Общие сведения о математике

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

1. Общие сведения о математике

1.1 Аксиоматический метод

1.2 Математические структуры

1.3 Функции и графики

Список использованной литературы

1. Общие сведения о математике

До начала 17 в. математика - преимущественно наука о числах, скалярных величинах и сравнительно простых геометрических фигурах; изучаемые ею величины (длины, площади, объемы и пр.) рассматриваются как постоянные. К этому периоду относится возникновение арифметики, геометрии, позднее - алгебры и тригонометрии и некоторых частных приемов математического анализа. Областью применения математики являлись: счет, торговля, землемерные работы, астрономия, отчасти архитектура.

В 18 в. возникают и развиваются теория дифференциальных уравнений, дифференциальная геометрия и т.д. В 19-20 вв. математика поднимается на новые ступени абстракции. Обычные величины и числа оказываются лишь частными случаями объектов, изучаемых в современной алгебре; геометрия переходит к исследованию "пространств", весьма частным случаем которых является евклидово пространство. Развиваются новые дисциплины: теория функций комплексного переменного, теория групп, проективная геометрия, неевклидова геометрия, теория множеств, математическая логика, функциональный анализ и др. Математика играет важную роль в естественнонаучных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. Причина проникновения математики в различные отрасли знаний заключается в том, что она предлагает весьма четкие модели для изучения окружающей действительности в отличие от менее общих и более расплывчатых моделей, предлагаемых другими науками. Без современной математики с ее развитым логическими и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности. Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры.

Современная математика имеет следующие основные разделы:

1. Элементарная математика: алгебра, геометрия и тригонометрия (на плоскости и сфере).

2. Аналитическая геометрия (на плоскости и в пространстве).

3. Функции и пределы. Дифференциальное и интегральное исчисление.

4. Векторный анализ. Системы криволинейных координат.

5. Функции комплексного переменного.

6. Преобразование Лапласа и другие интегральные преобразования.

7. Дифференциальные уравнения.

8. Максимумы и минимумы.

9. Математические модели. Абстрактная алгебра и абстрактные пространства.

10. Матрицы. Квадратичные и эрмитовы формы.

11. Линейные векторные пространства и линейные операторы. Матричное представление линейных преобразований.

12. Интегральные уравнения, краевые задачи и задачи о собственных значениях.

13. Тензорная алгебра и тензорный анализ.

14. Дифференциальная геометрия.

15. Теория вероятностей.

16. Теория случайных процессов.

17. Математическая статистика.

18. Численные методы и конечные разности.

Основные понятия математики.

Число, одно из основных понятий математики. В связи со счетом отдельных предметов возникло понятие о целых положительных (натуральных) числах, а затем идея о безграничности натурального ряда чисел: 1, 2, 3,4... Задачи измерения длин, площадей и т.п., а также выделение долей именованных величин привели к понятию рационального (дробного) числа. Понятие об отрицательных числах возникло у индийцев в 6-11 вв. Потребность в точном выражении отношений величин (напр., отношение диагонали квадрата к его стороне) привела к введению иррациональных чисел, которые выражаются через рациональные числа лишь приближенно; рациональные и иррациональные числа составляют совокупность действительных чисел. Окончательное развитие теория действительных чисел получила в связи с потребностями математического анализа. В связи с решением квадратных и кубических уравнений были введены комплексные числа.

Делимость, свойство целого числа делиться на другое целое число без остатка. Простейшие признаки делимости: число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2; на 3 или на 9, если сумма цифр делится соответственно на 3 или на 9; на 5, если оно оканчивается на 0 или 5.

Единица, наименьшее из натуральных чисел n = 1. В современной математике понятие единицы (единичного элемента) рассматривают в алгебраических структурах более общей природы (напр., группах).

Сложение, арифметическое действие. Обозначается знаком + (плюс). В области целых положительных чисел (натуральных чисел) в результате сложения по данным числам (слагаемым) находится новое число (сумма), содержащее столько единиц, сколько их содержится во всех слагаемых. Действие сложения определяется также для случая произвольных действительных или комплексных чисел, векторов и т.д.

Вычитание, арифметическое действие, обратное сложению, т.е. нахождение одного из слагаемых (разности) по данной сумме двух слагаемых (уменьшаемому) и данному другому слагаемому (вычитаемому). Обозначается знаком - (минус).

