Многогранники

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Многопрофильный гуманитарно-технический колледж

Реферат

Тема: «Многогранники»

Выполнила: студентка группы 1К-4с Немченко В.Н.

Проверила: преподаватель математики Кабиева Г.К.

Караганда 2016 год

План

1. Объяснение темы, рисунки, примеры, теорема, доказательство

2. Практическая работа

3. Тест

4. Список используемой литературы

1. Объяснение темы, рисунки, примеры, теорема, доказательство

Правильным многогранником называется выпуклый многогранник, грани которого - равные правильные многоугольники, а двугранные углы при всех вершинах равны между собой. Доказано, что в каждой из вершин правильного многогранника сходится одно и то же число граней и одно и то же число ребер.

Всего в природе существует пять правильных многогранников. По сравнению с количеством правильных многоугольников это - очень мало: для каждого целого n>2 существует один правильный n-угольник, т.е. правильных многоугольников - бесконечно много. Правильные многогранники имеют названия по числу граней: тетраэдр (4 грани): гексаэдр (6 граней), октаэдр (8 граней), додекаэдр (12 граней) и икосаэдр (20 граней). По-гречески "хедрон" означает грань, "тетра", "гекса" и т. д. - указанные числа граней. Нетрудно догадаться, что гексаэдр есть не что иное, как всем знакомый куб. Грани тетраэдра, октаэдра и икосаэдра - правильные треугольники, куба - квадраты, додекаэдра - правильные пятиугольники.

Если обозначить количество углов у одной грани правильного многогранника за q, а количество граней, сходящихся в одной вершине - за p, можно получить точные характеристики каждого правильного многогранника. Вот они (первое число - q, второе - p): (3;3), (3;4), (4;3), (3;5), (5;3). При этом у куба и октаэдра, а также у икосаэдра и додекаэдра, числа p и q оказываются как бы переставленными. Эти многогранники называют двойственными. Тетраэдр считается двойственным сам себе. У двойственных многогранников количество ребер одинаковое.

Правильные многогранники симметричны. Это означает, что для любого произвольно выбранного ребра AB и примыкающей к нему грани F можно так повернуть многогранник, что ребро AB перейдет в любой отличное от него ребро CD, точка A - в любой его конец (C или D), а грань F совпадет с одной из двух примыкающих к нему граней. Таких возможных поворотов - самосовмещений всего существует 4P, где P - число ребер многогранника. При этом половина из них - повороты вокруг воображаемых осей, соединяющих центр многогранника с его вершинами, серединами ребер и граней на углы, кратные соответственно 2p/q, p и 2p/p, а другая половина - симметрии относительно плоскостей и "зеркальные повороты". Указанное "свойство максимальной симметричности" иногда принимают за определение правильного многогранника. Но человеку, далекому от математики, трудно представить себе геометрическое тело с таким определением.

Иоганн Кеплер называл куб "родителем" всех правильных многогранников. На основе куба он смог построить все другие виды правильных многогранников.

Если провести в противоположных гранях куба скрещивающиеся диагонали, то их концы окажутся вершинами тетраэдра, а вершины октаэдра - это центры граней куба. Полученные многоугольники действительно правильные, так как их грани - правильные треугольники. Равенство же двугранных углов следует из того, что при повороте куба ребро многогранника можно перевести в любое другое.

Для того, чтобы построить икосаэдр, на каждой грани куба нужно построить отрезок длиной x (пока что это - любая длина) так, чтобы он был параллелен двум сторонам своей грани и перпендикулярен таким же отрезкам на соседних гранях. Середина его должна совпадать с центром грани. Соединим концы этих отрезков между собой, и мы получим двадцатигранник, грани которого - треугольники, и при каждой вершине их пять. Найдем такое число x, при котором все ребра этого многогранника равны, т. е. он правильный. Т.к. куб симметричен, то все ребра, не принадлежащие граням куба равны между собой. Примем длину ребра куба за a. Рассмотрим треугольник ABC (рис. 2), где AC=a-x, BC2=CD2+BD2 = 1/4a2+1/4x2. По теореме Пифагора получаем: AB2=AC2+CB2=(x2+a2+(a-x)2)/4.

Приравнивая AB к x, получаем квадратное уравнение: x2+ax-a2=0, откуда x=a(Ц5-1)/2. Интересно, что полученный множитель при a, т. е. отношение ребра куба к ребру вписанного в него икосаэдра - не что иное, как золотое сечение.

