Приближенное вычисление определенного интеграла

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВЛАДИМИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ А.Г. И Н.Г. СТОЛЕТОВЫХ»

РЕФЕРАТ

по дисциплине «Математический анализ»

на тему «Приближенное вычисление определенного интеграла»

Владимир, 2016г.

Содержание

Введение

1. Формула прямоугольников

1.1. Задача 1

1.2. Задача 2

1.3. Задача 3

2. Формула трапеций

2.1. Задача 1

2.2. Задача 2

2.3. Задача 3

3. Формула Симпсона

3.1. Задача 1

3.2. Задача 2

3.3. Задача 3

Заключение

Список литературы



Введение

Определённый интеграл - аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая - область в множестве задания этой функции (функционала).

Пусть функция  определена на отрезке . Выполним следующие операции:

1) разобьем отрезок  точками  на n частичных отрезков ;

2) в каждом из частичных отрезков   выберем произвольную точку  и вычислим значение функции в этой точке: ;

3) найдем произведения , где  - длина частичного отрезка  ;

4) составим сумму

, (1)

которая называется интегральной суммой функции y = f ( x ) на отрезке [ а, b ]. 

С геометрической точки зрения интегральная сумма  представляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых являются частичные отрезки , а высоты равны , … , ; соответственно (см. рис. 1). Обозначим через  длину наибольшего частичного отрезка ;



Рисунок 1.

5) найдем предел интегральной суммы, когда .

Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка  на частичные отрезки, ни от выбора точек  в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции  на отрезке  и обозначается .

Таким образом, .

В этом случае функция  называется интегрируемой на  . Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования,  - подынтегральной функцией,  - подынтегральным выражением,  - переменной интегрирования; отрезок  называется промежутком интегрирования.

Пусть требуется найти определенный интеграл от непрерывной функции . Если можно найти первообразную функции , то интеграл вычисляется по формуле Ньютона- Лейбница:

Но отыскание первообразной функции иногда весьма сложно; кроме того, как известно, не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. В этих и других случаях (например, функции задана графически или таблично)прибегают к приближенным формулам, с помощью которых определенный интеграл находиться с любой степенью точности.

Рассмотрим три наиболее употребительные формулы приближенного вычисления определенного интеграла - формулу прямоугольников, формулу трапеций, формулу парабол (Симпсона), основанные на геометрическом смысле интеграла.

интеграл определенный задача



1. Формула прямоугольников

Пусть на отрезке задана непрерывная функция . Требуется вычислить интеграл , численно равный площади соответствующей криволинейной трапеции. Разобьем основание этой трапеции, т.е. отрезок , на n равных частей (отрезков) длины (шаг разбиения) с помощью точек . можно записать, что где (см. рис. 2).

Рисунок 2.

В середине каждого такого отрезка построим ординату графика функции . Приняв эту ординату за высоту, построим прямоугольник с площадью .

Тогда сумма площадей всех n прямоугольников дает площадь ступенчатой фигуры, представляющую собой приближенное значение искомого определенного интеграла

(2.1)

Формула (2.1) называется формулой средних прямоугольников.

Абсолютная погрешность приближенного равенства (2.1) оценивается с помощью следующей формулы:

где наибольшее значение

Отметим, что для линейной функции формула (2.1) дает точный ответ, поскольку в этом случае

1.1 Задача 1.

Вычислить интеграл

  приближённо на  отрезках разбиения методом прямоугольников.

Решение: вычислим шаг разбиения: 

Заполним расчётную таблицу:

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	1	0,5	0,3333	0,25	0,2	0,1667	0,1429	0,125	0,1111
	1,5	2,5	3,5	4,5	5,5	6,5	7,5	8,5
	0,6667	0,4	0,2857	0,2222	0,1818	0,1538	0,1333	0,1176

Вычислим интеграл приближённо методом средних прямоугольников:

.

Ответ: 2,1612

1.2 Задача 2

Вычислить приближенно определенный интеграл  методом прямоугольников. Разбиение промежутка интегрирования начать с  отрезков.

Решение:

Формула приближённых вычислений запишется следующим образом:

, где  -

шаг стандартного разбиения

Вычислим площадь ступенчатой фигуры:

Ответ: 2,5758

1.3 Задача 3.

Вычислить , разбив отрезок интегрирования на 4 части.

Решение:

Имеем

По формуле прямоугольников:

Ответ: 3,875



2. Формула трапеций

Формулу трапеций получают аналогично формуле прямоугольников: на каждом частичном отрезке криволинейная трапеция заменяется обычной.

Разобьем отрезок на n равных частей длины абсциссы точек деления (cм. рис. 3). Пусть соответствующие им ординаты графика функции. Тогда расчетные формулы для этих значений примут вид .

Рисунок 3.

Заменим кривую ломаной линией, звенья корой соединяют концы ординат и . Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями и высотой :

Или

Формула (3.1) называется формулой трапеций.

Абсолютная погрешность приближения, полученного по формуле трапеций, оценивается с помощью формулы , где Снова для линейной функции формула (3.1) - точная.

2.1 Задача 1.

Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле трапеций. Результаты округлить до трёх знаков после запятой.

Разбив отрезок интегрирования на 3 части.

Решение: 

По условию отрезок интегрирования нужно разделить на 3 части, то есть .

