Применение методов планирования экспериментов при обработке экспериментальных данных

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство сельского хозяйства российской федерации

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

"ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ П.А. СТОЛЫПИНА"

(ФГБОУ ВПО ОмГАУ им. П.А. СТОЛЫПИНА)

ИНСТИТУТ ВЕТЕРИНАРНОЙ МЕДИЦИНЫ И БИОТЕХНОЛОГИИ

Кафедра товароведения, стандартизации и управления качеством

направление подготовки 221700.62 - Стандартизация и метрология

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

"Применение методов планирования экспериментов при обработке экспериментальных данных"

Выполнил: Аникина Виктория Михайловна

Проверил: доцент Смирнова Наталия Анатольевна

Омск

2015



Содержание

Введение

1. Обзор литературы

1.1 Основные понятия и определения

1.2 Метод наименьших квадратов

1.3 Регрессионный анализ

1.4 Полный факторный эксперимент

1.5 Дробный факторный эксперимент

1.6 Дисперсионный анализ

1.7 Методы отсеивающего эксперимента

2. Практическая часть

Список используемой литературы



Введение

Мысль о том, что эксперимент можно планировать восходит к глубокой древности. Пожалуй, как только человек взял в руки палку, он уже начал заниматься проблемами планирования с целью выработки наиболее оптимального способа добычи пропитания. Результатами подобных изысканий, проводившимся в течение столетий, стали современные блага цивилизации.

Однако, первобытному человеку, да и средневековому рыцарю в том числе, абсолютно не были знакомы понятия статистики.

Статистика появилась в начале - середине XX века. Вслед за развитием аппарата статистического анализа, его положения стали применяться и в планировании эксперимента. Автором идеи привлечения статистики в планирование являлся один из основоположников английской школы статистики - Рональд Фишер.

Именно он доказал целесообразность использования статистических методов в проблеме поиска оптимальных условий проведения эксперимента. Так появилась совершенно новая наука, имеющая важное практическое значение - "Планирование и организация эксперимента".

Цель курсового проекта: проведение экспериментальных исследований и обработка данных, полученных в результате проведения экспериментов.

Задачи курсового проектирования:

- обработка экспериментальных данных методом наименьших квадратов;

- построение регрессионных зависимостей, составление и анализ планов полного факторного эксперимента (ПФЭ) и дробного факторного эксперимента (ДФЭ);

- выполнение дисперсионного анализа (однофакторного и двухфакторного экспериментов, а также греко-латинских квадратов);

- повышение эффективности и экономичности планирования экспериментов путем априорного ранжирования факторов.



1. Обзор литературы

1.1 Основные понятия и определения

Планирование эксперимента, как и любой, раздел науки, имеет свою терминологию.

Эксперимент - опыт, воспроизведение, проверка гипотез и т.д.

Эксперимент - целенаправленное воздействие на объект исследования для получения достоверной информации об объекте. Эксперименты могут проводиться на объекте исследования или на его модели.

План эксперимента- совокупность данных определяющих число, условия и порядок проведения опытов.

Объект - это изделие, процесс, физическое явление и т.д.

Цель эксперимента - это исследование характеристик изделия, оптимальных условий протекания процесса, изучения механизма явления и др.

Планирование эксперимента - выбор плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям.

Классификация экспериментов:

По структуре эксперименты делятся на:

1)натуральные - взаимодействие средств экспериментального исследования с объектом исследования;

2) модельные - это проведение экспериментов на моделях;

3)модельно-кибернетические (машинные). Разновидность модельного эксперимента, характеристики вычисляются на электронно вычислительной машине.

По стадии научных исследований эксперименты подразделяются на:

1) лабораторные - эксперименты по изучению общих закономерностей различных явлений и процессов, по проверке научных гипотез и теорий;

2) стендовые - проводятся когда необходимо изучить конкретный процесс, протекающий в объекте . По результатам стендовых испытаний судят о различных недоработках в расчетах конструкций;

3) промышленные - проводятся при создании нового изделия или процесса по данным лабораторных или стендовых испытаний, при оптимизации действующего процесса.

В зависимости от организации экспериментов:

1) обычные (рутинные) эксперименты - проводятся в лабораторных условиях, по простым методикам с использованием простого экспериментального оборудования;

2) технические (специальные) эксперименты - эксперименты, которые связаны с созданием и исследованием различных приборов;

3) уникальные эксперименты - проводятся на сложном оборудовании. Они отличаются большим объектом экспериментальных данных, высокой скоростью протекания исследований, широким диапазоном измерения характеристик;

4) смешанные эксперименты - эксперименты, содержащие в себе совокупность разнотипных экспериментов, которые объединены единой программой исследования.

