Математическое обеспечение САПР. Состав математического обеспечения. Требования к математическим моделям

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Введение

Автоматизация многих сфер человеческой деятельности прочно базируется на обработке, хранении и преобразовании больших объемов информации. Исключение не составляют и специализированные программные комплексы, занятые в сфере решения задач автоматизации проектирования, которые называются системами автоматизированного проектирования (САПР).

Математическое обеспечение (МО) САПР состоит из математических моделей объектов проектирования, методов и алгоритмов выполнения проектных операций и процедур. Основу МО САПР составляет математический аппарат для моделирования, синтеза структуры, одновариантного и многовариантного анализа, структурной и параметрической оптимизации. МО состоит из двух частей: специальное МО и инвариантное МО.

Специальное МО отражает специфику объекта проектирования, физические и информационные особенности его функционирования и тесно привязано к конкретным задачам проектирования. Эта часть математического обеспечения охватывает математические модели, методы и алгоритмы их получения, алгоритмы одновариантного анализа, а также большую часть используемых алгоритмов синтеза.

Инвариантное МО включает методы и алгоритмы, слабо связанные с особенностями МО и используемые при решении различных задач проектирования. Это -- методы и алгоритмы многовариантного анализа и параметрической оптимизации.

При создании МО САПР должны учитываться следующие показатели: универсальность, алгоритмическая надежность, точность, затраты машинного времени, объем используемой памяти.

Универсальность МО определяет его применимость к широкому классу проектируемых объектов.

Алгоритмическая надежность -- свойство компонента МО давать при его применении и заранее определенных ограничениях правильные результаты.

Точность является наиболее важным свойством всех компонентов МО и определяет степень совпадения расчетных и истинных результатов.

Используемая память является вторым после затрат машинного времени показателем экономичности МО. Затраты памяти определяются длиной программы и объемом используемых массивов данных

В целях экономии затрат оперативной памяти используют внешнюю память (накопители на магнитных дисках, лентах, дискетах). Однако частые обращения к внешней памяти приводят к увеличению затрат машинного времени, поэтому при разработке методов проектирования, алгоритмов и программ продлится решать вопрос рационального использования двух видов памяти ЭВМ--внутренней (оперативной) и внешней.



1.Основы систем автоматизированного проектирования

1.1 Математическое обеспечение САПР

1. Состав и функции МО САПР

Математическое обеспечение (МО) включает в себя математические модели (ММ), методы и алгоритмы, необходимые для выполнения автоматизированного проектирования.

Математическое обеспечение САПР реализуется в виде программ и сопровождающей документации. На основе математического обеспечения решаются все задачи в САПР: постановка проблемы, организация вычислительного процесса и диалога человек - ЭВМ, анализ, синтез, техническое проектирование и т.д. Математическое обеспечение САПР делят на две основные составляющие: обслуживающую (общую) и проектирующую (специальную).

Обслуживающая составляющая математического обеспечения САПР содержит средства:

описания графических образов, накопления библиотек типовых изображений, редактирования, преобразования, называемые математическими средствами машинной графики;

обработки информационных массивов - методы сортировки, поиска элементов, преобразования структур и поиска данных;

обеспечения вычислительного процесса САПР;

сбора статистики параметров получаемых решений.

Количество частей обслуживающей составляющей математического обеспечения САПР увеличивается вместе с прогрессом теории и практики САПР.

Проектирующая или специальная составляющая математического обеспечения САПР содержит средства решения прикладных задач, на которые ориентирована САПР. Решение прикладных задач основывается на математическом моделировании объектов проектирования.

2. Общая модель объекта проектирования

Исторически известны два метода исследования: экспериментально - наблюдательный и теоретико - логический. Однако в САПР и кибернетике в целом, используют третий метод - моделирование. По сути это метод экспериментально-наблюдательный, но эксперименты проводятся не с реальным объектом, а с его моделью, которая проще и доступнее чем объект.

Модель - это система математических зависимостей, алгоритм или программа имитирующие структуру или функции исследуемого объекта. Модель в процессе изучения замещает объект оригинал, сохраняя его наиболее важные черты. Моделирование - представление различных характеристик поведения физической или абстрактной системы с помощью другой системы.

В САПР модели представляют в виде алгоритмов решения задач, а затем - в виде программ. Модели сложных объектов расчленяются на частные подмодели, разбиваются на более простые, отражающие отдельные стороны функционирования объекта (т.е. подвергаются декомпозиции на частные модели). Каждая частная модель представляет собой некоторое математическое преобразование (2.1.):

где Z = {zi, i=1..k} - совокупность выходных параметров модели;

F - оператор (модель) преобразования (F - функция от входных переменных);

Вектор Х = {xi, i=1..n} - совокупность внешних параметров, приходящих из модели более общей системы;

Вектор Y ={yi, i=1..m} - совокупность входных управляемых параметров модели, которыми может оперировать конструктор в процессе проектирования. Управляемые входные параметры могут меняться в заданных пределах, т.е. на них накладываются так называемые параметрические ограничения:

{yiн ? yi? yiв, i=1..m} (2.2.)

yiн и yiв - нижний и верхний пределы;

Математическое обеспечение САПР включает в себя математические модели и методики построения математических объектов проектирования и алгоритмов их решения. Методы МО используются для формализованного представления объекта проектирования в виде математических моделей, а методики и алгоритмы - при реализации конкретных алгоритмов решения задач проектирования с использованием математических моделей.

