Функциональные операторы, ретракты и пространства Дугунджи

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ, РЕТРАКТЫ И ПРОСТРАНСТВА ДУГУНДЖИ

Широков Лев Васильевич

Арзамасский филиал ННГУ им. Н.И. Лобачевского

кандидат физико-математических наук, доцент

Исследуются связи функциональных операторов с ретрактами и пространствами Дугунджи. Рассматривается классификация функциональных операторов.

Ключевые слова: компакт, непрерывное отображение, пространства Дугунджи, ретракт, топологический оператор,топологическое пространство, функциональный оператор

Исследуемые в данной работе вопросы возникли в результате проведения анализа взаимоотношений между задачами продолжения непрерывных отображений и поведением различного рода семейств функций, определенных на топологических пространствах. Подобного типа определение содержания исследований весьма актуально. Последнее подтверждается результатами работ . Описание всех используемых в данной статье понятий можно найти в работах . В дальнейшем компакт - компактное хаусдорфово пространство, не обязательно метризуемое. Все пространства предполагаются вполне регулярными. Через обозначается топология пространства . Всякое отображение называется топологическим оператором. Далее - множество непрерывных функций на пространстве , - множество неотрицательных непрерывных функций на пространстве , - функция на , тождественно равная на . Пусть и . Всякое отображение называется функциональным оператором.

Определение 1. Пусть и - топологические пространства. Функциональный оператор называется слабо инъективным, если для любой константы выполняется условие .

Определение 2. Функциональный оператор называется -оператором, если отображение слабо инъективно и выполняются следующие условия:

1) ,

2) для любых ,

3) для любых .

пространство дугунджи уравнение

Определение 3. Пусть и - топологические пространства. Топологический оператор называется слабо инъективным, если для любых таких, что выполняется условие .

Определение 4. Пусть и - топологические пространства. Топологический оператор называется -оператором, если отображение слабо инъективно и удовлетворяет условиям:

1) , ,

2) для любых ,

3) для любых дизъюнктных таких, что .

Лемма 1. Пусть и - компакты. Если существует -оператор , то существует -оператор .

Доказательство. Пусть - -оператор. Определим топологический оператор правилом:

для каждого открытого множества . Покажем, что топологический оператор является -оператором.

Покажем, во-первых, что для любой функции такой, что выполняется . Допустим противное, то есть, что существует функция такая, что , но . Положим . Очевидно . Учитывая условия 1) и 3) определения 2 и слабую инъективность оператора имеем . Отсюда получаем равенство - противоречие.

Докажем слабую инъективность оператора . Пусть такие, что и пусть, для определенности, и . Выберем функцию такую, что . Покажем, что для любого элемента такого, что выполняется условие . Допустим противное, то есть, что существует элемент . Тогда и и, следовательно, выполняется условие . С другой стороны, выполняются равенства - противоречие. Итак, слабая инъективность оператора доказана.

Выполнение условия 1) определения 4 следует из того, что , .

Докажем справедливость условия 2) определения 4. Покажем, во-первых, что для любых . Пусть такое, что . Тогда и . Последнее означает, что и , то есть, выполняется . Докажем обратное включение, то есть, что . Пусть и такие, что и . Введем следующие обозначения: и . Покажем, что существует функция такая, что выполняются условия и . Положим . Ясно, что . Допустим, что существует элемент такой, что , то есть . Так как , то . Так как для любых (условие 3) определения 2), то . Полученное противоречие завершает доказательство справедливости условия 2) определения 4.

Докажем справедливость условия 3) определения 4., то есть, что для любых дизъюнктных таких, что . Итак, пусть , причем . Положим , . Ясно, что . Выберем функции и такие, что , , причем выполняется условие . Покажем, что . Положим . По построению, для любого выполняется . Пусть . Тогда выполняются следующие равенства , . Так как , то . Последнее означает, что для любого элемента выполняется , то есть, для любого . Отсюда следует, что , а это и означает, что выполняется равенство . Лемма доказана.

Теорема 1. Для компактов и следующие условия эквивалентны:

1) существует сюръективное непрерывное отображение ;

2) существует -оператор .

Доказательство. Докажем импликацию . Функциональный оператор определим правилом: для каждого . Очевидно выполнение условия 1) определения 2. Докажем, что выполняется условие 2) определения 2, то есть, что справедливо равенство для любых . Для любого элемента выполняются равенства . Так как справедливо , то . Аналогично доказывается выполнение условия 3) определения 2. Импликация доказана.