По принципу постановки задач для нахождения модели объекта исследования:

1) учитывающие наличие неоднородностей различного вида (состав продукта);

2) рассчитанные на выявления механизма явлений ;

3) учитывающие локальную область пространства его параметров, соответствующую экстремуму некоторого критерия оптимальности при наличии изменения параметра;

4) учитывающие локальную область пространства его параметров, соответствующую экстремуму некоторого критерия оптимальности при отсутствии изменения параметра;

5) учитывающие степень влияния входных переменных на выходные переменные;

6) позволяющие преобразовать набор переменных объекта исследования;

7) рассчитанные на прогноз его поведения.

По способу проведения:

1) пассивный эксперимент - основан на регистрации входных и выходных параметров, которые характеризуют объект исследования без вмешательства в эксперимент, в процессе его проведения, с применением математико-статистических методов только после окончания эксперимента для обработки экспериментальных данных;

2) неуправляемый активный эксперимент - это когда существует возможность активного воздействия на исследуемый объект. Описание строится в виде совокупности статистических и динамических выходных характеристик объекта, которые регистрируются при подаче на его входы специальных возмущающих воздействий;

3) активный эксперимент с программным управлением - проводится по заранее составленному плану. В соответствии с этим планом экспериментатор воздействует на входные параметры исследуемого объекта, а выходные параметры, отражая реакцию исследуемого объекта на управляющее воздействие, позволяют выяснить природу происходящих процессов в объекте исследования;

4) активный эксперимент с обратной связью - это эксперимент, в котором можно выбрать оптимальное его управление при анализе результатов в каждой точке;

5) активно-пассивный эксперимент - характеризуется тем, что первая часть данных регистрируется, а вторая обрабатывается в процессе эксперимента и участвует в выработке управляющих воздействий.

В теории эксперимента есть величины, которые влияют на объект, они называются факторами.

Фактор - это величина, воздействующая на исследуемый процесс и принимающая в некоторый момент времени определенное значение. Фактор считается заданным, если вместе с его названием указывается область определения. Под областью определения понимается совокупность всех значений, которые может принимать данный фактор.

Факторы бывают двух типов: количественные - их можно оценивать количественно: измерять, взвешивать, титровать и т.п.; качественные - количественно данный фактор задать не удается. Это разные вещества, технологические способы и т.п.

Для выявления взаимосвязи факторов и представления их в количественной форме используют математические модели. Математическая модель представляет собой совокупность соотношений, определяющих характеристики состояния объектов в зависимости от условий.

В зависимости от источника информации, используемого при построении математической модели, различают:

1) физические (аналитические или теоретические) модели - представляют сложные системы уравнений, позволяющие очень точно описать процессы, протекающие в объекте;

2) статистические (эмпирические) модели- модели, которые получают в результате статистической обработки экспериментальной информации, собранной на исследуемом объекте. Часто представлены в виде полигонов. Область их применения ограничивается ближайшей окрестностью рабочих точек, в которых проводится эксперимент;

Адекватность - правильность постановки, обработки и проведения опыта.

1.2 Метод наименьших квадратов

Одним из наиболее распространенных методов регрессионного анализа является метод наименьших квадратов, первое изложение которого было дано французским математиком Андриен Мари Александром (1752-1833) и далее разработано немецким ученым Карлом Фридрихом Гауссом (1777-1855).

Метод наименьших квадратов обладает замечательным свойством, которое делает определенной любую произвольную систему уравнений. При этом число уравнений равно числу неизвестных коэффициентов.

Существенной особенностью является то, что метод наименьших квадратов минимизирует абсолютные значения погрешностей аппроксимации, т.е. требуют, чтобы минимальной была сумма квадратов, взятых во всех проверяемых точках данной группы.

Метод наименьших квадратов включает:

- построение графика по экспериментальным данным;

-составление системы уравнений в соответствии с методом наименьших квадратов;

-расчет коэффициентов системы уравнений (х, y);

-определение теоретического значения функции ;

-построение графика теоретической кривой ;

-вычисление относительной погрешности измерений в каждой точке.

1.3 Регрессионный анализ

Регрессионный анализ - статистический метод исследования влияния одной или нескольких независимых (экзогенных) переменных на зависимую переменную y.

Целями регрессионного анализа являются:

1. Определение степени обусловленности вариации (изменчивости) зависимой переменной независимыми переменными;

2. Прогнозирование величины зависимой переменной при сложившихся значениях независимых;

3. Определение вклада отдельных независимых переменных в вариацию зависимой;

4. Оптимизация зависимой переменной путем управления величинами независимых переменных.

