Решение системы линейных уравнений различными способами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Условие задачи

Дана система линейных уравнений.

Требуется показать, что система совместна, и найти ее решение тремя способами:

а) по формулам Крамера, выполнить проверку решения;

б) методом Гаусса;

в) матричным способом

Решение

Метод Крамера

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которых число неизвестных переменных равно числу уравнений [2]. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных. Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся нулю (detA ? 0).

Система называется совместной, если она имеет, по крайней мере, одно решение. Система называется несовместной, если она не имеет решений [1].

Теорема Крамера. Если определитель матрицы квадратной системы не равен нулю, то система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

(1)

где - определитель матрицы системы, - определитель матрицы системы, где вместо i-го столбца стоит столбец правых частей [5].

Если определитель системы равен нулю, то система может быть как совместной, так и несовместной.

Вычислим определитель матрицы системы.

Так как определитель не равен нулю, следовательно, по теореме Крамера система совместна и имеет единственное решение. Для его нахождения найдем определители трех дополнительных матриц:

Таким образом

Метод Крамера завершён. Можно проверить, верно ли решена система уравнений методом Крамера, подставив значения в заданную СЛАУ:

Проверка пройдена, решение системы уравнений методом Крамера найдено верно.

Ответ: .

Метод Гаусса

Запишем систему Ax=f, в развернутом виде:

Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных из этой системы [3]. Предположим, что . Последовательно умножая первое уравнение на и складывая с i-м уравнение, исключим из всех уравнений кроме первого. Получим систему:

.

Аналогичным образом из полученной системы исключим . Последовательно, исключая все неизвестные, получим систему треугольного вида:

Описанная процедура называется прямым ходом метода Гаусса. Заметим, что ее выполнение было возможно при условии, что все , не равны нулю.

Выполняя последовательные подстановки в последней системе, (начиная с последнего уравнения) можно получить все значения неизвестных.

.

Эта процедура получила название обратный ход метода Гаусса.

Элементарные преобразования, допустимые в методе Гаусса:

1. перестановка местами двух уравнений;

2. умножение обеих частей одного из уравнений на любое число, отличное от нуля;

3. прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число [4].

Запишем расширенную матрицу данной системы.

При решении методом Гаусса удобно (но вовсе не обязательно), чтобы первый элемент первой строки расширенной матрицы системы равнялся единице, потому поменяем местами первую и третью строки матрицы .

Метод Гаусса работает в два этапа: прямой ход и обратный.

Выполним прямой ход. Исключим из второго и третьего уравнений переменную x₁, используя первое уравнение. Для матричной формы записи это означает обнуление элементов первого столбца, лежащих под первой строкой. Итак, нам нужно выполнить два преобразования со строками: из второй строки матрицы вычесть первую, умноженную на 7. Аналогичное преобразование повторить для третьей строки, записать полученные значения в новую матрицу. Первую строку мы не трогали, поэтому её перепишем без изменений.

На втором шаге прямого хода нужно обнулить элементы второго столбца (расположенные под второй строкой), используя вторую строку. Поменяем местами вторую и третью строки. Вычтем из третьей строки вторую, умноженную на 5, после выполненных преобразований получим:

Прямой ход метода Гаусса закончен.

Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы. Если при этом ранг равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение, если он меньше числа неизвестных, решений множество [6].

Матрица системы (матрица слева от разделительной черты) стала верхней треугольной (все элементы ниже главной диагонали равны нулю). Исходя из результатов прямого хода метода Гаусса, имеем: ранг расширенной матрицы системы () равен трем; ранг матрицы системы (A) также равен трем. Так как ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы системы и равен количеству неизвестных (), то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли данная СЛАУ является определённой (т.е. имеет единственное решение).

Найдём это решение, используя обратный ход метода Гаусса.

Используя третью строку, обнулим элементы третьего столбца, расположенные над третьей строкой. Выполняя требуемые преобразования с первой и второй строками, получим:

Используя вторую строку, обнулим элемент второго столбца, расположенный над второй строкой. Осуществив требуемое преобразование с первой строкой, мы завершим обратный ход метода Гаусса:

Разделим вторую строку на 3, третью на -4, получим:

Решение системы окончено, .

Ответ: .

Матричный способ

Пусть для матрицы порядка n на n существует обратная матрица . Умножив обе части матричного уравнения

на , получим

.

Так как для операции умножения матриц подходящих порядков характерно свойство ассоциативности, то последнее равенство можно переписать как

,

а по определению обратной матрицы

E - единичная матрица порядка n на n), поэтому

.

В результате получаем матрицу, которая и будет решением данной системы [2]. Решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом определяется по формуле

(2)

алгебраический уравнение крамер матричный

где B ? столбец свободных членов.

Для решения СЛАУ матричным методом необходимо выполнить следующие действия:

1. Вычислить определитель . Если , то матрица существует;

2. составить союзную матрицу элементами которой являются алгебраические дополнения элементов матрицы ;

3. транспонировать союзную матрицу;

4. найти обратную матрицу;

5. найти решение системы.

Запишем систему в матричной форме

.

Убедимся в том, что эта система уравнений может быть решена с помощью обратной матрицы.

Найдем обратную матрицу с помощью союзной матрицы:

,

где - определитель матрицы, - транспонированная матрица, полученная из исходной матрицы A путем замены ее элементов алгебраическими дополнениями.

Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

Находим решение системы по формуле (1):

.

Ответ: .

Список литературы

1. Бурцева У. А. Системы линейных уравнений. - Волгоград: гос. техн. ун-т. - 2005. - 23 с.

2. Газизов Т.Р., Куксенко С.П. Итерационные методы решения СЛАУ с плотной матрицей. - Томск: ТУСУР. - 2012. - 158с.

3. Ляхов А.Ф., Солдатов Е.В., Чернова Е.В. Прямые методы решения СЛАУ. ? Н. Новгород: ННГУ. ? 1999. ? 16c.

4. Метод Гаусса [Электронный ресурс] . - Электрон. текстовые дан. - Самара: ПГАТИ, 2005. - Режим доступа: http://vm.psati.ru/online-math-sem-1/page-1-2-02-02.html

5. Морозова Л.Е., Соловьева О.В. Основы линейной алгебры. - Санкт-Петербург: СПбГАСУ. - 2005. - 43с.

6. Степанова А.А. Высшая математика. ? Владивосток: ВГУЭС. ? 1999. ? 35с.

Размещено на Allbest.ru