют условиям, сформулированным для функций.

Решение. При х -> -5 числитель и знаменатель данной дроби стремятся нулю, т.е. вычисление предела сводится к раскрытию неопределенности типа и мы можем применить правило Лопиталя.

Вычисляя предел по правилу Лопиталя, получим

6) Приложения производной к исследованию функций: аналитические признаки возрастания и убывания функций, исследование функции на экстремум.

Аналитические признаки возраст/убыв(монотонности)функции

Если функция y f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале(a,b),причем f(x)0 (f(x)0)для axb,то

эта функция возрастает (убывает) на отрезке [a, b].

Таким образом, знак производнои? позволяет определить, возрастает

или убывает функция в заданном интервале:

если y 0 y (функция возрастает);

если y 0 y (функция убывает).

Теорема: если ф-я возрастает, то производная функции положительна, и наоборот

Экстремумы функции

Определение. Экстремумами называют локальные максимумы и минимумы функции.

Теорема. Необходимое условие существования экстремума.

Если функция y=f(x) имеет экстремум в точке х, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует. Точки, в которых производная равна нулю или не сущ, наз стационарными(критическими)точками производной.

Критические точки- точки “подозрительные” на экстремумы.

Если функция достигает экстремума в какои-либо точке, то это мо- жет случиться только в критической точке. Но условие не является достаточным для существования экстремума, т.е. обратное утверждение не верно:не при всяком знач х, при которм производная обращ в нуль, обязательно ceo макс или мин функции.

Теорема 2: 1-ое достаточное условие cущ экстремума

Если в точке х=х0 прозводная функции y f (x)>0 и меняет знак при переходе через эту точку, то точка х=х0 явл точкой экстремума, причем если производная меняеет знак с + на - , то х0-точка макс, а если с - на +, то х0- точка мин.

Теорема 3: 2-ое достаточное условие сущ экстремума

Если в точке х=х0 первая производная =0, а ее вторая производная отлична от нуля, то точка х0- точка экстремума, причем если у,,(х0)<0, то х0-точка макс; а если у,,(х0)>0, то х0-точка мин.

7)Выпуклость, вогнутость и точки перегиба плоской кривой. Аналитические признаки выпуклости и вогнутости функции. Исследование функции на точки перегиба: необходимое и достаточное условия существования точек перегиба.

Рассмотрим на плоскости кривую, являющуюся графиком однозначнои? дифференцируемои? функции y f ( x) .

Определение. Кривая y f (x) называется выпуклои? на интервале (a, b), если все точки кривои? лежат ниже любои ее касательнои на этом интервале. Кривая называется вогнутои? на интервале (a, b), если все точки кривои лежат выше любои ее касательнои на этом интервале. (выпуклая,когда y<0(знак -), вогнутая, когда y>0(знак +))

Знак второи? производнои? функции y f (x) позволяет определить, выпукла или вогнута кривая графика функции в заданном интервале.

Теорема. Аналитич признаки вып/вогн

Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции y f (x) отрицательна (положительна), то кривая y f (x) на этом интервале выпукла (вогнута), т.е.:

если y0кривая выпукла; (1)

если y 0 кривая вогнута. (2)

Определение. Точка кривои?, отделяющая ее выпуклую часть от вогнутои?, называется точкои? перегиба кривои?.

Теорема 2. Необходимое условие существования точки перегиба.

Если кривая y=f(x) имеет перегиб в точке х, то вторая производная функции y в этой точке равна нулю или не существует, т.е.:

если х0-точка перегиба, то игрик штрих(х)=0 или не существует (3) (необходимое усл ceo точки перегиба)

Условие (3) не явл доствточным для ceo точки перегиба, поэтому обратное утверждение неверно.