Задачи регрессионного анализа:

1) Анализ воспроизводимости опытов, который позволяет разрешить проблему распространения результатов на другие аналогичные объекты. Это достигается путем применения критерия Кохрена с помощью нахождения дисперсии.

2) Оценка значимости коэффициентов регрессионной зависимости. Проводится с помощью критерия Стьюдента.

3) Анализ адекватности полученной математической модели рассчитывается с помощью критерия Фишера.

Регрессионный анализ, как любой статистический метод, применим при определенных предположениях:

- параметры оптимизации (случайная величина подчинена нормальному закону распределения);

- дисперсия выходной величины (не зависит от абсолютных величин);

- значения факторов также есть неслучайные величины.

1.4 Полный факторный эксперимент

Полный факторный эксперимент - это эксперимент в котором реализуются всевозможные, неповторяющиеся комбинации уровней факторов.

Если число факторов равно k, а число уровней каждого из них равно S, то число опытов N при полном факторном эксперименте будет равно:

N = Sk .

Полный факторный эксперимент - эксперимент N = 2k - позволяет описать изучаемый процесс математической моделью первого порядка вида :

у = a0+ .

Порядок математического уравнения всегда на 1 меньше, чем принятое в плане эксперимента число уравнений фактора.

Этапы полного факторного эксперимента:

1) Выбор параметров оптимизации, факторов и уровней их варьирования;

2) Кодирование факторов;

3) Составление матрицы планирования эксперимента;

4) Рандомизация опытов;

5) Реализация плана эксперимента;

6) Проверка однородности дисперсий параллельных опытов, их воспроизводимости;

7) Расчет коэффициентов уравнения регрессии, их ошибок и значимости;

8) Проверка адекватности модели.

Условия эксперимента обычно записывают в виде матриц планирования эксперимента, где строки соответствуют независимым опытам, а столбцы - значениям (уровням) факторов;

Каждая комбинация уровней факторов должна встречаться только 1 раз.

Существует несколько способов построения матрицы планирования. Один из них основан на чередовании знаков, в первом столбце знаки меняются с "-" на "+", во втором через 2, в третьем через 4 и т.д.

Свойства матрицы:

1. Симметричность- алгебраическая сумма значений каждого из столбцов матрицы (кроме х0) равна нулю:

= 0 ,

где j - номер фактора (j = 1, 2, …k); i - номер опыта; N - число опытов.

2. Условие нормировки - сумма квадратов элементов каждого столбца-матрицы равна числу опытов:

= N

3. Ортогональность - сумма по членных произведений двух столбцов матрицы равна нулю:

Хjn = 0 j ? i .

4. Ротатабельность - экспериментальные точки в матрице планирования располагаются так, что точность предсказания параметра оптимизации была одинакова на равных расстояниях от центра плана и не зависит от направления. Дисперсии значений параметра оптимизации равны для точек, расположенных на одинаковых расстояниях от центра планирования; дисперсии для всех коэффициентов уравнений равны и минимальны.



1.5 Дробный факторный эксперимент

Дробный факторный эксперимент применяется для тех же целей, что и полный факторный эксперимент, т.е. для облегчения поиска коэффициентов математической модели, которые ранее решались методами регрессионного анализа. Дробный факторный эксперимент решает еще одну немаловажную задачу - уменьшение числа опытов, необходимых для планирования эксперимента. Решение этой проблемы достигается путем переобозначения вектор - столбца матрицы планирования, содержащим незначительное (по предварительно проведенным экспериментам) взаимодействие факторов, как нового фактора. При этом новая матрица планирования не теряет своих свойств, описанных ранее. Полученная часть матрицы планирования называется репликой или, точнее, дробной репликой матрицы планирования.

Число экспериментов сокращается: уровень дробности реплики в 2 раза 1/2-реплика (полуреплика) в 4 раза 1/4-реплика (четверть-реплика) в 8 раз 1/8-реплика и т.д.

Преимущества ДФЭ :

1. Эффекты факторов, представляющих первостепенный интерес, могут быть изучены в более общих условиях;

2. Уменьшается число опытов, необходимых для исследования заданного числа главных эффектов и эффектов парных взаимодействий.

Недостатки ДФЭ :

1. Может остаться слишком мало степеней свободы для выявления разнообразных возможных случаев недостаточно высокого качества описания;

2. Более высокая по сравнению с полным факторным экспериментом уязвимость к обычным ошибкам или погрешностям.