В дальнейшем по мере развития системы САПР математическое обеспечение будет пополняться новыми, необходимыми для описания процесса и объектов проектирования методами, методиками и алгоритмами.

3. Задачи анализа, оптимизации и синтеза

Известны три основных постановки задачи проектирования:

В первом случае заданы параметрические ограничения (2.2.) и модель (оператор) преобразования F, т.е. заданна полная система математических операций, описывающая численные или логические соотношения между множеством X и Y для получения Z. Требуется найти значение вектора Z для любого Y, удовлетворяющего ограничениям (2.2.) и вектору X. Это задача анализа. Она сводится к выполнению расчётов по формуле (2.1)

Во втором случае заданны ограничения (2.2.), математическая модель (оператор) F, а также заданы функциональные ограничения вида:

{QjH ? Qj(X, Y) ? QjB, j=1..p} (3.1.)

где Qj(X, Y) - некоторая функция от параметров модели, называемая критерием качества модели (оценка характеристик изделий, например по стоимости, по помехозащищённости и др.); QjH. и QjB - нижний и верхний пределы.



Qj(X, Y0)>extr

Каждая модель оценивается некоторой совокупностью критериев качества (их число обозначено через p). Критерии качества дают численное представление о степени соответствия изделия его назначению.

В выражение (3.1.) помимо упомянутых критериев качества могут входить функциональные ограничения, характеризующие просто зону работоспособности модели (изделия). Например, по выходным параметрам:

{zi н ? zi? ziв, i=1..l} (3.2.)

где l - число выходных параметров, на диапазон возможных изменений которых наложены ограничения.

В этом случае приходим к задаче оптимального проектирования, которую можно сформулировать следующим образом. В M-мерном пространстве управляемых параметров найти такое множество точек G, которому соответствовало бы в p-мерном пространстве критериев множество точек s, причем для каждой точки множества s выполнялось бы соотношение (3.1.). При сформулированном подходе любая точка множества G допускает решение. Поэтому G называют множеством допустимых решений. В результате решения находим вектор Z, отвечающий требованиям оптимальности.

В третьем случае - задача синтеза - при заданных X и параметрических ограничениях (2.2.) не задан оператор преобразования F, не известна математическая зависимость между совокупностью входных и выходных параметров. Требуется найти такое преобразование F, при котором выполнялись бы функциональные ограничения вида (3.1.).

Синтез технических объектов нацелен на создание новых вариантов конструкций изделий, а анализ на оценку этих вариантов. Синтез и анализ выступают в процессе проектирования в единстве, итерационной последовательности. При синтезе заранее заданны: допустимый набор используемых элементов, накапливаемых в БД, либо стандартные детали механических конструкций. Различают структурный синтез, т.е. поиск оптимальной или рациональной структуры (схемы) технического объекта, говорят в рамках выбранного принципа действия. Например это задача размещения микросхем на печатной плате. Параметрический синтез - определение наилучших динамических параметров при выбранной структуре.

4. Задачи структурного и параметрического синтеза

Общая постановка задачи структурного и параметрического синтеза.

Результирующее проектное решение (при конструкторском проектировании) ищется на множестве структур А, которые способен создать проектировщик, а также на множестве варьируемых параметров Y. Здесь А и Y образуют множество альтернатив, на которых ищутся решения. Тогда общая форма задачи синтеза ставится так:

Поиск при заданных ограничениях для достижения экстремума функции.

Таким образом, техническое решение представляет собой некоторую структуру и, найденную на множестве структур и параметров, отвечающих ограничениям в среде функционирования Х.

Процедуры структурного и параметрического синтеза.

Процедуры синтеза выполняются на основе математической модели, являющийся математическим аналогом проектируемого объекта. Степень адекватности (соответствия) модели реальному (будущему) объекту определяется начальной постановкой. Процедуры синтеза и анализа итерационны и образуют два вложенных цикла:

- внешний - структурный цикл;

- внутренний - параметрический цикл.

Vп, Vс - вариация пар (структур).

Процедура выбора заключается в выборе некоторых данных для отобранной структуры, на основе чего и строится математическая модель. Основными показателями при реализации цикла является показатель модели, т.е. время реализации одного модельного эксперимента по расчету критериальных показателей при заданном векторе варьируемых параметров. Это модельное время.

Используются различные методы для варьирования значений параметров, в том числе:

а) полный перебор (сканирование), при котором задается верхние и нижние значения параметров и задается ?yi

б) метод случайного поиска.

Внешний цикл - это перебор структур, часто он делается вручную.

Точка 1 - выход - найдено проектное решение.

Точка 2 - при неблагоприятном исходе, т.е. невозможности найти решение на обозримом числе структур в пределах заданного пространства поиска система выводит на точку 2 процедуру принятия решения. Здесь существует 2 альтернативы принятия решения:

1 альтернатива проектировщика: перенос ряда независимых параметров Х (внешних ограничений) в число варьируемых параметров Y;

2 альтернатива заказчика: уступки заказчика - снижение требований на ряд некоторых качественных характеристик

Если альтернатива 1 - это уступка нам со стороны смежных проектировщиков, то 2 - это уступка заказчика.

