Теория вероятностей

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АКАДЕМИКА С.П. КОРОЛЕВА (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)" (СГАУ)

Факультет «Экономики и управления»

Кафедра математических методов в экономике

Контрольная работа

по дисциплине "Теория вероятностей"

Выполнила: студентка группы

7206 Черепахина Д.В.

Проверила: Клентак Л.С.

Самара 2014



Задача 1

В урне содержится 4 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шаров. Найти вероятность того, что среди них имеется:

а) 3 белых шаров;

б) меньше, чем 3, белых шаров;

в) хотя бы один белый шар.

Решение:

Испытание: случайное вынимание 4 шаров из 10.

Найдем число всех исходов:

n = = = = = 210

210 способов выбора 4 шаров из 10.

а) Событие А: среди вынутых шаров 3 белых шара, то есть 3 белых и 1 черный.

Р(А) =

m = * = * = * = * = 20*4 = 80

80 способов выбора 3 белых и 1 черного шаров.

Р(А) = = 0,3809

б) Событие В: среди вынутых шаров меньше, чем 3, белых шаров, то есть 2 белых и 2 черных или 1белый и 3 черных или 0 белых и 4 черных.

В = В₁ + В₂ + В₃

Так как В₁, В₂, В₃ несовместные события, то вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р(В₁ + В₂ + В₃) = Р(В₁) + Р(В₂) + Р(В₃)

m₁ = * = * = = = 15 * 6 = 90

m₂ = * = = 6 * 4 = 24

m₃ = * = = 1 * 1 = 1

Р(В₁) =

Р(В₂) =

Р(В₃) =

Р(В) = = 0,5476

в) Событие С: среды вынутых шаров имеется хотя бы один белый, то есть 1 белый и 3 черных или 2 белых и 2 черных или 3 белых и 1 черный или 4 белых и 0 черных.

С = С₁ + С₂ + С₃ + С₄

Задача со словами "хотя бы один" в прямом решении приводят к сложным вычислениям; решают их через вероятность противоположного события - среди вынутых шаров не одного белого, то есть 0 белых и 4 черных шара. То есть m = 1 (смотреть задание б)).

Р() = = 0,0048

Р(С) + Р() = 1 => Р(С) = 1 - Р( = 1 - 0,0048 = 0,9952

Ответ: а) 0,3809; б) 0,5476; в) 0,9952.



Задача 2

Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в течение времени Т безотказно соответственно с вероятностями p₁ = 0,981; р₂ = 0,881; р₃ = 0,831. Найти вероятность того, что за время Т выйдет из строя:

а) только один элемент;

б) хотя бы один элемент.

Решение:

Определим вероятности выхода из строя каждого из элементов:

= 1 - 0,981 = 0,019

= 1 - 0,881 = 0,119

= 1 - 0,831 = 0,169

а) Событие А: за время Т выйдет из строя только один элемент, то есть №1 не работает и №2 работает и №3 работает или №2 не работает и №1 работает и №3 работает или №3 не работает и №1 работает и №2 работает.

А = А₁ + А₂ + А₃

Так как А₁, А₂, А₃ несовместные события, то вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А₁ + А₂ + А₃) = Р(А₁) + Р(А₂) + Р(А₃)

Р(А₁) = * p₂ * p₃ = 0,019 * 0,881 * 0,831 = 0,0139

Р(А₂) = p₁ * * p₃ = 0,981 * 0,119 * 0,831 = 0,097

Р(А₃) = p₁ * p₂ * = 0,981 * 0,881 * 0,169 = 0,1461

P(A) = 0,0139 + 0,097 + 0,1461 = 0,257

б) Событие В: за время Т выйдет из строя хотя бы один элемент, то есть один из элементов не работает и два других работают или два элемента не работают и один работает или все три элемента не работают и 0 работают.

Задача со словами "хотя бы один" в прямом решении приводят к сложным вычислениям; решают их через вероятность противоположного события - ни один элемент не выйдет из строя, то есть все элементы будут работать.

P(B) + P() = 1=> Р(B) = 1 - Р(

P() = p₁ * p₂ * p₃ = 0,981 * 0,881 * 0,831 = 0,7182

P(B) = 1 - 0,7182 = 0,2818

Ответ: а) 0,257; б) 0,2818.

Задача 3

В первой урне 3 белых и 7 черных шаров, а во второй урне 6 белых и 4 черных шаров. Из первой урны вынимают случайным образом 3 шара, а из второй -- 3 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров:

а) все шары одного цвета;

б) только три белых шара;

в) хотя бы один белый шар.