1.6 Дисперсионный анализ

В общем случае, задачей дисперсионного анализа является выявление тех факторов, которые оказывают существенное влияние на результат эксперимента. Помимо этого, дисперсионный анализ может применяться для сравнения средних нескольких выборок, если число выборок больше двух. Для этой цели служит однофакторный дисперсионный анализ. В целях решения поставленных задач принимается следующее. Если дисперсии полученных значений параметра оптимизации в случае влияния факторов отличаются от дисперсий результатов в случае отсутствия влияния факторов, то такой фактор признается значимым. Как видно из формулировки задачи, здесь используются методы проверки статистических гипотез, а именно - задача проверки двух эмпирических дисперсий. Следовательно, дисперсионный анализ базируется на проверке дисперсий по критерию Фишера. В зависимости от того, сколько факторов принимается в рассмотрение, различают однофакторный (случай простой группировки) и многофакторный дисперсионный анализ. Частным случаем второго является двухфакторный дисперсионный анализ (случай двойной группировки).

Задачи дисперсионного анализа:

- выходная величина y в силу свойств зависит от n факторов не имеющих качественного описания и от их парного взаимодействия;

- каждый фактор можно варьировать на нескольких уровнях;

- каждую опытную ситуацию можно наблюдать несколько раз, то есть реализуется серия повторных наблюдений;

- выходная величина y распределяется по нормальному закону, и дисперсия воспроизводимости во всех опытах сохраняется.

По результатам дисперсионного анализа требуется определить в какой степени на y влияют данные факторы, произвести их сопоставление и ранжирование, а также определяет влияние случайной погрешности.

Однофакторный дисперсионный анализ - простейший вариант задача которого состоит в том, чтобы определить влияние выходной величины одного фактора и случайной погрешности.

Основная трудоемкость дисперсионного анализа заключается в вычислении квадратов ошибок (отклонений) - от их средних с учетом соответствующих степеней свободы.

Число опытов при реализации однофакторного дисперсионного анализа будет равно N*m.

Если на результат эксперимента влияют 2 фактора, то необходимо учитывать не только их отдельное влияние, но и их взаимодействие, то есть вид модели. Существует два вида взаимодействия двух факторов (x1; x2) - это иерархическая и перекрестная структура.

При иерархической классификации различают факторы основной группы и факторы подгруппы. Каждый уровень одного основного фактора может быть связан с множеством уровней второго фактора - фактора подгруппы.

При перекрестной классификации каждый уровень одного фактора может сочетаться со всеми уровнями других факторов. Упорядочивание в этом случае, в отличие от иерархической классификации, невозможно.

При изучении влияния одного или двух факторов, план эксперимента значительно отличается от тех планов, которые содержат четыре и более рассматриваемых факторов, а так же являются довольно простым видом дисперсионного анализа.

С увеличением числа рассматриваемых факторов, влияющих на объект, объем исследований резко возрастает и при этом анализ экспертных данных усложняется. Значительно сократить этот объем, процедуру обработки экспериментальных данных можно с помощью метода латинских квадратов.

План исследования "классический квадрат" позволяет исследовать влияние трех факторов, которые варьируются на n-уровнях, но для проведения экспериментов используют только лишь комбинации N2 уровней факторов вместо кубического значения, причем существование различий можно проверить для каждого из трех факторов.

Использование комбинацию N2 позволяет значительно сократить объем исследований. При рассмотрении такого плана N2 необходимо учитывать, что какой-либо общий член нельзя отделить от случайных величин и поэтому невозможно получить остаточную сумму квадратов или же компоненту погрешностей.

В результате этого невозможно разделить оценку влияния какого-либо взаимодействия между факторами и если же такие взаимодействия существуют , то они увеличивают остаточную дисперсию. Основной особенностью плана латинских квадратов является то, что все три фактора должны иметь одинаковое число уровней.

1.7 Методы отсеивающего эксперимента

Перед проведением эксперимента исследований необходимо определить какие из факторов нужно включать в круг рассматриваемых, как влияющих на выходную величину, а какие нет. Отсутствие в модели хотя бы одного из существующих факторов может привести к ошибочным результатам и к неверным выводам.

При числе факторов больше, либо равное 7 возникает необходимость в их сокращении, то есть будет происходить отсеивание из-за выполнения большого числа опытов.

Учет всех влияющих величин приводит к дополнительным затратам, "затемняет" результаты исследований и поэтому необходимо установить минимальный набор факторов на "шумовом" фоне остальных, которые в наибольшей степени характеризуют исследуемый объект. К "шумовому" фону относятся неучитываемые, нерегулируемые влияющие величины и несущественные входные переменные мало влияющие на выходную величину.