Докажем импликацию . Пусть существует -оператор . Тогда, в силу леммы 1, существует -оператор . Для каждой точки обозначим через семейство и положим . Так как семейство центрировано, то множество не пусто для каждого . Равенство для любого следует из условия 3) определения 4. Отображение определим следующим образом: для каждого положим . Сюръективность построенного отображения следует из того, что для любых таких, что выполняется . Докажем непрерывность отображения . Пусть и . Так как , то существует такое, что и . Тогда для всякого элемента множества его образ относительно отображения содержится в . Теорема доказана.

Определение 5. Пусть и - сюръективное отображение. Топологический оператор называется оператором продолжения топологии пространства относительно отображения , если выполняется условие для любого .

Определение 6. Пусть - вложение пространства в пространство . Топологический оператор продолжения топологии пространства относительно отображения , называется оператором продолжения топологии пространства .

Определение 7. Пусть - вложение пространства в пространство . Функциональный оператор называется оператором продолжения функций, если для любой функции выполняется условие .

Из теоремы 1 с учетом естественных уточнений следует теорема 2.

Теорема 2. Пусть . Для компактов и следующие условия эквивалентны:

1) компакт является ретрактом компакта ;

2) существует -оператор продолжения функций .

Напомним, что функция называется полунепрерывной снизу, если для любого множество является открытым подмножеством пространства . Далее - множество неотрицательных полунепрерывных снизу функций на пространстве , - функция на , тождественно равная на .

Определение 8. Функциональный оператор называется -регулярным оператором, если отображение слабо инъективно и выполняются следующие условия:

1) ,

2) для любых .

Определение 9. Пусть и - топологические пространства. Топологический оператор называется -регулярным оператором, если отображение слабо инъективно и удовлетворяет условиям:

1) , ,

2) для любых .

Многозначное отображение - отображение, ставящее в соответствие каждому некоторое замкнутое подмножество пространства . Отображение называется полунепрерывным сверху, если для любого открытого в множества малый прообраз - открытое в множество.

Лемма 2. Пусть и - компакты. Если существует -регулярный топологический оператор , то существует многозначное полунепрерывное сверху отображение такое, что для любого .

Доказательство. Итак, пусть - -регулярный топологический оператор. Также как и при доказательстве теоремы 1 для каждой точки обозначим через семейство и положим . Так как семейство центрировано, то множество не пусто для каждого . Многозначное отображение определим следующим образом: для каждого положим . Покажем, что отображение является полунепрерывным сверху. Пусть - произвольное открытое подмножество пространства и для некоторого . По построению отображения и определению -регулярного топологического оператора найдется открытое множество такое, что и . Ясно, что для любого выполняется . Таким образом, полунепрерывность отображения доказана. Осталось доказать, что для любого непустого открытого множества выполняется условие . Пусть , , причем . Так как , то по определению -регулярного топологического оператора выполняется условие . Отсюда следует, что для любого выполняется . Лемма доказана.

Лемма 3. Пусть и - компакты, - полунепрерывное сверху многозначное отображение, причем для любого непустого открытого множества выполняется . Тогда существует -регулярный оператор .

Доказательство. Пусть - полунепрерывное сверху многозначное отображение. Оператор определим правилом: для всякой функции положим для любого элемента . Очевидно, для любой функции выполняется и . Докажем, что отображение слабо инъективно. Допустим, что существуют функция , константа такие, что для любого элемента и не равная тождественно на . Тогда существуют точки такие, что и . Рассмотрим окрестность точки , не содержащую точку . Для получения противоречия теперь достаточно учесть условие леммы 2: для любого открытого множества множество . Докажем, что для любых . Рассмотрим произвольную точку . Имеем . Так как выполняется равенство , то тем самым доказательство свойства 2) определения 9 завершено. Лемма доказана.

Теорема 3. Для компактов и следующие условия эквивалентны:

существует -регулярный функциональный оператор ;

существует -регулярный топологический оператор .