5. Задачи оптимизации

Задача повышения эффективности технологических и организационных систем (например: металлорежущего станка, автоматической линии, производства в целом) путём принятия обоснованных решений актуальна во всех областях деятельности человека. Количественная оценка эффективности может быть получена при заданной цели функционирования системы, с учётом ограничений на ресурсы, привлекаемые для достижения цели. При этом задача принятия решения ставится как задача выбора параметров системы, обеспечивающих максимизацию или минимизацию целевой функции. Последняя количественно определяет степень достижения цели - величину критерия оптимизации. В качестве критерия можно принять, например, себестоимость изделия (цель-минимизация), быстродействие машины или прибора (цель-максимизация) и другие показатели.

В процессе оптимизации, с учетом заданных условий, отыскиваются элементы решения, т.е. те параметры системы и показатели качества, которые зависят от выбора и приводят к отыскиванию оптимальных конструкций, технологических схем и др.

Всякая оптимизационная задача предполагает заданной целевую функцию - количественный показатель качества альтернатив выбора. Обычно в задачах оптимизации отыскивается экстремум интегрального показателя, который представляется одной функцией f(X) нескольких переменных, заданной в некоторой области допустимых значений переменных.

Наименьшее или наибольшее значения целевой функции из всех возможных в заданной области R называются глобальными экстремумами. Значение X, при котором достигается глобальный экстремум, называется точкой глобального экстремума. Локальный экстремум функции f(X) - значение f (Х°) этой функции такое, что для любого Х из R, близкого к Х° из R, справедливо f (Х°) ? f (X) (локальный максимум) или f (Х°) ? f (X) (локальный минимум).

Обоснованное применение количественных методов для принятия решений - оптимизацию поведения структур систем называют исследованием операций (ИСО). Здесь операция - комплекс целенаправленных действий.

Задача, рассмотренная выше, решается с применением математической модели системы, объединяющей упомянутые ограничения на ресурсы и целевую функцию. Нахождение величин упомянутых параметров системы (они входят в математическую модель как неизвестные) путём решения математической задачи называют математическим программированием. Математическое программирование - важнейшая область математики, ориентированная на широкое применение компьютеров.

В зависимости от характера целевой функции, а также ограничений могут использоваться различные методы оптимизации (математического программирования): линейное программирование, нелинейное программирование (хотя бы одна из функций нелинейна по X), целочисленное линейное программирование, динамическое программирование и др.

6. Задачи линейного программирования

Одним из разделов математического программирования является линейное программирование. В моделях линейного программирования так называемая <основная задача> состоит в нахождении неотрицательного решения системы линейных уравнений или неравенств (ограничений), которое минимизирует или максимизирует линейную форму (целевую функцию). Математическая задача линейного программирования записывается в сокращённом виде следующим образом:

Геометрическая интерпретация задачи ЛП

Задача линейного программирования геометрически может быть проиллюстрирована следующим образом.

Пусть необходимо найти минимум целевой функции:

Переменные x1 и x2 должны быть неотрицательными.

Поэтому множество точек, являющихся возможными (допустимыми) решениями, может находиться в первом квадранте (см. рис. 4.6.1.). Неравенства-ограничения изображены в виде полуплоскостей, границами которых являются прямые (графики функций), полученные из неравенств путём отбрасывания знаков >,<. Полуплоскости образуют выпуклый многоугольник (многоугольник решений - симплекс).

Линейная форма (линия уровня) для некоторого набора фиксированных значений переменной z представляет собой семейство параллельных прямых. Одна из них, которая пройдёт через вершину многоугольника <М>, ближайшую к началу координат и даст минимум z (для координат вершины).

Графический способ решения (перемещение графика целевой функции по симплексу) приемлем только для двухмерных задач (задач на плоскости). Но геометрическое толкование задачи линейного программирования справедливо и для общего случая (m ограничений и n переменных). Каждое из соответствующих неравенству уравнений системы определяет некоторую гиперплоскость в n - мерном пространстве. Множество неотрицательных решений образует выпуклый многогранник в n - мерном пространстве. Линейная форма z-гиперплоскость, перемещая которую параллельно самой себе, будем получать множество точек пересечения её с выпуклым многогранником. Максимальное или минимальное значение линейной формы z достигается в точках, являющихся вершинами выпуклого многогранника.

В силу трудности решения задачи графическим способом в случае m ограничений и n>2 переменных применяют другие методы решения задачи ЛП. Наиболее распространённым и удобным является симплекс метод решения задачи ЛП.

Для решения задачи линейного программирования симплекс-методом применяется специальный аппарат формальных преобразований математической модели. Рассмотрим некоторые его положения. Пусть задана основная задача линейного программирования (см. (4.6.1.) и (4.6.2)). Введя в левую часть каждого неравенства добавочную переменную, преобразуем его в уравнение и перейдём к другой, стандартной форме записи:

При этом значения bi должны быть неотрицательными. В случае bi < 0 обе части уравнения умножают на> - 1>. Заметим, что при максимизации z задача сводится к стандартной путём замены: max z = - min (- z).

Систему (4.6.3) после несложных преобразований можно привести к виду:

Здесь bi 0. Коэффициенты при переменных <FONT> равны единице (+1). Данная система представлена в канонической форме записи. Если количество переменных превышает количество уравнений, то существует бесчисленное множество решений системы.

