О проблеме 5-го постулата Евклида

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

О проблеме 5-го постулата Евклида

Путенихин Петр Васильевич

Аннотация

Приводится доказательство теоремы о 5-ом постулате Евклида, как следствия первых трех постулатов.

Ключевые слова:

Плоскость Лобачевского; пространство Римана; псевдосфера Бельтрами; регулярное пространство; особые точки

1. Содержание проблемы V постулата Евклида

Среди аксиом (постулатов) Евклида V постулат занимает особое место: «Если прямая падает на две прямые и образует внутренние односторонние углы, в сумме меньшие двух прямых, то при неограниченном продолжении этих двух прямых они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых».

Многие математики пытались перевести этот постулат в разряд теорем, то есть, доказать, что он в качестве постулата - лишний и является следствием предыдущих четырех аксиом. Но это никому так и не удалось:

"Авторы этих доказательств ставили себе задачей вывести логическим путем V постулат из остальных постулатов Евклида. Следует заметить, что хотя эта задача стояла перед геометрами на протяжении многих веков, она до конца XIX столетия оставалась неопределенной". [3]

В наши дни пятый постулат Евклида в России более известен в виде равносильной аксиомы параллельности: В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

2. Теорема о V постулате Евклида

Если внимательно, предвзято присмотреться к доводам и выкладкам геометрии, общей теории относительности и космологии, то возникает мысль, что пространство Евклида и геометрия Евклида при всех её слабостях - первичны, являются основой любой иной геометрии, их фундаментом, но никак не наоборот. При этом фундаментом самой геометрии Евклида, очевидно, является точка - «то, что не имеет частей». Как ни странно это звучит, но объект, имеющий нулевые размеры, является строительной частью всей математической реальности точно так же, как и физическая точка нулевых размеров является самой маленькой строительной частью всей физической реальности.

С учетом того, что IV постулат Евклида был доказан как теорема, теорема о V постулате Евклида могла бы иметь, например, такой вид:

Постулат V Евклида в эквивалентной формулировке «В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной» является следствием I-III постулатов Евклида.

Для определенности, необходимой в последующих выкладках, приведем постулаты I-V Евклида, которые он сформулировал в таком виде:

«Допустим:

1. Что от всякой точки до всякой точки <можно> провести прямую линию.

2. И что ограниченную прямую <можно> непрерывно продолжать по прямой.

3. И что из всякого центра и всяким раствором <может быть> описан круг.

4. И что все прямые углы равны между собой.

5. И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньшие двух прямых». [1]

Является ли такая формулировка теоремы верной и доказуемой? Чтобы выяснить это, рассмотрим следующие доводы, имеющие форму доказательства от противного, методом доведения до абсурда. Возможны только два тезиса, противоречащие приведенной формулировке теоремы:

1. Не существует ни одной указанной прямой.

2. Существует более одной такой прямой.

Очевидно, что других опровержений теоремы не существует. Если при справедливости трёх постулатов Евклида будет доказан любой из двух перечисленных пунктов, то это будет означать ошибочность теоремы. Однако, оказывается, что признание справедливости I-III постулатов Евклида делает эти два утверждения ошибочными. Рассмотрим их подробнее.

3. Не существует ни одной прямой

Согласно этому утверждению, мы получаем формулировку теоремы в виде: "В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной". Хорошо известно, что этому утверждению соответствует кривое анизотропное (деформированное) неевклидово пространство Римана.

Рис. 1. Сферическое и эллиптическое пространства Римана с отождествлёнными точками. Две отождествлённые точки - это одна и та же точка на сфере (a=a' и b=b') [6].

Понятно, что это не то плоское пространство, каковым его, несомненно, представлял Евклид. Получается: если указанную в теореме прямую провести нельзя, то это означает, что пространство - кривое. В свою очередь, из этого следует и обратное утверждение, что прямую нельзя провести только в одном случае: если пространство кривое, с положительной кривизной.

Однако, на таком "плоском" пространстве оказывается ошибочным и другой постулат Евклида - третий! Действительно, совершенно очевидно, что если пространство Римана имеет радиус кривизны R, то на нём не выполняется требование постулата "из всякого центра и всяким раствором <может быть> описан круг". Если взять раствор циркуля, равный, например, 4R, то в этом случае конец циркуля будет вне поверхности пространства Римана. Кроме этого, увеличение раствора циркуля свыше 2рR приводит к нарушению и II постулата Евклида, поскольку прямая сливается сама с собой (замыкается) и исключается вообще какая-либо возможность говорить о её длине. Отдельно можно рассмотреть окружность (на сфере) с раствором циркуля, равным в точности 2рR. В этом случае диаметр круга становится равным нулю. Правда, в этом случае речь идёт не о собственно "растворе циркуля", а о его подобии - упругом несжимаемом отрезке (веревке).

Таким образом, отсутствие возможности провести требуемую параллельную прямую в этом случае не является следствием всех трех постулатов, как того требует теорема. Отсутствие такой прямой требует, чтобы не соблюдался третий постулат, что противоречит исходным требованиям теоремы. Следовательно, рассмотренная формулировка теоремы не может быть верной.