Если число предполагаемых факторов невелико (6-8), то для предварительного изучения объекта можно применить полный факторный эксперимент или дробный факторный эксперимент, определить оценки коэффициентов модели, проверить их статистическую значимость с помощью критерия Стьюдента, а затем, по абсолютному значению значимых факторов осуществить их ранжировку по степени влияния, но при большом числе предполагаемых влияющих факторов, этот метод считается достаточно трудоемким и следует использовать:

1) Метод априорной информации - основан на опросе специалистов, экспертов, обработки литературных данных и объективной статистической обработки результатов. В ряде случаев на стадии предварительного изучения объекта исследования, целесообразно проводить психологический эксперимент, основанной на опросе. Цель заключается в сравнительной оценки влияния различных факторов на параметр оптимизации, что приводит к отсеиванию малозначимых факторов.

Особенность этого метода заключается в том, что факторы ранжируют или устанавливают в порядке убывания, вносимого ими вклада. Вклад каждого фактора оценивается о величине ранга или места, который отведен исследователем данному фактору в степени его влияния на параметры оптимизации. Каждый специалист участвует в опросе, заполняет анкету в которой перечислены факторы, их размерность и предполагаемые интервалы варьирования, заполняя эту анкету он определяет место фактора в ранжированном ряду и одновременно он может включить дополнительный фактор или же изменить установленные интервалы варьирования. По результатам опроса вычисляется коэффициент конкордации W, определяющий степень согласованности мнения специалистов.

2)Метод случайного баланса - метод при котором используют сверхнасыщенные планы эксперимента, в которых число опытов меньше числа исследуемых эффектов.

В настоящее время латинские квадраты являются одним из наиболее популярных способов ограничения на рандомизацию при наличии источников неоднородностей дискретного типа в планировании эксперимента. Группировка элементов латинского квадрата, благодаря своим свойствам (каждый элемент появляется один и только один раз в каждой строке и в каждом столбце квадрата), позволяет защитить главные эффекты от влияния источника неоднородностей. Широко используются латинские квадраты и как средство сокращения перебора в комбинаторных задачах.

При изучении влияния одного и двух факторов план эксперимента является довольно простым. При увеличении числа рассматриваемых факторов, влияющих на объект, объем исследований резко возрастает и анализ экспериментальных данных усложняется. Применение так называемых "латинских квадратов" позволяет значительно уменьшить объем исследований и упростить обработку данных. План эксперимента вида "латинский квадрат" позволяет исследовать влияние трех факторов, варьируемых на N уровнях, но для этой цели используется только N2 комбинаций уровней факторов вместо N3 возможных комбинаций, причем существование различий можно проверить для каждого из трех факторов. Размерность латинского квадрата определяется числом уровней варьирования факторов; если N = 3, то говорят о латинском квадрате 3*3.

Первоначально латинские квадраты нашли применение при агротехнических экспериментах - два из трех факторов указывали положение ячейки на поле в двумерной системе координат, а третий (основной) представлял собой, например, урожайность. Такой подход позволял при исследованиях избавляться от влияния "мешающих факторов". Впоследствии планы такого рода начали находить широкое распространение в научных исследованиях.

Для большинства случаев число изучаемых факторов можно увеличить до четырех путем наложения на основной латинский другого латинского квадрата такой же размерности N * N и ортогонального первоначальному, т.е. каждая буква одного латинского квадрата один раз появляется на одной и той же позиции, как и каждая буква другого латинского квадрата, т.е. каждая буква первого квадрата встретится один раз с каждой буквой другого квадрата. Чтобы различать уровни факторов, входящих в первоначальный и ортогональный квадрат, во втором латинском квадрате употребляются греческие буквы (отсюда название греко-латинский квадрат).

Методы построения греко-латинских квадратов разнообразны. Так, если число уровней N является простым нечетным числом, то можно воспользоваться следующей процедурой для построения пары ортогональных квадратов: первый квадрат получается с помощью одношаговой циклической перестановки справа налево, второй - слева направо.



2. Практическая часть

Задание 1

Используя метод наименьших квадратов найти оценки коэффициентов регрессионной зависимости . Исходные данные для расчетов приведены в таблице Б.1.

Таблица Б.1

X			x
1,00	9,68	1,00	9,68	9,68
1,50	14,26	2,25	21,39	32,085
2,00	19,37	4,00	38,74	77,48
2,50	26,18	6,25	65,45	163,625
3,00	34,29	9,00	102,87	308,61
3,50	43,53	12,25	152,355	533,2425
4,00	54,53	16,00	218,12	872,48
4,50	66,10	20,25	297,45	1338,525
5,00	79,58	25,00	397,9	1989,5

1) Составим систему уравнений:

Рассчитываем систему уравнений методом Гауса:

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

~

Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (96). Умножим 3-ую строку на (-27). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 1-ую строку на (-66.036). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Теперь исходную систему можно записать как:

= -1339.982/(-512.999)

= [-18601.462 - ( - 6457.56x3)]/(-990.54)

= [5325.228 - (378.02x2 + 1583.24x3)]/96

Из 1-ой строки выражаем x3

Из 2-ой строки выражаем x2 Из 3-ой строки выражаем x1

2) С учетом найденных коэффициентов уравнение регрессии имеет следующий вид:

.

