Определение оптимальных параметров составных пластин

Настоящая статья посвящена определению оптимальных параметров ортотропных составных пластин. Равномерно распределенная нагрузка на пластину носит статический характер, процесс нагружения однократный. Материал ортотропный, идеально жестко- пластичный. Составная пластина представляет собой ряд тонких упругих пластинок, соединенных между собой упругоподатливыми связями сдвига и абсолютно жесткими поперечными связями. Для каждой составляющей пластинки считается справедливой гипотеза прямых нормалей. Предельным состоянием пластины является наступление пластического разрушения слоев пластины (или связей сдвига).

Составные пластины, рассматриваемые в настоящей статье, конструктивно-ортотропныс и находятся в плоском напряженном состоянии. Поэтому целесообразно при их оптимизации использовать условие текучести Р. Хилла [11- Выполнив преобразование в условии текучести Хилла, записанное в обобщенных напряжениях, и отделив мембранные напряжения от напряжений изгиба и кручения, получив два уравнения в безразмерных величинах, соответствующих условию Р. Хилла

п2х-пхпу + п2у + (+тху -- (±тх)(±ту) + (±ту)* + т\у = 1;

± пх (2тх -- ту) пу (2ту -- тх) 2тху = 0.(1)

Здесь пх = Тх/ахг 6; пу = Ту/оутЬ; тх = Мхх/окТ6 Н;

^ту = мух/°уг 6 н '< тху ' Мху/гт б Н.

Условие (1) определяет в пятимерном пространстве Г*, Ту, М_ху, М_их, М_ху некоторую предельную поверхность (гиперэллипсоид), каждая точка которой соответствует критической комбинации усилий и моментов. Анализ структуры этого соотношения, не зависящего от знака изгибных напряжений, при отсутствии внешних продольных нагрузок указывает на одновременное наступление текучести в несущих слоях.

Следовательно, условие текучести можно записывать для одного слоя в виде

nl-nxny + n2y + m2x -- rnxrny+m2y + mly=\.

Задачей оптимального проектирования составных пластин является определение оптимального распределения характеристик пластичности или их параметров при заЛн- ных нагрузке и геометрии системы в плане. Распределение вышеназванных параметров определяется на основе энергетического экстремального принципа, базирующегося на статической теореме о простом пластическом разрушении [21.

Для реализации на ЭВМ математической модели, отвечающей задаче нелинейного программирования и ее применению к проектированию равнопрочных составных изгибаемых пластин, используется принцип дискретной равнопрочности. Дискретизация выполняется методом конечных разностей.

Для нахождения экстремума целевой функции используется метод поиска по деформированному многограннику. Задача состоит в определении вектора ** = (*j.г*) п -- мерного пространства Е_п, который является решением задачи

minf(x), jCGQ,

где множество определяется ограничениями

hj(x)= 0; /= 1ян; (3) g/ (*)=ЈЈ0; j=l, ..., m₂;

Q= {x; hj (x) =0, / = 1m_x;/⁼¹

причем хотя бы одна из функций /, hj, gj нелинейна.

Учитывая то. что затраты на материалы, применяемые для составных пластин, составляют 90--92% от общей стоимости, в качестве целевой функции принимается стоимость материала конструкции. В виде равенств записываются уравнения равновесия пластины в точках конечно-разностной сетки, а в виде неравенств -- условия прочности составной пластины для соответствующих точек слоев и связей сдвига. Направление минимизации в принятом методе определяется на основании последовательных вычислений целевой функции f (х).

Выбор и преимущество данного метода по сравнению с методами, использующими производные, обоснованы тем, что методы поиска не требуют регулярности, непрерывности целевой функции и наличия производных, так как в задачах с большим числом переменных довольно трудно или даже невозможно получить производные в виде аналитических функций, необходимых для градиентного алгоритма или алгоритма, использующего производные второго порядка. Кроме того, методы оптимизации, основанные на вычислении первых и вторых производных, требуют довольно большого времени на подготовку задачи к решению.

Основная идея принятого метода оптимизации пластин (поиск по деформированному многограннику) заключается в том, что по известным начальным значениям целевой функции в вершинах выпуклого многогранника, симплекса, находится направление, по которому требуется сделать следующий шаг, чтобы получить наибольшее уменьшение критерия оптимальности. При этом под симплексом в га-мерном пространстве понимается /г-мерный многогранник, имеющий п+1 вершину, каждая из которых определяется пересечением п гиперплоскостей данного пространства.

В противоположность жесткому симплексу деформируемый многогранник адаптируется в топографии целевой функции. Адаптация многогранника заключается в следующем: вдоль длинных наклонных плоскостей происходит растяжение многогранника с изменением направления в изогнутых впадинах; в окрестностях минимума происходит сжатие.

