Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КІРОВОГРАДСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ім.Володимира Винниченко

Кафедра прикладної математики та економіки

РЕФЕРАТ (Модульна контрольна робота з ОНД)

На тему:«:Дійсні числа»

Студентки 32 групи

Пентюхової Віолетти Юріївни

Науковий керівник:

Волчанський Олег Володимирович

Кіровоград, 2016



ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ І. Історія виникнення проблеми ірраціонального числа

РОЗВІЛ ІІ. Дійсні числа

1. Множина раціональних чисел

1.1 Деякі символи математичної мови

1.2 Раціональні числа як нескінченні десяткові періодичні дроби

2. Дві основні задачі, які приводять до розширення множини раціональних чисел

2.1 Дві основні теореми для розширення множини

раціональних чисел

2.2 Ірраціональне число як нескінченний неперіодичний десятковий дріб

3. Множина дійсних чисел

4. Модуль дійсного числа і його властивості

4.1 Модуль дійсного числа і його властивості

4.2 Геометричний зміст модуля дійсного числа

4.3 Функція y=¦х

4.4 Тотожність = ¦а

5. Наближені значення дійсних чисел

ВИСНОВКИ

ЛІТЕРАТУРА

ДОДАТОК



ВСТУП

Математика вивчає просторові форми і кількісні відношення. Візьмемо, наприклад, який-небудь предмет. Нас може цікавити, яка його густина, міцність, теплопровідність. Відповіді на подібні запитання дає фізика. На запитання: З якої речовини цей предмет? Як на нього діють кислоти, луги? Чи може він горіти?- відповіді дає хімія. Але нас може цікавити й таке: Яка форма цього предмета? Які його розміри? Ці питання розглядаються в математиці.

Математика як наука сформувалася в Стародавній Греції в VII-III столітті до нашої ери, коли Фалес, Піфагор, Евклід та інші вченні систематизували відомі на той час математичні знання і виклали їх з точним обгрунтуванням. Тоді ж виникло і слово “математика”, яке в перекладі з грецької означає “знання”, “наука”.

Тепер математика потрібна всім. Без математичних обчислень не можна побудувати не тільки космічного корабля, електростанції, підводного човна, а й звичайного будинку. Від того, як зроблено попередні розрахунки, залежать вартість об'єкта, його якість і терміни спорудження. Важко знайти таку галузь людської діяльності, де можна було б обійтися без математики, причому з часом діапазон її практичних застосувань розширюється. Нині математичні методи проникли навіть у медицину, історію, лінгвістику та інші науки.

Збільшується не тільки кількість наук, які вже не можуть обходитись без математики, а й обсяг математичних знань, що застосовуються цими науками. Ось чому так важливо, щоб наша молодь мала грунтовну математичну підготовку.

Вивчення математики може також сприяти вихованню почуття патріотизму. Учням треба показати, що в розвиток математики внесли великий вклад і відомі всьому світові українські математики - М.В.Остроградський, Г.Ф.Вороний, М.Ф.Кравчук та ін., російські вчені - М.І.Лобачевський, П.Л.Чебишов, С.В.Ковалевська, О.М.Ляпунов та ін. Ми по праву можемо пишатися нашими математиками! Насамперед такими, як М.М.Боголюбов. І.М,Виноградов, В.М.Глушков, А.М.Колмогоров, Г.П.Бевз та ін.



РОЗДІЛ І. ІСТОРІЯ ВИНИКНЕННЯ ПРОБЛЕМИ ІРРАЦІОНАЛЬНОГО ЧИСЛА

Сукупність раціональних чисел немає властивості неперервності. Тому вона виявилась недостатньою при вивченні величин, які змінюються неперервно. Виникла потреба в розширенні поняття числа, яка полягає в переході від множини раціональних чисел до множини дійсних чисел. Цей перехід полягає в приєднанні до раціональних чисел так званих ірраціональних чисел, які виражаються через раціональні лиш наближено.

Ірраціональні числа виникли пізніше від раціональних і їх довго не визнавали за числа як такі; називали то “несумірними”, то “невиразними”, то “супротивними щодо розуму”.

Ще стародавні греки відкрили в геометрії існування несумірних відрізків. Це відкриття було поворотним пунктом в історії античної математики. Важко переоцінити значення цього відкриття. Ми не знаємо точно дослідження яких питань привело до відкриття несумірності. Це могло статися:

1).в геометрії при знаходженні спільної міри сторони і діагоналі квадрата;

2).в арифметиці могло виникнути питання про точне визначення такого дробу, квадрат якого дорівнює два.

Як би там не було мова йшла про відшукання і дослідження величини, яку ми тепер позначаємо .

Відкриття факту, що між двома відрізками--стороною і діагоналлю квадрата не існує спільної, хоч як завгодно малої, міри, привело до справжньої кризи основ грецької математики.

Піфагорійці, які відкрили існування несумірних відрізків, тримали це відкриття в таємниці, бо воно суперечило їх ідеалістичному вченню про гармонію чисел у навколишньому світі; не можна було визнавати справжнім їх учення про цілочисельну основу всього існуючого, у тому числі й геометричних величин.

“Піфагорійці пов'язували вічну душу з вічними формами числа, приписуючи цю властивість зокрема числу 10=1+2+3+4. Увесь світ, за їх ученням, складався з чистих чисел. Ця форма крайнього ідеалізму проявляється у Святій Трійці, чотирьох євангелістах, семи смертних гріхах тощо.

Відкриття несумірності діагоналі квадрата з його стороною нанесло серйозний удар по всій піфагорійській школі і сприяло її розпаду.