3) Находим расчетные значения выходных величин с учетом найденных коэффициентов:

.

.

4) Рассчитываем погрешность:

5) Строим теоретическую и экспериментальную линии регрессии:

Задание 2

Используя метод наименьших квадратов найти оценки коэффициентов регрессионной зависимости

.

Исходные данные для расчетов приведены в таблице Б.2.

Таблица Б.2.

		1/x	(1/x)2	y/x
1,00	8,16	1,00	1,00	8,16
1,25	7,24	0,80	0,64	5,79
1,50	5,88	0,66	0,43	3,92
1,75	4,90	0,57	0,32	2,8
2,00	4,88	0,50	0,25	2,44
2,25	4,55	0,44	0,19	2,02
?	9,75	35,61	3,97	2,93	25,13

1) Составим систему уравнений:

6a0 + 3,97a1 = 35,61

3,97a0 + 2,83a1 = 25,13

Рассчитываем систему уравнений методом Гауса:

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

Умножим 1-ую строку на (-0.662). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Теперь исходную систему можно записать как: = 1.568/0.203

= [25.13 - (2.83)]/3.97

Из 1-ой строки выражаем :

=

Из 2-ой строки выражаем :

=

2) С учетом найденных коэффициентов уравнение регрессии имеет следующий вид:

3) Находим расчетные значения выходных величин с учетом найденных коэффициентов:

.

.

4) Рассчитываем погрешность:

5) Строим теоретическую и экспериментальную линии регрессии:

Построение регрессионной зависимости, составление ПФЭ и ДФЭ и их анализ

Задание 3

Найти оценки коэффициентов регрессионной зависимости и проверить регрессионную зависимость на адекватность для трехфакторного полнофакторного эксперимента. Исходные данные для расчетов приведены в таблице Б.3.

Таблица Б.3

N
1	+1	1	1	1	+1	+1	+1	9,92	9,93	9,91
2	+1	+1	1	1	1	+1	1	-10,36	-10,39	-10,39
3	+1	1	+1	1	1	1	+1	-4,06	-4,01	-3,95
4	+1	+1	+1	1	+1	1	1	-4,35	-4,42	-4,32
5	+1	1	1	+1	+1	1	1	0,05	-0,08	0,03
6	+1	+1	1	+1	1	1	+1	7,64	7,50	7,59
7	+1	1	+1	+1	1	+1	1	-6,02	-6,04	-5,90
8	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	21,66	21,64	21,58

1)Рассчитываем среднее значение в каждом опыте:

2)Рассчитываем построчную дисперсию:

3) Рассчитываем критерий Кохрена:

=0,77.

Так как

(0,25<0,77), то дисперсии признаются однородными и опыты воспроизводимы и регрессионный анализ продолжают.

4) Находим оценки коэффициентов регрессионной зависимости:



5) Строим регрессионную зависимость:

y

6) Находим экспериментальное значение для каждого эксперимента:

7) Рассчитываем погрешности:



8) Определяем оценку значимости коэффициентов в регрессионной зависимости:

8.1 Рассчитываем дисперсию воспроизводимости:

8.2 Находим дисперсию коэффициентов:

8.3 Рассчитываем критерий Стьюдента:

8.4 Так как () , то данный коэффициент не значим, значит его следует исключить из регрессионной зависимости. В этом случае регрессионная зависимость будет иметь следующий вид:

9) Находим расчетное значение выходной величины :

10) Рассчитываем погрешность:

11) Расчет критерия Фишера: 11.1 Рассчитываем дисперсию адекватности:

11.2 Находим критерий Фишера:

Так как (), то модель адекватна и ее можно использовать для дальнейшего исследования.

Вывод: фактор оказывает наибольшее влияние на y, так как у него большая оценка коэффициентов.

Задание 4

Упростить регрессионную зависимость, найти оценки коэффициентов регрессионной зависимости

и проверить регрессионную зависимость на адекватность для четырехфакторного дробнофакторного эксперимента с генерирующим соотношением

.

Исходные данные для расчетов приведены в таблице Б.4.

