Касательная к линиям второго порядка

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОУ ВПО «Благовещенский государственный педагогический университет»

Физико- математический факультета

Кафедра алгебры, геометрии и методики преподавания математики

Курсовая работа

на тему: Касательная к линиям второго порядка.

по дисциплине математика.

Исполнитель:

студент группы 3А

О.Э. Емельянова

Руководитель:

Н.В.Ермак

Благовещенск 2010



Содержание

Введение

1. Взаимное расположение прямой и линий второго порядка

2. Касательная к линия второго порядка

3. Касательная к эллипсу, гиперболе и параболе

Практическая часть

Заключение

Список использованных источников

Приложения



Введение

Геометрия плоскости изучает линии второго порядка. Линии второго порядка могут быть графиком функции или частью графика функции. При исследование функции необходимо уметь строить касательную к графику функции.

Цель курсовой работы исследовать касательные к линиям второго порядка и научить применять формулы касательной при решение практических примеров.

Задачи:

1) Рассмотреть виды линий второго порядка на плоскости.

2) Исследовать общие уравнения касательных к линиям второго порядка.

3) Получить уравнения касательной к эллипсу, гиперболе и параболе.

4) Написать программу, позволяющую составить уравнение касательной к заданной линии второго порядка.



1. Взаимное расположение прямой и линий второго порядка

Пусть линии второго порядка в аффинной системе координат задана общим уравнением

(1.1)

и прямая параметрическими уравнениями:

(1.2)

Найдем точки пересечения прямой с линией . Подставив значения из уравнений (1.2) в уравнения (1.1), получим:

, (1.3)

раскроем скобки

,

Тогда

, (1.4)



после преобразований получим:

где

,

Если

Тогда,

, (1.6)

Найдя из уравнения (1.5) параметры , точек пересечений и подставив их в уравнения (1.2), получим координаты точек пересечений. Отметим, что каждому корню уравнения (1.5) соответствует точка пересечения, причём различным корням соответствуют различные точки: вещественным корням - действительные точки, а мнимым корням - мнимые точки.

Исследуем уравнения (1.5). Возможны два случая.

1) Уравнение (1.5) квадратное и имеет два корня: а , где -дискриминант уравнения (1.5). Прямая пересекает линию в точках :

а) действительных различных, если

б) комплексно - сопряжённые, если

в) совпадающих, если .

На рисунке 1 прямая соответствует случаю прямая - случаю, а прямая - случаю

2) Уравнение (1.5) имеет вид: . Если:

а) , то прямая пересекает линию в одной точке;

б) , то прямая не имеет с линией ни одной общей точки - ни вещественной, ни мнимой;

в) , любое t является решением уравнения (1.3), поэтому .

Прямая на рисунке 2 и рисунке 3 соответствует . Прямые m m' на рисунке 2 или прямые на рисунке 4 соответствуют , Прямые n и n' на рисунке 3 и рисунке 4 соответствуют случаю



Таким образом, возможны шесть случаев взаимного расположения прямой и линий второго порядка :

2. Касательная к линия второго порядка

Если точка , принадлежащая линии второго порядка является центром этой линии, то она называется особой точкой линии, в противном случае точка называется обыкновенной точкой (рис. 1).

Прямая, проходящая через обыкновенную точку линии второго порядка, называется касательной к этой линии в точке (рис. 2), если она пересекает линию в двух совпавших точках или целиком содержится в этой линии. Докажем теорему о касательной.

Теорема: В каждой обыкновенной точке линии второго порядка существует одна и только одна касательная. Если линия задана общим уравнением (1.1), то касательная в точке этой линии имеет уравнение

(2.1)

Или

, где

?Пусть прямая , проходящая через точку , задана параметрическими уравнениями (1.2). Параметры точек пересечения прямой с данной линией определяется из уравнения (1.5), которое в данном случае имеет вид:

, (2.2)

так как,, и поэтому .

Докажем, что прямая является касательной тогда и только тогда, когда . Действительно, если - касательная, то уравнение (2.2) имеет, либо два совпавших корня, либо бесконечное множество решений. И в том и в другом случае . Обратно, если , то уравнения (2.2) имеет, либо два совпавших корня (когда ), либо бесконечное множество решений (когда .

Согласно формулам (1.6) согласно означает, что

. (2.3)

Так как - обыкновенная точка, то одновременно не равны нулю. Поэтому равенство (2.3) определяет единственное направление вектора В качестве такого вектора можно взять, например, вектор . Через точку проходит единственная прямая этого направления, поэтому в точке существует единственная касательная.

Касательная определяется точкой и направляющим вектором ,

поэтому имеет уравнение

(2.4)

Так как , то по формуле (2.1)

.

Учитывая это равенство, уравнение (2.4) можно записать так:

Это и есть уравнение (2.1).¦

3. Касательная к эллипсу, гиперболе и параболе

Убедимся, что каждая из кривых , являющихся эллипсом, гиперболой или параболой, представляет собой объединение графиков двух функций. Рассмотрим, например, каноническое уравнение эллипса Из этого уравнения следует, что часть эллипса, точки которой имеют неотрицательные ординаты y, есть график функции

(3.2)

а часть эллипса, точки которой имеют неположительные ординаты, есть график функции

(3.3)

Обращаясь к каноническому уравнению гиперболы найдем, что гипербола представляет собой объединение графиков функций

(3.5)

а из канонического уравнения параболы (3.6) вытекает, что эта кривая есть объединение график функций

(3.7)

1. Найдем уравнение касательной к эллипсу в его точке , считая при этом (пусть ради определённости ). Пусть - текущие координаты точки касательной. Так как ее угловой коэффициент , где , а в точке производная функции (3.2). Тогда уравнения касательной имеет вид

2.