Решение:

Шары вынимают из обеих урн независимо. Найдем количество элементарных событий n₁ и n₂:

n₁ = = = = = 120

n₂ = = = = = 120

Событие А: все вынутые шары одного цвета, то есть все белые или все черные.

Определим для каждой урны всевозможные события:

1) Из первой урны вынули:

А₁: 3 белых и 0 черных шаров;

А₂: 2 белых и 1 черный шар;

А₃: 1 белый и 2 черных шара;

А₄: 0 белых и 3 черных шара.

2) Из второй урны вынули:

В₁: 3 белых и 0 черных шаров;

В₂: 2 белых и 1 черный шар;

В₃: 1 белый и 2 черных шара;

В₄: 0 белых и 3 черных шара.

А = А₁ * В₁ + А₄ * В₄

Так как А₁ * В₁ и А₄ * В₄ несовместные события, то вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А) = Р(А₁) * Р(В₁) + Р(А₄) * Р(В₄)

А₁: m₁₁ = * = * = = = 1

B₁: m₂₁ = * = * = = = 20

А₄: m₁₄ = * = * = = = 35

В₄: m₂₄ = * = * = = = 4

Р(А₁) =

P(B₁) =

P(A₄) =

P(B₄) =

P(A) = * + * = = = 0,0111

Событие В: из вынутых шаров только три белых шара, то есть из первой урны вынули 3 белых и 0 черных шаров и из второй - 0 белых и 3 черных или из первой - 2 белых и 1 черный и из второй - 1 белый и 2 черных или из первой - 1 белый и 2 черных и из второй - 2 белых и 1 черный или из первой - 0 белых и 3 черных и из второй - 3 белых и 0 черных.

В = А₁ * В₄ + А₂ * В₃ + А₃ * В₂ + А₄ * В₁

Так как А₁ * В₄, А₂ * В₃, А₃ * В₂, А₄ * В₁ несовместные события, то вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р(В) = Р(А₁) * Р(В₄) + Р(А₂) * Р(В₃) + Р(А₃) * Р(В₂) * Р(А₄) * Р(В₁)

А₂: m₁₂ = = = = = 21

B₃: m₂₃ = = = = = 36

A₃: m₁₃ = = = = = 63

B₂: m₂₂ = = = = = 60

P(A₂) =

P(B₃) =

P(A₃) =

P(B₂) =

P(B) = * + * + * + * = = 0,3639

Событие С: из вынутых шаров хотя бы один белый шар.

Задача со словами "хотя бы один" в прямом решении приводят к сложным вычислениям; решают их через вероятность противоположного события - среди вынутых шаров нет ни одного белого, то есть из первой урны вынули 0 белых шаров и 3 черных шара и из второй урны - 0 белых и 3 черных.

P(С) + P() = 1=> Р(С) = 1 - Р()

= А₄ * В₄

Р() = Р(А₄) * Р(В₄) = * =

Р(С) = 1 - = = 0,9903

Задача 4

В пирамиде стоят 6 винтовок, из них 3, с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с вероятностью 0,94, а стреляя из винтовки без оптического прицела, -- с вероятностью 0,59. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки.

Решение:

Событие А: стрелок поразит мишень.

Возможные гипотезы:

В₁: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом;

В₂: стрелок стрелял из винтовки без оптического прицела.

Для того чтобы найти вероятность события А используем формулу полной вероятности: Р(А) =

Тогда:

Р(А) = (А) * Р(В₁) + (А) * Р(В₂)

Так как винтовки выбираются по одной, то получим:

n = = = = 6

B₁: m₁ = = = 3

B₂: m₂ = = = 3

Вероятности гипотез соответственно равны:

Р(В₁) = = 0,5; Р(В₂) = = 0,5

Условные вероятности:

(А) = 0,94; (А) = 0,59

Тогда:

Р(А) = Р(В₁) * (А) + Р(В₂) * (А) = 0,5 * 0,94 + 0,5 * 0,59 = 0,47 + 0,295 = 0,765

Ответ: Р(А) = 0,765.

Задача 5

В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами-изготовителями. На складе имеются электродвигатели этих заводов соответственно в количестве 6, 19 и 24 штуки, которые могут безотказно работать до конца гарантийного срока с вероятностями соответственно 0,98, 0,89 и 0,84. Рабочий берет случайно один электродвигатель и монтирует его к устройству. Найти вероятности того, что смонтированный и работающий безотказно до конца гарантийного срока электродвигатель поставлен соответственно первым, вторым или третьим заводом-изготовителем.

