Характеристика линейной алгебры

, .

Свойства сложения матриц

A+B=B+A;

A+(B+C)=(A+B)+C=A+B+C.

Умножение матрицы на число

Чтобы умножить матрицу на число надо умножить на это число каждый элемент матрицы.

, B=A , .

Свойства умножения матрицы на число

, ,

(+)A=A+A,

()A=(B).

Пример. Найти матрицу если

Решение.

Пример. Найти матрицу , если

.

Решение.

.

Произведение двух матриц

Умножать можно только те матрицы, для которых число столбцов в первой матрицы равно числу строк во второй матрицы. Произведением двух матриц

,

называется матрица

,

у которой элемент cij находится по формуле

, i=1,2,…,m; j=1,2,…,p,

т.е. элемент матрицы cij , стоящий на пересечении i - строки и j-столбца, равен сумме произведений элементов i - строки матрицы А на соответствующие элементы j-столбца матрицы В. В результате умножения матрицы А на матрицу В получится матрица С, число строк которой равно числу строк матрицы А, а число столбцов равно числу столбцов матрицы В.

Пример. Перемножить матрицы А и В, если

, .

Решение.

.

Если АВ=ВА, то матрицы коммутативные.

1.2 Определители и их свойства

Определителем квадратной матрицы или просто определителем (детерминантом) называется число, которое ставится в соответствие матрице и может быть вычислено по её элементам.

Квадратная матрица первого порядка состоит из одного элемента, поэтому её определитель равен самому элементу .

Определитель второго порядка вычисляется по формуле:

.

Определитель третьего порядка вычисляется по правилу треугольника:

.

Минором Mij элемента aij определителя п-го порядка называется определитель (п 1)-го порядка, полученный из данного определителя путём вычёркивания элементов i-той строки и j-того столбца.

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij определителя называется число Aij = (1)i + jMij.

Таким образом, алгебраическое дополнение Aij элемента aij это соответствующий минор Mij, умноженный на .

Вычисление определителей

Теорема (без доказательств) о разложении определителя по элементам строки (столбца).Для каждой квадратной матрицы А порядка n имеет место формула

, если ;

, если .

Пример. ,

Свойства определителей

1. При транспонировании величина определителя не меняется.

Строки и столбцы определителя эквиваленты.

2. Если в определители поменять местами какие-либо две строки (столбца) местами, то определитель меняет знак.

3. Определитель с двумя одинаковыми столбцами (строками) равен нулю.

4. При умножении элементов какого-либо столбца (строки) на число , определитель умножается на это число.

.

5. Если все элементы какого-либо столбца (строки) равны нулю, то определитель равен нулю.

6. Если элементы двух строк (столбцов) пропорциональны, то определитель равен нулю.

7. Пусть каждый элемент какого-либо столбца (строки) определителя равен сумме двух слагаемых, тогда этот определитель равен сумме двух определителей, причём в первом их них соответствующий столбец (строка) состоит из первых слагаемых, а во втором - из вторых слагаемых.

8. Определитель не изменится, если к элементам какого-либо столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженного на одно и тоже число.

где

9. Сумма произведений элементов какого-либо столбца определителя на алгебраического дополнения к элементам другого столбца равна нулю.

Пример. Вычислить определитель

2. Разложение по первой строке:

3. Преобразование первого столбца:

1.3 Обратная матрица. Ранг матрицы

Рассмотрим квадратную матрицу

.

Если определитель квадратной матрицы А равен нулю, то матрица называется особенной или вырожденной.

Если определитель квадратной матрицы А неравен нулю, то матрица называется неособенной или невырожденной.

Матрица А-1 называется обратной для квадратной невырожденной матрицы А, если произведение АА-1=Е или А-1А=Е, где Е - единичная матрица.

Найдем конкретный вид обратной матрицы:

1. Заменим в квадратной невырожденной матрице А каждый элемент его алгебраическим дополнением aijAij.

2. Транспонируем полученную матрицу АijAjiAc.

Матрица называется союзной (присоединенной) для матрицы А.

3. Разделим полученную союзную матрицу на определитель

.

.

Пример. Найти обратную матрицу для

.

Вычислим алгебраические дополнения:

,

.

Проверка:

.

Свойства обратных матриц

1. (A-1)-1 = A;

2. (AB)-1 = B-1A-1

3. (AT)-1 = (A-1)T.

Ранг матрицы

Выделим произвольно t-строк и t-столбцов в матрице ,. Определитель порядка t, составленный из элементов стоящих на пересечении выделенных t-строк и t-столбцов называется порожденным матрицей А.

Рангом матрицы называется натуральное число равное наибольшему из порядков определителей, отличных от нуля, среди порожденных данной матрицей.

