Размещено на http://allbest.ru

ЗАДАНИЕ 1

Условие: Имеются данные о потребительских расходах на душу населения (y, руб.), средней заработной плате и социальных выплатах (x, руб.) по 16 районам региона.

Данные приведены в табл. 1.

Таблица 1

Районы	A	B	C	D	E	F	G	H
y	440	525	450	240	545	447	469	435
x	1310	1490	12510	1280	1710	1497	1312	903
Районы	A	B	C	D	E	F	G	H
y	440	525	450	240	545	447	469	435
x	1310	1490	12510	1280	1710	1497	1312	903

1. Рассчитайте параметры уравнений регрессий и .

2. Оцените тесноту связи с показателем корреляции и детерминации.

3. Рассчитайте средний коэффициент эластичности и дайте сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

4. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации и оцените качество модели.

5. С помощью F-статистики Фишера (при ) оцените надежность уравнения регрессии.

6. Рассчитайте прогнозное значение , если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего значения. Определите доверительный интервал прогноза для .

7. Расчеты должны быть подробны, как показано в примере 1, и сопровождены пояснениями.

Решение: 1. Рассчитаем параметры уравнения регрессии линейного вида:

.

Параметры уравнения вычислим методом наименьших квадратов, решив систему нормальных уравнений:

Используя итоговые графы 2 - 5 таблицы 2, система уравнений примет следующий вид:

Решая систему уравнений, получим а = 408,4 и b = 0,035.

Модель будет иметь вид:

y_х = 408,4 + 0,035х.

2. Оценим тесноту связи. Тесноту связи изучаемых явлений оценивает коэффициент парной корреляции ; для линейной регрессии :

,

где

.

= = 0,097,

Коэффициент детерминации: ² = 0,097² = 0,009.

Парный коэффициент корреляции указывает на отсутствие связи между стоимостью квартиры и размером площади, только 0,9% результата объясняется вариацией факторного признака.

3. Коэффициент эластичности позволяет проверить, имеют ли экономический смысл коэффициенты модели регрессии.

= 0,035 = 0,09%.

Если размер общей площади увеличить на 1%, то в среднем стоимость квартиры возрастёт на 0,09%.

4. Средняя ошибка аппроксимации (для расчёта используем табл. 2)

= = 14,8%.

Средняя ошибка аппроксимации вышла за допустимые пределы (8 - 10%), что свидетельствует о недостаточной надёжности полученной модели.

5. Критерий Фишера:

,где

Таблица 2

Исходные данные и схема определения параметров и показателей линейной модели.

A	440	1310	1716100	576400	193600	98,01	12113,20	453,7	187,69	0,031
D	525	1490	2220100	782250	275625	5640,01	84134,80	459,9	4238,01	0,124
C	450	1250	1562500	562500	202500	0,01	2506,00	451,6	2,56	0,003
D	240	1280	1638400	307200	57600	44058,01	6409,6	452,6	45198,76	0,886
E	545	1710	2924100	931950	297025	9044,01	260161,2	467,5	6006,25	0,142
F	447	1497	2241009	669159	199809	8,41	88244,64	460,1	171,61	0,029
G	469	1312	1721344	615328	219961	364,81	12557,44	453,7	234,01	0,033
H	435	903	815409	392805	189225	222,01	88173,26	439,6	21,16	0,011
I	442	787	619369	347854	195364	62,41	170519,44	435,6	40,96	0,015
J	605	1012	1024144	612260	366025	24056,01	35321,44	4443,4	26114,59	0,267
K	352	1049	1100401	369248	123904	9584,41	22782,88	444,7	8593,29	0,263
L	405	1207	1456849	488835	164025	2016,01	49,84	450,1	2034,01	0,111
M	376	1221	1490841	459096	141376	5461,21	443,52	450,6	5565,16	0,198
N	462	1035	1071225	478170	213444	146,41	27205,2	444,2	316,84	0,039
O	505	1064	1132096	537320	255025	3036,01	18479,68	445,2	3576,04	0,118
P	500	1072	1149184	536000	250000	2510,01	16368,64	445,5	2970,25	0,109
	7198	19199	23883070	8666375	3344508	106307,76	826991,2	-	105271,24	2,365
Среднее	449,875	1199,99	1492691,9	541648,4	209031,75					0,148
	81,51	229,87

m - число параметров уравнения регрессии (число коэффициентов при объясняющей переменной х); п - объем совокупности.

= 0,13.

По таблице распределения Фишера находим:

Так как , то гипотеза о статистической не значимости параметра b уравнения регрессии не отклоняется, т.е., полученное уравнение является надёжным и его рекомендуется использовать для прогноза.

.

6. Прогнозное значение размера общей площади вторичного жилья:

Рассчитаем = 1199,94 *1,05 = 1259,9 м².