Решение:

Первое испытание: случайное взятие одного электродвигателя.

Второе испытание: работа электродвигателя во время гарантийного срока.

Событие А: электродвигатель работает безотказно до конца гарантийного срока.

Возможные гипотезы:

В₁: рабочий возьмет электродвигатель из поставок первого завода;

В₂: рабочий возьмет электродвигатель из поставок второго завода;

В₃: рабочий возьмет электродвигатель из поставок третьего завода.

Вероятность события А вычислим по формуле полной вероятности:

Р(А) =

Р(А) = (А) * Р(В₁) + (А) * Р(В₂) + (А) * Р(В₃)

Условные вероятности:

(А) = 0,98; (А) = 0,89; (А) = 0,84

Вероятности гипотез:

Р(В₁) = = 0,1224; Р(В₂) = = 0,3878; Р(В₃) = = 0,4898

Р(А) = 0,98 * 0,1224 + 0,89 * 0,3878 + 0,84 * 0,4898 = 0,12 + 0,3451 + 0,4114 = 0,8765

По формуле Байеса (В_i) = вычислим условные вероятности гипотез:

В₁) = = 0,1369

В₂) = = 0,3938

В₃) = = 0,4694

Ответ: В₁) = 0,1369; В₂) = 0,3938; В₃) = 0,4694.

Задача 6

В каждом из 10 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,43. Вычислить все вероятности р_k , k = 0, 1, 2, ..., п, где k -- частота события А. Построить график вероятностей р_k . Найти наивероятнейшую частоту.

Решение: вероятность бернулли условие

Вероятности испытаний найдем по формуле Бернулли:

p_k = p(n, k) = * p^k * q^n-k

p = 0,43; q = 1 - 0,43 = 0,57

Рассчитаем по формуле Бернулли P(n,k) для k=0

Вероятность того, что событие A произойдёт в 0 опытах, т.е. не произойдёт ни в одном опыте, равна:

k = 0 p₀ = p (10, 0) = * p⁰ * q¹⁰ = * 0,43⁰ * 0,57¹⁰ ? 0,00362 0,0036

Аналогично рассчитаем вероятность того, что событие A произойдёт в одном опыте и т.д.:

k = 1 p₁ = p (10, 1) = * p¹ * q⁹ = * 0,43¹ * 0,57⁹ ? 0,02752 0,0275

k = 2 p₂ = p (10, 2) = * p² * q⁸ = * 0,43² * 0,57⁸ ? 0,09235 0,0924

k = 3 p₃ = p (10, 3) = * p³ * q⁷ = * 0,43³ * 0,57⁷ ? 0,18603 0,186

k = 4 p₄ = p (10, 4) = * p⁴ * q⁶ = * 0,43⁴ * 0,57⁶ ?0, 24634 0,2463

k = 5 p₅ = p (10, 5) = * p⁵ * q⁵ = * 0,43⁵ * 0,57⁵ ? 0,22300 0,223

k = 6 p₆ = p (10, 6) = * p⁶ * q⁴ = * 0,43⁶ * 0,57⁴ ? 0,13970 0,1397

k = 7 p₇ = p (10, 7) = * p⁷ * q³ = * 0,43⁷ * 0,57³ ? 0,06000 0,06

k = 8 p₈ = p (10, 8) = * p⁸ * q² = * 0,43⁸ * 0,57² ? 0,01754 0,0175

k = 9 p₉ = p (10, 9) = * p⁹ * q¹ = * 0,43⁹ * 0,57¹ ? 0,00285 0,0029

k = 10 p₁₀ = p (10, 10) = * p¹⁰ * q⁰ = * 0,43¹⁰ * 0,57⁰ ? 0,00021 0,0002

Занесем полученные результаты в Таблицу 1.

