Криволинейные системы координат: декартова, цилиндрическая, сферическая
Понятие системы координат. Использование прямоугольной (декартовой), полярной, цилиндрической, сферической системы координат при решении задач. Определение координат радиус-вектора. Формулы перехода от цилиндрических и сферических координат к декартовым.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 16.05.2016 |
| Размер файла | 301,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Казанский государственный энергетический университет»
Кафедра ЭСиС
Реферат на тему:
«Криволинейные системы координат: декартова; цилиндрическая сферическая»
Проверил: Муратаев И.А.
Казань 2015
Содержание
- Введение
- 1. Системы координат
- 2. Радиус-вектор
- 3.Декартовы прямоугольные системы координат
- 4.Цилиндрические системы координат
- 5.Сферические системы координат
- 6. Криволинейные координаты. Общая идея координат
- Заключение
- Список использованной литературы и источников
Введение
Координаты (от лат. co - совместно и ordinatus - упорядоченный, определенный), числа, заданием которых определяется положение точки на плоскости, на поверхности или в пространстве. Прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием линейной единицы для измерения длин и трех пересекающихся в одной точке взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-либо порядке.
Точка пересечения осей называется началом координат, а сами оси - координатными осями. Первая координатная ось называется осью абсцисс, вторая - осью ординат, третья - осью аппликат.
Решая геометрическую, физическую, химическую задачу можно использовать различные координатные системы: прямоугольную, полярную, цилиндрическую, сферическую. В общеобразовательном курсе изучается прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Иначе её называют Декартовой системой координат по имени французского ученого философа Рене Декарта (1596 - 1650) впервые введшего координаты в геометрию.
Рене Декарт родился в 1596 г. в городе Лаэ на юге Франции, в дворянской семье. Отец хотел сделать из Рене офицера. Для этого в 1613 г. он отправил Рене в Париж. Много лет пришлось Декарту пробыть в армии, участвовать в военных походах в Голландии, Германии, Венгрии, Чехии, Италии, в осаде крепости гугенотов Ла-Рошали. Но Рене интересовала философия, физика и математика. Вскоре по приезде в Париж он познакомился с учеником Виета, видным математиком того времени - Мерсеном, а затем и с другими математиками Франции. Будучи в армии, Декарт все свое свободное время отдавал занятиям математикой. Он изучил алгебру немецких, математику французских и греческих ученых.
После взятия Ла-Рошали в 1628 г. Декарт уходит из армии. Он ведет уединенный образ жизни с тем, чтобы реализовать намеченные обширные планы научных работ.
Философские взгляды Декарта не соответствовали требованиям католической церкви. Поэтому он переселился в Голландию, где прожил 20 лет, с 1629 по 1649 г., но из-за гонений протестантской церкви в 1649 г. переехал в Стокгольм. Но суровый северный климат Швеции оказался для Декарта губительным, и он умер от простуды в 1650 г.
Декарт был крупнейшим философом и математиком своего времени. В основе его философии лежал материализм. Самым известным трудом Декарта является его «Геометрия». Декарт ввел систему координат, которой пользуются все и в настоящее время. Он установил соответствие между числами и отрезками прямой и таким образом ввел алгебраический метод в геометрию. Эти открытия Декарта дали огромный толчок развитию, как геометрии, так и другим разделам математики, оптики. Появилась возможность изображать зависимость величин графически на координатной плоскости, числа - отрезками и выполнять арифметические действия над отрезками и другими геометрическими величинами, а также различными функциями. Это был совершенно новый метод, отличавшийся красотой, изяществом и простотой.
В пространстве аналогом полярных координат служат цилиндрические координаты и сферические координаты. На поверхностях определяются криволинейные координаты (напр., географические координаты - долгота и широта на сфере).
Криволинейные координаты впервые использовал Я. Бернулли (1691). С именем К. Гаусса связаны криволинейные координаты на поверхности. Криволинейные координаты в пространстве и название « криволинейные координаты» впервые ввел Г. Ламе (1833).
1. Системы координат
Положение любой точки P в пространстве (в частности, на плоскости) может быть определено при помощи той или иной системы координат. Числа, определяющие положение точки, называются координатами этой точки.
Наиболее употребительные координатные системы - декартовы прямоугольные.
