Векторный анализ и начала тензорного исчисления

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

СОДЕРЖАНИЕ:

1. Элементы векторной алгебры

2. Градиент скалярного поля

3. Дивергенция векторного поля и теорема Остроградского- Гаусса

4. Ротор векторного поля и теорема Стокса

5. Задачи на использование метода оператора набла

Литература

1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Большинство физических величин являются скалярными или векторными, причем физической величиной является сам вектор, а не его компоненты, зависящие от выбора системы координат.

Скаляр - однокомпонентная величина f, значение которой не зависит от выбора системы координат, например: масса, заряд, энергия, работа, плотность, объем, давление и т.д.

Вектор - трехкомпонентная величина , компоненты (проекции) которой преобразуются при поворотах системы координат как декартовы координаты точки, например, сила, скорость, ускорение, напряженность электрического поля и т.д.

Правая декартова координатная система - три взаимно перпендикулярные координатные оси x, y, z (x₁, x₂, x₃), направленные так, что направление оси z (x₃) определяется направлениями осей x, y (x₁, x₂) по правилу правого винта.

Единичные орты - три единичных вектора (), направленные по соответствующим координатным осям. (В математической литературе их чаще обозначают .)

Линейная комбинация векторов - , где , - вещественные числа. ЛКВ обладает всеми традиционными алгебраическими свойствами суммы произведений.

Скалярное произведение векторов - скаляр, со следующими свойствами: 1. , 2. ,

3. .

Скалярное произведение двух векторов и равно

или

где и - длины векторов и , - угол между векторами и , , и - проекции вектора на оси x, y и z (1, 2 и 3).

Векторное произведение векторов - вектор, со следующими свойствами: 1. , 2. , . Модуль векторного произведения - это площадь параллелограмма, построенного на векторах-сомножителях, равная:

Компоненты векторного произведения вычисляются по следующей формуле, которая легко получается из приведенных выше свойств этого произведения: скалярный ротор векторный стокс

=

Двойное векторное произведение вычисляется по формуле «бац минус цаб»:

Смешанное произведение векторов: - скаляр, модуль которого равен объему параллелепипеда, построенного на векторах-сомножителях. Для любых векторов СПВ не меняется при их циклической перестановке и меняет знак при перестановке двух любых векторов-сомножителей:

Если хотя бы два вектора-сомножителя коллинеарны, смешанное произведение равно 0.

СПФ вычисляется по формуле:

где V -объем параллелепипеда, построенного на векторах , и , знак “+” - в случае, когда тройка векторов правая, а знак “-” - в случае, когда тройка векторов левая.

Уравнение плоскости, перпендикулярной вектору и проходящей через точку в векторной форме имеет вид

или в компонентах:

Уравнение прямой, параллельной вектору и проходящей через точку имеет вид:

,

где - любое вещественное число. Учитывая, что величина одна и та же для всех координатных осей, получаем, что уравнение прямой, записанное в компонентах, имеет вид:

2. ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ

Если в каждой точке пространства задан скаляр - это скалярное поле. Если в каждой точке пространства задан вектор - это векторное поле.

Приращение скалярного поля при перемещении на вектор равно: .

Градиент - это вектор с компонентами . Величина , где - угол между векторами градиент и . Отсюда следует, что направление вектора - это направление скорейшего роста скалярного поля в данной точке, а модуль градиента - это скорость роста поля в этом направлении.

Экстремальные точки скалярного поля - это точки, при смещении из которых с точностью до членов, линейных по смещению, поле остается неизменным. В этих точках .

Силовое поле - это векторное поле, значение которого в каждой точке пространства равно силе, действующей на частицу в этой точке.

Потенциальное силовое поле - это силовое поле, работа по перемещению частицы в котором по любому замкнутому контуру равна нулю. В этом случае можно ввести скалярное поле потенциальной энергии , связанное с силовым полем соотношением: .

Плотность потока тепла - количество тепловой энергии, протекающей в единицу времени через единичную площадку, ориентированную перпендикулярно потоку тепла. Вектор ППТ связан с градиентом температуры соотношением: , где - скалярное поле температуры, - коэффициент теплопроводности.

3. ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ И ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО- ГАУССА

Вектор площадки направлен перпендикулярно площадке и равен по модулю ее площади. Этот вектор направлен по внешней нормали , если площадка является элементом замкнутой поверхности, в противном случае считается, что этот вектор связан с направлением обхода площадки правилом правого винта.

Поток векторного поля через площадку в точке равен .

Поток векторного поля через поверхность S равен сумме потоков этого поля через все площадки , на которые разбита поверхность S. При сумма превращается в интеграл по поверхности S: , где - средняя точка на площадке .

Поток _S векторного поля через замкнутую поверхность S может быть записан как сумма потоков через поверхности дифференциально малых объемов , на которые можно разбить замкнутый объем V, ограниченный поверхностью S: . Чтобы последняя сумма была интегральной (и для нее существовал предел при m), необходимо, чтобы потоки были пропорциональны соответствующим объемам .