Незабаром було встановлено, що несумірність діагоналі і сторони квадрата не є винятком, що існують й інші величини, відношення яких не можна подати відношенням двох (цілих) чисел. Феодор з Кірени (Vст.до н.е.) показав, що сторони квадратів, площі яких лорівнюють 3, 5, 6, 7,…, 17, несумірні з стороною одиничного квадрата.

Замість того, щоб розширити поняття числа, греки дійшли висновку, що треба відокремити вивчення цілих чисел від геометрії; встановлюється точна межа між арифметикою і геометрією.

Усі ірраціональності, до яких ведуть розв'язування квадратних рівнянь, Евклід побудував суто геометрично. Відомо “задача про подвоєння куба” привела греків до ірраціональностей вищого порядку; цю задачу вони розв'язали також геометрично і за допомогою побудови довели існування несумірних відрізків вищого порядку.

Відкриттю несумірних величин надавали важливого значення ще в старовину. Так, видатний старогрецький філософ Арістотель (384-322р.р.дон.е.) вказував, що воно викликало здивування, як і всяке справжнє наукове відкриття.

Факт існування несумірних відрізків не гальмував розвитку геометрії. Греки розробили теорію відношень відрізків, яка враховувала можливість їх несумірності; вони вміли порівнювати такі відношення за величиною, виконувати над ними арифметичні дії (в суто геометричній формі), інакше кажучи, користувалися такими відношеннями як числами.

Щоб позбутися ірраціональних чисел, греки вживали їх наближення, досить точні для практичних обчислень. В Архімеда ці наближення мали науковий характер. І хоч Герон Олександрійський при обчисленні площ добуває квадратний корінь з добутку чисел, а Діофант Олександрійський говорить уже про числа нераціональні, однак, ідея про те, що відношеня довжин несумірних відрізків можна розглядати як число, в грецькій математиці не була усвідомлена до кінця.

Отже: можна сказати, що у вирішенні проблеми в галузі розширення поняття про число греки майже нічого не зробили. Як для Евкліда, так і, по суті, для Діофанта існувало тільки ціле число.

Індійці і араби розглядали ірраціональні числа як числа нового виду. Вони не задумувались над тим, чи законно додавати, перемножувати, ділити ірраціональні числа. Так, наприклад, Бхаскара знищує ірраціональніcть у знаменнику, множачи чисельник і знаменник на той самий ірраціональний множник.

Термін “ірраціональний” у математичному розумінні вперше застосував у XIV ст.англійський математик Брадвардін (близько 1290-1349). Поняття числа з цим терміном пов'язує вперше (1544) німецький математик Штіфель. Але й він під час введення дій над ірраціональними числами вдається, як і Евклід, до відрізків.

Таким міркуванням властива загальна риса - ірраціональні числа не вважали повноправними числами. Але ці числа треба було розглядати, вивчати, бо зокрема, обчислюючи ірраціональні корені алгебраїчних рівнянь і логарифми чисел, визначаючи значення тригонометричних функцій і т.д., доводилося шукати їх достатні раціональні наближення і, по суті, оперувати ними як числами.

Велике значення для розвитку поняття ірраціонального числа мали праці Стевіна. Він був першим математиком, який повністю підтримував точку зору визнання повної рівноправності раціональних та ірраціональних чисел, однак, останні почали застосовувати разом з від'ємними числами тільки після появи геометрії Декарта (1637).

Ідея Декарта привела до узагальнення поняття про число. Між точками прямої і числами було встановлено взаємно однозначну відповідність. У математику була введена змінна величина.

До початку XVIII ст. сформувалися три тлумачення поняття ірраціональної величини:

1).ірраціональне число розглядали як корінь n-го степеня з цілого або дробового числа, коли результат добування кореня не можна виразити “точно” цілим або дробовим числом (найдавніше);

2).ірраціональне число трактували як межу, до якої його раціональні наближення можуть підійти як завгодно близько (це тлумачення йде від Стевіна і Валліса);

3).число розглядали як відношення однієї величини до другої величини такого самого роду, взятої за одиницю; коли величина несумірна з одиницею, число називали ірраціональним (Ньютон, Декарт).

Два останні означення ірраціонального числа довго не поширювались. Математики найчастіше трималися першого означення і говорили не про ірраціональні числа, а про ірраціональні величини. Тільки найпередовіші математики кінця XVII і початку XVIII ст.--Ньютон , Лейбніц та інші--вважали поняття ірраціонального числа об'єктивним, трактували його по-новому і широко застосовували в математиці.

У другій половині XVIIIст., у зв'язку з дальшим розвитком механіки і математики, об'єктивність поняття ірраціонального числа набуває ширшого визнання. Третє означення ірраціонального числа стає на перше місце і повсюдно проникає в літературу. Водночас дещо розвивається і друге тлумачення поняття ірраціонального числа. Так, Ейлер, Ламберт та інші вчені встановили, що нескінченний періодичний дріб завжди є раціональним числом. Тому ірраціональне число є нескінченним неперіодичним дробом. Однак аж до другої половини XIXст.не було розроблено загальної теорії ірраціональних чисел.

Остаточного розвитку теорія ірраціональних чисел набула тільки в другій половині XIXст.у працях німецьких математиків Дедекінда, Кантора і Вейєрштрасса.

