Третий интерполяционный процесс Бернштейна

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Высшая и прикладная математика»

Контрольная работа

по дисциплине «Теория приближения функций»

на тему «Третий интерполяционный процесс Бернштейна»

Введение

Приближение и интерполирование функций, раздел теории функций, посвященный изучению вопросов приближённого представления функций.

Приближение функций -- нахождение для данной функции f функции g из некоторого определённого класса (например, среди алгебраических многочленов заданной степени), в том или ином смысле близкой к f, дающей её приближённое представление.

Существует много разных вариантов задачи о приближении функций в зависимости от того, какие функции используются для приближения, как ищется приближающая функция g, как понимается близость функций f и g. Интерполирование функций -- частный случай задачи приближения, когда требуется, чтобы в определённых точках (узлах интерполирования) совпадали значения функции f и приближающей её функции g, а в более общем случае -- и значения некоторых их производных. Рассматриваются также полиномы по ортогональным многочленам и т.п.

Другим классическим средством приближения являются рациональные дроби P (x)/Q (x), где в качестве Р и Q берутся алгебраические многочлены заданной степени. Теория приближений функций берёт начало от работ П. Л. Чебышева. Он ввёл одно из основных понятий теории -- понятие наилучшего приближения функции полиномами и получил ряд результатов о наилучших приближениях.

Большой вклад в теорию приближений внес Сергей Натанович Бернштейн. Его диссертация 1904 года была посвящена решению 19-й проблемы Гильберта. Им найдены условия аналитичности решений уравнений второго порядка эллиптических и параболических типов; развиты новые методы решения граничных задач для нелинейных уравнений эллиптического типа; совместно с учениками создана новая ветвь теории функций - конструктивная теория функций.

При доказательстве аппроксимационной теоремы Вейерштрасса Бернштейном были построены полиномы, оказавшиеся полезными в самых разных областях математики. Теперь их называют полиномами Бернштейна.

1. Теоретическая часть

Интерполяционные полиномы не представляют собой аппарата, дающего равномерное приближение для любой непрерывной функции. В этом отношении они подобны частным суммам Фурье. Исходя из частных сумм Фурье непрерывной функции, можно получить и такие тригонометрические полиномы, которые доставляют сколь угодно хорошее равномерное приближение этой функции. Таковы, например, суммы Фейера или Валле-Пуссена и т.п.

Возникает естественная мысль построить такие сходящиеся процессы, исходя из интерполяционных полиномов. Эта мысль с большим успехом была в различных направлениях проведена С.Н. Бернштейном, указавшим целый ряд подобных сходящихся процессов. Эти процессы строятся, исходя из тригонометрических интерполяционных полиномов по узлам Чебышева.

, где

,

где

есть узлы Чебышева. Обозначим через какое-нибудь натуральное число и, предполагая , разобьем все множество узлов

на группы по узлов в каждой(кроме последней , в которой число узлов будет меньше чем ,если не делится на цело на ).

Если , то упомянутые группы таковы:

Пусть произвольная непрерывная функция, заданная на отрезке [-1;1]. Положим

,

если есть число(из ряда 1,2,…..,n) не делящееся на ; если же делится на и , то полагаем:

С помощью построим полином:

где есть полином Чебышева. Степень полинома равна . Так как , то при , не делящемуся, окажется:

Таким образом, совпадает с в узлах ,где . Значит, отношение степени к числу точек, в которых имеет место совпадения с , равно

Но .

Поэтому

а эта величина при достаточно большом сколь угодно близка к единице.

Теперь установим, что равномерно на [-1;1]

Для этого прежде всего заметим, что

и, стало, быть



Если заменим и их выражениями, то получим

или, вводя обозначение

Пусть . Тогда последнюю сумму можно разбить на две с суммы по схеме

Рассмотрим вторую сумму, так как обе суммы изучаются одинаково.

Таким образом делаем предположение, что .но тогда с увеличением число узлов ,попавших в интервал будет не ограниченно возрастать. Обозначим через некоторое натуральное число, больше ,чем .



и пусть .