Дивергенция векторного поля в точке - это скаляр, равный: , где - средняя точка в объеме . Отсюда следует, что в пределе при сумма по m становится интегралом по объему V: . Представляя этот поток в виде интеграла по поверхности S, ограничивающей объем V, мы приходим к теореме Гаусса: .

Связь между дивергенцией векторного поля и частными производными его компонент: .

Уравнение непрерывности - дифференциальное уравнение в частных производных, связывающее скорость изменения плотности жидкости в каждой точке объема и дивергенцию произведения плотности и скорости жидкости в этой же точке: . Уравнение непрерывности выводится из закона сохранения массы с использованием теоремы Гаусса.

Закон сохранения электрического заряда в дифференциальной форме - дифференциальное уравнение в частных производных, связывающее скорость изменения плотности электрического заряда в каждой точке и дивергенцию плотности электрического тока в этой же точке: . Выводится из закона сохранения заряда с использованием теоремы Гаусса.

Уравнение теплопроводности - дифференциальное уравнение для температуры, которое выводится с использованием теоремы Гаусса из закона сохранения тепловой энергии в процессах теплопередачи. В однородной среде УТ имеет вид: , где a - коэффициент температуропроводности.

4. РОТОР ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ И ТЕОРЕМА СТОКСА

Циркуляция A_L векторного поля по замкнутому контуру L - скалярная величина, равная сумме скалярных произведений векторов участков , на которые разбит конур L, и векторов в средних точках этих участков: . При сумма переходит в интеграл по контуру L: . Циркуляция меняет знак при изменении направления обхода контура. Циркуляцию по контуру L можно представить в виде суммы циркуляций по границам L_k малых площадок , на которые разбита поверхность S, натянутая на контур L, причем направление векторов согласуется правилом правого винта с направлением обхода контуров L и L_k, для которых вычисляются циркуляции: . Чтобы записанная сумма была интегральной, необходимо, чтобы суммируемые величины были пропорциональны . Это возможно, если существует векторное поле, называемое ротором поля такое, что . При циркуляция записывается в виде интеграла по поверхности S: . Таким образом, циркуляция может быть записана как в виде интеграла по контуру, так и в виде потока ротора векторного поля через поверхность, натянутую на контур. Этот результат называется теоремой Стокса: . Положительное направление нормали для поверхности должно быть связано с направлением обхода контура по правилу правого винта.

Ротор векторного поля выражается через частные производные компонент поля соотношением: . Определитель, стоящий в правой части, надо формально разложить по первой строке, что дает выражение для ротора в виде линейной комбинации единичных ортов:

Формула Грина выводится из теоремы Стокса для случая двумерного поля, заданного на плоскости (x,y): и замкнутого контура L, заданного на плоскости (x,y). Тогда: , и . Тогда из теоремы Стокса следует формула Грина:

.

5. ЗАДАЧИ НА ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА ОПЕРАТОРА НАБЛА

Векторный дифференциальный оператор «набла» имеет компоненты и его можно представить в виде: . Алгебраические преобразования выражений, содержащих оператор «набла», проводятся по обычным правилам векторной алгебры, надо только учитывать, что «набла» - это дифференциальный оператор и по определению он должен стоять слева от функции, которую нужно продифференцировать. Так - это дивергенция поля , а - скалярный дифференциальный оператор: . Понятно, что , , .

Оператор Лапласа - скалярный дифференциальный оператор второго порядка: .

С учетом свойств оператора «набла» легко убедиться, что для любых полей справедливо: , , . Надо иметь в виду, что последний член - это вектор с компонентами .

Преобразование выражений векторного анализа методом оператора набла проводится по следующей схеме:

1. Вместо операций grad, div, rot и вводим операции с использованием оператора набла:

2. Анализируем, на какие функции оператор набла действует как дифференциальный оператор. По определению эти функции должны располагаться в выражении справа от оператора набла. Если таких функций две и они перемножаются, представим оператор набла в виде суммы двух операторов, каждый из которых действует на “свою” функцию. Например:

3. Преобразуем полученные выражения, пользуюсь методами векторной алгебры. При этом не обращаем внимания на дифференциальный характер оператора набла и считаем его обычным вектором. В рассматриваемом примере:

4. Используя стандартные правила векторной алгебры, преобразуем полученные выражения с тем расчетом, чтобы операторы набла стояли слева от тех функций, на которые они действуют, и справа от тех, на которые они не действуют. Так:

=

=

5. Поскольку операторы набла оказываются в позициях, где они автоматически правильно действуют как дифференциальные операторы, убираем пометки у операторов набла и вводим при необходимости обозначения grad, div, rot и . В рассматриваемом примере окончательно получаем:

где

ЛИТЕРАТУРА

1. И.В.Савельев. Основы теоретической физики. Т.1.- М.: Наука, 1975.- С. 313- 409.

2. Савельев И.В. Курс обшей физики, т. 2. - М.: Наука, 1988.

3. В.В.Батыгин, И.Н.Топтыгин. Сборник задач по электродинамике.- М.: Наука, 1970.- С. 9- 22.

4. А.И.Борисенко, И.Е.Тарапов. Векторный анализ и начала тензорного исчисления.- Харьков: Вища школа, 1986.- С. 216.

Размещено на Allbest.ru