Пусть m < n. Разделим все переменные системы (4.6.4) на две части:

а) основные переменные, количество которых должно быть равно количеству линейно-независимых переменных (m);

б) неосновные переменные, количество которых будет равно n - m.

Назначим первые m переменных (x1, x2, :, xm) в качестве основных. Тогда систему (4.6.4) можно решить относительно x1, x2, :, xm, если определитель m-го порядка, составленный из коэффициентов при переменных x1, x2, :, xm не равен нулю.

Придавая неосновным (независимым) переменным произвольные числовые значения, получим некоторое решение данной системы, причём каждому набору значений независимых переменных будет соответствовать одно определённое решение системы.

Основные (зависимые, несвободные) переменные будем называть базисными, неосновные (независимые, свободные) - небазисными переменными.

Можно составить бесчисленное множество различных наборов значений независимых переменных. Из всех этих решений в линейном программировании нас будет интересовать так называемые допустимые базисные решения.

Допустимое базисное решение системы линейных уравнений при m < n - это такое решение, в котором неосновным (независимым, небазисным) переменным даны нулевые значения, а значения базисных переменных являются неотрицательными (решение на грани или вершине симплекса).

В теории линейного программирования доказывается, что если оптимальное решение задачи существует, то оно совпадает по крайней мере с одним из допустимых базисных решений.

Поиск и направленные переходы от одних допустимых базисных решений к другим с целью определения оптимального решения может быть выполнен численным методом. Один из них рассмотрим ниже.

Рассмотрим вычислительные и логические процедуры, обеспечивающие поиск решения задачи линейного программирования симплекс-методом. Процедуры поясняются в процессе решения конкретной задачи: найти совокупность значений, удовлетворяющих системе неравенств:

Таким образом, идея симплекс-метода преобразования модели заключается в таком интерактивном направленном переходе от одного допустимого базисного решения к другому, при котором последовательно улучшается значение линейной формы.

Симплекс-метод является наиболее распространенным универсальным методом. Существует несколько вариантов этого метода, рассмотрим один из них.

Необходимо предварительно выполнить следующие этапы:

- привести математическую модель к каноническому виду;

- определить начальное допустимое базисное решение задачи;

1.2 Математические модели

Определение математической модели. Требования, предъявляемые к математическим моделям.

Математическая модель - совокупность математических объектов (чисел, переменных, множеств и др.) и отношений между ними, которая адекватно отображает некоторые (существенные) свойства проектируемого технического объекта. Математические модели могут быть геометрическими, топологическими, динамическими, логическими и др.

Главные требования к математическим моделям в САПР:

адекватность представления моделируемых объектов;

Адекватность имеет место, если модель отражает заданные свойства объекта с приемлемой точностью и оценивается перечнем отражаемых свойств и областями адекватности. Область адекватности - область в пространстве параметров, в пределах которой погрешности модели остаются в допустимых приделах.

экономичность (вычислительная эффективность) - определяется затратами ресурсов, требуемых для реализации модели (затраты машинного времени, используемая память и др.);

точность - определяет степень совпадения расчетных и истинных результатов (степень соответствия оценок одноименных свойств объекта и модели).

К математическим моделям предъявляется и целый ряд других требований:

Вычислимость, т.е. возможность ручного или с помощью ЭВМ исследования качественных и количественных закономерностей функционирования объекта (системы).

Модульность, т.е. соответствие конструкций модели структурным составляющим объекта (системы).

Алгоритмизируемость, т.е. возможность разработки соответсвующих алгоритма и программы, реализующей математическую модель на ЭВМ.

Наглядность, т.е. удобное визуальное восприятие модели.



2. Преимущества математического моделирования

Математическое моделирование - процесс построения математических моделей. Включает следующие этапы:

а) постановка задачи;

б) построение модели и ее анализ;

в) разработка методов получения проектных решений на модели;

г) экспериментальная проверка и корректировка модели и методов.

Качество создаваемых математических моделей во многом зависит от правильной постановки задачи. Необходимо определить технико-экономические цели решаемой задачи, провести сбор и анализ всей исходной информации, определить технические ограничения. В процессе построения моделей следует использовать методы системного анализа.

Процесс моделирования, как правило, носит итерационный характер, который предусматривает на каждом шаге итераций уточнение предыдущих решений, принятых на предшествующих этапах разработки моделей.

По сравнению с натурным экспериментом математическое моделирование имеет следующие преимущества:

1) экономичность (сбережение ресурсов реальной системы);

2) возможность моделирования гипотетических, т.е. нереализованных в природе объектов;

3) возможность реализации опасных или трудновоспроизводимых в природе режимов (критический режим ядерного реактора, работа систем ПРО);

4) возможность изменения масштаба времени;

5) большая прогностическая сила вследствие возможности выявления общих закономерностей;

6) универсальность технического и программного обеспечения производимой работы.



3. Классификация математических моделей

Виды математических моделей

1. Принадлежность к иерархическому уровню

Модели микроуровня

Модели макроуровня

Модели метауровня

2. Характер отображаемых свойств объекта

Структурные

Функциональные

3. Способ представления свойств объекта

Аналитические

Алгоритмические

Имитационные

4. Способ получения модели

Теоретические

Эмпирические

5. Особенности поведения объекта

Детерминированные

Вероятностные

Приведенная классификация математических моделей может быть применена по отношению к любым объектам. Рассмотрим особенности различных видов моделей применительно к объектам (процессам) в машиностроении.