РОЗДІЛ ІІ. “ДІЙСНІ ЧИСЛА”

1. Множина раціональних чисел

Учні 8-го класу часто зустрічали крім раціональних чисел ще й числа іншої природи - до них часто приводить операція добування квадратного кореня (і не тільки вона). Отже, треба більш досконало познайомитися з новими числами. Але для цього доцільно було б систематизувати знання учнів про вже відомі, тобто раціональні, числа.

1.1. Деякі символи математичної мови

Учням добре відомі натуральні числа:

1, 2, 3, 4, …

Множина всіх натуральних чисел позначається буквою N.

Якщо до натуральних чисел приєднати число 0 і всі цілі від'ємні числа:

-1, -2, -3, -4,…

то одержиться множина цілих чисел. Цю множину позначають буквою Z.

якщо до множини цілих чисел приєднати всі дробові числа:

2/3, 15/8, -33/58,…

то одержиться множина раціональних чисел. Цю множину позначають буквою Q.

Будь-яке ціле число m можна записати у вигляді дробу m/1, тому можна твердити, що

Множина Q раціональних чисел--це множина, яка складається із чисел виду m/n, -m/n (де m,n - натуральні числа) і числа 0.

Використовуючи введені позначення N,Z,Q бажано ввести наступне:

замість “n -натуральне число “ можна писати nєN(і читатиметься: “елемент n належить множині N”). Математичний символ є називають знаком належності; аналогічно записують mєZ (“m - ціле”), rєQ (“r - раціональне число”). Зрозуміло, що N - частина множини Z, а Z - частина множини Q. Для зображення даної ситуації в математиці також є спеціальне позначення:

NZ, ZQ

Математичний символ називають знаком включення (однієї множини в іншу).

Взагалі, в математиці запис хєХ позначає те, що х--один з елементів множини Х. Запис АВ означає, що множина А є частиною множиниВ. Математики частіше кажуть: А--підмножина множини В.

Потрібно звернути увагу учнів на те, що множини в математиці позначають великими літерами, а елементи множин--маленькими .

А також звернути увагу на те, що знаки належності і включення--різні, відповідно і .

Для того щоб записати, що елемент х не належить множині Х або що множина А не є підмножиною множини В, використовують ті ж символи, але перекреслені: х Х, А В.

Доцільно було б навести кілька прикладів використання введених математичних символів для скорочення запису справедливих математичних тверджень--їх називають також істинними висловленнями.

Прикл1.

А) 5 N, 5Z, 5Q;

Б) -7N, -7Z, -7Q;

B) 3,5 N, 3,5 Z, 3,5Q;

Г) N, Z, Q;

Прикл 2.

2[1,3]; 1[1,3]; 1(1,3).

Приклад 3.

А) NZ, ZN, ZQ, QZ;

Б) (1,3)[1,3], [1,3](1,3),[1,3](0,+?),[2,5](3,8).

1.2. Раціональні числа як нескінченні десяткові періодичні дроби.

До раціональних чисел, як вже не раз підкреслювалось, відносяться всі ті числа, з якими учні успішно оперували до тих пір,поки не зустрілись з квадратними коренями. Це були цілі числа, звичайні дроби і десяткові дроби. Для всіх цих чисел використовується один і той же спосіб запису, який би доцільно обговорити.

Розглянемо, наприклад, ціле число 5, звичайний дріб 7/22 і десятковий дріб 8,377. Ціле число 5 можна записати у вигляді нескінченного десяткового дробу: 5,00000… Десятковий дріб 8,377 також можна записати у вигляді нескінченного десяткового дробу: 8.3770000… Для числа 7/22 використаємо метод “ділення кутом”:

7,000000… 22

-66 0,31818…

40

-22

180

-176

40

-22

180

…

Звідси видно, що починаючи з другої цифри після коми, відбувається повторення однієї і тієї ж групи цифр: 18, 18, 18,… Таким чином, 7/22=0,3181818… Скорочено це записують так: 0.3(18)

Група цифр після коми, яка повторюється, називається періодом, а сам десятковий дріб--нескінченним десятковим періодичним дробом.

Між іншим, і число 5 можна подати у вигляді нескінченного періодичного дробу. Для цього треба в періоді записати число 0:

5=5,00000…=5,(0).

Аналогічно число 8,377:

8,377=8,377000…=8,377(0)

Щоб все було акуратно, кажуть так: 8,377--скінченний десятковий дріб, а 8,377000…-- нескінченний десятковий дріб.

Таким чином, і число 5, і число 7/22, і число 8,377 вдалося записати у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу.

Взагалі, будь-яке раціональне число можна подати у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу.

Заув.

Це пояснення зручне для теорії, але не дуже зручне для практики. Адже, якщо дано скінченний десятковий дріб 8,377, то для чого потрібний його запис у вигляді 8.377(0)? Тому кажуть так:

Будь-яке раціональне число можна записати у вигляді скінченного десяткового дробу або у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу.

Вище було показано, як звичайний дріб подають у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу. Справедливе і обернене: будь-який нескінченний десятковий періодичний дріб можна подати у вигляді звичайного дробу. Це означає, що будь-який нескінченний періодичний десятковий дріб є раціональне число.

Потрібно показати на прикладі, як нескінченний періодичний десятковий дріб перетворюють в звичайний дріб.

Прикл. Записати у вигляді звичайного дробу нескінченний періодичний десятковий дріб:а)1,(23); б)1,5(23).

Розв'язання

А) нехай х=1.(23), тобто х=1,232323… Домножимо х на таке число, щоб кома перенеслася вправо рівно на один період. Оскільки в періоді є дві цифри, то число х помножимо на 100. Отримаємо:

_ 100х=123.232323…

і х=1,232323…

100х-х=123,232323…-1,232323…,

99х=122

звідки знаходимо х=122/99

Отже, 1,(23)=122/99.