Если есть одно из чисел и не делится на , то

ибо

Но . Значит, для указанных значений

Кроме, того (по лемме)

Поэтому сумма тех слагаемых , которые отвечают значениям

,не кратным , не более чем

Если же , то

Каждое слагаемое правой части, кроме последнего, не больше , чем

. Последнее же слагаемое, не больше, чем . Но

,

Второе неравенство показывает, что

Значит,

Таким образом,

Принимая во внимание (2), заметим , что среди имеется не больше чем, , кратных , то станет ясно, что сумма тех слагаемых , которые отвечают значениям ,не кратным , не больше

.

Сопоставляя со сказанным выше , будем иметь

Переходим к рассмотрению сомой суммы

В этой сумме очередь выделяем группу слагаемых , отвеваемых значениям:

Введя обозначения, имеем

,

,

Поэтому часть суммы равна

Суммирование при этом распространяется на все числа (4).

Отсюда следует

,

где .

Положительная величина с увеличением убывает, из этого видно. тригонометрический интерполяционный функция многочлен

Все разности положительны и не больше чем .

Значит,

Из (4) и (5) следует, что

Пусть в ряду содержатся группы (4) для . Так как , то часть суммы отвечающая этим значениям ,меньше, чем

где через Q обозначено множество этих .

Таким образом, получим



Значит,

Все фигурирующие здесь индексы не меньше, чем . Значит, находим, имея ввиду что убывает с возрастанием

Остается оценить . Но

И, тем, более

Откуда,



Заметно, что

, имеем

Таким образом,

Сопоставляя с неравенством (3), имеем

Так же оценка имеет место и для суммы

Поэтому



Теперь взяв произвольное , мы закрепляем такое , что

После чего берем столь большим, что

При таком будет

Чем и доказано (1).

Заключение

В ходе выполнения данной работы был разработан алгоритм и программа на языке С/С++. Программа была отлажена на задаче, не имеющей никаких особых точек. В качестве функции была взята cos(x), не на отрезке интерполирования[-1;1].

Было замечено, что от выбора узлов интерполируемой функции напрямую зависит, насколько точно многочлен будет являться её приближением.

Литература

1. Натансон И.П. «Конструктивная теория функций», М.-- Л., 1949.

2. Бернштейн С.Н. «Собрание сочинений, том 1 Конструктивная теория функций», изд. Академии Наук СССР, 1952

Приложения

Приложение 1

Описание программы

Среда разработки программы: Microsoft Visual C++ 2008 Express Edition.

1.задаём функцию и многочлен Чебышева по формуле;

cos(n*acos(x))

2.нашли вручную производную и описали в программе, которую в последующем будем использовать;

3.задаем и описываем все переменные и массивы;

4.составили и реализовали в цикле сетку Чебышева:

X[i] = cos((2*i-1)*Pi/(2*N));//сетка

5.дальше осуществима проверка формулы(1):

6.выбрали произвольную абсциссу;

7.в цикле описали нахождение суммы и вывели результат на экран;

8.так же в цикле находим коэффициенты, по принципу описанному выше(в теоретической части);

9.сам процесс Бернштейна был реализован в цикле следующим способом:

result += CoeffA[k]*ChebT(t,N)/( DiffChebT(X[k],N)*(t-X[k]));

10.затем происходит вывод контрольных точек, полинома в контрольных точках, функций и погрешностей.

Листинг программы

#include <stdio.h>

#include <conio.h>

#include <math.h>

const double Pi = 3.1415926535897932385;

const int N = 44;//степень многочлена Чебышва и число точек интерполяции (они одинаковые)

double func(double x)//Модельная функция

{

return cos(x);

}

double ChebT(double x,int n)//Многочлен Чебышева

{

return cos(n*acos(x));

}

double DiffChebT(double x,int n)//Производная от многочлена Чебышева

{

return sin(n*acos(x))*n/sqrt(1.0-x*x);

}

void main()

{

double X[N+1];//Массив сетки Чебышева

double CoeffA[N+1];//Коэффициенты

double A = -1;//левая граница отрезка интерполяции

double B = 1;//правая граница отрезка интерполяции

//printf("Enter A = "); scanf("%f",&A);

//printf("Enter B = "); scanf("%f",&B);

//printf("Enter t = "); scanf("%f",&t);

int L = 5;

int i,j;//счетчик

//СЕТКА Чебышева

printf("--------------Tretiy process Bernsteina--------------------\n");

printf("---------------------------------------------------------------\n");

printf("Setka Chebyshev\n");

for (i=1; i<=N; i++)