Математические модели на микроуровне производственного процесса отражают физические процессы, протекающие, например, при резании металлов. Они описывают процессы на уровне перехода.

Математические модели на макроуровне производственного процесса описывают технологические процессы.

Математические модели на метауровне производственного процесса описывают технологические системы (участки, цехи, предприятие в целом).

Структурные математические модели предназначены. для отображения структурных свойств объектов. Например, в САПР ТП для представления структуры технологического процесса, расцеховки изделий используется структурно - логические модели.

Функциональные математические модели предназначены для отображения информационных, физических, временных процессов, протекающих в работающем оборудовании, в ходе выполнения технологических процессов и т.д.

Теоретические математические модели создаются в результате исследования объектов (процессов) на теоретическом уровне. Например, существуют выражения для сил резания, полученные на основе обобщения физических законов. Но они не приемлемы для практического использования, т.к. очень громоздки и не совсем адаптированы к реальным процессам обработки материалов.

Эмпирические математические модели создаются в результате проведения экспериментов (изучения внешних проявлений свойств объекта с помощью измерения его параметров на входе и выходе) и обработки их результатов методами математической статистики.

Детерминированные математические модели описывают поведение объекта с позиций полной определенности в настоящем и будущем. Примеры таких моделей : формулы физических законов, технологические процессы обработки деталей и т.д.

Вероятностные математические модели учитывают влияние случайных факторов на поведение объекта, т.е. оценивают его будущее с позиций вероятности тех или иных событий. Примеры таких моделей: описание ожидаемых длин очередей в системах массового обслуживания, ожидаемых объемов выпуска сверхплановой продукции производственным участком, точности размеров в партии деталей с учетом явления рассеяния и т.д.

Аналитические модели - численные математические модели, которые можно представить в виде явно выраженных зависимостей выходных параметров от параметров внутренних и внешних. При аналитическом моделировании процессы функционирования элементов системы записываются в виде алгебраических, интегральных, дифференциальных, конечно-разностных и других соотношений и логических условий. Аналитическая модель может быть исследована следующими методами:

1) аналитическим, когда стремятся найти явные зависимости для искомых характеристик;

2) численным, когда получают численные значения выходных параметров для заданных входных параметров.

Аналитические решения удается обычно получить только при упрощающих предположениях и они сильно зависят от особенностей модели. Чаще применимы численные методы, но они дают лишь частные результаты, которые трудно обобщить.

Алгоритмические математические модели выражают связи между выходными параметрами и параметрами входными и внутренними в виде алгоритма.

При имитационном моделировании реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы во времени и в пространстве, причем имитируются составляющие процесс элементарные явления с сохранением его логической и временной структуры. Имитационное моделирование не имеет ограничений на класс решаемых задач.

Имитационные математические модели - это алгоритмические модели, отражающие развитие процесса (поведение исследуемого объекта) во времени при задании внешних воздействий на процесс (объект). Например, это модели систем массового обслуживания, заданные в алгоритмической форме.

Имитационное моделирование основано на прямом описании моделируемого объекта. Существенной характеристикой таких моделей является структурное подобие объекта и модели. Это значит, что каждому существенному с точки зрения решаемой задачи элементу объекта ставится в соответствие элемент модели. При построении имитационной модели описываются законы функционирования каждого элемента объекта и связи между ними.

Работа с имитационной моделью заключается в проведении имитационного эксперимента. Процесс, протекающий в модели в ходе эксперимента, подобен процессу в реальном объекте. Поэтому исследование объекта на его имитационной модели сводится к изучению характеристик процесса, протекающего в ходе эксперимента.

Ценным качеством имитации является возможность управлять масштабом времени. Динамический процесс в имитационной модели протекает в так называемом системном времени. Системное время имитирует реальное время. При этом пересчет системного времени в модели можно выполнять двумя способами. Первый способ заключается в «движении» по времени с некоторым постоянным шагом. Второй способ заключается в «движении» по времени от события к событию, при этом считается, что в промежутках времени между событиями в модели изменений не происходит.

Математическое обеспечение автоматизированного проектирования (АП) включает в себя математические модели объектов проектирования, методы и алгоритмы выполнения проектных процедур.

Математические модели (ММ) служат для описания свойств объектов в процедурах АП. Если проектная процедура включает создание ММ и оперирование ею с целью получения полезной информации об объекте, то говорят, что процедура выполняется на основе математического моделирования.

К математическим моделям предъявляются требования универсальности, адекватности, точности и экономичности.

Степень универсальности ММ характеризует полноту отображения в модели свойств реального объекта. Математическая модель отражает лишь некоторые свойства объекта. Так, большинство ММ, используемых при функциональном проектировании, предназначено для отображения протекающих в объекте физических или информационных процессов, при этом не требуется, чтобы ММ описывала такие свойства объекта, как геометрическая форма составляющих его элементов. Например, ММ резистора в виде уравнения закона Ома характеризует свойство резистора пропускать электрический ток, но не отражает габариты резистора, как детали, его цвет, механическую прочность, стоимость и т. п.