(3.8)

Учитывая, что точка лежит на эллипсе (т. е. её координаты удовлетворяет уравнениям (3.1) и (3.2)), т.е. Тогда

Данное уравнения умножим на и получим,

Раскроем скобки

После преобразований уравнения касательной к эллипсу получим:

уравнение касательный эллипс

(3.9)

3. Найдем уравнение касательной к гиперболе в его точке , считая при этом (пусть ради определённости ). Пусть - текущие координаты точки касательной. Так как ее угловой коэффициент , где , а в точке производная функции (3.5). Тогда уравнения касательной имеет вид

(3.10)

Учитывая, что точка лежит на гиперболе (т. е. её координаты удовлетворяет уравнениям (3.4) и (3.5)), т.е. Тогда

Данное уравнения умножим на и получим,

Раскроем скобки

После преобразований уравнения касательной к гиперболе получим:

(3.11)

4. Найдем уравнение касательной к параболе в его точке , считая при этом , а . Так как ее угловой коэффициент , где , а в точке , производная функции (3.6). Тогда уравнения касательной имеет вид

(3.12)

Учитывая, что точка лежит на параболе (т. е. её координаты удовлетворяет уравнениям (3.6) и (3.7)), т.е. . Т.к.

следовательно

Раскроем скобки и получим

Заменим

После преобразований уравнение касательной к параболе получим:

(3.12)



Практическая часть

Задача 1

Составить уравнения касательной к эллипсу проведенной из точки .

Решение:

Уравнение касательной к эллипсу имеет вид , где ( точка касания. Уравнение касательной к данному эллипсу будет иметь вид

Так как касательная проходит через точку , то координаты точки A должны удовлетворять этому уравнению подставляя в последнее уравнение вместо координаты точки A, получим

Но точки прикосновения ( лежит на данном эллипсе, поэтому

(3)

Решим систему из (2) и (3) уравнения:

;

;

;

; ;

Решая систему (2) и (3), нашли 2 решения:

Искомых касательных 2, их уравнения получим, подставляя в уравнение (1) вместо найденные значения:

Или

Ответ:

Задача 2

Составить уравнения касательной к гиперболе проведенной из точки .

Решение:

Уравнение касательной к гиперболе имеет вид , где ( точка касания. Уравнение касательной к данной гиперболе будет иметь вид

Так как касательная проходит через точку , то координаты точки A должны удовлетворять этому уравнению подставляя в последнее уравнение вместо координаты точки A, получим

Но точки прикосновения ( лежит на данной гиперболе, поэтому

(6)

Решим систему из (5) и (6) уравнения:

;

Решая систему (5) и (6), нашли 2 решения:

Искомых касательных 2, их уравнения получим, подставляя в уравнение (4) вместо найденные значения:

Или

Ответ:

Задача 3

Составить уравнение касательной к гиперболе в точке с абсциссой 10.

Решение:

Из условия известно, что у точки A координаты равны .

1) Найдем , подставив значение в уравнения . И получим

2)Уравнение касательной к данной гиперболе будет иметь вид

Подставим в данное уравнение координаты точки , и получим два уравнения касательной.

или

Ответ:

Задача 4

Составить уравнение прямой которая, касается параболы и перпендикулярна к прямой .

Решение:

Для уравнения найдем коэффициенты :

Обратим внимания на то, что нельзя пользоваться формулой , т.к. оно было получено для параболы в виде , а мы имеем параболу .

Составим систему уравнений:

Для нахождения касательной найдем такое, что , т.е. есть только одна точка касания:

т.е.

Ответ:



Заключение

Знание линий второго порядка позволяет охарактеризовать оптические свойства линий второго порядка. Оптические свойства линий эллипса, гиперболы и параболы широко используются в инженерном деле. В частности, оптические свойства параболы используются при конструирование прожекторов, антенн и телескопов.

В данной курсовой работе выполнены поставленные задачи:

1) Рассмотрели виды линий второго порядка на плоскости.

2) Исследовали общие уравнения касательных к линиям второго порядка.

3) Получили уравнения касательной к эллипсу, гиперболе и параболе.

4) Написали программу, позволяющую составить уравнение касательной к заданной линии второго порядка.



Список использованных источников

1. Атанасян, Л. С. Геометрия: учебное пособие для студентов физ.-мат. / Л.С. Атанасян, В.Т. Базылев. - В 2-х ч. Ч. I. - М.: Просвещение, 1986. - 336 с.

2. Ильин, В. А. Аналитическая геометрия: учебник для вузов./ В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - 7-е изд., стер. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 224 с.

3. Семочкин, А.Н. Язык программирования Java: учебное пособие для студентов вузов / А.Н. Семочкин. - Благовещенск: Изд-во БГПУ, 2006. - 84с.



Приложение

В программе выполняется 2 вида работ:

1.поиска уравнения касательной к линии второго порядка по заданному в общем виде уравнения;

2.поиск уравнения касательной к основным линиям второго порядка эллипса, гиперболы и параболы, заданных в каноническом виде.

При нахождение уравнения касательной с использованием общего уравнения линий второго порядка, необходимо подставить значения коэффициентов уравнения и координаты точки касания в соответствующие ячейки. После нажатия «Ок» компьютер проверят принадлежит ли данная точка линии заданной уравнением. И если данная точка принадлежит, то выводит уравнение касательной, а если тоска не принадлежит то выводит сообщения об ошибки.

Поиск уравнения касательной к лини второго порядка в каноническом виде разделено на 3 работы такие как с эллипсом, гиперболой и параболой. При подстановке значений a, b или параметра p, а так же координаты точки касания. Компьютер проверив принадлежность точки к данной линии выдает уравнение касательной.

Размещено на Allbest.ru