Средняя ошибка прогноза

, где

- стандартная ошибка уравнения регрессии.

= 86,71,

= 86,71 = 89,6.

Точечный прогноз: = 408,4 + 0,035*1259,9 = 452,5.

Строим доверительный интервал с заданной доверительной вероятностью :

,

T_табл(; н = n - 2) = 2,764.

452,5 - 235 452,5 + 235;

217,5 687,5.

Найденный интервальный прогноз достаточно надежен (доверительная вероятность ).

7. Рассчитаем параметры уравнения регрессии нелинейного вида:

.

Для этого составим таблицу.

Параметры уравнения вычислим методом наименьших квадратов, решив систему нормальных уравнений:

Используя итоговые графы таблицы 3, система уравнений примет следующий вид:

Решая систему уравнений, получим а = 384,9 и b = 1,885. Модель будет иметь вид: y_х = 384,9 + 1,885.

8. Оценим тесноту связи нелинейной модели при помощи индекса корреляции:

= = 0,07,

Таким образом, связь между рассмотренными признаками не наблюдается.

Таблица 3

Исходные данные и схема определения параметров и показателей нелинейной модели.

Месяц	у	х		у
A	440	1310	36,2	15928	89,8	453,1	171,61	0,030
B	525	1490	38,6	20265	198,1	457,7	4529,29	0,128
C	450	1250	35,4	15930	63,6	451,6	2,56	0,004
D	240	1280	35,8	8592	77,0	452,4	45113,76	0,885
E	545	1710	41,3	22508,5	363,9	462,7	6773,29	0,151
F	447	1497	38,7	17298,9	200,9	457,8	116,64	0,024
G	469	1312	36,2	16977,8	89,8	453,1	252,81	0,034
H	435	903	30,0	13050	5,0	441,4	40,96	0,015
I	442	787	28,1	12420,2	32,8	437,9	16,81	0,009
J	605	1012	31,8	19239	1,4	444,8	25664,04	0,265
K	352	1049	32,4	11404,8	5,6	446,0	8836,0	0,267
L	405	1207	34,7	14053,5	44,6	450,3	2052,09	0,112
M	376	1221	34,9	13122,4	50,1	450,7	5580,09	0,199
N	462	1035	32,2	14876,4	3,9	445,6	268,96	0,036
O	505	1064	32,6	16463	7,2	446,3	3445,69	0,116
P	500	1072	32,7	16350	8,3	446,5	2862,25	0,107
	7198	19199	551,6	248479,5	1229,6	---	105726,85	2,381

9. Средняя ошибка аппроксимации (для расчёта используем табл. 3)

= = 14,9%.

Средняя ошибка аппроксимации значительно вышла за допустимые пределы (8 - 10%), что свидетельствует о ненадёжности полученной модели.

10. Критерий Фишера:

,где

т - число параметров уравнения регрессии (число коэффициентов при объясняющей переменной х);

п - объем совокупности.

= 0,163

По таблице распределения Фишера находим:

.

Так как , то гипотеза о статистической не значимости параметра b в уравнении регрессии не отклоняется, т.е., полученное уравнение не является надёжным и его не рекомендуется использовать для прогноза.

ЗАДАНИЕ 2

Условие: Имеются данные 12 месяцев по району города о рынке вторичного жилья, (у - стоимость квартиры, тыс. у.е., х₁ - размер жилой площади, м², х₂ - размер кухни, м². Данные приведены в табл. 4.

Таблица 4

у	х1	х2
23,0	22,8	5,0
26,8	27,7	5,2
28,0	34,5	6,0
18,4	26,4	5,1
30,4	19,8	4,8
20,8	17,9	4,5
22,4	25,2	5,4
21,8	20,4	4,9
18,5	20,7	5,0
23,5	21,4	5,2
16,7	19,6	4,5
20,4	24,5	4,9

1. Рассчитайте параметры линейного уравнения множественной регрессии.

2. Дайте оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних коэффициентов эластичности.

3. Оцените статистическую зависимость параметров и уравнения регрессии в целом с помощью соответственно критериев Стьюдента и Фишера (б=0,01).

4. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации. Сделайте вывод.

5. Составьте матрицы парных и частных коэффициентов корреляции и укажите информативные факторы.

6. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Решение: Обобщением модели парной регрессии является модель множественной регрессии.

Множественная регрессия - уравнение связи с несколькими независимыми переменными:

,

где - зависимая переменная (результативный признак);

- независимые переменные (факторы).

Чаще всего используются линейные уравнения множественной регрессии:

= .

Вычислим параметры этого уравнения методом наименьших квадратов, решив систему нормальных уравнений.