Если , значит

· существует определитель порядка ;

· все определители порядка больше чем r обращаются в нуль.

Ранг матрицы А не изменится, если:

· строки заменить столбцами (транспонировать);

· поменять местами два столбца (строки);

· умножить каждый элемент столбца на одно и тоже число, отличное от нуля.

· сложить два столбца (строки).

Перечисленные действия называют элементарными преобразованиями матриц.

Матрицы, полученные одна из другой путём элементарных преобразований, называются эквивалентными (обозначаются В).

Чтобы вычислить ранг матрицы А, путём элементарных преобразований сводим её к ступенчатому виду (в частности, к треугольному), выделяя наибольший минор, отличный от нуля:

,

rang A = rang B = k.

Пример. Найти ранг матрицы

.

Решение.

1.4 Собственные значения и собственные векторы матрицы

Пусть L - заданное n- мерное линейное пространство. Ненулевой вектор L называется собственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число , что выполняется равенство A.

При этом число называется собственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору .

Если линейное преобразование А в некотором базисе ,,…, имеет матрицу

А=,

то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни 1, 2, … ,n уравнения

Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть -- характеристическим многочленом линейного преобразования А.

Следует отметить, что характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.

Рассмотрим частный случай. Пусть А - некоторое линейное преобразование плоскости, матрица которого равна . Тогда преобразование А может быть задано формулами:

в некотором базисе .

Если преобразование А имеет собственный вектор с собственным значением , то А.

или

Т.к. собственный вектор ненулевой, то х1 и х2 не равны нулю одновременно. Т.к. данная система однородна, то для того, чтобы она имела нетривиальное решение, определитель системы должен быть равен нулю. В противном случае система имеет единственное решение - нулевое, что невозможно. матрица вектор линейный уравнение

Полученное уравнение является характеристическим уравнением линейного преобразования А.

Таким образом, можно найти собственный вектор (х1, х2) линейного преобразования А с собственным значением , где - корень характеристического уравнения, а х1 и х2 - корни системы уравнений при подстановке в нее значения .

Понятно, что если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то линейное преобразование А не имеет собственных векторов.

Следует отметить, что если - собственный вектор преобразования А, то и любой вектор ему коллинеарный - тоже собственный с тем же самым собственным значением .

Действительно, . Если учесть, что векторы имеют одно начало, то эти векторы образуют так называемое собственное направление или собственную прямую.

Т.к. характеристическое уравнение может иметь два различных действительных корня 1 и 2, то в этом случае при подстановке их в систему уравнений получим бесконечное количество решений. Это множество решений определяет две собственные прямые.

Если характеристическое уравнение имеет два равных корня 1 = 2 = , то либо имеется лишь одна собственная прямая, либо, если при подстановке в систему она превращается в систему вида эта система удовлетворяет любым значениям х1 и х2. Тогда все векторы будут собственными, и такое преобразование называется преобразованием подобия.

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А=.

Решение.

Запишем линейное преобразование в виде:

Составим характеристическое уравнение:

2 - 8 + 7 = 0;

Корни характеристического уравнения: 1 = 7; 2 = 1;

Для корня 1 = 7:

Из системы получается зависимость: x1 - 2x2 = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; 0,5t) где t- параметр.

Для корня 2 = 1:

Из системы получается зависимость: x1 + x2 = 0. Собственные векторы для второго корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; -t) где t- параметр.

Полученные собственные векторы можно записать в виде

1.5 Квадратичные формы

Однородный многочлен второй степени относительно переменных х1 и х2

Ф(х1, х2) = а11,

не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени, называется квадратичной формой переменных х1 и х2.

Однородный многочлен второй степени относительно переменных х1, х2 и х3

не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных х1, х2 и х3.

Рассмотрим квадратичную форму двух переменных. Квадратичная форма имеет симметрическую матрицу

А=.

Определитель этой матрицы называется определителем квадратичной формы.

Пусть на плоскости задан ортогональный базис . Каждая точка плоскости имеет в этом базисе координаты х1, х2.

Если задана квадратичная форма Ф(х1, х2)=а11, то её можно рассматривать как функцию от переменных х1 и х2.

Приведение квадратичных форм к каноническому виду

Рассмотрим некоторое линейное преобразование А с матрицей

.

Это симметрическое преобразование можно записать в виде:

y1 = a11x1 + a12x2,

y2 = a12x1 + a22x2,

где у1 и у2 - координаты вектора в базисе .

Очевидно, что квадратичная форма может быть записана в виде

Ф(х1, х2) = х1у1 + х2у2.

Как видно, геометрический смысл числового значения квадратичной формы Ф в точке с координатами х1 и х2 - скалярное произведение .

