Четырехмерный мир Минковского

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство высшего и среднего образования

Курганского Государственного Университета

Реферат по теме: «Четырехмерный мир Минковского»

Выполнила: Студентка группы Т-10915

Данилина Е.Ю.

Преподаватель: Воронцов Б.С.

«Когда нематематик слышит о «четырехмерном», его охватывает мистическое чувство, подобное чувству, возбужденному театральными приведениями», - говорит в одной из своих статей Эйнштейн и добавляет, что «тем не менее нет более банального утверждения», чем утверждение о четырехмерности мира. Четырехмерность не означает ничего иного, кроме того, что мир физических явлений «складывается из отдельных событий, каждое из которых описывается четырьмя числами».

Четырехмерность не была изобретением теории относительности. Мир классической физики тоже, очевидно, четырехмерен. Поэтому четырёхмерность не нужно было открывать или вновь вводить.

Пространство представляет собой трехмерный континуум. Это значит, что положение (покоящейся) точки можно описать тремя числами (координатами) x, y, z и что около каждой точки имеются сколь угодно близкие «соседние» точки, положение которых может быть описано такими значениями координат (координатами) x1, y1, z1, которые могут быть сколь угодно близки к координатам x, y.z исходной точки. Благодаря последнему свойству мы говорим о «континууме» (непрерывности), а ввиду того, что число координат равно трем - о его трёхмерности».

Аналогично, мир физических явлений, названный Минковским просто «миром», естественно, является четырехмерным в пространственно-временном смысле. В самом деле, он складывается из отдельных событий, каждое из которых описывается четырьмя числами, а именно: тремя пространственными координатами x,y,z и временной координатой - значение м времени t/ «Мир» в этом смысл является также непрерывным(континуумом); для каждого события имеются сколь угодно близкие «соседние» (происходящие или мыслимые) события, координаты которых x1, y1.z1 сколь угодно мало отличаются от координат первоначально наблюдавшегося события x.y.z.t. Тот факт, что мы обычно не рассматриваем мир в этом смысле как четырехмерный континуум, объясняется тем. Что время в дорелятивистской физике играет иную, более самостоятельную по сравнению с распространенными координатами роль. Поэтому и выработалась привычка рассматривать время как самостоятельный континуум. В самом деле, в классической физике время абсолютно, т.е. не зависит от положения и состояния движения системы отсчета. Это находит свое выражение в последнем уравнении преобразования Галилея (t=t').

Благодаря теории относительности появляется возможность четырехмерной трактовки «мира», так как в этой теории время утрачивает свою самостоятельность, как показывает четвертое уравнения преобразования Лоренца:

t'=(t-(v/c^2)x)/(1-(v^2/c^2)^1/2

Действительно, согласно этому уравнению, разность Дt' времен двух событий относительно K', вообще говоря, не обращается в нуль, и тогда, когда разность времен Дt этих событий относительно К исчезает. Чисто пространственному расстоянию двух событий относительно системы отсчета К соответствует расстоянию двух событий относительно системы отсчета К'. Однако и не в \том заключается открытие Минковского, важное для формального развития теории относительности. Оно состоит скорее в осознании того, что четырехмерный пространственно-временной континуум теории относительности по своим основным формальным свойствам глубоко родственен трехмерному континууму евклидовой геометрии. Для полного выявления этого родства необходимо вместо обычной временной координаты t ввести пропорциональную ей мнимую величину v-1ct. Но тогда законы природы, удовлетворяющие требованиям (специальной) теории относительности, принимают такую математическую форму, в которой временная координата играет точно такую же роль, как и три пространственные координаты. Формально эти четыре координаты совершенно точно соответствуют трем пространственным координатам евклидовой геометрии. Даже нематематику должно быть ясно, что благодаря этому чисто формальному положению теория относительности чрезвычайно выиграла в наглядности и стройности.

Эти краткие указания дают читателю лишь смутное представление о важных мыслях Минковского, без которых общая теория относительности, быть может, оставалась бы в зачаточном состоянии.

Приведем еще одно трактование этой теории.

Пространство Минковского Ї четырёхмерное псевдоевклидово пространство сигнатуры, предложенное в качестве геометрической интерпретации пространства-времени специальной теории относительности.

Каждому событию соответствует точка пространства Минковского, в лоренцевых (или галилеевых) координатах, три координаты которой представляют собой декартовы координаты трёхмерного евклидова пространства, а четвёртая Ї координату , где Ї скорость света, Ї время события. Связь между пространственными расстояниями и промежутками времени, разделяющими события, характеризуется квадратами интервала:

минковский четырехмерный геометрический континуум

Нередко в качестве квадрата интервала берётся противоположная величина, выбор знака -- вопрос произвольного соглашения. Так, первоначально сам Минковский предложил именно противоположный знак для квадрата интервала.

Интервал в пространстве Минковского играет роль, аналогичную роли расстояния в геометрии евклидовых пространств. Он инвариантен при замене одной инерциальной системы отсчёта на другую так же, как расстояние инвариантно при поворотах, отражениях и сдвигах начала координат в евклидовом пространстве. Роль, аналогичную роли вращений координат в случае евклидова пространства, играют для пространства Минковского преобразования Лоренца.