Используя рекуррентную формулу

найдём P(10,k), где k =:

k = 0 P (10,1) = * * P (10,0) = 10 * 0,7544 * 0,0036 0,02715

k = 1 P (10,2) = * * P (10,1) = 4,5 * 0,7544 * 0,0275 0,09335 0,0936

k = 2 P (10,3) = * * P (10,2) = 2,6 * 0,7544 * 0,0924 0,18588 0,1859

k = 3 P (10,4) = * * P (10,3) = 1,75 * 0,7544 * 0,186 0,24555 0,2456

k = 4 P (10,5) = * * P (10,4) = 1,2 * 0,7544 * 0,2463 0,22297 0,223

k = 5 P (10,6) = * * P (10,5) = 0,83 * 0,7544 * 0,223 0,14019 1402

k = 6 P (10,7) = * * P (10,6) = 0,57 * 0,7544 * 0,1397 0,06022 0602

k = 7 P (10,8) = * * P (10,7) = 0,375 * 0,7544 * 0,06 0,01697 7

k = 8 P (10,9) = * * P (10,8) = 0,2 * 0,7544 * 0,0175 0,00293 0029

k = 9 P (10,10) = * * P (10,9) = 0,1 * 0,7544 * 0,0029 0,00021 0002

k =10 P (10,11) = * * P (10,0) = 0

Результаты расчётов вероятностей P(n,k) по рекуррентной формуле занесем в Таблицу 1.

Найдём наивероятнейшую частоту, то есть найдём число , которому соответствует максимальная вероятность P(n,k). Определим при помощи следующего неравенства:

Таблица 1

k	(по формуле Бернулли)		(рекуррентная формула)
0		10	0,0272
1		4,5
2		2,6667
3		1,75
4		1,2
5		0,8333
6		0,5714
7		0,375
8		0,2222
9		0,1
10		0

Задача 7

В каждом из 630 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,53. Найти вероятность того, что событие А происходит:

а) точно 350 раз;

б) точно 320 раз;

в) меньше чем 383 и больше чем 323 раз;

г) меньше чем 365 раз.

Решение:

Так как количество опытов n = 630 довольно велико, а вероятность события А p = 0,53, то используем формулы Муавра-Лапласа.

Для решения пунктов а) и б) используем локальную формулу Муавра-Лапласа:

P (n, k) ? , где ц(x) = , x =

а) k = 350

Находим: = = ? 12,5

Найдем значение х: x = = ? 1,29

Значение функции ц(x) найдем из таблицы: ц (1,29) ? 0,1736

P (630, 350) ? 0,0139

б) k = 320

Находим: = = ? 12,5

Найдем значение х: x = = - ? -1,11

Значение функции ц(x) найдем из таблицы: ц (-1,11) = ц(1,11) ? 0,2155

P (630, 320) ? 0,0172

Для решения пунктов в) и г) используем интегральную формулу Муавра-Лапласа:

P (n, k₁₂)₂) - ₁), где x₁ = , x₂ = ,

dx

в) 323383

Находим: = = ? 12,5

Найдем значения х: x₁ = = - ? -0,87

х₂ = = ? 3,92

Значение функции ц(x) найдем из таблицы:

ц₁ (-0,87) ? 0,1922

ц₂ (3,92) ? 1,0000

P (630, 323)0,1922 0,8078

г)0 k

Находим: = = ? 12,5

Найдем значения х: x₁ = = - ? -26,7

х₂ = = ? 2,4

Значение функции ц(x) найдем из таблицы:

ц₁ (-26,7) ? 1

ц₂ (2,4) ? 0,9918

Так как ц (-x₁) = 1 - ц (x₁)

P (630, 0)

Ответ: а) P (630, 350) ? 0,0139; б) P (630, 320) ? 0,0172;

в) P (630, 323)0,8078; г) P (630, 0).

Задача 8

Случайная величина X задана рядом распределения

X	16	19	22	28
P	0,125	0,167	0,508	0,2

Найти функцию распределения F(х) случайной величины X и построить ее график. Вычислить для X ее среднее значение M(Х), дисперсию D(Х) и моду Мо.

Решение:

Математическое ожидание: М (Х) = х₁р₁ + … + х_nр_n

М (х) = 16 * 0,125 + 19 * 0,167 + 22 * 0,508 + 28 * 0,2 = 2 + 3,173 + 11,176 + 5,6 = 21,949 - среднее значение.

Дисперсия: D (X) = M(X-M(X))² - по определению

D (x) = (16 - 21,949)² * 0,125 + (19 - 21,949)² * 0,167 + (22 - 21,949)² * 0,508 + (28 - 21,949)² * 0,2 = 13,2004

D (X) = M(X²) - (M(X))² - по свойству

М (х²) = 16² * 0,125 + 19² * 0,167 + 22² * 0,508 + 28² * 0,2 = 32 + 60,287 + 245,872 + 156,8 = 494,959

D (x) = 494,959 - 21,949² = 13,2004

Мода: Mo = 22

Функция распределения:

Задача 9

Случайная величина X задана функцией плотности вероятности

Найти функцию распределения F(х) случайной величины X. Построить графики функций f(х) и F(х). Вычислить для X ее среднее значение M(Х), дисперсию D(Х), моду Мо и медиану Ме.