Б) Нехай х=1.5(23)=1,5232323…Спочатку помножимо х на 10, щоб в отриманому добутку період починався після коми: 10х=15,232323… Тепер число 10х помножимо на100--тоді кома перенесеться рівно на один період вправо: 1000х=1523.2323… Маємо

1000х=1523.232323…

10х=15,232323…

990х=1508; х=1508/990=754/495.

Відповідь: а) 1,(23)=122/99; б)1,5(23)=754/495.

Тепер узагальнимо все вище сказане:

Множину Q раціональних чисел можна розглядати як множину чисел виду m/n, де m--ціле число,n--натуральне число, або як множину нескінченних періодичних десяткових дробів.

2. Дві основні задачі, які приводять до розширення множини раціональних чисел

2.1 Дві основні теореми для розширення множини раціональних чисел

Вже неодноразово відмічалося, що не всі числа, з якими доводиться зустрічатися в реальному житті, є раціональними. Так, не є раціональним числом довжина гіпотенузи прямокутного трикутника з катетами 1см і 2см: дійсно, довжина с і довжини катетів пов'язані теоремою Піфагора: с²=1²+2², тобто с=см, а -- не раціональне число. Корені рівняння х²=7 також не раціональні числа--це числа і -. Щож це за числа, що не є раціональними?

Перш за все необхідно відмітити, що в математиці не заведено говорити “нераціональне число”, бо використовують поняття ірраціональне число. Терміни “раціональне число”, “ірраціональне число” походять від латинського слова ratio--“розум” (дослівний переклад:”раціональне число - розумне число”, “ірраціональне число--нерозумне число “; взагалі, так кажуть і в реальному житті: “він вчинив раціонально”--це означає, що він вчинив розумно; “так діяти нераціонально”--це означає, що так діяти нерозумно).

Ці висновки, які були зроблені інтуїтивно, з часом були науково підтверджені. Були виділені, як основні, дві задачі, які учнями вивчаються у вигляді теорем.

Т. Не існує такого раціонального дробу p/q (де p і q--натуральні числа), квадрат якого був би рівний 2.

Доведення. (методом від супротивного). Нехай існує такий дріб p/q, що (p/q)²=2. Будемо вважати, що дріб p/q нескоротний, тобто p і q немають спільних множників. Так як p²=2q², то звідси видно, що р- парне число : р=2r (де r-ціле число ) і тому q-непарне. Підставляючи замість р його вираз, знайдемо q²=2r². Звідси видно, що q-парне число. Отримане протиріччя і доводить теорему. дріб десятковий множина

Т. Сторона квадрата несумірна з його діагоналлю.

Доведення. Справді. Нехай сторона квадрата дорівнює 1. Припустимо, що довжина діагоналі такого квадрата визначається раціональним числом виду p/q, де p і q- натуральні числа. Дріб p/q вважатимемо нескоротним. Тоді згідно теореми Піфагора одержимо (p/q)²=2 або р²=2q². Тоді аналогічно попередньої теореми доводимо, що довжина діагоналі квадрата, сторона якого 1, не виражається раціональним числом.

У цьому випадку кажуть, що діагональ квадрата є несумірною з його стороною.

Числа, які задовольняють умови цих теорем називають ірраціональними.

Тепер ставиться задача розширити множину раціональних чисел, приєднавши до них числа нового роду--ірраціональні. Ця розширена область утворює множину дійсних чисел. Разом з тим покажемо, що в цій області залишаються справедливими всі властивості раціональних чисел, до яких відносяться арифметичні дії і порівняння чисел з допомогою знаків нерівності.

2.2 Ірраціональне число як нескінченний неперіодичний десятковий дріб

Розглянемо ірраціональне число . Очевидно, що воно міститься між числами 2 і 3; а якщо точніше, то між числами 2,2 і 2,3; якщо ще більш точніше, то між числами 2,23 і 2,24. Можна продовжити уточнення оцінок числа і визначити межі для третього десяткового знаку після коми. Одержимо 2,236²=4,999696, що менше 5; 2,237²=5,004167, що більше 5. Отже, 2,236< <2.237.

Аналогічно можна з'ясувати межі для четвертого знаку після коми, для п'ятого знаку іт.д. Зрозуміло, що наближене значення виконується 2,236. Якщо ж вважати. Що для числа виписані всі наступні десяткові знаки, то: =2,236… Це--нескінченний десятковий дріб. Вище ми розглядали нескінченні десяткові дроби, але вони були періодичні і вони виражали раціональні числа. Тільки що ми з'ясували, що ірраціональним числом називають нескінченний неперіодичний дріб.

Розглянемо один цікавий приклад. Якщо довжину будь-якого кола поділити на його діаметр, то одержиться ірраціональне число 3,141592… Цей факт був встановлений в ІІІст.дон.е.грецьким математиком і філософом Архімедом. Для цього числа в математиці введене спеціальне позначення р.

Будь-яка арифметична операція над раціональними числами зводиться в результаті до раціонального числа. А про ірраціональні числа нічого такого впевнено сказати неможна. Наприклад: - ірраціональне число , а =5--раціональне число , а якщо=-- ірраціональне число , причому -ірраціональне число. Все це стосується і інших операцій.