Доказательство. Докажем импликацию . Пусть - -регулярный функциональный оператор. Также как и при доказательстве леммы 1 определим топологический оператор правилом:

для каждого открытого множества . Покажем, что топологический оператор является -регулярным оператором. Докажем слабую инъективность оператора . Пусть такие, что и пусть, для определенности, и . Выберем функцию такую, что . Покажем, что для любого элемента такого, что выполняется условие справедливо равенство . Допустим противное, то есть, что существует элемент . Тогда и и, следовательно, выполняется условие . С другой стороны, выполняются равенства - противоречие. Итак, слабая инъективность оператора доказана.

Выполнение условия 1) определения 9 следует из того, что , .

Докажем справедливость условия 2) определения 9. Покажем, во-первых, что для любых . Пусть функция такая, что . Тогда и . Последнее означает, что и , то есть, выполняется условие . Докажем обратное включение, то есть, что . Пусть и такие, что и . Пусть, далее, и . Покажем, что существует функция такая, что выполняются условия и . Положим . Ясно, что . Допустим, что существует элемент такой, что , то есть . Так как , то . Так как для любых (условие 2) определения 8), то . Полученное противоречие завершает доказательство справедливости условия 2) определения 9. Импликация доказана.

Докажем импликацию . Для доказательства этой импликации достаточно воспользоваться соответствующей комбинацией лемм 2 и 3.

Определение используемого далее понятия пространства Дугунджи, а также характеризации пространств Дугунджи посредством использования операторов продолжения топологий можно найти в работах .

Теорема 4. Для компакта следующие условия эквивалентны:

1) компакт является пространством Дугунджи;

2) для любого (некоторого) вложения в тихоновский куб существует -регулярный функциональный оператор продолжения функций .

Справедливость теоремы 4 следует из результатов работ и теоремы 3 данной статьи.

Замечание. Возможные обобщения результатов данной статьи, могут быть определены содержанием работ .

Библиографический список

1. Пелчинский А. Линейные продолжения, линейные усреднения и их применения. - М.: Мир,1970. - 144 с.

2. Широков Л.В. Внешняя характеристика пространств Дугунджи и -метризуемых бикомпактов // Доклады Академии наук СССР. 1982. Т. 263. № 5. С.1073-1077.

3. Shirokov L.V. On some forms of embeddings of topological spaces // Russian Mathematical Surveys. 1987. Т. 42. № 2. С. 297-298.

4. Широков Л.В. О AE(n)-бикомпактах // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 1992. Т. 56. № 6. С. 1316-1327.

5. Широков Л.В. О -бикомпактах и -мягких отображениях // Сибирский математический журнал. 1992. Т. 33. № 2. С. 151-156.

6. Широков Л.В. Накрытия и их свойства // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 9-1 (41). С. 5-11.

7. Широков Л.В. Современные вопросы радиоэлектроники с позиций теории аналитических функций /Л.В. Широков, Н.П. Ямпурин, В.А. Потехин, В.Д. Садков. -Арзамас: АГПИ, 2008. 176 с.

8. Engelking R. General Topology. - Warszawa: PWN, 1977. - 626 p.

9. Широков Л.В. Класс пространств L и его свойства // Альманах современной науки и образования. 2014. № 8 (86). С. 181-183.

10. Широков Л.В. О некоторых свойствах d-регулярных отображений // Альманах современной науки и образования. 2014. № 9 (87). С. 152-155.

11. Широков Л.В. О характеризации AE(n)-бикомпактов // Доклады Болгарской академии наук. 1989. Т. 42. № 12. С. 9-10.

12. Широков Л.В. О сигма-спектрах и абсолютных экстензорах для некоторых классов пространств // В сборнике: ТЕНДЕНЦИИ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. Материалы XXXIII Международного научного семинара преподавателей математики и информатики университетов и педагогических вузов, посвященного 100-летию ВятГГУ. Киров, 2014. С. 301-302.

13. Широков Л.В. О некоторых свойствах непрерывных образов открытых подмножеств каппа-метризуемых компактов // Исследования в области естественных наук. 2014. № 6 (30). С. 18-22.

14. Широков Л.В. О некоторых свойствах пределов обратных спектров топологических пространств // Исследования в области естественных наук. 2014. № 7 (31). С. 40-44.

15. Широков Л.В. О радиальных пространствах // Austrian Journal of Technical and Natural Sciences. 2014. № 7-8. С. 19-21.

16. Широков Л.В. О продолжении непрерывных отображений и аппроксимативной связности // Проблемы современной науки. 2013. № 9. С. 3-9.

Размещено на Allbest.ru