{

X[i] = cos((2*i-1)*Pi/(2*N));//сетка

printf("X[%d] = %f\n",i,X[i]);

}

printf("---------------------------------------------------------------\n");

printf("Proverka fundamentalnych funkciy\n");

//Проверка: формула следом за (169) стр 572

double t = 0.5;//абсцисса выбрана произвольно

double Sum = 0;//Сумма

for (int k=1; k<=N; k++)

{

Sum += ChebT(t,N)/( DiffChebT(X[k],N)*(t-X[k]) );

printf("Sum = %f\n",Sum);

}

printf("---------------------------------------------------------------\n");

//Коэффициенты

printf("Koefficienty\n");

for (int k=1; k<=N; k++)

{

if ( k%(2*L) != 0 )//не делится на 2L

{

CoeffA[k] = func(X[k]);//значения функции в узлах сетки

printf("k ne delitsy na 2L (k = %d) : CoeffA[%d] = %f\n",k,k,CoeffA[k]);

}

else //делится на 2L, т.е. k = 2Ls

{

int s = k/(2*L);

CoeffA[k] = 0;//подсчитываем сумму

for (i=2*L*(s-1)+1,j=0; i<k; i++,j++) CoeffA[k]+=pow(-1.0,j)*func(X[i]);

printf("k delitsy na 2L (k = %d) (s = %d): CoeffA[%d] = %f\n",k,s,k,CoeffA[k]);

}

}

printf("--------------------------------------------------------------\n");

printf("Poisk pogresnocti v uzlah (vyvod kagdoi sotoi tochki)\n\n");

t = A + 0.001;//Пробегаем разные значения t внутри [A,B]

double max = -1;//максимальная погрешность для равномерной сетки

int m = 0;//счетчик

while (t<=B)

{

//РЕЗУЛЬТАТ

double result = 0;

//Третий процесс Бернштейна

for (int k=1; k<=N; k++)

result += CoeffA[k]*ChebT(t,N)/( DiffChebT(X[k],N)*(t-X[k]) );

double abs_pog = fabs(func(t) - result);

if (abs_pog > max) max = abs_pog;

if (m % 100 == 0)//выводим каждую сотую точку

{

printf("%d) ",m);

printf("func(%3.3f)=%f Bern(%3.3f)=%f ", t, func(t), t, result);

printf("abs=%3.3e otn=%3.3e\n", abs_pog, abs_pog/func(t));

}

t = t + 0.001;//увеличение

m++;

}

printf("---------------------------------------------------------------\n");

printf("Norma v C[a,b]:\n");

printf("max_pog = %e\n", max);

getch();

Результаты

F(x)= cos(x) [-1;1]

Погрешность в узлах(вывод в каждой сотой точке):

Кол-во точек	Погрешность ф-ии	Погрешность процесса	Абсолютная погрешность	Относительная погрешность
100	0,622393	0,612958	9,435е-003	1,516е-002
200	0,697424	0,703550	6,127е-003	8,785е-003
300	0,765486	0,766766	1,279е-003	1,671е-003
400	0,825900	0,818934	6,965е-003	8,434е-003
500	0,878062	0,944843	6,678е-002	7,606е-002
600	0,921450	0,907550	1,390е-002	1,508е-002
700	0,955632	0,945026	1,061е-002	1,110е-002
800	0,980265	0,992322	1,206е-002	1,230е-002
900	0,995104	1,000754	5,651е-003	5,679е-003
1000	1,000000	0,978034	2,197е-002	2,197е-002
1100	0,994904	1,006114	1,121е-002	1,127е-002
1200	0,979867	0,875436	1,044е-001	1,066е-001
1300	0,955040	0,966797	1,176е-002	1,231е-002
1400	0,920671	0,926378	5,706е-003	6,198е-003
1500	0,877103	0,876066	1,037е-003	1,182е-003
1600	0,824771	0,827185	2,414е-003	2,927е-003
1700	0,764198	0,776582	1,238е-002	1,621е-002
1800	0,695989	0,632972	6,302е-002	9,054е-002
1900	0,620826	0,629301	8,475е-003	1,365е-002

В пространстве С[a;b]

Максимальная погрешность=1,421565е-001

Размещено на Allbest.ru