Метод поиска минимума по деформированному многограннику является методом минимизации функции f(x) без ограничений. Для преобразования задачи нелинейного программирования при наличии ограничений (3) и (4) в эквивалентную задачу без ограничений используется метод штрафных функций Г31. Преимущество, получаемое за счет перехода от задачи минимизации при наличии ограничений к задаче минимизации в отсутствии ограничений, состоит в том, что в последнем случае минимизацию можно осуществлять с помощью гораздо более простых алгоритмов. При использовании метода штрафных функций получается максимальный оптимизирующий эффект за счет постоянного компромисса между необходимостью удовлетворения ограничений (3) и (4) и процессом минимизации функции f(x), который достигается путем присвоения надлежащих весов целевой функции и функциям, задающим ограничения.

При оптимизации исходная задача (2)--(4) заменяется задачей минимизации одно- параметрического семейства функций на всем «-мерном пространстве Е_п

F, (*)=/ (*)+V*)'⁽⁵>

где -- функция, выражающая собой «штраф» за нарушение ограничений xeQ.

Штрафная функция выбрана таким образом, чтобы решение вспомогательной задачи (5) сходилось к решению исходной задачи при^-э-^ (у -- коэффициент, регулирующий величину штрафа). Общий вид штрафной функции представляется выражением

^С, /./ (х) + V с, [max (0; g, (*))]*, i=l ~ )

Г Де hj(x)--ограничения в виде равенств; gj(x)--ограничения в виде неравенств; Сi, Cj -- весовые коэффициенты.

Исследования проводились по разработанной программе на языке ФОРТРАН на ЭВМ ЕС 1022. В качестве объекта исследований выбрана трехслойная пластина с металлическими гофрированными обшивками и с легким заполнителем -- пенопластом. Конструкция гофра имеет трапецеидальную форму, а высота и длина его малы по сравнению с габаритами конструкции в целом.

При оптимизации трехслойной пластины конструкция гофрированной обшивки заменяется плоской эквивалентной ей по изгибной жесткости, имеющей разные приведенные толщины обшивок по направлениям осей Q_x и Q_v. Напряженное состояние гофрированных обшивок определяется без учета специфики взаимодействия отдельных элементов гофра с подкрепляющим их средним слоем. Элементы гофров воспринимают нормальные усилия и изгибающие моменты, а средний слой воспринимает поперечную силу. Касательные напряжения равномерно распределены по толщине среднего слоя, выполняющего роль равномерно распределенных связей сдвига и абсолютно жестких поперечных связей.

Функция цели для трехслойной пластины с трапецеидальными гофрами записывается в виде

U = 46 LP, (а, - + Ь, ) +'L I Р₂ 2^й; ^Hi-

Здесь ы = / (Ь/2я -- a_t)²+ (H_t -- H₀)²;

б -- толщина листа обшивки; п--.количество гофров на ширину пластины В; L -- длина пластины; ai -- ширина полки гофра; Hj, kj -- расстояние между геометрическими слоями обшивок и количество гофров на /-ом участке поперечного сечения пластины; Н₀ -- толщина слоя заполнителя, подкрепляющего внутренние полки профиля обшивок; I -- длина участков поперечного сечения пластины с одинаковыми параметрами гофров.

В качестве дополнительных ограничений типа неравенств используются ограничения для заполнителя |ттах| =S<Tt2, где От2 -- расчетное сопротивление материала заполнителя сдвигу. Для сжатых полок трапецеидального гофра вводятся ограничения по местной устойчивости а^СТкр. Кроме выше перечисленных ограничений по условиям технологической осуществимости и теплотехнического расчета вводятся ограничения по минимальной толщине среднего слоя.

Расчет пластины с размерами сторон 3X6 м, опертой по коротким сторонам, выполнялся при равномерно распределенной нагрузке интенсивностью 2, 5; 3 и 4 кН/м². Оптимальные геометрические параметры обшивок и толщина слоя заполнителя определялись при заданном количестве гофров А= 15, 20, 30. При этом для каждого количества гофров выполнялась серия расчетов с заданными толщинами внешних слоев. Изменение толшины обшивки выполнялось с шагом 0, 1 мм в интервале 0, 8--.1, 2 мм.

Для рассматриваемой четвертой части пластины задача имеет 48 неизвестных (25 изгибающих моментов, 10 сдвигающих усилий, 13 геометрических параметров) и 97 ограничений (19 равенств и 78 неравенств). В процессе решения задачи определены оптимальные значения ширины полки гофра, расстояния между геометрическими осями обшивок и толщина подкрепляющего слоя заполнителя. Для сравнения на рисунке приведен график изменения стоимости трехслойной пластины с гофрированными обшивками с обычными (штриховая линия) и оптимальными (прямая линия) параметрами при количестве гофров п=20.

Применение разработанной методики статического расчета составных пластин с оптимальными параметрами позволяет снизить стоимость пластины на 14--18%.