Умножение, арифметическое действие. Обозначается точкой "." или знаком "х" (в буквенном исчислении знаки умножения опускаются). Умножение целых положительных чисел (натуральных чисел) есть действие, позволяющее по двум числам а (множимому) и b (множителю) найти третье число ab(произведение), равное сумме b слагаемых, каждое из которых равно а; а и b называются также сомножителями. Умножение дробных чисел а/b и с/dопределяется равенством

Умножение двух рациональных чисел дает число, абсолютная величина которого равна произведению абсолютных величин сомножителей и которое имеет знак плюс (+), если у обоих сомножителей одинаковые знаки, или минус (-), если у них различные знаки. Умножение иррациональных чисел определяется при помощи их рациональных приближений. Умножение комплексных чисел, данных в форме a=а+bi и b=с+di, определяется равенствомab =ас - bd+ (a+bc) i.

Деление, арифметическое действие, обратное умножению; посредством деления по произведению a (делимому) и одному из множителей b(делителю), отличному от нуля, отыскивается другой множитель (частное). Знаки деления - две точки (a: b), горизонтальная черта или наклонная черта (a/b). Деление дробных чисел a/b и c/d определяется равенством (a/b): (c/d) =ad/bc.

Сумма, результат сложения.

Процент, сотая доля числа; обозначается знаком %.

Точка, одно из основных понятий геометрии.

Группа, понятие современной математики. Возникло из рассмотрения совокупности операций, производимых над какими-либо объектами и обладающих тем свойством, что результат последовательного применения двух или большего числа операций из этой совокупности равносилен какой-то одной операции из этой совокупности. Пример: умножение на рациональные числа (умножение сначала на m, а потом на n равносильно умножению на mn).

Кольцо, понятие современной алгебры - совокупность элементов, для которых определены операции сложения, вычитания и умножения, обладающие обычными свойствами операций над числами. Напр., кольцо целых чисел.

Что такое математический язык?

Математики отличаются от "нематематиков" тем что, обсуждая научные проблемы или решая практические задачи, говорят между собой и пишут работы на особом "математическом языке" - языке специальных символов, формул и т.п.

Дело в том, что на математическом языке многие утверждения выглядят яснее и прозрачнее, чем на обычном. Например, на обычном языке говорят: "От перемены мест слагаемых сумма не меняется" - так звучит переместительный закон сложения чисел. Математик пишет (или говорит):

a + b = b + a

Всякое точное объяснение того или иного явления - математично и, наоборот, все, что точно - математика. Любое же точное описание - это описание на соответствующем математическом языке. Классический трактат Ньютона "Математические начала натуральной философии", произведший переворот во всей математике, по существу является учебником грамматики разгаданного им "языка Природы", дифференциального исчисления, вместе с рассказом о том, что ему удалось у нее в результате услышать. Естественно, что он смог разобрать только смысл ее самых простых фраз. Последующие поколения математиков и физиков, постоянно совершенствуясь в этом языке, постигали все более и более сложные выражения, потом несложные четверостишия, поэмы... Соответственно, печатались расширенные и дополненные версии Ньютоновской грамматики.

Он переводит высказанное утверждение на математический язык, в котором используются разные числа, буквы (переменные), знаки арифметических действий и иные символы. Все эти записи экономны, наглядны и удобны для применения.

Возьмем другой пример. На обычном языке говорят: "Чтобы сложить две обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители и записать в числителе дроби, а знаменатель оставить тот же без изменения и записать в знаменатель". Математик осуществляет "синхронный перевод" на свой язык:

А вот пример обратного перевода. На математическом языке записан распределительный закон:

a (b + c) = ab + ac

Осуществляя перевод на обычный язык, получим длинное предложение: "Чтобы умножить число a на сумму чисел b и c, надо число a умножить поочередно на каждое слагаемое: b, потом c, и полученные произведения сложить".

Во всяком языке есть своя письменная и устная речь. Выше мы говорили о письменной речи в математике. А устная речь - это употребление специальных терминов или словосочетаний, например: "слагаемое", "произведение", "уравнение", "неравенство", "функция", "график функции", "координата точки", "система координат" и т.п., а также различные математические утверждения, выраженные словами: "Число а делится на 2 тогда и только тогда, когда оканчивается на 0 или четную цифру".

1.1 Аксиоматический метод

В основе построения математической теории лежит аксиоматический метод Аксиоматический метод, способ построения научной теории в виде системы аксиом (постулатов) и правил вывода (аксиоматики), позволяющих путем логической дедукции получать утверждения (теоремы) данной теории. - один из способов дедуктивного построения научных теорий. В основании аксиоматически построенной теории лежат аксиомы, т.е. предложения, принимаемые без доказательства. Основными методами в математических исследованиях являются математические доказательства - строгие логические рассуждения. Математическое мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Для правильной постановки задачи, для оценки выбора способа ее решения необходима математическая интуиция. В математике используют два вида умозаключений: индукция - метод исследования, в котором общий вывод строится не основе частных посылок и дедукция - способ рассуждения, посредством которого от общих посылок следует заключение частного характера.