Точность ММ оценивается степенью совпадения значений параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью оцениваемой ММ. Пусть отражаемые в ММ свойства оцениваются вектором выходных параметров Y=(y1, у2 ...,уm). Тогда, обозначив истинное и рассчитанное с помощью ММ значения j-го выходного параметра через yj ист и yj м соответственно, определим относительную погрешность еj расчета параметра yj как

еj =( yj м -- yj ист)/ yj ист . (1)

Получена векторная оценка е = (е1, е2, ..., еm). При необходимости сведения этой оценки к скалярной используют какую-либо норму вектора е, например

(2)

Адекватность MM -- способность отображать заданные свойства объекта с погрешностью не выше заданной. Поскольку выходные параметры являются функциями векторов параметров внешних Q и внутренних X, погрешность еj - зависит от значений Qи X. Обычно значения внутренних параметров ММ определяют из условия минимизации погрешности ем в некоторой точке Qном

Классификация математических моделей.

Основные признаки классификации и типы ММ, применяемые в САПР, даны в табл. 1.

Таблица 1

Признак классификации	Математические модели
Характер отображаемых свойств объекта	Структурные; функциональные
Принадлежность к иерархическому уровню	Микроуровня; макроуровня; метауровня
Степень детализации описания внутри одного уровня	Полные; макромодели
Способ представления свойств объекта	Аналитические, алгоритмические, имитационные
Способ получения модели	Теоретические, эмпирические

По характеру отображаемых свойств объекта ММ делятся на структурные и функциональные.

Структурные ММ предназначены для отображения структурных свойств объекта. Различают структурные ММ топологические и геометрические.

В топологических ММ отображаются состав и взаимосвязи элементов объекта. Их чаще всего применяют для описания объектов, состоящих из большого числа элементов, при решении задач привязки конструктивных элементов к определенным пространственным позициям (например, задачи компоновки оборудования, размещения деталей, трассировки соединений) или к относительным моментам времени (например, при разработке расписаний, технологических процессов). Топологические модели могут иметь форму графов, таблиц (матриц), списков и т. п.

В геометрических ММ отображаются геометрические свойства объектов, в них дополнительно к сведениям о взаимном расположении элементов содержатся сведения о форме деталей. Геометрические ММ могут выражаться совокупностью уравнений линий и поверхностей; алгебрологических соотношений, описывающих области, составляющие тело объекта; графами и списками, отображающими конструкции из типовых конструктивных элементов, и т. п. Геометрические ММ применяют при решении задач конструирования в машиностроении, приборостроении, радиоэлектронике, для оформления конструкторской документации, при задании исходных данных на разработку технологических процессов изготовления деталей. Используют несколько типов геометрических ММ.

В машиностроении для отображения геометрических свойств деталей со сравнительно несложными поверхностями применяют ММ, представляемые в аналитической или алгебрологической форме (аналитические, алгебрологические). Аналитические ММ -- уравнения поверхностей и линий, например уравнение плоскости имеет вид ax+by + cz + d=0, а эллипсоида -- вид (х/а)2 + (у/b)2 + + (z/c)2 + d=0, где х, у, z -- пространственные координаты, а, b, с, d -- коэффициенты уравнений. В алгебрологических ММ тела описываются системами логических выражений, отражающих условия принадлежности точек внутренним областям тел.

Для сложных поверхностей аналитические и алгебрологические модели оказываются слишком громоздкими, их трудно получать и неудобно использовать. Область их применения обычно ограничивается поверхностями плоскими и второго порядка.

В машиностроении для отображения геометрических свойств деталей со сложными поверхностями применяют ММ каркасные и кинематические.

Каркасные ММ представляют собой каркасы -- конечные множества элементов, например точек или кривых, принадлежащих моделируемой поверхности. В частности, выбор каркаса в виде линий, образующих сетку на описываемой поверхности, приводит к разбиении) поверхности на отдельные участки. Кусочно-линейная аппроксимация на этой сетке устраняет главный недостаток аналитических моделей, так как в пределах каждого из участков, имеющих малые размеры, возможна удовлетворительная по точности аппроксимация поверхностями с простыми уравнениями. Коэффициенты этих уравнений рассчитываются исходя из условий плавности сопряжений участков.

В кинематических ММ поверхность представляется в параметрическом виде R(u, х), где R=(x, у, z), а u и х - параметры. Такую поверхность можно получить как результат перемещения в трехмерном пространстве кривой R(u), называемой образующей, по некоторой направляющей линии.

Коэффициенты уравнений во всех рассмотренных моделях, как правило, не имеют простого геометрического смысла, что затрудняет работу с ними в интерактивном режиме. Этот недостаток устраняется в канонических моделях и в геометрических макромоделях.

Канонические модели используют в тех случаях, когда удается выделить параметры, однозначно определяющие геометрический объект и в то же время имеющие простую связь с его формой. Например, для плоского многоугольника такими параметрами являются координаты вершин, для цилиндра -- направляющие косинусы и координаты некоторой точки оси, а также радиус цилиндра.

Геометрические макромодели являются описаниями предварительно отобранных типовых геометрических фрагментов. Такими фрагментами могут быть типовые сборочные единицы, а их макромоделями -- условные номера, габаритные и стыковочные размеры. При оформлении конструкторской документации макромодели используют для описания типовых графических изображений, например зубчатых колес, винтовых соединений, подшипников и т. п.