Решение:

Функция распределения: F (X) =

F (x) = x = =

F (x) =

Среднее значение: М(Х) =

M (x) = = x² = = - 0 = 3,651

Дисперсия: *f(x) - по определению

D (X) = M(X²) - (M(X))² - по свойству

М (х²) = = x³ = = 14,998

D (x) = 14,998 - 3,651² = 1,6682



Мода: Mo = 5,477

Медиана: = ; x² = 15; x = ; Me = 3,873

Ответ: F (x) = ; M (x) = 3,651; D (x) = 1,6682; Mo = 5,477; Me = 3,873.

Задача 10

Задана случайная величина ХN(13, 7). Найти вероятность того, что эта случайная величина принимает значение:

а) в интервале [9, 21];

б) меньше 9;

в) большее 21;

г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше чем на 4.

Решение:

P (a) = Ф () - Ф ( )

а) P (9) = Ф () - Ф ( ) = Ф (1,14) - Ф (-0,57)

Ф (1,14) = 0,8729; Ф (-0,57) = 1 - Ф (0,57) = 1 - 0,7157 = 0,2843

P (9) = 0,8729 - 0,2843 = 0,5886

б) P ( = Ф ( ) - Ф ( ) = Ф (-0,57) - Ф (-

Ф (- = 0

P ( = 0,2843 - 0 = 0,2843

в) Р (21= Ф ( ) - Ф () = Ф (+Ф (1,14)

Ф (+ = 1

Р (21 = 1 - 0,8729 = 0,1271

Интервалы охватывают всю числовую ось сумма полученных вероятностей должна быть равна 1:

0,5886 + 0,2843 + 0,1271 = 1

г) P ( = 2*Ф( ) - 1

P ( = 2 * Ф( ) - 1 = 2 * 0,7157 - 1 = 0,4314

Ответ: а) 0,5886; б) 0,2843; в) 0,1271; г) 0,4314.

Задача 11

Бросают четыре монеты. Найти вероятность того, что только на трех монетах появится «герб».

Решение:

Испытанием является бросание четырех монет.

Элементарные события :

:появление «герба» на всех четырех монетах;

появление «решки» на всех четырех монетах;

на 1 монете - «герб», на 2 - «решка», на 3 - «решка», на 4 - «решка»;

на 1 монете - «решка», на 2 - «герб», на 3 - «решка», на 4 - «герб»;

на 1 монете - «решка», на 2 - «решка», на 3 - «герб», на 4 - «герб»;

на 1 монете - «герб», на 2 - «герб», на 3 - «решка», на 4 - «решка»;

на 1 монете - «герб», на 2 - «решка», на 3 - «герб» на 4 - «решка»;

на 1 монете - «решка», на 2 - «герб», на 3 - «герб», на 4 - «решка»;

:на 1 монете - «герб», на 2 - «герб», на 3 - «герб», на 4 - «решка»;

: на 1 монете - «герб», на 2 - «решка», на 3 - «решка», на 4 - «герб»;

: на 1 монете - «решка», на 2 - «решка», на 3 - «решка», на 4 - «герб»;

: на 1 монете - «решка», на 2 - «герб», на 3 - «герб», на 4 - «герб»;

: на 1 монете - «решка», на 2 - «герб», на 3 - «решка», на 4 - «решка»;

: на 1 монете - «решка», на 2 - «решка», на 3 - «герб», на 4 - «решка»;

: на 1 монете - «герб», на 2 - «решка», на 3 - «герб», на 4 - «герб»;

: на 1 монете - «герб», на 2 - «герб», на 3 - «решка», на 4 - «герб».

n=16

Исследуемое событие А: появление «герба» только на трех монетах.

Благоприятствующие событию А:

:на 1 монете - «герб», на 2 - «герб», на 3 - «герб», на 4 - «решка»;

: на 1 монете - «решка», на 2 - «герб», на 3 - «герб», на 4 - «герб»;

: на 1 монете - «герб», на 2 - «решка», на 3 - «герб», на 4 - «герб»;

: на 1 монете - «герб», на 2 - «герб», на 3 - «решка», на 4 - «герб».

m=4

Ответ:

Размещено на Allbest.ru