Создание дедуктивного или аксиоматического метода построения науки является одним из величайших достижений математической мысли. Оно потребовало работы многих поколений ученых. Замечательной чертой дедуктивной системы изложения является простота этого построения, позволяющая описать его в немногих словах. Дедуктивная система изложения сводится: к перечислению основных понятий, к изложению определений, к изложению аксиом, к изложению теорем, к доказательству этих теорем:

аксиома - утверждение, принимаемое без доказательств, теорема - утверждение, вытекающее из аксиом, доказательство - составная часть дедуктивной системы, это есть рассуждение, которое показывает, что истинность утверждения вытекает логически из истинности предыдущих теорем или аксиом.

Образцом аксиоматического построения математической науки является элементарная геометрия. Система аксиом геометрии были изложены Евклидом (около 300 г. до н. э) в непревзойденном по своей значимости труде - "Начала". Эта система в основных чертах сохранилась и по сей день.

Элементарная геометрия имеет 13 аксиом, которые разбиты на пять групп. Попытки доказать пятый постулат занимали математиков более 2-х тысячелетий, вплоть до первой половины 19 века, когда Н.И. Лобачевский доказал в своих трудах полную безнадежность этих попыток.

В настоящее время недоказуемость пятого постулата является строго доказанным математическим фактом. Аксиому о параллельных Лобачевский заменил аксиомой: "Пусть в данной плоскости дана прямая и лежащая вне прямой точка. Через эту точку можно провести к данной прямой, по крайней мере, две параллельные прямые". Из новой системы аксиом он с безупречной логической строгостью вывел стройную систему теорем, составляющих содержание неевклидовой геометрии. Обе геометрии Евклида и Лобачевского, как логические системы равноправны.

1.2 Математические структуры

Чтобы определить структуру, задают одно или несколько отношений, в которых находятся его элементы (в случае групп - это отношение хфу = zмежду тремя произвольными элементами), затем постулируют, что данное отношение или данные отношения удовлетворяют некоторым условиям (которые перечисляют и которые являются аксиомами рассматриваемой структуры). Построить аксиоматическую теорию данной структуры - это значит вывести логические следствия из аксиом структуры, отказавшись от каких-либо других предположений относительно рассматриваемых элементов (в частности от всяких гипотез относительно их "природы").

Основные типы структур.

Отношения, являющиеся исходной точкой в определении структуры, могут быть по своей природе весьма разнообразными. То отношение, которое фигурирует в групповых структурах, называют "законом композиции": это такое отношение между тремя элементами, которое определяет однозначно третий элемент как функцию двух первых - такая структура называется алгебраической структурой (например, структура поля определяется двумя законами композиции с надлежащим образом выбранными аксиомами: сложение и умножение действительных чисел определяют структуру поля на множестве этих чисел).

Другой важный тип представляют собой структуры, определенные отношением порядка - это отношение между двумя элементами х, у, которое чаще всего мы выражаем словами "х меньше или равно у" и которое мы будем обозначать в общем случае хRу. Здесь больше не предполагается, что это отношение однозначно определяет один из элементов х, у как функцию другого. Аксиомы, которым оно подчиняется, таковы: а) для всех х хRх; b) из соотношений хRу, уRх следует х = у, с) из соотношений хRу, уRz следует хRz.

Очевидным примером множества, снабженного такой структурой, является множество целых чисел (или множество действительных чисел), причем здесь знак R заменяется на ?. Но надо заметить, что мы не включили в число аксиом аксиому, отражающую следующее свойство, которое кажется неотделимым от того понятия порядка, каким мы пользуемся в обыденной жизни: "каковы бы ни были х, у, имеет место или хRу или уRх". Другими словами, не исключается случай, когда два элемента могут оказаться несравнимыми. математика аксиоматический график функция

На первый взгляд это может показаться странным, но легко привести очень важные примеры структур порядка, для которых имеет место именно это обстоятельство. Именно с таким положением вещей мы сталкиваемся, когда X, Y означают подмножества некоторого множества, а ХRY означает "Xсодержится в Y", или когда х, у являются натуральными числами, а хRу означает "х делит y", или, наконец, когда f (х) и g (x) являются действительными функциями, определенными на интервале a ? x ? b, а f (х) Rg (х) означает: "каково бы ни было х, f (х) ? g (х)". Эти примеры в то же время показывают, сколь велико разнообразие областей, где появляются структуры порядка.