Цікаво, а якщо в операції приймають участь одне раціональне і одне ірраціональне числа, яке з них “пересилить”? як з'ясувалося “пересилить” ірраціональне число. Розглянемо приклад: дано раціональне число 3 і ірраціональне ; складемо суму 3+. Нехай це є раціональне число р, тобто 3+=р. Тоді =р-3, а р-3 є раціональним числом. Отримали, що - раціональне число, а це не вірно. Одержали протиріччя, отже, зроблене нами припущення неправильне, тобто 3+ -ірраціональне число. Аналогічно можна показати, щоі різниця є число ірраціональне. Якщо ці числа додати, то (3+)+(3-)=6--раціональне число.

Отже:

1. Будь-яка арифметична операція над раціональними числами в результаті приводить до раціональних чисел.

2. Арифметичні дії над ірраціональними числами в результаті може привести як до раціональних так і до ірраціональних чисел.

3. Якщо дія виконується над раціональним та ірраціональним числами, то одержимо--ірраціональне число .

3. Множина дійсних чисел

Якщо множину раціональних чисел доповнити множиною ірраціональних чисел, то разом вони складають множину дійсних чисел. Цю множину позначають літерою R; використовують також символічний запис (-;+).

Множину дійсних чисел можна описати таким чином: це множина скінченних і нескінченних дробів.

Кожне дійсне число можна зобразити точкою на координатній прямій, і навпаки, кожна точка координатної прямої має дійсну координату. Математично про це говорять так: між множиною дійсних чисел і множиною точок координатної прямої встановлено взаємно однозначну відповідність. Координатна пряма є геометрична модель множини дійсних чисел, тому координатну пряму часто називають числовою прямою.

Доцільно звернути увагу на те, що координатною прямою учні користувалися, починаючи з 5-го класу. Тепер очевидно, що в їх знаннях був недолік: не для будь-якої точки вони змогли б знайти координату.

Розглянемо приклад. Дана, координатна пряма, на її одиничному відрізку побудований квадрат, діагональ квадрата ОВ відкладена на координатній прямій від точки О вправо, одержали точку D (мал.1). Яка координата точки D? вона дорівнює довжині діагоналі квадрата, тобто . Це число нам відоме, і воно не ціле і не дріб. Отже, ні в 5-му класі, ні в 6-му, ні в 7-му, координату точки D учні не знайшли б.

Тому до сих пір і казали “координатна пряма”, а не “числова пряма”.

Відмітимо, що був ще один недолік в знаннях з алгебри. Розглядаючи вираз із змінними, завжди вважалось, що змінні можуть набувати будь-яких значень, але тільки раціональних, бо не було інших. На справді змінні можуть набувати будь-які дійсні значення. Наприклкад, в тотожності

(a+b)(a-b)=a²-b²

в ролі a і b можуть бути будь-які дійсні числа.

Для дійсних чисел a, b, c виконуються такі закони:

а+b=b+a;

аb=ba;

а+(b+c)=(a+b)+c;

а(bc)=(ab)c;

(a+b)c=ac+bc та інші.

Правила також виконуються:

Добуток (частка) двох додатних чисел-додатне число;

Добуток (частка) двох від'ємних чисел-додатне число;

Добуток (частка) додатнього і від'ємного чисел-від'ємне число.

Дійсні числа можна порівнювати одне з одним, використовуючи наступне означення.

Означення. Кажуть, що дійсне число а більше (менше) дійсного числа b, якщо їх різниця а-b-додатнє (від'ємне число). Пишуть a>b (a<b).

З цього означення видно, що будь-яке додатнє число а більше 0 ( оскільки різнця а-0=а-додатнє число), а будь-яке від'ємне число b менше 0 (оскільки різнця b-0=b- від'ємне число). Отже,

a>0 -означає, що а-додатнє число;

a<0 -означає, що а- від'ємне число;

a-b>0 -означає, що а-b додатнє число,тобто a>b;

a-b<0 - означає, що а-b від'ємне число,тобто a<b;

Поряд із знаками строгих нерівностей (<,>) використовуються знаки нестрогих нерівностей:

а?0 означає, що а більше або рівне нулю.

а?0 означає, що а менше або рівне нулю.

а?b означає, що а більше або рівне b.

а?b означає, що а менше або рівне b.

Наприклад, для будь-якого числа а справедлива нерівність а²?0; для будь-яких чисел а і b справедливо: (а+b)?0.

Взагалі для порівняння дійсних чисел необов'язково кожен раз складати різницю і з'ясовувати, додатна вона чи від'ємна. Можна зробити відповідний висновок порівнюючи записи чисел у вигляді десяткових дробів.

Геометрична модель множини дійсних чисел, тобто числова пряма, робить операцію порівняння чисел особливо наочною; з двох чисел а і b більше те, яке розміщене на числовій прямій правіше.

Прикл 1. Порівняйте числа:

а) і 4; б) 2+ і 5; в) -3,7 і ; г) - і -.

Розв'язування.

а) Маємо ; отже>4.

б) Маємо 2+= 2+2,236…=4,236…<5; тому 2+<5.

в) -3,7--від'ємне число, - додатнє. Будь-яке додатнє число більше за будь-яке від'ємне, тому -3,7<;

г) - -2,23; --2,64. Точка -2,64 розміщена на числовій прямій лівіше точки -2,36, тому - >-.

Прикл 2. Розмістити в порядку зростання числа:

, -, -2, , , .

Скористаємось тим, що . Тоді дані числа будуть розміщені таким чином: .