Если взять другой ортонормированный базис на плоскости, то в нём квадратичная форма Ф будет выглядеть иначе, хотя ее числовое значение в каждой геометрической точке и не изменится. Если найти такой базис, в котором квадратичная форма не будет содержать координат в первой степени, а только координаты в квадрате, то квадратичную форму можно будет привести к каноническому виду.

Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования имеет вид:

.

При переходе к новому базису от переменных х1 и х2 мы переходим к переменным и . Тогда

.

Выражение

называется каноническим видом квадратичной формы. Аналогично можно привести к каноническому виду квадратичную форму с большим числом переменных.

Теория квадратичных форм используется для приведения к каноническому виду уравнений кривых и поверхностей второго порядка.

Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму

Ф(х1, х2)=27.

Решение.

Коэффициенты:

а11 = 27, а12 = 5, а22 = 3.

Составим характеристическое уравнение:

;

(27 - )(3 - ) - 25 = 0,

2 - 30 + 56 = 0 1 = 2; 2 = 28;

1.6 Исследование систем линейных уравнений

Теорема Кронекера-Капелли

Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

,

где aij - коэффициенты, а bi - постоянные.

Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

Для системы линейных уравнений матрица

А=

называется матрицей системы, а матрица

=

называется расширенной матрицей системы.

К элементарным преобразованиям относятся:

1) прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.

2) перестановка уравнений местами.

3) удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.

Теорема Кронекера - Капелли (условие совместности системы)

Рассмотрим случай, когда m n , т.е. число уравнений равно числу неизвестных. Предположим, что матрица А несобственная, т.е. , значит она имеет обратную А-1. Тогда умножив равенство (1.2) на А-1 слева получим: А-1 А= А-1 В.

Учитывая, что А-1А=Е, ЕХ=Х, будем иметь

Х =А-1 В.

Равенство (1.3) представляет собой матричную запись решения системы (1.1).

Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных. Метод удобен для решения систем невысокого порядка.

Метод основан на применении свойств умножения матриц.

Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.

Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся нулю. Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.

Используя, вид матриц А-1, А, Х и В распишем выражение Х =А-1 В в следующем виде:

,

здесь .

Значит

, i=1,…,n,

где - определитель, полученный из заменой i-ого столбца свободными членами

.

Формулы (1.5) называют формулами Крамера.

Пример. Решите систему линейных уравнений:

х1+2х2=5;

3х2+х3=9;

х2+2х3=8.

Решение.

1. Метод обратной матрицы.

, , ,

.

.

2. По формулам Крамера:

, ,

, ,

, , .

Метод Гаусса.

В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных. Существует много вариантов этого метода. Рассмотрим схему с выбором главного элемента. Пусть исходная система имеет вид:

Положим, что , и разделим обе части первого уравнения системы на a11

здесь

С помощью уравнения (7) исключим во всех уравнениях системы (1.6), начиная со второго, слагаемые, содержащие x1. Для этого будем умножать обе части уравнения (1.7) последовательно на a21, a31, …, an1 и вычитать соответственно из второго, третьего и т.д. из n -го уравнения системы (1.6). В результате получаем систему, порядок которой на единицу меньше порядка исходной системы:

С полученной системой проделываем аналогичные преобразования. После n -кратного повторения этого преобразования можно записать систему с треугольной матрицей:

которая эквивалентна системе (1.6) и легко решается. В самом деле, из последнего уравнения находим xn; подставляя xn в предпоследнее уравнение, находим xn-1, затем xn-2 и т.д. вплоть до x1, которое находится из первого уравнения системы, когда уже известны xn, xn-1, xn-2,…, x1.

Таким образом, вычисления по методу Гаусса распадаются на два этапа: на первом этапе, называемом прямым ходом метода, исходная система преобразуется к треугольному виду (1.8). На втором этапе, называемом обратным ходом, решается треугольная система (1.8), эквивалентная исходной системе.

Коэффициенты называются ведущими элементами метода Гаусса. На каждом шаге предполагалось, что Если окажется, что это не так, то в качестве ведущего элемента можно использовать любой другой ненулевой коэффициент системы.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Решение.

Составим расширенную матрицу системы.

.

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

,

откуда получаем x3 = 2; x2 = 5; x1 = 1.

1.8 Решение однородных систем

Однородная система линейных уравнений - это система вида

Теорема: Если ранг матрица А равен числу неизвестных, то система имеет единственное тривиальное (нулевое) решение (x1=х2=…=хn=0).

Если ранг матрицы А меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений. , то r переменных основных, а (n-r) - свободных.

Пример. Решить однородную систему уравнений

то уравнение имеет решение x=y=z=0.

Размещено на Allbest.ru