Кроме прямоугольных систем координат существуют косоугольные системы. Т.к. я не встречал примеров применения косоугольных систем, то я их не рассматриваю. Прямоугольные и косоугольные координатные системы объединяются под названием декартовых систем координат.
Иногда на плоскости применяют полярные системы координат, а в пространстве - цилиндрические или сферические системы координат.
Обобщением всех перечисленных систем координат являются криволинейные системы координат.
Рис. 1: Классификация систем координат
2. Радиус-вектор
Радиус-вектор (обычно обозначается или просто ) -- вектор, задающий положения точки в пространстве (например, гильбертовом или векторном) относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат.
Для произвольной точки в пространстве, радиус-вектор -- это вектор, идущий из начала координат в эту точку.
Длина радиус-вектора, или его модуль, определяет расстояние, на котором точка находится от начала координат, а стрелка указывает направление на эту точку пространства.
На плоскости углом радиус-вектора называется угол, на который радиус-вектор переместится относительно оси абсцисс в направлении против часовой стрелки.
Двумерное пространство
· Декартовы координаты:
· Полярные координаты:
Трёхмерное пространство
· Декартовы координаты:
· Цилиндрические координаты:
· Сферические координаты:
n-мерное пространство
Декартовы координаты:
3.Декартовы прямоугольные системы координат
Для задания декартовой прямоугольной системы координат нужно выбрать несколько взаимноперпендикулярных прямых, называемых осями. Точка пересечения осей O называется началом координат.
На каждой оси нужно задать положительное направление и выбрать единицу масштаба. Координаты точки P считаются положительными или отрицательными в зависимости от того, на какую полуось попадает проекция точки P.
Рис. 2: Декартова плоскость
Декартовыми прямоугольными координатами точки P на плоскости называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах масштаба) этой точки до двух взаимно перпендикулярных прямых - осей координат или, что то же, проекции радиус-вектора r точки P на две взаимно перпендикулярные координатные оси.
Когда говорят про двухмерную систему координат, горизонтальную ось называют осью абсцисс (осью Ox), вертикальную ось - осью ординат (осью Оy). Положительные направления выбирают на оси Ox - вправо, на оси Oy - вверх. Координаты x и y называются соответственно абсциссой и ординатой точки.
Запись P(a,b) означает, что точка P на плоскости имеет абсциссу a и ординату b.
Декартовыми прямоугольными координатами точки P в трехмерном пространстве называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах масштаба) этой точки до трех взаимно перпендикулярных координатных плоскостей или, что то же, проекции радиус-вектора r точки P на три взаимно перпендикулярные координатные оси.
В зависимости от взаимного расположения положительных направлений координатных осей возможны левая и правая координатные системы.
Рис. 3а: Левые координатные системы
Рис. 3б: Правые координатные системы
Как правило, пользуются правой координатной системой. Положительные направления выбирают: на оси Ox - на наблюдателя; на оси Oy - вправо; на оси Oz - вверх. Координаты x, y, z называются соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой.
Координатными поверхностями, для которых одна из координат остается постоянной, здесь являются плоскости, параллельные координатным плоскостям, а координатными линиями, вдоль которых меняется только одна координата, - прямые, параллельные координатным осям. Координатные поверхности пересекаются по координатным линиям.
Запись P(a, b, c) означает, что точка Q имеет абсциссу a, ординату b и аппликату c.
4. Цилиндрические системы координат
с и ц - полярные координаты проекции точки P на основную плоскость (обычно xOy), z - аппликата - расстояние от точки P до основной плоскости.
Для цилиндрических координат координатными поверхностями являются плоскости, перпендикулярные к оси Oz (z=const), полуплоскости, ограниченные осью z (ц=const) и цилиндрические поверхности, осью которых является ось z (с=const). Координатные линии - линии пересечения этих поверхностей.
Формулы для перехода от цилиндрических координат к декартовым
x=с*cos(ц), y=с*sin(ц), z=z
и обратно
с=sqrt(x2+y2), ц=arctg(y/x)=arcsin(y/с)
Рис.5: Цилиндрические системы координат
5. Сферические системы координат
r - длина радиус-вектора, ц - долгота, и - полярное расстояние. Положительные направления отсчета показаны на рисунке 6. Если давать сферическим координатам значения в следующих пределах:
0 ? r < ?, -р < ц ? р, 0 ? и ? р,
то получаются однозначно все точки пространства.