Теперь докажем равенство двугранных углов. Рассмотрим 5 ребер, выходящих из точки A. Концы их всех равноудалены и от точки A, и от центра куба O. Отсюда следует, что они лежат на пересечении двух сфер с центрами A и O, а значит - на окружности, причем ребра, соединяющие их с точкой A, равны. Значит, эти пять точек и точка a - вершины правильной пирамиды, а ее двугранные углы при вершине равны.

Додекаэдр из икосаэдра можно получить так же, как и октаэдр из куба. соединяя середины смежных граней икосаэдра, мы получаем правильный пятиугольник. Всего таких пятиугольников будет 12. Двугранные углы многоугольника будут равны, так как трехгранные углы при его вершинах имеют равные плоские углы.

Правильные многогранники также называют платоновыми телами, хотя они были известны еще за несколько веков до Платона.

В одном из своих диалогов Платон связал правильные многоугольники с четырьмя стихиями. Тетраэдру соответствовал огонь, кубу - земля, октаэдру - воздух, икосаэдру - вода. Додекаэдру соответствовала пятая стихия - эфир.

Так называемые полуправильные многогранники связывают с именем Архимеда. Это 13 тел, полученных при усечении правильных многогранников и два бесконечных ряда правильных призм и антипризм с равными ребрами.

В эпоху Возрождения ученый Иоганн Кеплер вслед за Платоном попытался связать правильные многогранники со строением Вселенной. С большей или меньшей точностью он разместил между сферами, содержащими орбиты шести известных планет, правильные многогранники таким образом, что каждый был описан около меньшей сферы и вписан в большую. Но имя Кеплера в геометрии прославило открытие двух из четырех правильных звездных тел. Два других в 1809 г. нашел француз Луи Пуансо.

Тетраэдр Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр

Рис. 1 Правильные многогранники

Рис. 2 Получение правильных многогранников из куба

Рис. 3 Архимедово тело, образованное из икосаэдра

Рис. 4 Одно из звездных тел

Примеры:

№1. Найдите угол между двумя ребрами правильного октаэдра, которые имеют общую вершину, но не принадлежат одной грани.

Найдем угол между АВ и AD. Так как АВ = ВС = CD = AD, то ABCD -- ромб.

Но так как в пирамиде MABCD боковые ребра равны, то основание высоты падает в центр описанной вокруг основания ABCD окружности. А раз вокруг ромба можно описать окружность. то этот ромб -- квадрат. Таким образом, ?BAD=90.

№2. В правильном тетраэдре h -- высота, m -- ребро, а n -- расстояние между центрами его граней. Выразите: а) m через h; б) n через m.

В тетраэдре DABC:

центры граней ABC и DBC.

а)

б) Заметим, что в плоскости ADH треугольники ADH и O₂O₁H подобны, так как

-- общий. Тогда

таким образом

№3. Ребро куба равно а. Найдите площадь сечения, проходящего через диагонали двух его граней.

1. Найдем площадь ДA₁DC₁.

Тогда

Это площадь сечения проведенного через диагональ соседних граней. II. Найдем площадь

так как АВС₁D -- прямоугольник.

Теорема Эйлера. Для простого многогранника

Доказательство. Удалим одну из граней многогранника. Теперь деформируем оставшуюся поверхность в плоскую сеть (собственно, это и есть планарный граф), состоящую из точек и кривых. Не умаляя общности, можно считать, что деформированные ребра являются отрезками. При этом число вершин, ребер и граней не изменится, если считать, что внешняя для сети часть плоскости соответствует удаленной грани.

Теперь последовательно применим преобразования, которые будут упрощать полученную сеть, не изменяя эйлеровой характеристики, т.е. числа . многогранник куб эйлер площадь

1. Если есть многоугольная грань с более, чем тремя, сторонами, проведем диагональ. Это добавит одно ребро и одну грань. Будем добавлять ребра, пока все грани не станут треугольниками.

2. Будем удалять по одному треугольники, у которых две стороны являются границами с внешней областью. Тем самым, удаляется вершина, два ребра и одна грань.

3. Удалим треугольники, одна сторона которых общая с внешней гранью. Это уменьшает количество ребер и граней на один, при этом число вершин не изменяется.

