Характеристика и методика вычисления интеграла Римана

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

1. Первоначальное представление об определенном интеграле

Сначала к понятию определенного интеграла нас подводили рассмотрением задачи о вычислении площади криволинейной трапеции. Рассматривалась непрерывная неотрицательная функция y = f(x) на отрезке [a; b], этот отрезок разбивался на n равных частей точками , и соответствующая площадь криволинейной трапеции приближенно представлялась суммой площадей элементарных прямоугольников:

Далее делалось предположение, что значение этого выражения стремиться к некоторому числу при бесконечном увеличении количества точек разбиения отрезка [a; b]. В итоге это предположение обобщали для любой непрерывной на отрезке функции y = f(x) (не обязательно неотрицательной) и число назвали определенным интегралом. Можно сказать, что к понятию определенного интеграла мы подходили в геометрическом смысле.

Рис. 1

Рассмотрим определения определенного интеграла, данные Риманом.

Определенный интеграл Римана.

(Геометрический смысл).

Рассмотрим функцию y = f(x), которая определена на отрезке [a; b]. Разобьем отрезок [a;b] на n частей точками:

.

геометрический интеграл математический риман

Обозначим , а точки будем выбирать так, чтобы при . Внутри каждого отрезка выберем точку .

При озвученных условиях существует множество способов выбора точек и .

Интегральной суммой функции y = f(x) для данного разбиения отрезка [a; b] и данного выбора точек называют выражение:

Рис. 2

Для конкретного разбиения отрезка [a; b] и выбора точек мы получим свою интегральную сумму. То есть, мы имеем множество интегральных сумм для различных вариантов выбора и .

Число называется пределом интегральных сумм при , если для любого сколь угодно малого положительного ипсилон существует такое сколь угодно малое положительное, зависящее от ипсилон, дельта , что как только , то при любом выборе точек справедливо неравенство .

Функция y = f(x) называется интегрируемой на отрезке [a; b], если существует конечный предел ее интегральных сумм при . Значение предела есть определенный интеграл Римана.

Принято следующее обозначение интеграла Римана:

.

Тогда по определению определенного интеграла Римана имеем:

.

Числа a и b называются нижним и верхним пределом интегрирования соответственно, f(x) называется подынтегральной функцией, x - переменной интегрирования.

Значение определенного интеграла Римана не зависит от переменной интегрирования, то есть:

.

Необходимое условие интегрируемости функции на отрезке, виды интегрируемых функций.

Сформулируем необходимое условие существования определенного интеграла функции на отрезке.

Если функция y = f(x) интегрируема на отрезке [a; b], то она ограничена на нем.

Немного поясним. Это условие является необходимым, но не является достаточным. Что это значит? Если функция ограничена на отрезке, то не обязательно она интегрируема на нем. Но, если функция не ограничена на отрезке, тогда она не интегрируема на нем. Это условие используется для проверки возможности интегрирования функции на отрезке, то есть, проверяется ограниченность функции.

Перечислим виды функций, для которых существует определенный интеграл.

· Если функция непрерывна на отрезке [a; b], то она интегрируема на нем.

· Если функция ограничена на отрезке [a; b] и непрерывна во всех точках, кроме конечного их числа, то она интегрируема на [a; b]. На рисунке ниже приведен пример такой интегрируемой функции.

Рис. 3

Немного истории.

Интеграл Римана определенный и его геометрический смысл.

Интеграл Римана -- одно из важнейших понятий математического анализа. Введён Бернхардом Риманом в1854 году, и является одной из первых формализаций понятия интеграла.

Риман формализовал понятие интеграла, разработанное Ньютоном и Лейбницем, как площади подграфика (фигуры, заключенной между графиком функции и осью абсцисс).

Для этого он рассмотрел фигуры, состоящие из некоторого количества вертикальных прямоугольников, основания которых составляют вместе отрезок интегрирования и получаются при разбиении отрезка (см. рисунки) на соответствующее количество маленьких отрезков.

Площадь S такой фигуры при конкретном разбиении на отрезки длинами xi будет интегральной суммой:

S=i f(xi)xi

Если существует предел, к которому сходится площадь S (интегральная сумма) для каждого разбиения - при хорошем «размельчении» разбиения (когда каждое xi стремится к нулю), этот предел называется интегралом Римана функции на отрезке.

Рис. 4

2. Геометрический смысл интеграла Римана

Риманова сумма (суммарная площадь прямоугольников) в пределе, при измельчении разбиения, дает площадь подграфика.