Квадрат интервала аналогичен квадрату расстояния в евклидовом пространстве. В отличие от последнего квадрат интервала не всегда положителен, также между различными событиями интервал может быть равен нулю.

Иллюстрация парадокса близнецов на диаграмме Минковского.

Приведем некоторые понятия для наилучшего понимания мира Минковского.

Псевдоевклидова метрика в пространстве Минковского, определяемая приведенной выше формулой для интервала, называется метрикой Минковского или лоренцевой метрикой. Под лоренцевой метрикой понимают или метрику, явно соответствующую этому определению в выбранных координатах (и определяющую таким образом выбор координат), или метрику, которая может быть сведена к таковой подходящим выбором непрерывных координат. Лоренцев метрический тензор обычно обозначается , он задаёт квадратичную форму сигнатуры . Термин лоренцева метрика или метрика Минковского может применяться и в случаях размерностей, отличных от 4. Тогда это обычно означает, что одна координата играет роль времени, а остальные -- пространственных координат.

Множество всех векторов с нулевым квадратом интервала образует коническую поверхность и называется световым конусом.

Вектор, лежащий внутри светового конуса, называется времени подобным вектором, вне светового конуса --пространственно подобным.

Событие в данный момент времени в данной точке называется мировой точкой.

Множество мировых точек, описывающее движения частицы (материальной точки) во времени, называется мировой линией. В принципе этот термин может применяться и к описанию движения абстрактных («воображаемых») точек, но в основном употребляется всё же для описания движения реальных физических тел (в том числе распространения импульсов света).

Инерциальный наблюдатель: наблюдатель, который покоится либо движется равномерно и прямолинейно (и поступательно, без вращения его координатной системы) относительно инерциальной системы отсчета. В лоренцевых (галилеевых) координатах мировая линия этого наблюдателя (и всех точек, неподвижных в его системе отсчета) выглядит особенно просто: это прямая где -- параметр, а изменяется от 1 до 4 -- тогда временной координатой является четвёртая, или от 0 до 3 -- тогда временная координата нулевая.

Интервал между двумя событиями, через которые проходит мировая линия инерциального наблюдателя, делённый на , называется его собственным временем, так как эта величина совпадает со временем, измеренным движущимися вместе с наблюдателем часами. Для неинерциального наблюдателя собственное время между двумя событиями соответствует интегралу от интервала вдоль мировой линии.

Если вектор, соединяющий мировые точки, времени подобен, то существует система отсчета, в которой события происходят в одной и той же точке трёхмерного пространства.

Если вектор, соединяющий мировые точки двух событий, пространственно подобен, то существует система отсчета, в которой эти два события происходят одновременно; они не связаны причинно-следственной связью; модуль интервала определяет пространственное расстояние между этими точками (событиями) в этой системе отсчета.

Кривая, касательный вектор к которой в каждой ее точке времени подобен, называется времени подобной линией. Аналогично определяются пространственно подобные и изотропные («светоподобные») кривые.

Множество всех мировых линий света, исходящих из данной мировой точки, как правило, рассматриваемые в совокупности со всеми входящими, образует двухполостную коническую гиперповерхность, инвариантную относительно преобразований Лоренца, называемую изотропным или световым конусом. Эта гиперповерхность разделяет причинное прошлое данной мировой точки, её причинное будущее и причинно независимую с данной мировой точкой (пространственно подобную) область пространства Минковского.

Касательный вектор к мировой линии любого обычного физического тела является времени подобным вектором.

Касательный вектор к мировой линии света (в вакууме) является изотропным вектором.

Гиперповерхность, все касательные векторы которой пространственно подобны, называется пространственно подобной гиперповерхностью (на такой гиперповерхности задаются начальные условия), если же в каждой точке гиперповерхности найдется времени подобный касательный вектор, такая поверхность называется времени подобной (на такой гиперповерхности нередко могут задаваться граничные условия).

Группой движений пространства Минковского, то есть группой преобразований, сохраняющих метрику, является 10-параметрическая группа Пуанкаре, состоящая из 4 трансляций -- 3 пространственных и 1 временной, 3 чисто пространственных вращений и 3 пространственно-временных вращений, иначе называемых бустами. Последние 6, взятые вместе, образуют подгруппу группы Пуанкаре -- группу преобразований Лоренца. Таким образом, пространство Минковского является четырёхмерным метрическим пространством наивысшей возможной степени симметрии и имеет 10 векторов Киллинга.

Специфические физически значимые классы координат в пространстве Минковского -- лоренцевы (или галилеевы) координаты, координаты Риндлера и координаты Борна. Также бывают очень удобны (особенно в двумерном случае)изотропные координаты или координаты светового конуса.

В общей теории относительности пространство Минковского представляет собой тривиальное решение уравнений Эйнштейна для вакуума (пространства с нулевым тензором энергии-импульса и нулевым лямбда-членом).

Это пространство было рассмотрено Анри Пуанкаре в 1905 и Германом Минковским в1908 году.

Анри Пуанкаре первым установил и детально изучил одно из самых важных свойств преобразований Лоренца -- их групповую структуру, и показал, что "преобразования Лоренца представляют не что иное, как поворот в пространстве четырех измерений, точки которого имеют координаты. Таким образом, Пуанкаре по крайней мере за три года до Минковского объединил пространство и время в единое четырехмерное пространство-время.

Размещено на Allbest.ru