4. Модуль дійсного числа

4.1 Модуль дійсного числа і його властивості

В молодших класах учні вже зустрічались з поняттям модуля (або абсолютної величини) числа, користувалися позначенням ¦а¦. Вони знають, що, наприклад ¦5¦=5, ¦-3¦=3. Правда, раніше мова йшла лише про раціональні числа. Тепер потрібно ввести поняття модуля для будь-якого дійсного числа.

Означення.Модулем невід'ємного дійсного числа називають саме це число: ¦х¦=х; модулем від'ємного дійсного числа х називають протилежне число: ¦х¦=-х.

Скорочено це записують так:

(1).

Наприклад: ¦5¦=5; ¦-5¦=-(-5)=5; ¦-3,7¦=-(-3,7)=3,7; ¦-2¦=-2 (бо -2>0); ¦-3¦=-(-3)=3- (бо -3<0).

На практиці використовують різні властивості модулів, наприклад:

1. ¦а¦?0;

2. ¦ab¦=¦a¦¦b¦;

3.;

4.¦a¦²=a²;

5. ¦a¦= ¦-a¦.

4.2 Геометричний зміст модуля дійсного числа

Будемо розглядати множину R дійсних чисел і її геометричну модель -числову пряму. Позначимо на прямій дві точки а і b (а,b дійсні числа), позначимо через с(а,b) відстань між точками а і b. Ця відстань дорівнює b-а, якщо b>a, якщо a>b, вона дорівнює а-b, а якщо а=b то відстань рівна нулеві.

Всі три випадки виражаються формулою:

с(а,b)= ¦a-b¦.

Прикл 1. розв'язати рівняння:

а) ¦х-2¦=3; б) ¦х+3,2¦=2; в)¦х¦=2,7; г)¦х-¦=0;

Розв'язування.

А) Переведемо аналітичну модель ¦х-2¦=3 на геометричну мову: нам потрібно знайти на числовій прямій такі точки х, які задовільняють умову с(х,2)=3, тобто віддалені від точки 2 на відстань, яка рівна 3. Це точки -1 і 5. Звідси рівняння має два корені: -1 та 5.

Б). Рівняння ¦х+3,2¦=2 перепишемо у вигляді ¦х-(-3,2)¦=2 і далі с(х,-3,2)=2. На числовій прямій є дві точки які віддалені від точки -3,2 на відстань рівну 2. Це точки -5,2 і -1,2. Отже рівняння має два корені: -5,2 і -1,2.

В). Рівняння ¦х¦=2,7 перепишемо у вигляді ¦х-0¦=2,7, або с(х,0)=2,7. На числовій прямій є дві точки віддалені від точки 0 на відстань 2,7. Це точки -2,7 і 2,7. Таким чином рівняння має 2 корені: -2,7 і 2,7.

Г). Для рівняння ¦х-¦=0 можна не використовувати геометричну ілюстрацію, бо якщо ¦а¦=0, то а=0. Тому х-=0, тобто х=.

Прикл 2. Розв'язати рівняння:

а) ¦2х-6¦=8; б) ¦5-3х¦=6; в) ¦4х+1¦=-2.

Розв'язування.

а) Маємо ¦2х-6¦=¦2(х-3)¦=¦2¦¦х-3¦=2¦х-3¦=8, отже дане рівняння можна спростити ¦х-3¦=4.

Переведемо його на геометричну модель: нам потрібно знайти такі точки х на числовій прямій, які задовільняють умову с(х,3)=4, тобто віддалені від точки 3 на відстань рівну 4. Це точки -1 і 7. Отже рівняння має два корені -1 і 7.

б) Маємо¦5-3х¦=¦(-3)(х-)¦=¦-3¦¦х-¦=3¦х-¦. Це рівняння можна перетворити 3¦х-¦=6 звідки ¦х-¦=2, аналогічно попереднього рівняння маємо с(х, )=2. В результаті одержимо точки - і , тому рівняння має два розв'язки - і .

В) Для рівняння¦4х+1¦=-2 ніяких перетворень робити не треба. Воно не має коренів, тому, що у лівій його частині є невід'ємний вираз, а в правій від'ємне число.

4.3 Функція y=¦х¦

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для будь-якого дійсного числа х можна обчислити ¦х¦, тобто можна говорити про функцію y=¦х¦. Скористувавшись співвідношенням (1) можна записати:

Побудову графіка будемо здійснювати “частинами”. Спочатку будуємо пряму у=х і виділимо її частину на промені [0,+?) (мал.1). потім будуємо пряму у=-х і виділимо частину на (-?,0) (мал.2). тепер обидві частини зобразимо в одній системі координат -це і є графік функції y=¦х¦ (мал.3).

Прикл 3. Побудувати графік функції у= ¦х+2¦.

Розв'язування.

Графік цієї функції отримується з графіка функції y=¦х¦ зміщенням останнього на дві одиниці масштабу вліво (мал.4).



4.4 Тотожність = ¦а¦

Ми знаємо, що якщо а?0, то =а. А якщо а?0? Написати =а не можна, бо а<0 і буде<0, а це неправильно бо значення квадратного кореня невід'ємне. З'ясуємо чому рівний вираз при а<0.

За означенням квадратного кореня у результаті повинно вийти таке число, яке по-перше додатнє, і по-друге при піднесенні до квадрату повинно дорівнювати підкореневому виразу, тобто а². Таким числом буде а, якщо: 1) а>0, 2) (-а)²=а². Отже,

а, якщо х?0;

=

-а, якщо а?0.

Структура отримана в правій частині співпадає із співвідношенням (1). Отже, і ¦а¦--одне і теж. Цим ми довели важливу тотожність: = ¦а¦. В ролі а може бути будь-який числовий або алгебраїчний вираз.