Третий тип структур - топологических структурах (топологии) Топология изучает топологические свойства фигур, т.е. свойства, не изменяющиеся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний (точнее, при взаимно однозначных и непрерывных отображениях). Примерами топологических свойств фигур являются размерность, число кривых, ограничивающих данную область, и т. д. Так, окружность, эллипс, контур квадрата имеют одни и те же топологические свойства, т. к. эти линии могут быть деформированы одна в другую описанным выше образом; в то же время кольцо и круг обладают различными топологическими свойствами: круг ограничен одним контуром, а кольцо -- двумя., в них находят абстрактную математическую формулировку интуитивные понятия окрестности, предела и непрерывности, к которым нас приводит наше представление о пространстве.

В каждой из представленных (порождающих) структур господствует уже достаточное разнообразие, так как там надо различать наиболее общую структуру рассматриваемого типа с наименьшим числом аксиом и структуры, которые получаются из нее в результате ее обогащения дополнительными аксиомами, каждая из которых влечет за собой и новые следствия.

Именно таким образом теория групп, помимо общих положений, которые справедливы для всех групп и зависят только от аксиом, перечисленных выше, содержит, в частности, теорию конечных групп (в которой добавляют аксиому, гласящую, что число элементов группы конечно), теорию абелевых групп (в которых имеем хфу = уфх, каковы бы ни были х, у), а также теорию конечных абелевых групп (в которой предполагаются выполненными обе вышеуказанные аксиомы). Точно так же среди упорядоченных множеств различают те, в которых любые два элемента сравнимы и которые называются линейно упорядоченными. Среди этих последних особо изучают множества, называемые вполне упорядоченными (в которых, так же как в множестве натуральных чисел, каждое подмножество имеет "наименьший элемент"). Подобная же градация существует и для топологических структур.

За пределами этого первоначального ядра появляются структуры, которые можно было бы назвать сложными структурами и в которые входят одновременно одна или несколько порождающих структур, но не просто совмещенные друг с другом, а органически скомбинированные при помощи одной или нескольких связывающих их аксиом. Именно такой характер носит топологическая алгебра, изучающая структуры, определяемые одним или несколькими законами композиций и одной топологией, которые связаны тем условием, что алгебраические операции являются непрерывными функциями (для рассматриваемой топологии) элементов, над которыми они производятся.

Именно таким образом получают теории классической математики: анализ функций действительной и комплексной переменной, дифференциальную геометрию, алгебраическую геометрию, теорию чисел. Но они теряют свою былую автономность и являются теперь перекрестками, на которых сталкиваются и взаимодействуют многочисленные математические структуры, имеющие более общий характер.

Структуры являются орудиями математика: каждый раз, когда он замечает, что между изучаемыми им элементами имеют место отношения, удовлетворяющие аксиомам структуры определенного типа, он сразу может воспользоваться всем арсеналом общих теорем, относящихся к структурам этого типа, тогда как раньше он должен был бы мучительно трудиться, выковывая сам средства, необходимые для того, чтобы штурмовать рассматриваемую проблему, причем их мощность зависела бы от его личного таланта и они были бы отягчены часто излишне стеснительными предположениями, обусловленными особенностями изучаемой проблемы.

1.3 Функции и графики

Функция представляет собой одно из основных математических понятий 20 века, когда функциональному анализу стала принадлежать в математике выдающаяся роль. Но так было не всегда: после введения в математику понятия функции понадобилось более двух столетий, чтобы было осознано его действительное значение для развития математического познания.

Термин "функция" впервые был применен в конце 17 века Лейбницем и его учениками. Вначале этот термин употребляли еще в очень узком смысле слова, связывая лишь с геометрическими образами. Речь шла об отрезках касательных к кривым, их проекция на оси координат и о "другого рода линиях, выполняющих для данной фигуры некоторую функцию" (от латинского "функтус" - выполнять). Таким образом, понятие функции еще не было освобождено от геометрической формы.

Лишь И. Бернулли дал определение функции, свободное от геометрического языка: "Функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных".