Функциональные ММ предназначены для отображения физических или информационных процессов, протекающих в объекте при его функционировании или изготовлении. Обычно функциональные ММ представляют собой системы уравнений, связывающих фазовые переменные, внутренние, внешние и выходные параметры.

Деление описаний объектов на аспекты и иерархические уровни непосредственно касается математических моделей. Выделение аспектов описания приводит к выделению моделей электрических, механических, гидравлических, оптических, химических и т. п., причем модели процессов функционирования изделий и модели процессов их изготовления различные, например модели полупроводниковых элементов интегральных схем, описывающих процессы диффузии и дрейфа подвижных носителей заряда в полупроводниковых областях при функционировании прибора и процессы диффузии примесей в полупроводник при изготовлении прибора.

Использование принципов блочно-иерархического подхода к проектированию приводит к появлению иерархии математических моделей проектируемых объектов. Количество иерархических уровней при моделировании определяется сложностью проектируемых объектов и возможностью средств проектирования. Однако для большинства предметных областей можно отнести имеющиеся иерархические уровни к одному из трех обобщенных уровней, называемых далее микро-, макро- и метауровнями.

В зависимости от места в иерархии описаний математические модели делятся на ММ, относящиеся к микро-, макро- и метауровням.

Особенностью ММ на микроуровне является отражение физических процессов, протекающих в непрерывных пространстве и времени. Типичные ММ на микроуровне-дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП). В них независимыми переменными являются пространственные координаты и время. С помощью этих уравнений рассчитываются поля механических напряжений и деформаций, электрических потенциалов, давлений, температур и т. п. Возможности применения ММ в виде ДУЧП ограничены отдельными деталями, попытки анализировать с их помощью процессы в многокомпонентных средах, сборочных единицах, электронных схемах не могут быть успешными из-за чрезмерного роста затрат машинного времени и памяти.

На макроуровне используют укрупненную дискретизацию пространства по функциональному признаку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В этих уравнениях независимой переменной является время t, а вектор зависимых переменных V составляют фазовые переменные, характеризующие состояние укрупненных элементов дискретизированного пространства. Такими переменными являются силы и скорости механических систем, напряжения и силы тока электрических систем, давления и расходы гидравлических и пневматических систем и т. п. Системы ОДУ являются универсальными моделями на макроуровне, пригодными для анализа как динамических, так и установившихся состоянии объектов. Модели для установившихся режимов можно также представить в виде систем алгебраических уравнений. Порядок системы уравнений зависит от числа выделенных элементов объекта. Если порядок системы приближается к 103, то оперирование моделью становится затруднительным и поэтому необходимо переходить к представлениям на метауровне.

На метауровне в качестве элементов принимают достаточно сложные совокупности деталей. Метауровень характеризуется большим разнообразием типов используемых ММ. Для многих объектов ММ на метауровне по-прежнему представляются системами ОДУ. Однако так как в моделях не описываются внутренние для элементов фазовые переменные, а фигурируют только фазовые переменные, относящиеся к взаимным связям элементов, то укрупнение элементов на метауровне означает получение ММ приемлемой размерности для существенно более сложных объектов, чем на макроуровне.

В ряде предметных областей удается использовать специфические особенности функционирования объектов для упрощения ММ. Примером являются электронные устройства цифровой автоматики, в которых возможно применять дискретное представление таких фазовых переменных, как напряжения и токи. В результате ММ становится системой логических уравнений, описывающих процессы преобразования сигналов. Такие логические модели существенно более экономичны, чем модели электрические, описывающие изменения напряжений и сил токов как непрерывных функций времени. Важный класс ММ на метауровне составляют модели массового обслуживания, применяемые для описания процессов функционирования информационных и вычислительных систем, производственных участков, линий и цехов.

Структурные модели также делятся на модели различных иерархических уровней. При этом на низших иерархических уровнях преобладает использование геометрических моделей, на высших иерархических уровнях используются топологические модели.

По степени детализации описания в пределах каждого иерархического уровня выделяют полные ММ и макромодели.

Полная ММ -- модель, в которой фигурируют фазовые переменные, характеризующие состояния всех имеющихся межэлементных связей (т. е. состояния всех элементов проектируемого объекта).

Макромодель -- ММ, в которой отображаются состояния значительно меньшего числа межэлементных связей, что соответствует описанию объекта при укрупненном выделении элементов.

Примечание. Понятия «полная ММ» и «макромодель» относительны и обычно используются для различения двух моделей, отображающих различную степень детальности описания свойств объекта.

По способу представления свойств объекта функциональные ММ делятся на аналитические и алгоритмические.

Аналитические ММ представляют собой явные выражения выходных параметров как функций входных и внутренних параметров. Такие ММ характеризуются высокой экономичностью, однако получение формы удается лишь в отдельных частных случаях, как правило, при принятии существенных допущений и ограничений, снижающих точность и сужающих область адекватности модели.

Алгоритмические ММ выражают связи выходных параметров с параметрами внутренними и внешними в форме алгоритма. Типичной алгоритмической ММ является система уравнений, дополненная алгоритмом выбранного численного метода решения и алгоритмом вычисления вектора выходных параметров как функционалов решения системы уравнений.