Приклад 4. Спростіть вираз , якщо: а) а-1>0; б)а-2<0.

Розв'язування.

Оскільки =¦а-1¦, то

А) якщо а-1>0, =а-1;

Б) якщо а-1<0, =-(а-1)=1-а.

Приклад 5. Спростіть вираз , якщо а<0.

Розв'язування.

Маємо , оскільки за умовою а<0, то ¦а¦=-а. Врезультаті маємо:

.

5. Наближені значення дійсних чисел

В 7-му і 8-му класах учні часто розв'язували задачі графічним методом. Але в цих рівняння х були корені, які в системі координат зоображались без труднощів. Але так буває не завжди.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Розглянемо два рівняння =2-х і =4-х. Перше рівняння має єдиний корінь х=1, тому, що графіки функцій у= і у=2-х перетинаються в одній точці А(1,1) (мал.1). В другому випадку графіки функцій також перетинаються в одній точці В (мал.2), але з “поганими” координатами.

Користуючись малюнком, можна зробити висновок, що абсциса точки В приблизно рівна 2,5. В таких випадках говорять не про точний, а про приблизний розв'язок рівняння і записують так: х?2,5.

Це одна з причин, чому математики вирішили ввести поняття наближеного значення дійсного числа. Є і інша причина, більш важлива. Що таке дійсне число? Це нескінченний десятковий дріб. Але проводити обчислення з нескінченними десятковими дробами незручно, тому на практиці користуються наближенними значеннями дійсних чисел. Наприклад для числа р=3,141592…, користуються наближенням р?3,141 або р?3,142. Перше називають наближеним значенням числа з недостачею з точністю до 0,001, друге--з надлишком. Можна вибрати і більш точні наближення: наприклад р?3,1415 -наближення з недостачею з точністю 0,0001, або р?3,1416 -наближення з надлишком з точністю 0,0001. Також можна взяти менш точні наближення, скажемо, з точністю 0,01: з недостачею р?3,14, або з надлишком р?3,15.

Прикл 1. Знайти наближене значення з надлишком і з недостачею з точністю до 0,01 для числа: а); б) .

Розв'язування.

А) Ми знаємо, що =2,236…, тому , ?2,23 з недостачею і ?2,24 знадлишком.

Б) Маємо =0,3(18). Тому ?0,31 з недостачею і ?0,32 з надлишком.

Наближення з недостачею і надлишком іноді ще називають округленням числа.

Означення. Похибкою наближення (абсолютною похибкою) називають модуль різниці між точним значенням величини х і її наближенням а -¦х-а¦.

Виникає практичне запитання, яке наближення краще, з надлишком чи з недостачею, тобто в якому випадку похибка менша? Це, звичайно залежить від конкретного числа для якого складають наближення, тобто округлення. Як правило при округленні додатніх чисел використовують слідуюче правило.

Правило округлення.Якщо перша відкидаюча цифра менша 5, то треба брати наближення з недостачею, якщо ж перша відкидаюча цифра більша або рівна 5, то беруть наближення з надлишком.

Застосуємо це правило до деяких чисел і виберемо для них ті наближення для яких похибка буде найменша.

1)р=3,141592…, з точністю до 0,001 маємо р?3,142, тут перша цифра, яка відкидається, 5 тому взяли наближення з надлишком. З точністю до 0,0001 маємо р?3,1416 також наближення з надлишком. А ось з точністю до 0,01 треба взяти наближення з недостачею: р?3,14.

2) =2,236…, при наближенні з точністю до 0,01 маємо ?2,24--наближення з надлишком.

Якщо а--наближене значення числа х і ¦х-а¦?h, то кажуть, щопохибка наближення не перевищує h або що число х рівне числу а з точністю до h.



ВИСНОВКИ

Отже, в результаті дослідницької діяльності і опрацювання наукової та методичної літератури, ми показали методику викладання теми “Дійсне число” у 8 класі. Після такого викладу матеріалу хотілося б, щоб учні почерпнули для себе цікаву інформацію, засвоїли основні поняття, зрозумілі принципи їх використання.

Обов'язковий результат навчання:

В результаті вивчення теорії учні повинні:

а) мати уявлення про раціональні, ірраціональні, дійсні числа;

б) знати означення раціонального числа, як звичайного дробу і як нескінченного періодичного дробу;

в) розуміти числову пряму як геометричну модель множини дійсних чисел;

г) знати про модуль дійсного числа, його властивості і геометричний зміст;

д) вивчити функцію виду y=|x|, її властивості і графік;

е) запам'ятати тотожність .

Практично набути вміння:

а) використання нових символів в математичний мові: N,Z,Q,R;

б) навести приклади раціональних і ірраціональних чисел, порівняти дійсні числа за величиною і розміщувати їх в порядку зростання на числовій прямій;

в) знаходити модуль буль-якого дійсного числа і використувувати його геометричний зміст для розв'язування простих рівнянь з модулем.

г) використовувати в нескладних випадках формулу .

д) відшуковувати наближені значення дійсного числа із заданою точністю.

За одержаними результатами, можна говорити про майтерність вчителя; про його якості методиста.

ЛІТЕРАТУРА.

1.Бевз Г.П. Методика викладання математики: Арифметика, алгебра, початки аналізу і геометрії.- К.: Вища школа, 1972.- 320 с.

2.Бевз Г.П. Методика викладання математики.- К.: Вища школа, 1989.- 366 с.