Чтобы определение функции, данное И. Бернулли, стало полноценным, надо было условиться, какие способы задания функций следует считать допустимыми. Обычно считали, что допускаются функции, заданные выражениями, в которые входят числа, буквы, знаки арифметических действий, возведение в степень и извлечение корней, а также обозначения тригонометрических, обратных тригонометрических, показательных и логарифмических функций. Такие функции называли элементарными. Вскоре выяснилось, что интегралы от них не всегда выражаются через элементарные функции. В связи с этим пришлось добавить новые функции, получающиеся при вычислении интегралов от элементарных функций, при решении дифференциальных уравнений и т.д. Многие из этих функций нельзя было явно выразить с помощью ранее известных операций. Поэтому один из самых замечательных математиков 18 века Леонард Эйлер пишет: "Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функциями вторых".

В 1834 году Н.И. Лобачевский писал: "Общее понятие функции требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбрать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной".

Введение в математику общего понятия об отображении множеств позволило прояснить и ряд вопросов, относящихся к функциям, например, уточнить, что такое обратная функция, сложная функция и т.д.

В результате систематического построения математического анализа на основе строгой арифметической теории иррациональных чисел и теории множества возникла новая отрасль математики - теория функций действительного переменного. Она оказала большое влияние на развитие многих других отделов математики. В начале 20 века на базе этой теории функций возникла новая ветвь математики - функциональный анализ. В нем изучают множества, состоящие из функций, последовательностей, линий, в которых определены операции сложения и умножения на числа. Эти операции обладают свойствами, похожими на свойства операций над векторами. Однако в отличие от нашего пространства, имеющего лишь три измерения, изучаемые в функциональном анализе, пространства могут быть бесконечномерными.

Но методы математического анализа позволили справиться и с проблемами теории случайных функций, нашедшей многочисленные приложения в физике и технике.

Современная трактовка понятия функции выглядит следующим образом: "Функцией называется отношение двух (группы) объектов, в котором изменению одного из них сопутствует изменение другого".

Таким образом, функция, как и любое другое математическое понятие, непосредственно или опосредованно отражает окружающую нас действительность.

График функции - один из способ ее представления.

График функции - это линия, дающая цельное представление о характере изменения функции по мере изменения, ее аргумента.

График функции - множество точек плоскости с прямоугольными координатами (х, у), где y=f (x) - функция от х из области определения Е этой функции.

Здесь y = f (x) - функция одного переменного х.

Для построения графика функции нужно нарисовать "кривую" - множество точек, координаты которых (х у) связаны соотношением y = f (x), х из множества Е. Строго говоря, точное построение графика функции невозможно, так как любое геометрическое изображение точек, отрезков, кривых и др. объектов можно сделать только приближенно.

Поэтому рисунок на самом деле является только эскизом графика f (х), от французского слова "esquisse", что означает "предварительный набросок", однако если кривая нарисована с достаточной точностью, то её также называют графиком функции. Простейшим способом является построение графика функции по точкам. Он состоит в том, что для нескольких значений аргумента находятся значения функции, по которым строятся соответствующие точки графика функции, и затем через эти точки проводится плавная кривая. Так строятся, например, всевозможные экспериментальные кривые после проведения нескольких опытов.

Для построения графика функции y=f (x), заданной аналитически (формулой), обычно используют следующие её свойства:

1) Находят область определения функции.

2) В области определения находят интервалы, на которых функция непрерывна, имеет первую и вторую производные.

3) Исследуя знаки производных, находят промежутки возрастания и убывания функции, промежутки выпуклости и вогнутости, точки максимума и минимума и перегиба точки.

4) Изучают поведение функции при стремлении аргумента к граничным точкам области определения, в частности находят пределы функции и асимптоты, если они существуют.

5) Находят значения функции в точках максимума и минимума, в точках перегиба и ещё в нескольких точках в зависимости от нужной точности построения графика функции.

Список использованной литературы

1. Бурбаки Н. Очерки по истории математики / Н. Бурбаки. - М.: Изд-во Ин. лит., 1972.

2. Гнеденко Б.В. Математика в современном мире / Б.В. Гнеденко. - Издательство Просвещение. - М.: Просвещение, 1980.

3. Кудрявцев Л.Д. Мысли о современной математике и ее изучении / Л.Д. Кудрявцев. - М.: Просвещение, 1977.

4. Локоть Н.В. Математика для нематематиков. Учебное пособие для студентов-гуманитариев / Н.В. Локоть. - Мурманск: МГПИ, 1999.

5. Математика: Большой энциклопедический словарь / Под. ред. Ю.В. Прохорова. - 3-е изд. - М.: БРС, 1998.

6. Малаховский В.С. Введение в математику / В.С. Малаховский. - Калининград: Янтарный сказ, 2001.

7. Сухотин А.К. Философия математики. Учебное пособие / А.К. Сухотин. - М., 2000.

Размещено на Allbest.ru