4. Существуют две прямые и более

Согласно этому второму варианту отрицания мы получаем формулировку теоремы в виде: "В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести две прямые, параллельные данной".

Доказано, что эта формулировка приводит к непротиворечивой геометрии Лобачевского. Рассмотрим внимательнее возникающее в ней так называемое гиперпространство Лобачевского. Согласно Гильберту, не существует полной и регулярной поверхности, внутренняя геометрия которой представляла бы геометрию полной плоскости Лобачевского. Это означает наличие границ у такой плоскости, что в свою очередь делает невозможным выполнение III постулата Евклида вблизи таких границ. Рассмотрим в качестве примера один из наиболее известных вариантов фрагмента поверхности Лобачевского - псевдосферу Бельтрами с постоянной отрицательной кривизной:

Рис.2. Псевдосфера Бельтрами [5]

Как видно на рисунке, псевдосфера Бельтрами является замкнутой, как бы конической в две стороны. Из множества других известных вариантов поверхностей Лобачевского ни одна из них не позволяет в полной мере выполнить III постулат Евклида [4, 5, 7, 8]:

Рис.3. Псевдосферические поверхности вращения

Многие поверхности постоянной отрицательной кривизны названы именами математиков, которые их исследовали и описали:

Рис.4. Поверхность Дини (слева) и поверхность Бианки - Амслера (справа)

Рис.5. Геликоид Дини (слева) входит в класс поверхностей постоянной отрицательной гауссовой кривизны, псевдосфера является его частным случаем и поверхность Куена (справа) [4].

Гильберт упоминает доказательство наличия у плоскости Лобачевского существенных особенностей, которое можно рассматривать как сильное условие нарушения III постулата Евклида, запрет в самом общем виде:

«Первоначально я доказал невозможность существования поверхности постоянной отрицательной кривизны, не имеющей особых точек». [2]

Всегда существует возможность того, что окружность будет проходить через такую точку. Поэтому на ней невозможно очертить окружность достаточно большого диаметра. Например, если использовать "веревку" - гибкий нерастяжимый отрезок, то такая окружность будет иметь в некоторых случаях множество линий самопересечения. А вблизи особой линии (смыкание полусфер псевдосферы) возникают точки разрыва, не принадлежащие этой окружности. Следовательно, этот вариант плоскости и сама «воображаемая геометрия» Лобачевского вступают в противоречие с третьим постулатом Евклида. Как и в случае пространства Римана, возможность провести указанные две (и более) параллельные прямые в этом случае не является следствием всех трех постулатов, как того требует теорема. Наличие двух и более таких прямых требует, чтобы не соблюдался третий постулат, что противоречит исходным требованиям теоремы.

5. Зависимость V постулата от III

Итак, неизбежным выводом является зависимость пятого постулата от третьего. То есть, третий постулат является необходимым и достаточным условием справедливости пятого постулата. Если существует и справедлив третий постулат, то пятый постулат имеет силу только строго в формулировке Евклида, то есть является его следствием. И, напротив, если считать неверным пятый постулат в формулировке Евклида, то также становится неверным и его третий постулат. Это однозначное и неизбежное соответствие.

Таким образом, мы не имеем никаких оснований утверждать, что пятый постулат Евклида является независимым от его третьего постулата.

Собственно говоря, это в точности соответствует условиям сформулированной выше теоремы. Поскольку все обратные допущения отвергнуты, постулат V Евклида может быть сформулирован как доказанная теорема: В эквивалентной формулировке «В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной» является следствием I-III постулатов Евклида.

теорема евклид лобачевский плоскость

Библиографический список

1. Евклид, «Начала», книги I-VI, перевод с греческого и комментарии Д.Д. Мордухай-Болтовского при редакционном участии М.Я.Выгодского и И.Н. Веселовского, //Серия «Классики естествознания». Математика, Механика, Физика, Астрономия. ОГИЗ Государственное издательство технико-теоретической литературы, Москва-Ленинград, 1948 год.

2. Гильберт Д. «Основания геометрии», пер. с 7-го немецкого издания И.С. Градштейна, под ред. и с вступительной статьёй П.К. Рашевского, Москва - Ленинград, ОГИЗ, Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948 г.

3. Ефимов Н.В. Высшая геометрия (5-е изд.). М.: Наука, 1971

. Кривошапко С.Н., Иванов В.Н., Халаби С.М. Аналитические поверхности: материалы по геометрии 500 поверхностей и информация к расчету на прочность тонких оболочек, Наука, 2006 г., 539 с.

5. Лобачевского Геометрия, Научная библиотека избранных естественно-научных изданий, научная-библиотека.РФ

6. Новиков И.Д. «Эволюция Вселенной», - Москва: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1979

7. Отрицательной кривизны поверхность, Математическая энциклопедия

8. Попов А.Г. Псевдосферические поверхности и некоторые задачи математической физики, МГУ им. М.В. Ломоносова, Фундаментальная и прикладная математика, 2005, том 11, № 1, с. 227--239.

Размещено на Allbest.ru