Координатные поверхности: сферы с центром в начале (r=const), полуплоскости, ограниченные осью z (ц=const), конусы (с вершиной в начале), для которых ось z является осью (и=const). Координатные линии - линии пересечения этих поверхностей.
Формулы перехода от сферических координат к декартовым
x=r*sin(и)*cos(ц), y=r*sin(и)*sin(ц), z=r*cos(ц)
и обратно
r=sqrt(x2+y2+z2), ц=arctg(y/x), ц=arctg(sqrt((x2+y2)/z))
Рис. 6: Сферические системы координат
r - длина радиус-вектора, ц - долгота, и - полярное расстояние. Положительные направления отсчета показаны на рисунке 6. Если давать сферическим координатам значения в следующих пределах:
0 ? r < ?, -р < ц ? р, 0 ? и ? р,
то получаются однозначно все точки пространства.
Координатные поверхности: сферы с центром в начале (r=const), полуплоскости, ограниченные осью z (ц=const), конусы (с вершиной в начале), для которых ось z является осью (и=const). Координатные линии - линии пересечения этих поверхностей.
Формулы перехода от сферических координат к декартовым
x=r*sin(и)*cos(ц), y=r*sin(и)*sin(ц), z=r*cos(ц)
и обратно
r=sqrt(x2+y2+z2), ц=arctg(y/x), ц=arctg(sqrt((x2+y2)/z))
6. Криволинейные координаты. Общая идея координат
На любой поверхности можно установить координатную систему, определяя положение точки на ней опять-таки двумя числами. Для этого каким-либо способом покроем всю поверхность двумя семействами линий так, чтобы через каждую ее точку (быть может, за небольшим числом исключений) проходила одна, и только одна, линия из каждого семейства. Теперь надо лишь снабдить линии каждого семейства числовыми пометками по какому-нибудь твердому правилу, позволяющему по числовой пометке находить нужную линию семейства (рис. 22).
Координатами точки М поверхности служат числа u, v, где u -- числовая пометка линии первого семейства, проходящей через М, и v -- пометка линий второго семейства. По-прежнему будем писать: М (u; v), числа и, v называются криволинейными координатами точки М. Сказанное станет совсем ясным, если за примером обратиться к сфере. Ее всю можно покрыть меридианами (первое семейство); каждому из них соответствует числовая пометка, а именно значение долготы u (или ц). Все параллели образуют второе семейство; каждой из них отвечает числовая пометка -- широта v (или и ). Через каждую точку сферы (исключая полюсы) проходит только один меридиан и одна параллель.
В качестве еще одного примера рассмотрим боковую поверхность прямого круглого цилиндра высоты Н, радиуса a (рис. 23). За первое семейство примем систему его образующих, одну из них примем за начальную. Каждой образующей припишем отметку u, равную длине дуги на окружности основания между начальной образующей и данной (дугу будем отсчитывать, например, против часовой стрелки). За второе семейство примем систему горизонтальных сечений поверхности; числовой пометкой v будем считать высоту, на которой проведено сечение над основанием. При надлежащем выборе осей х, у, z в пространстве будем иметь для любой точки М (х; у; z) нашей поверхности:
(Здесь аргументы у косинуса и синуса не в градусах, а в радианах.) Эти уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения поверхности цилиндра.
Задача 9. По какой кривой надо вырезать кусок жести для изготовления колена водосточной трубы, чтобы после надлежащего изгибания получился цилиндр радиуса а, усеченный плоскостью под углом 45° к плоскости основания?
Решение. Воспользуемся параметрическими уравнениями поверхности цилиндра:
Секущую плоскость проведем через ось Ох, ее уравнение z=y. Комбинируя его с только что написанными уравнениями, получим уравнение
линии пересечения в криволинейных координатах. После развертки поверхности на плоскость криволинейные координаты и и v превратятся в декартовы координаты.
Итак, кусок жести должен быть сверху очерчен по синусоиде
Здесь u и v уже декартовы координаты на плоскости (рис. 24).