Определение. Точка, в которой два произведения равны нулю-критическая

Теорема 3. Добавочное условие существования точки перегиба

Если в точке х вторая производная у, обращается в нуль и меняет знак при переходн ерез нее, то х-точка перегиба кривой у=f(x)

Пример :

Найти точки перегиба и определить интервалы вогнутости и выпуклости кривой y=x3

1. Найдем первую и вторую производные (y,=3x2 ; у,,=6х)

2. Найдем критические точки второй производной. Вторая производная ceo всюду. Найдем точки, в которых у,,=0: 6х=0 и х=0

3. Исследуем знак второй производной слева и справа от критической точки х=0.

При х<0 имеем у,,<0-кривая выпукла

При х>0 имем у,,>0-кривая вогнута

Вторая производная меняет знак при переходе через точку х=0, следовательно, при х=0 на кривой имеется точка перегиба, координаты которой (0;0)

5. Интегралы от основных элементарных функций

В приведенной ниже таблице основных интегралов u может обозначать

как независимую переменную, так и функцию от независимой переменной

u = ц (x) , т. е. таблица написана с учетом свойства инвариантности (9).

Таблица основных интегралов

Таблица неопределённых интегралов

Правила интегрирования

Методы интегрирования (метод замены переменой и интегрирование по частям).

Метод замены переменной

Наиболее общим приемом интегрирования функций является метод замены переменной (метод подстановки), который применяется тогда, когда искомый интеграл ? f (x)dx не является табличным, но путем ряда преобразований он может быть сведен к табличному интегралу.

Способ подстановки основан на применении следующей формулы:

где для перехода от переменной x к переменной t используются формулы:

Часто употребляется обратная замена переменной, т.е. подстановка

Интегрирование по частям

Пусть u = u(x) и v = v(x)- две дифференцируемые функции от x .

Дифференциал произведения двух функций uv вычисляется по формуле

d(uv)= udv + vdu .

Интегрируя, получаем uv = ?udv + ?vdu , или

?udv = uv - ?vdu

Формула (13) называется формулой интегрирования по частям. Этой

формулой пользуются тогда, когда интеграл ?udv невозможно свести к табличному интегралу с помощью подстановки или труднее найти, чем интеграл ? vdu . дифференцирование интеграл вероятность комбинаторика

Метод интегрирования по частям применяют при вычислении интегралов вида:

6. Определенный интеграл: определение, свойства, геометрический смысл

Определение. Определенным интегралом от функции f (x) на отрезке [a,b] называется конечный предел ее энной интегральной суммы, когда число элементарных отрезков неограниченно возрастает, а длина наибольшего из них стремится к нулю.

Из определения следует, что определенный интеграл зависит только от вида функции f (x) и пределов интегрирования, но не зависит от переменной интегрирования, которую можно обозначить любой буквой, т.е.:

Функция, для которой существует предел (2), называется интегрируемой на отрезке [a,b].

Основные свойства определенного интеграла

Это понятно и с геометрической точки зрения: основание криволинейной трапеции имеет длину, равную нулю, следовательно, и площадь ее рана нулю.

Теоретически ОИ равен значению первообразной от подинтегральной функции на верхнем пределе интеграла минус значение первообразной на нижнем пределе интеграла

7. Методы интегрирования в опреленном интеграле

Основные понятия теории вероятностей: случайные события - понятие, виды случайных событий; вероятность случайного события. Основные аксиомы теории вероятностей.

Случайное событие - всякое событие, которое в результате испытания может произойти, либо не произойти.

Виды событий

· Достоверным называется событие U, которое обязательно должно произойти в результате опыта.

· Невозможным называется событие V (или Ш), которое заведомо не может произойти в результате опыта.

· Два события называются несовместными, если при испытании появление одного из них исключает появление другого. (Другими словами, одновременное появление событий в одном испытании невозможно).

· Два события называются совместными, если при испытании появление одного из них не исключает появления другого.

· События называются равновозможными, если они имеют одинаковую объективную возможность появления в опыте, в противном случае события называются не равновозможными.

· Полной группой событий называется несколько событий таких, что в результате опыта непременно произойдет хотя бы одно из них.