Таблица Б.4

N
1									7,55	7,46	7,47
2									-6,51	-6,41	-6,58
3									-10,47	-10,53	-10,58
4									-4,56	-4,58	-4,51
5									1,59	1,51	1,50
6									7,59	7,44	7,48
7									-0,52	-0,54	-0,5
8									25,43	25,50	25,59

1=

1)Рассчитываем среднее значение в каждом опыте:

2)Рассчитываем построчную дисперсию:

3) Рассчитываем критерий Кохрена:

=0,77.

Так как (0,26<0,77) то дисперсии признаются однородными и опыты воспроизводимы.

4) Находим оценки коэффициентов регрессионной зависимости:

5) Строим регрессионную зависимость:

y

6) Находим экспериментальное значение для каждого эксперимента:

=

.

7) Рассчитываем погрешность:

8) Определяем оценку значимости коэффициентов в регрессионной зависимости:

8.1 Рассчитываем дисперсию воспроизводимости:

8.2 Находим дисперсию коэффициентов:

8.3 Рассчитываем критерий Стьюдента:

8.4 Так как

( -1,40< 2,30) и (1,10< 2,30),

то данные коэффициенты не значимы, то их следует исключить из регрессионной зависимости. Тогда регрессионная зависимость будет иметь следующий вид:

9) Находим расчетное значение выходной величины:

=

10) Рассчитываем погрешности:



11) Расчет критерия Фишера:

11.1 Рассчитываем дисперсию адекватности:

11.2 Находим критерий Фишера:

Так как () то модель адекватна и ее можно использовать для дальнейшего исследования.

Вывод: фактор оказывает наибольшее влияние на y , так как у него большая оценка коэффициентов.

Выполнение дисперсионного анализа по результатам выполненных измерений

Задание 5

Определить влияние качественного фактора при однофакторном дисперсионном анализе. Исходные данные для расчетов приведены в таблице Б.5.

Таблица Б.5

M N	1	2	3	4	5
1	0	3	16	1	1
2	11	16	35	33	32
3	23			4

Решение:

1) Рассчитываем среднее по группам:

2) Рассчитываем общее среднее:

3) Рассчитываем общую компоненту ошибки:

3.1

3.2 Находим компоненту ошибки:

4) Находим погрешность вычисления общей компоненты:

5) Рассчитываем критерий Фишера:

Вывод: так как (9,353,42), то нулевая гипотеза о влиянии качественного фактора принимается.

Задание 6

Определить влияние качественных факторов при двухфакторном дисперсионном анализе с иерархической структурой. Данные для расчетов приведены в таблице Б.6.



Таблица Б.6

	1	2	3	4	5
1	46	60	25	12	79	51,53
	38	81	36	44	55
	21	53	85	89	72
2	27	37	92	51	48	42,932
	39	5	83	8	33
	42	54	26	57	42
3	43	73	27	77	49	36,658
	11	52	17	59	23
		71		14	18
4	49	7	38	80	64	56,258
	89	46	78	82	74
	64	21	16	67	69

1) Находим среднее подгрупп:

2) Рассчитываем среднее основных групп:

3) Рассчитываем общее среднее:

4) Находим

-

характеризует отклонение между основными группами:

5) Находим - характеризует отклонение внутри основных групп между подгруппами:

6)Находим - характеризует отклонения внутри подгрупп, связанные с влиянием случайных величин.



7) Рассчитываем погрешность:

8) Рассчитываем критерий Фишера:

(), то гипотеза о равенстве постоянного среднего каждой групп принимается.

,00.

Вывод: так как (2,12 5,67), то гипотеза об отсутствии различий между средними подгрупп в каждой основной группе принимается.

Задание 7

Определить влияние качественных факторов и их взаимодействия при двухфакторном дисперсионном анализе с перекрестной структурой. Данные для расчетов приведены в таблице Б.7.

Таблица Б.7

	1	2	3	4	5
1	49	59	27	17	71	53,27
	41	80	38	49	47
	24	52	87	94	64
2	30	36	94	56	40	43,13
	42	4	85	13	25
	45	53	28	62	34
3	47	72	29	82	41	36,07
	15	51	19	64	15
	11	70		19
4	52	6	40	85	56	56,47
	92	45	80	87	66
	67	20	18	72	61
	42,92	45,42	45,84	58,08	43,92	47,24

1) Рассчитываем среднее подгрупп:

2)Рассчитываем среднее значение по строкам таблицы

3)Рассчитываем среднее значение по столбцам таблицы

4) Рассчитываем общее среднее:

5) Находим полную сумму квадратов:

5.1 Находим - сумма квадратов отклонений "между строками":

5.2 Находим - сумма квадратов отклонений "между столбцами":

5.3 Находим - сумма квадратов отклонений "между сериями":

5.4 Находим - сумма квадратов отклонений "внутри серии":

Рассчитываем общую компоненту:

6) Рассчитываем погрешность:

7) Рассчитываем критерий Фишера:

() то гипотеза о не существенном влиянии факторов принимается.

