Исследование одной математической модели конкуренции двух популяций

Размещено на http://www.allbest.ru/

Исследование одной математической модели конкуренции двух популяций

Автор работы Адиганова Надежда Аркадьевна

МарГУ г. Йошкар-Ола 2016г.

В данной работе проводится исследование математической модели конкуренции двух популяций, объясняющей их сосуществование в природе. За основу исследования взяты нелинейные динамические дифференциальные уравнения конкуренции:

,

,

Где

.

И рассмотрена соответствующая система (1):

. (1)

Задачей работы является, во-первых, найти точки покоя системы двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка; во-вторых, исследовать устойчивость стационарных состояний системы; в-третьих, проверить рисунки фазовых портретов соответствующей динамической системы в программе Maple.

Два сходных вида животных конкурируют друг с другом на некоторой территории с ограниченными запасами пищи. Возможны различные исходы их конкурентной борьбы [1, c.140]:

(а) вид 1 выживает, а вид 2 вымирает;

(Ь) вид 2 выживает, а вид 1 вымирает;

(с) оба вида сосуществуют;

(d) оба вида вымирают.

Каждый из этих исходов соответствует некоторому положению равновесия для популяций и двух рассматриваемых видов, где и количество особей в популяциях 1 и 2. Поэтому дифференциальные уравнения, моделирующие динамику популяций и должны иметь четыре изолированные особые точки.

Заметим, что прирост на особь

,

состоит из трех слагаемых: скорости размножения изолированной популяции ; члена, соответствующего внутривидовой конкуренции ; члена, соответствующего межвидовой конкуренции . Аналогично, интерпретируются члены , , в уравнении для .

Согласно теореме о линеаризации, устанавливающей связь фазового портрета нелинейной системы в окрестности некоторой неподвижной точки с фазовым портретом её линеаризации. Найдем и проанализируем точки покоя исследуемой динамической системы (1), рассмотрев систему (2):

. (2)

Стационарным решением системы (2) является точка , если и . Обе координаты равны нулю. Это говорит о том, что оба вида вымирают. Начало координат при любых параметрах системы представляет собой неустойчивый узел.

Стационарным состоянием является точка , которая соответствует тому, что вид 2 выживает, а вид 1 вымирает. Стационарное состояние представляет собой устойчивый узел при

и седло при

.

Аналогично, точка ,соответствует тому, что вид 1 выживает, а вид 2 вымирает. Стационарное состояние представляет собой устойчивый узел при

и седло при

.

Эти условия означают, что один из видов вымирает, если его собственная скорость роста меньше некоторой критическо величины.

Стационарным решением системы уравнений (3), когда оба вида выживают, является точка . Необходимое условие для возможности выживания обоих видов состоит в том, что неподвижная точка должна иметь обе положительные координаты. Будем предполагать, что система имеет единственное решение в первом квадранте плоскости , . В этом случае неподвижная точка должна удовлетворять следующим условиям:

Либо

,, , (4)

Либо

,, . (5)

Рассмотрев характер изменения величин , при условиях (4), получим, что неподвижная точка является седлом. При условиях (5), неподвижная точка является устойчивым узлом.

После качественного исследования модели конкуренции двух видов были сформулированы следующие теоремы.

Теорема 1. Если задана система двух нелинейных динамических дифференциальных уравнений конкуренции, объясняющих конкурентное сосуществование в природе двух рассматриваемых популяций, то ее решением являются четыре точки покоя: ,,, , которые соответствуют некоторому положению равновесия системы.

Устанавливающей связь фазового портрета нелинейной системы в окрестности некоторой неподвижной точки с фазовым портретом её линеаризации.

Теорема 2. Каждое стационарное состояние системы двух нелинейных динамических дифференциальных уравнений конкуренции устанавливает связь с фазовым портретом её линеаризации, если все значения параметров положительны.

Теорема 3. Начало координат системы двух нелинейных динамических дифференциальных уравнений конкуренции любых параметрах системы представляет собой неустойчивый узел. Точка, соответствующая некоторому положению равновесия, когда выживает второй вид, а вид первый вымирает, представляет собой: а) при

«устойчивый узел»; б) при

«седло». Точка, соответствующая выживанию первого вида и вымиранию второго вида, представляет собой: а) при

«устойчивый узел»; б) при

дифференциальный уравнение динамический система

«седло». Точка, соответствующая выживанию обоих видов, представляет собой: а) при

,,

«седло»; б) при

,,

«устойчивый узел».

Изложенная теория нашла подтверждение в программе Maple.

Условия на соотношения значений параметров, определяющие тип стационарных состояний, взаимосвязаны с соотношениями значений параметров. Итак, в зависимости от значений параметров системы возможны следующие наборы стационарных состояний, представленных в таблице 1.

Таблица 1. - Наборы стационарных состояний

Возможна следующая биологическая интерпретация стационарных режимов функционирования системы. На рисунке 1 видно, что точка А является неустойчивым узлом, точка В является седлом, а точка С является устойчивым узлом, что и соответствует тому, что вид первый выживает.

Рисунок 1. - Фазовый портрет, когда выживает первый вид

На рисунке 2 видно, что точка А является неустойчивым узлом, точка В является седлом, а точка С является устойчивым узлом, что и соответствует тому, что вид первый выживает.

Рисунок 2. - Фазовый портрет, когда выживает второй вид

На рисунке 3 видно, что точка А является неустойчивым узлом, точка В является седлом, точка С является седлом, точка D устойчивый узел. Данный фазовый портрет соответствует сосуществованию двух конкурирующих видов.

Рисунок 3. - Фазовый портрет. Сосуществование двух видов

На рисунке 4 видно, что точка А является неустойчивым узлом, точка В является устойчивым узлом, точка С является устойчивым узлом, точка D является седлом. Выживает один из видов в зависимости от начальных условий, т.е. возможно переключение между двумя устойчивыми состояниями

Рисунок 4. - Выживание одного из видов в зависимости от начальных условий, т.е. возможно переключение между двумя устойчивыми состояниями

Математическому моделированию конкуренции двух взаимодействующих популяций посвящено большое число работ. Распространение особей в пространстве в таких моделях не учитывается. Реальные популяции живут на ограниченных территориях с различными свойствами среды обитания в разных ее частях. Часть особей по различным причинам (например, в поисках пищи или свободных мест обитания) склонна к перемещению по территории. Как показывает наблюдение, перемещение особей происходит случайным образом. Таким образом, доказано на фазовых портретах подтверждение теории. Была поставлена и решена математическая задача о конкуренции двух популяций. Математическая модель представляет собой систему двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Исследовалась устойчивость стационарных состояний и результатом стали практические рисунки фазовых портретов соответствующей динамической системы в программе Maple.

Список используемой литературы

1. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. М., Мир, 1986 (с.140-143).

2. Ризниченко Г.Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. М.-Ижевск, РХД, 2002 (с.147-150).

Размещено на Allbest.ru