Способы непосредственного вычисления вероятности: классическая, статистическая, геометрическая вероятности.

1) Классический способ.

Если исходы опыта можно представить в виде полной группы попарно несовместных событий (случаев), то вероятность события А может быть возможна по формуле:

Р(А)=m/n

n - общее число

m - число благоприятных событий

2) Геометрический способ.

Вероятность попадания точки, брошенной наугад в область g , часть области G.

P(A) = g/G

g - область, соответствующая событию А

G - область, соответствующая всем исходам

3) Статистический способ.

если n - число опытов то m - число появления события А.

8. Основные элементы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания

1) Перестановки.

Перестановками из элементов называются различные комбинации, отличающиеся друг от друга только порядком расположения (в каждой комбинации участвуют все элементы).

Pn - число перестановок из n элементов

Pn = 1х2х3х…х n = n! (факториал)

2) Размещения.

Размещениями из n элементов по m элементов (m<n) называются все возможные комбинации из этих элементов, содержащие по m элементов в каждой, и различающихся между собой элементами или их расположением (порядок элементов в группе важен!).

Amn = Pn/Pn-m = n!/(n-m)!

3) Сочетания.

Сочетаниями из n элементов по m элементов называются все комбинации, содержащие по m элементов в каждой, и отличной друг от друга по крайней мере одним элементом ( порядок элементов не важен).

С mn - число сочетаний (m<n)

С mn = Amn/Рm = n! / m! (n - m)!

Операции с событиями: сумма и произведение событий.

1) Суммой 2х событий А и В называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий: или А или В, или обоих событий вместе.

Обозначения: А+В; АUВ; А или В

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них.

А1+А2+…+Аn

2) Произведением 2х событий А и В называется событие, состоящее в совместном появлении событий: и А и В одновременно.

Обозначения: АхВ; А?В; А и В

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении этих событий.

А1хА2х…хАn

Теорема сложения вероятностей для несовместных событий

Теорема 1 : вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Теорема 1' : вероятность суммы событий Аi от 1 до n равна сумме вероятностей этих событий.

P(A 1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)



9. Теорема сложения вероятностей для совместных событий

Теорема 1 : вероятность суммы совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их произведения:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) (1)

Замечание: формула (1) является общим случаем теоремы сложения, если события не совместны, то произведение этих событий невозможно, а вероятность равна 0.

Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей для зависимых событий

Условная вероятность -- вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.

Событие А называется зависимым от события В, если вероятность появления события А зависит от того, произошло событие В или не произошло.

Вероятность того, что произошло событие А при условии, что произошло событие В, будем обозначать P(A/B) и называть условной вероятностью события А при условии В.

Теорема: Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность второго:

P(A*B)=P(A)*P(B/A)=P(B)*P(A/B)

Условие независимости событий. Теорема умножения вероятностей для независимых событий.

Условие А называется независимым от события B, если вероятность события А не зависит от того, произошло ли событие В или не произошло, в противном случае они зависимы

Формула полной вероятности.

26)Формула Байенса(теорема гипотез)

Формула Бернулли и следствия из нее

Формула Бернулли(теорема о повторных опытах):

0?m?n, q=1-p - вероятность непоявления

N -кол-во опытов

p - вероятность появления соб. А в каждом опыте

m -число появлений событий

Рn(m) - вероятность появления событий А m раз в n опытах

10. Случайная величина. Дискретные и непрерывные случайные величины

Случайная величина - числовая величина, которая в результате опыта принимает одно из возможных заранее известных значений, зависящих от случайных величин, которые не могут быть заранее известны.

Дискретной случайной величиной называется случайная величина, которая принимает отдельные изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число значений может быть конечным и бесконечным.

Непрерывной случайной величиной называется величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число значений бесконечно.

Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины: ряд распределения, многоугольник распределения, аналитические законы распределения

Закон распределения СВ - соотношение или правило, устанавливающее связь между значениями СВ и соответствующими им вероятностями.