3.Бородін О.І. Історія розвитку поняття про число і системи числення.- К.: Рад. школа, 1963.- 69с.

4.Капіносов А.М. Алгебра 9 клас: заключне повторення. Тестова перевірка знань, умінь і навичок.- Дніпропетровськ: Дніпро, 1993.- 96 с.

5.Кованцов М.І. Математична хрестоматія: Алнебра і початки аналізу.- К.: Рад. школа, 1977.- 174 с.

6.Кушель О.В. Розвиток поняття про число. Ознаки подільності. Досконалі числа.- К.: Вища школа, 1974.- 50 с.

7.Макаричев Ю.М., Мигдюк Н.Г. та ін. Підручник: Алгебра 8 клас.- К.: Рад. школа, 1990.- 356 с.

8.Мордкович А.Г. Алгебра 8 клас: учебник.- М.: 1998.- 150с.

9.Мордкович А.Г. Методические рекомендации для учителя.- М.: 1998.- 72 с.

ДОДАТОК

Як вже згадувалося, що на вивчення теми “дійсні числа” за програмою відведена дуже мала кількість годин. Тому доцільно було б для її закріплення провести факультативне заняття (присутність всіх учнів класу обов'язкова).

Факультативне заняття.

Тема: Дійсні числа.

Мета заняття: закріпити вивчений на уроці матеріал та виробити уміння і навички роботи з дійсними числами.

В структурі заняття виділимо 2 частини:

1). Коротке повторення теоретичного матеріалу;

2). розв'язування задач на дану тему.

Отже, згідно визначеного плану роботи повторимо вивчений матеріал.

Згадаємо, що якщо доповнити множину цілих чисел дробовими, то одержимо множину раціональних чисел. Яке число називається раціональним?

(учні). Раціональними називаються числа, які можна подати у вигляді дробу , де p і q - цілі. Цілі числа згідно цього означення можна розглядати як , де m - ціле.

Ми розглянули доповнення множини раціональних чисел ірраціональними. Які числа ірраціональні?

(учні) Ірраціональні числа - це числа які виражаються нескінченним неперіодичним дробом.

В результаті одержали множину дійсних чисел, яка заповнює так звану числову пряму. Нагадаємо, що звичайна пряма стає числовою, якщо на ній позначити 2 точки: 0 і 1. Тепер встановилася взаємно однозначна відповідність між точками прямої і дійсними числами.

Розглянемо основні типи задач, які пов'язані з теорією дійсного числа.

Одним із поширених типів задач є задачі на доведення ірраціональності даного числа.

№1. Довести ірраціональність числа .

Розв'язання. Припустимо протилежне: =r, де r - раціональне число. Тоді . Піднесемо до кубу: . Звідси, . Одержали, що рівне раціональному числу, а це протиріччя і доводить задачу.

Другий тип задач - це порівняння дійсних чисел.

№2. Порівняти, що більше .

Розв'язання.

Нехай . Піднесемо обидві частини до квадрата, віділяємо один корінь, знову підносимо до квадрату:

.

Тут очевидно, що 67<12^.7<12.

Звідси .

Тест.

1. Які з даних чисел: , є ірраціональні.

A. a,b,c. Б. a,d. В. c,b. Г.а.

2. Розмістіть числа , в порядку зростання.

А. a, b, c. Б. b, c, a. B. c, a, b. Г. a, c, b.

3. Яке із даних співвідношень є правильною числовою рівністю.

А..

Б..

В. .

Г. .

4. Спростіть вираз , якщо відомо, що .

А. . Б. .В. . Г. .

5. Чому рівні числа ;;.

А. , Б., В..

Код правильних відповідей: Б, Г, В, Б, А.

Учні підсумовують собі бали: 1 бал за кожне правильно розв'язане завдання.

Цей тест, в основному, виявить міру засвоєності ноаого матеріалу і допоможе вчителеві звернути увагу на ті питання, які викликають труднощі у учнів.

Тепер перейдемо до другої частини нашого заняття, тобто будемо розв'язувати різноманітні завдання.

№1. Даний періодичний дріб. Представити його у вигляді дробу виду : а) 0,(27), б) 0,(481).

Розв'язання.

а) число х=0,27. Тоді _100х=27,272727…

х=0,272727…

99х=27, . Звідси .

б) . Тоді одержимо:

_ 1000х=481,481481…

х=0,481481...

999х=481, то звідси .

№2 Доведіть ірраціональність числа .

Розв'язання.

Нехай =r - раціональне число. Піднесемо його до квадрата і перетворимо . Звідси, . Це означає, що рівний раціональному числу, що невірно, бо ірраціональне число. Отже ірраціональне число.

№3. Розв'язати рівняння: а) ; б).

Розв'язання.

А) Якщо Якщо

Відповідь: 1 або -5.

Б) Якщо ,якщо

Відповідь. 2 або -5.

№4 Спростити вираз , якщо відомо, що .

Розв'язання. , оскільки , то ,.

№5. Спростити вираз , якщо

а) , б) , в) .

Розв'язання

а) Якщо , то . Тоді

.

б) якщо , то . Тоді

в) якщо , то. Тоді

.

№6 Побудувати графік функції .

Якщо

Якщо

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тобто, при побудуємо пряму , а при побудуємо пряму .

На цьому занятті ми розглянули основні типи задач на тему “Дійсні числа”. Навчилися доводити ірраціональність чисел, порівнювати дійсні числа, розв'язувати рівняння з модулями, користуючись його означення.

Заняття закінчено.

Размещено на Allbest.ru