Как в случае сферы и цилиндрической поверхности, так и в общем случае задание поверхности параметрическими уравнениями влечет за собой установление на поверхности криволинейной системы координат. Действительно, выражение декартовых координат х, у, z произвольной точки М (х; у;z) поверхности через два параметра u, v (это в общем случае записывают так: х=ц (u; v), y=ц(u; v), z=щ(u; v),ц, ш,щ -- функции двух аргументов) дает возможность, зная пару чисел u, v, найти соответствующие координаты х, у,z, а значит, положение точки М на поверхности; числа u, v служат ее координатами. Давая одной из них постоянное значение, например u=u0, получим выражение х, у, z через один параметр v, т. е. параметрическое уравнение кривой. Это -- координатная линия одного семейства, ее уравнение u=u0. Точно так же линия v=v0 -- координатная линия другого семейства.
координата декартовый радиус вектор
Заключение
Во многих задачах удобнее использовать систему координат, учитывающую симметрию условий задачи. Так, в задачах, обладающих цилиндрической или сферической симметрией, вместо декартовой системы координат удобнее использовать цилиндрическую или сферическую системы. В них уравнения, описывающие различные физические процессы, обычно выглядят проще.
Список использованной литературы и источников
1. http://algolist.manual.ru/maths/geom/coord.php
2. http://www.academiaxxi.ru/WWW_Books/HM/Ag/05/01/t.htm
3. http://sinp.com.ua/work/151428/Krivolinejnye-sistemy-koordinat
4. http://enciklopediya1.ru/index/0-442
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Краткая историческая сводка о системе координат. Криволинейные, полярные и сферические системы координат. Рене Декарт - французский философ, физик и математик. Декартова прямоугольная система координат (на плоскости и в трёхмерном пространстве).
презентация [640,7 K], добавлен 29.06.2010Определение положения точки в пространстве. Правая декартова (или прямоугольная) система координат. Способы измерения дуг. Определение координат точки в пространстве. Определение окружности и ее радиуса. Построение сферической системы координат.
контрольная работа [59,3 K], добавлен 13.05.2009Основы тензорного анализа. Геометрический смысл и формула расчета коэффициентов Ламе. Взаимный базис; полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат. Рассмотрение способов преобразования векторов при переходе к криволинейным координатам.
курсовая работа [4,0 M], добавлен 06.11.2013Метод координат как глубокий и мощный аппарат. Основные особенности декартовых координат на прямой, на плоскости и в пространстве. Понятие вектора как направленного отрезка. Рассмотрение координат вектора и важнейших в аналитической геометрии вопросов.
курсовая работа [573,7 K], добавлен 27.08.2012Полярная система координат. Построение линий в полярной системе координат с помощью математического пакета MathCAD. Уравнение в полярных координатах логарифмической спирали. Полярное уравнение архимедовой спирали. Координаты, применяемые в математике.
научная работа [3,2 M], добавлен 18.01.2011Вычисление скалярного и векторного произведений векторов, заданных в прямоугольной декартовой системе координат. Расчет длины ребра пирамиды по координатам ее вершин. Поиск координат симметричной точки. Определение типа линии, описываемой уравнением.
контрольная работа [892,1 K], добавлен 12.05.2016Специфика декартовых координат и способ их использования при вычислении двойного интеграла, сведенного к повторному интегрированию. Примеры решения задач и особенности определения тройного интеграла в системе цилиндрических и сферических координат.
презентация [69,7 K], добавлен 17.09.2013Поняття полярної системи координат, особливості завдання координат точки у ній. Формули переходу від декартової до полярної системи координат. Запис рівняння заданої кривої в декартовій системі координат з використанням вказаної формули переходу.
контрольная работа [2,4 M], добавлен 01.04.2012Выражение для градиентов в криволинейной системе координат. Коэффициенты Ламе в цилиндрической системе координат. Дивергенция векторного поля. Выражение для ротора в криволинейной ортогональной системе координат. Выражение для оператора Лапласа.
контрольная работа [82,8 K], добавлен 21.03.2014Лекция по предмету "математика" в военном училище. Исторические сведения и построение курса математики для военных. Описание построения прямоугольной системы координат. Полярные координаты и их связь с прямоугольными.
лекция [36,7 K], добавлен 02.06.2008