Через интегральные суммы.

Пусть на отрезке [a,b] определена вещественнозначная функция f.

Рассмотрим разбиение отрезка a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b -- конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок [a,b] на n отрезков [xi-1<xi], i=1…n. Длина наибольшего из отрезков R =max(xi) называется шагом разбиения, где xi = xi - xi-1 - длина элементарного отрезка.

Отметим на каждом отрезке разбиения по точке i [xi , xi-1]. Интегральной суммой называется выражение:

x = (i)xi

Если при стремлении шага разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора i [xi , xi-1], то это число называется интегралом функции f на отрезке [a,b], то есть:

lim R0 x

В этом случае, сама функция f называется интегрируемой (по Риману) на [a,b]; в противном случае f является неинтегрируемой (по Риману) на отрезке [a,b] .

Свойства.

Невырожденность:

.

Положительность: Если интегрируемая функция f неотрицательна, то её интеграл на отрезке [a,b] также неотрицателен.

Линейность: Если функции f и g интегрируемы, и ,R, то функция f+g тоже интегрируема, и

Непрерывность: Если интегрируемые функции fi равномерно сходятся на отрезке [a,b] к функции f, то f интегрируема, и

limiidx =

(Последняя формула может быть получена уже как формальное следствие свойств 1-3 и интегрируемости предельной функции).

Аддитивность при разбиениях отрезка: Пусть a < b < c. Функция f интегрируема на отрезке [a,c] , тогда и только тогда, когда она интегрируема на каждом из отрезков [a,b] и [b,c] , при этом

+.

Непрерывная на отрезке функция интегрируема по Риману (следствие свойств 1-5). Разрывные функции могут быть интегрируемы, но могут и не быть; примером функции, не интегрируемой по Риману, является всюду разрывнаяфункция Дирихле. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману: функция интегрируема по Риману на отрезке [a,b], если и только если на этом отрезке она ограничена, и множество точек, где она разрывна, имеет нулевую меру (то есть может быть покрыто счётным семейством интерваловсо сколь угодно малой суммарной длиной).

Если функция F является первообразной непрерывной функции f, то интеграл функции f на отрезке [a,b] может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница: он равен F(b)-F(a). (Это -- общее свойство любых интегралов, удовлетворяющих свойствам 1-5, а не только интеграла Римана). Непрерывная на отрезке функция f всегда имеет первообразную, и каждая первообразная имеет вид:

F(x)= ,

где C -- произвольная константа.

Подведем итог.

Определенный интеграл Римана задается через предел интегральных сумм, интеграл Дарбу - через предел разности верхних и нижних сумм Дарбу, а интеграл Ньютона-Лейбница - через значение первообразной.

Следует отметить, что если интеграл Римана и интеграл Ньютона-Лейбница одновременно существуют для функции y = f(x) на отрезке [a; b], то их значения равны. Определенный интеграл Римана и интеграл Дарбу для ограниченной функции одновременно существуют или не существуют.

Определенный интеграл (подробнее).

Определенные интегралы (интеграл Римана).

Пусть действительная функция f(x) определена и ограничена на ограниченном замкнутом интервале [a, b]. Разобьем этот интервал на n частичных интервалов точками

a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b.

Выберем в каждом из частичных интервалов по произвольной точке и составим сумму (интегральная сумма):

.

Если существует предел интегральной суммы при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала разбиения:

, то функция f(x) называется интегрируемой в смысле Римана на интервале [a, b]. Предел этой суммы:

,

называется определенным интегралом от f(x) по интервалу [a, b] в смысле Римана (интеграл Римана). Это определение означает, что для любого положительного числа существует такое число , что при любом разбиении интервала [a, b] на частичные интервалы, длины которых меньше :

и при любом выборе промежуточных точек выполняется неравенство:

Функция f(x) называется подынтегральной функцией, а a и b - пределами интегрирования.

Формула Ньютона-Лейбница (формула двойной подстановки):

(f непрерывна; F - первообразная для f).

Теорема Барроу Если f непрерывна, то:

Свойства интеграла:

Линейность

Аддитивность

Монотонность

Если и a < b, то

В частности, если то

Теоремы о среднем

Первая теорема о среднем:

( - среднее значение функции).

Если f непрерывна, то:

Вторая теорема о среднем

Если f, g непрерывны, а g не меняет знак, то:

Формула Бонне:

Размещено на Allbest.ru