.

Вывод: так как (2,34 12,11), то гипотеза об отсутствии взаимодействия факторов принимается.

Задание 8

Построить греко-латинский квадрат размерностью 7*7 и определить влияние качественных факторов и их взаимодействия. Данные для расчетов приведены в таблице Б.8.

Таблица Б.8.

	1	2	3	4	5	6	7
1	Aб	Bв	Cг	Dд	Eе	Fn	Gm	47,57
	23	34	21	45	56	67	87
2	Gв	Aг	Bд	Cе	Dn	Em	Fб	56
	43	56	43	45	46	48	111
3	Fг	Gд	Aе	Bn	Cm	Dб	Eв	47
	45	76	56	48	40	35	29
4	Eд	Fе	Gn	Am	Bб	Cв	Dг	30,14
	66	24	33	44	55	66	77
5	Dе	En	Fm	Gб	Aв	Bг	Cд	54,86
	45	34	87	76	65	34	43
6	Cn	Dm	Eб	Fв	Gг	Aд	Bе	55
	32	57	23	45	118	49	61
7	Bm	Cб	Dв	Eг	Fд	Gе	An	59,71
	68	12	23	63	74	86	92
	45,86	41,86	40,86	52,29	64,86	55	71,43	53,59

1) Находим среднее значение по строкам таблицы

2) Находим среднее значение по столбцам таблицы

3) Найдем общую среднюю из всего числа наблюдений

4) Найдем среднее латинских букв

5) Найдем среднее грeческих букв

6) Рассчитаем суммы квадратов отклонений для факторов , , , статистический эксперимент регрессионный зависимость

6.1 Найдем общую сумму квадратов отклонений.

6.2 Найдем остаточную сумму квадратов

7) Определим расчетные значения коэффициентов Фишера и сравним их с теоретическим ()

Вывод: Так как ,,,

, то гипотеза о влиянии всех четырех факторов принимается.

Повышение эффективности и экономичности планирования экспериментов путем априорного ранжирования факторов

Задание 9

Определить согласованность мнений экспертов и установить, какие из факторов необходимо включать в круг рассматриваемых, влияющих на выходную величину исследуемого объекта, используя один из методов отсеивающего эксперимента (метод ранжирования априорной информации).

Данные для расчетов приведены в таблице Б.9.

Таблица Б.9

Эксперты
1	9	7	5	10	9	10	8	9	8	10	54
2	8	9	6	10	8	10	4	8	4	10	54
3	7	10	9	8	7	8	3	7	3	8	54
4	7	8	5	9	7	9	6	7	6	9	54
	31	34	25	37	31	37	21	31	21	37	216
	0,5	3,5	-5,5	6,5	0,5	6,5	-9,5	0,5	-9,5	6,5
	0,25	12,25	30,25	42,25	0,25	42,25	90,25	0,25	90,25	42,25	S=350,5

1) Рассчитываем суммы рангов для каждого фактора:

2) Рассчитываем среднее значение суммы рангов:

3) Рассчитываем разности между суммой рангов каждого фактора и средним значением суммы рангов:

4) Вычисляем квадрат найденной разности для каждого фактора:

5) Рассчитываем суммы квадратов отклонений:

6) Рассчитываем суммарное количество повторных рангов по каждому специалисту:



7) Находим сумму повторяемости ранжирования:

=54+54+54+54=216.

8) Вычисляем коэффициент конкордации:

9) На основании полученных результатов строим гистограмму:

Вывод:

1) Из диаграммы результатов видно, что факторы х7, х9, х4, х6, х10 имеют большую сумму рангов, и они являются наиболее значимыми для эксперимента, а факторы х3, х2, х1, х5, х8 отсеиваются.

2) Так как, коэффициент конкордации равен ( 0,28), то согласованность мнений экспертов низкая.



Список используемой литературы

1. Н. Джонсон, Ф. Лион. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. Издательство "Мир", г. Москва 1981г.

2. Спиридонов А. А. Планирование эксперимента при исследовании технологических процессов. г.Москва "Машиностроение" 1981г.

3. Мурашкина Т.И., Мещеряков В.А., Бадеева Е.А. Теория измерений. ФГУП "ПО старт"., 2007.151с.:ил.

4. Родина Т.Г. Сенсорный анализ продовольственных товаров, Издательский центр "Академия", 2004.-208с.

5. Грачев Ю.П. Математические методы планирования экспериментов. ДеЛи принт, 2005-296с.

Размещено на Allbest.ru