Имитационная ММ -- алгоритмическая модель, отражающая поведение исследуемого объекта во времени при задании внешних воздействий на объект. Примерами имитационных ММ могут служить модели динамических объектов в виде систем ОДУ и модели систем массового обслуживания, заданные в алгоритмической форме.

Для получения ММ используют методы неформальные и формальные.

Неформальные методы применяют на различных иерархических уровнях для получения ММ элементов. Эти методы включают изучение закономерностей процессов и явлений, связанных с моделируемым объектом, выделение существенных факторов, принятие различного рода допущений и их обоснование, математическую интерпретацию имеющихся сведений и т. п. Для выполнения этих операций в общем случае отсутствуют формальные методы, в то же время от результата этих операций существенно зависят показатели эффективности ММ -- степень универсальности, точность, экономичность. Поэтому построение ММ элементов, как правило, осуществляется квалифицированными специалистами, получившими подготовку как в соответствующей предметной области, так и в вопросах математического моделирования на ЭВМ.

Применение неформальных методов возможно для синтеза ММ теоретических и эмпирических. Теоретические ММ создаются в результате исследования процессов и их закономерностей, присущих рассматриваемому классу объектов и явлений; эмпирические ММ -- в результате изучения внешних проявлений свойств объекта с помощью измерений фазовых переменных на внешних входах и выходах и обработки результатов измерений.

Решение задач моделирования элементов облегчается благодаря тому, что для построения большинства технических объектов используются типовые элементы (количество типов сравнительно невелико). Поэтому разработка ММ элементов производится сравнительно редко. Единожды созданные ММ элементов в дальнейшем многократно применяют при разработке разнообразных систем из этих элементов. Примерами таких ММ на микроуровне служат описания конечных элементов для анализа напряженно-деформированного состояния деталей, множество типов конечных элементов включает стержни, плоские элементы в форме треугольников и четырехугольников, трехмерные элементы типа параллелепипеда, тетраэдра и т. п.; примерами ММ геометрических элементов могут служить уравнения линий прямых, дуг окружностей, плоскостей и поверхностей второго порядка; примерами ММ элементов на макроуровне являются ММ элементов интегральных схем-- транзисторов, диодов, резисторов, конденсаторов.

Формальные методы применяют для получения ММ систем при известных математических моделях элементов.

Таким образом, в программах автоматизированного анализа, используемых в САПР, получение ММ проектируемых объектов обеспечивается реализацией ММ элементов и методов формирования ММ систем.

пространства внешних переменных, а используют модель с рассчитанным вектором X при различных значениях Q. При этом, как правило, адекватность модели имеет место лишь в ограниченной области изменения внешних переменных-- области адекватности (ОА) математической модели:

математический модель автоматизированный

ОА = {Q | ем < д},



где д > 0 - заданная константа, равная предельно допустимой погрешности модели.

Экономичность ММ характеризуется затратами вычислительных ресурсов (затратами машинных времени Тм и памяти Пм) на ее реализацию. Чем меньше Тм и Пм, тем модель экономичнее. Вместо значений Тм и Пм, зависящих не только от свойств модели, но и от особенностей применяемой ЭВМ, часто используют другие величины, например: среднее количество операций, выполняемых при одном обращении к модели, размерность системы уравнении, количество используемых в модели внутренних параметров и т. п.

Требования высоких точности, степени универсальности, широкой области адекватности, с одной стороны, и высокой экономичности, с другой стороны, противоречивы. Наилучшее компромиссное удовлетворение этих противоречивых требований зависит от особенностей решаемых задач, иерархического уровня и аспекта проектирования. Это обстоятельство обусловливает применение в САПР широкого спектра математических моделей.



Список используемой литературы

1. Быков А. Цеховая САПР на базе ADEM А7 САПР и графика. // Компъютер Пресс. 2007. № 1. - 29 с.

2. Быков А., Карабчеев К. Эффективные технологии подготовки производства на базе CAD/CAM ADEM CАПР и графика. // Компьютер Пресс, 2007. № 6. - 46 с.

3. Жук Д.М. Технические средства и операционные системы САПР. - М.: Высшая школа. 2006. - 244 с.

4. Казаков А., Карабчеев К., Кашуба А. Что такое ADEM CАПР и графика // Компьютер Пресс. 2008. № 9. - 63 с.

5. Литовка Ю.В., Дьяков И.А., Романенко А.В., Алексеев С.Ю., Попов А.И. Основы проектирования баз данных в САПР: Учебное пособие. - Тамбов: Издательство ТГТУ, 2008. - 177 с.

6. Майстренко Н.В., Майстренко А.В. Программное обеспечение САПР. Операционные системы: Учебное пособие. - Тамбов: Издательство ТГТУ, 2007. - 99 с.

7. Норенков И.П. Автоматизированное проектирование. Учебник. Серия: Информатика в техническом университете. - M.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. - 372 с.

8. Петров А.В. Проблемы и принципы создание САПР. - М.: Высшая школа, 2008. - 250 с.

9. Феоктистов В., Карабчеев К. ADEM-Проектирование технологичных конструкции CАПР и графика. // Компьютер Пресс. 2007. № 1. - 72 с.

10. Юзмухаметов А. Автоматизация получения технической документации в ADEM САПР и графика. // Компъютер Пресс. 2006. № 2. - 103 с.

Размещено на Allbest.ru