Будем последовательно применять преобразования 2 и 3 до тех пор, пока не останется один треугольник. Для него (считая внешнюю грань), . Следовательно, , что и доказывает теорему.

2. Практическая работа

Задача №1. Основанием прямой призмы АВСA₁B₁C₁ является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом В. Через ребро ВВ₁ проведено сечение BB₁D₁D, перпендикулярное к плоскости грани АA₁C₁C. Найдите площадь сечения, если AA₁ = 10 см, AD = 27 см, DC= 12 см.

Решение:

Чтобы построить сечения, проведем BD ? AC, DD₁ || BB₁, отрезок D₁B₁. Поскольку АС ? В₁В, то АС ? пл. B₁BD. Пл. АА₁С₁С ? пл. DD₁B₁B (по известной теореме).

Поскольку D₁D ? BВ_Т и D₁D = BB₁, то DD₁B₁B - параллелограмм. Раз D₁D ? DB, то DD₁B₁B - прямоугольник.

Ответ: 180 см².

Задача №2. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45°. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

Решение:

Из того, что острые углы в ДА₁АС равны (45^о), следует, что ДА₁АС прямоугольный и равнобедренный, А₁А = АС.

По теореме Пифагора:

Ответ: 13 см.

Задача №3. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро равно 6 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания.

Решение:

Боковые грани - равные прямоугольники

Проведем B₁K ? АС. K попадет в середину АС (т.к. АВ₁С - равнобедренный).

Ответ: 8v21 (см²).

Задача №4. Через два противолежащих ребра куба проведено сечение, площадь которого равна 64 v2 см2. Найдите ребро куба и его диагональ.

Решение:

Через противоположные ребра AD и В1С1 проведено сечение AB1C1D; AB1C1D - прямоугольник.

Пусть ребро куба равно а.

(как диагонали граней).

Отсюда

Ответ: 8 см, 8v3 см.

Задача №5. Диагональ правильной четырехугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону нижнего основания и противолежащую сторону верхнего основания, если диагональ основания равна 4 v2 см.

Решение:

AB₁C₁D - прямоугольник (АВ ? AD, В₁В ? AD, по теореме о 3-х перпендикулярах АВ₁ ? AD, В₁С₁ || AD, значит, АВ₁ ? В₁С₁).

Пусть диагональ призмы B₁D = d.

Из квадрата ABCD:

Ответ: 16v7 см².

3. Тест

1. Сколько видов правильных многоугольников существует?

А) 3

Б) 4

В) 5

Г) 6

Д) 7

2. Какой из многогранников не имеет центра симметрии?

А) тетраэдр

Б) гексаэдр

В) октаэдр

Г) икосаэдр

Д) додекаэдр

3. Из каких равносторонних фигур составлен тетраэдр?

А) треугольников

Б) четырехугольников

В) пятиугольников

Г) шестиугольников

Д) восьмиугольников

4. Сколько ребер имеет гексаэдр?

А) 6

Б) 12

В) 30

Г) 18

Д) 24

5. Сумма плоских углов при каждой вершине гексаэдра равна

А) 324

Б) 300

В) 240

Г) 270

Д) 180

6. Сколько граней имеет октаэдр?

А) 4

Б) 6

В) 8

Г) 20

Д) 12

7. Сколько плоскостей симметрии имеет октаэдр?

А) 15

Б) 12

В) 9

Г) 6

Д) 3

8. Из каких равносторонних фигур составлен икосаэдр?

А) треугольников

Б) четырехугольников

В) пятиугольников

Г) шестиугольников

Д) восьмиугольников

9. Объем икосаэдра равен:

А) Б) В) Г) V=a³ Д)

10. Сколько граней имеет гексаэдр?

А) 4

Б) 6

В) 8

Г) 20

Д) 12

4. Список используемой литературы

1. http://nestudent.ru/show.php?id=19165.

2. http://5terka.com/node/7297.

3. http://hijos.ru/2012/06/20/teorema-ejlera-dlya-prostyx-mnogogrannikov/.

4. http://ggddzz.ru/reshebnik/gdz-po-geometrii-10-11-klass-pogorelov/paragraf-5/.

5. https://infourok.ru/test_na_temu_pravilnye_mnogogranniki-299328.htm.

Размещено на Allbest.ru