Вычислим длину каждого отрезка разбиения: . Параметр , напоминаю, также называют шагом.

Сколько будет точек  (узлов разбиения)? Их будет на одну больше, чем количество отрезков:

Ну а общая формула трапеций будет иметь следующий вид:

Произведем расчеты:

Окончательно:

Итак, ответ: 2,664

2.2 Задача 2.

Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле трапеций.

разбив отрезок интегрирования на 4 части.

Решение: Разбиваем отрезок интегрирования на 4 части: 

Тогда формула трапеций принимает следующий вид:

 

Вычислим шаг: 

Заполним расчетную таблицу:

Таким образом:

 

Ответ: 0,19897 

2.3 Задача 3.

Вычислить определенный интеграл методом трапеций для n = 10.

Решение:

Формула метода трапеций имеет вид

 .

То есть, для ее применения нам достаточно вычислить шаг h по формуле , определить узлы  и вычислить соответствующие значения подынтегральной функции .

Вычислим шаг разбиения:.

Определяем узлы  и вычисляем значения подынтегральной функции в них (будем брать четыре знака после запятой):

Результаты вычислений для удобства представляем в виде таблицы:

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4	4,5	5
	7	5,6	3,5	2,1538	1,4	0,9655	0,7	0,5283	0,4117	0,3294	0,2692

Подставляем их в формулу метода трапеций:

Ответ: 9,6117



3. Формула Симпсона

Если заменить график функции на каждом отрезке разбиения не отрезками прямых, как в методах трапеций и прямоугольников, а дугами парабол, то получим более точную формулу приближенного вычисления интеграла .

Предварительно найдем площадь S криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком параболы , сбоку - прямыми

и снизу- отрезком .

Пусть парабола проходит через три точки , где ордината параболы в точке ; ордината параболы в точке (см. рис. 4). Площадь S равна

Рисунок 4.

Выразим эту площадь через Из равенств для ординат находим, что .

Подставляя эти значения с и a в равенство (4.1), получаем

Получим теперь формулу парабол для вычисления интеграла .

Для этого отрезок разобьем на равных частей (отрезков) длиной точками . В точках деления вычисляем значения подынтегральной функции (см. рис. 5).

Рисунок 5.

Заменяем каждую пару соседних элементарных криволинейных трапеций с основаниями, равными h, одной элементарной параболической трапецией с основанием, равным 2h. На отрезке парабола проходит через три точки . Используя формулу (4.2), находим

Аналогично находим

Сложив полученные равенства, имеем

Или

Формула (4.3) называется формулой парабол (или Симпсона).

Абсолютная погрешность вычисления по формуле (4.3) оценивается соотношением

Отметим, что формула (4.3) дает точное значение интеграла во всех случаях, когда многочлен, степень которого меньше или равна трем (тогда ).

3.1 Задача 1.

Вычислить приближенное значение определенного интеграла  с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей.

Решение:

Используем формулу Симпсона:

При десяти отрезках разбиения  шаг составляет 

Заполним расчетную таблицу:

Вычисления расписываем подробно:

Ответ: 32,794

3.2 Задача 2.

Вычислить приближенное значение определенного интеграла

  с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Вычисления

.Решение: Используем формулу Симпсона:

, где: , , 

В данном случае: 

Таким образом:

Ответ: 198,901

3.3 Задача 3.

Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле Симпсона. Разбиение начать с двух отрезков , с четырех отрезков .

Решение: 1) Рассмотрим два отрезка разбиения 

Вычислим шаг: 

Заполним расчетную таблицу:

Таким образом:

 

2) Рассмотрим четыре отрезка разбиения 

Вычислим шаг: 

Заполним расчетную таблицу:

Таким образом:

 

Ответ: 1) 0,466990 2)0,466347, следовательно более приближенный ответ - 0,466



Заключение

В большинстве прикладных задач вычислять точное значение определенного интеграла не целесообразно, более того, это далеко не всегда возможно. Часто нам бывает достаточно знать значение определенного интеграла с некоторой степенью точности, например, с точностью до одной тысячной.

Для нахождения приближенного значения определенного интеграла с требуемой точностью применяют численное интегрирование, к примеру, метод Симпсона (метод парабол), метод трапеций или метод прямоугольников. Каждый из изложенных методов приближенного вычисления интегралов содержит четкий алгоритм их нахождения, что позволяет широко применять эти методы для вычислений на ЭВМ. Таким образом, указанные методы - эффективное средство вычисления интегралов.

Однако, в некоторых случаях можно вычислить определенный интеграл более точно.

Такое значение интеграла вычисляется с помощью формулы Ньютона-Лейбница, которая имеет вид:



Список литературы

1) Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. I . - М.: Наука, 1982

2) Гусак А.А. Математический анализ и дифференциальные уравнения. - Мн.: ТетраСистемс, 1998.

3) Гусак А.А. Высшая математика: Учеб. пособие для студентов вузов: В 2 т. - Мн., 1998

4) Яблонский А.И., Кузнецов А.В., Шилкина Е.И. и др. Высшая математика, 2000.

5) Д. Письменный. Конспект лекций по высшей математике. Часть 1, АЙРИС ПРЕСС, 2006.

Размещено на Allbest.ru