1)Табличный (ряд распределения)

2) график (многоугольник распределения)

Многоугольником распределения называется графическое представление ряда распределения.

3) Аналитический закон распределения

n-число опытов

m-число появлений события А в каждом опыте

Распределение Пуассона

Является предельным (асимптотическим случаем распределения Бернулли, когда число опытов велико)

]n->, а вероятность появления соб. в каждом опыте очень мала p->0. В этом случае X-число появлений в n опытах

Х={0,1,…,m,…n}

Биномиальное распределение.

n-число опытов

m-число появлений события А в каждом опыте

Распределение Пуассона

Является предельным (асимптотическим случаем распределения Бернулли, когда число опытов велико)

]n->?, а вероятность появления соб. в каждом опыте очень мала p->0. В этом случае X-число появлений в n опытах

Х={0,1,…,m,…n}

a=n*p

а-среднее число появлений соб.в n опытах

Геометрическое распределение

Числовые характеристики дискретной случайной величины: математическое ожидание и его свойства, дисперсия и ее свойства, среднее квадратическое отклонение.

Определение. Математическим ожиданием случайной величины на-

зывается её среднее значение, вычисляемое по формулам:

- для дискретной случайной величины:

- для непрерывной случайной величины:

Если случайная величина Х принимает значения только на конечном отрезке [a;b], то:



Математическое ожидание обозначают и так: M[X ] = mx.

Замечание. Математическое ожидание называют ещё первым центральным моментом случайной величины. Математическое ожидание определяет положение центра распределения случайной величины в следующем смысле: если считать pi массами, помещенными в точках xi действительной оси, то M[X ] будет являться координатой центра тяжести системы.

Итак, по смыслу математическое ожидание является средним значением случайной величины, центром распределения, центром рассеивания, систематической ошибкой измерения в теории ошибок, средней точкой попадания в теории стрельбы и т.п.

Показательный закон распределения

Нормальное распределение

Распределение Гаусса (нормальное распределение) ? плотность распределения вероятностей случайной величины n.

Выясним, как влияет на форму и расположение нормальной кривой значения параметров ти у. Из формулы (5.36) видно, что центром симметрии распределения является центр рассеивания т. Это ясно из того, что при изменении знака разности (х -- т) на обратный результат в выражении (5.36) не меняется. Если изменять центр рассеивания т, кривая распределения будет смещаться вдоль оси абсцисс, не изменяя своей формы (рисунок 5.10).

Рисунок 5.9 - Кривая распределения нормального закона

Рисунок 5.10 -- Смещение кривой нормального распределения с изменением т

Размерность центра рассеивания -- та же, что и размерность случайной величины Х.

Параметр у (среднее квадратическое отклонение) характеризует не положение, а саму форму кривой распределения. С увеличением у кривая растягивается и становится более плоской, с уменьшением у она вытягивается вверх и сжимается. Это объясняется тем, что площадь под кривой распределения всегда остается равной единице, несмотря на изменение максимума плотности вероятности. На рисунке 5.11 показаны три нормальные кривые при различных у.

Размерность параметра у совпадает с размерностью СВ Х. Во многих задачах практики приходится определять вероятность попадания СВ Х,подчиненной нормальному закону с произвольными параметрами m и у на участок от б до в. Для вычисления этой вероятности используют общую формулу:

P (б < X < в) = F (в) - F (б),

где F (х) - функция распределения величины Х.

Правило 3G .. P(m-3G<X<3G+m) = 0.997

11. Числовые характеристики НСВ

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х с плотностью вероятности f(x) находится по формуле

При этом математическое ожидание существует, если интеграл в правой части формулы абсолютно сходится (это значит, что сходится интеграл

)

Дисперсия непрерывной случайной величины Х с плотностью вероятности f(x) находится по формуле



Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется число, определяемое равенством .

Mx= a+b/2

Dx = (b-a)^2/12

Gx=b-a/корень из 12

Размещено на Allbest.ru