,

или, что тоже самое,

Используем вспомогательные вычисления из таблицы 5:

,

Уравнение регрессии примет вид:

= .

2. Определим средние коэффициенты эластичности по формуле:

или .

- оборот капитала: ,

- использованный капитал: .

Таким образом, если оборот капитала возрастет на 1 %, то чистый доход снизится на 0,171 %, а при росте использованного капитала на 1 % чистый доход возрастет на 1,44 %.

3. Оценим статистическую зависимость параметров и уравнения регрессии в целом. Вычислим коэффициент множественной детерминации:

R² = 1 - = 1 - = 0,225

Значимость уравнения множественной регрессии в целом оценивается с помощью F-критерия Фишера:

, где

п - число единиц совокупности;

т - число параметров при переменных х.

,

F_р = = 1,31.

Так как F_р < , то полученная модель не является в целом значимой.

Частный - критерий Фишера оценивает статистическую значимость присутствия каждого из факторов в уравнении.

В общем виде для фактора частный -критерий определится как

.

Выясним статистическую значимость каждого фактора в уравнении множественной регрессии.

Для этого рассчитаем частные -статистики.

= 0,123 < ;

= 0,971 < .

Следовательно, можно сделать вывод, что оба фактора включать в модель нецелесообразно.

Таблица 5.

Расчётная таблица.

	y	x1	x2	yx1	yx2	x1x2	x12	x22
1	23	22,8	5	524,4	115	114	519,84	25	22,390	0,195	0,3721	0,027
2	26,8	27,7	5,2	742,36	139,36	144,04	767,29	27,04	22,870	17,992	15,449	0,147
3	28	34,5	6	966	168	207	1190,25	36	26,901	29,612	1,2078	0,039
4	18,4	26,4	5,1	485,76	93,84	134,64	696,96	26,01	22,441	17,292	16,3297	0,220
5	30,4	19,8	4,8	601,92	145,92	95,04	392,04	23,04	21,597	61,492	77,4929	0,290
6	20,8	17,9	4,5	372,32	93,6	80,55	320,41	20,25	19,979	3,092	0,674	0,037
7	22,4	25,2	5,4	564,48	120,96	136,08	635,04	29,16	24,570	0,025	4,7089	0,097
8	21,8	20,4	4,9	444,72	106,82	99,96	416,16	24,01	22,142	0,575	0,1170	0,017
9	18,5	20,7	5	382,95	92,5	103,5	428,49	25	22,736	16,470	17,9437	0,229
10	23,5	21,4	5,2	502,9	122,2	111,28	457,96	27,04	23,909	0,887	0,1673	0,017
11	16,7	19,6	4,5	327,32	75,15	88,2	384,16	20,25	19,698	34,320	8,9760	0,180
12	20,4	24,5	4,9	499,8	99,95	120,05	600,25	24,01	21,466	4,658	1,1364	0,052
	270,7	280,9	60,5	6414,93	1373,31	1434,34	6808,85	306,81	270,700	186,609	144,57	1,352
Средн.	22,558	23,408	5,042	534,578	114,443	119,528	567,404	25,568				0,11265
	3,943	4,411	0,386

Примечание: х₁ - размер жилой площади, м²

х₂ - размер кухни, м² ; у - стоимость квартиры, тыс. у.е.

Оценку значимости коэффициентов уравнения регрессии определим также с помощью t-критерия Стьюдента:

,

;

t_b1 = = 0,351 < t; t_b2 = = 0,985 < t,

значит, параметры b₁ и b₂ незначительно отличаются от нуля.

4. Средняя ошибка аппроксимации:

= = 11,3%. > 10%

Средняя ошибка аппроксимации вышла за допустимые пределы (8 - 10%), что свидетельствует о ненадёжности полученной модели.

5. Парный линейный коэффициент корреляции:

; .

= (119,528 - 23,408*5,042) : (4,411*0,386) = 0,883;

= (534,578 - 23,408*22,558) : (3,943*4,411) = 0,376;

= (114,443 - 5,042*22,558) : (3,943*0,386) = 0,463.

Матрица парных линейных коэффициентов корреляции:



	y
y	1	0,376	0,463
	0,376	1	0,883
	0,463	0,883	1

Частные коэффициенты (или индексы) корреляции, измеряющие влияние на фактора при неизменном уровне других факторов, можно определить по формуле:

.

Частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от -1 до 1.

= = 0,116; = = 0,312.

Межфакторная связь повлияла на завышенные оценки силы тесноты связи.

Вывод: Рекомендуется строить парное линейное уравнение регрессии вида:

= .

Уравнение множественной регрессии является ненадежным.

ЗАДАНИЕ 3

Условие: 1. Используя необходимое и достаточное условие идентификации, определить, идентифицировано ли каждое уравнение модели.

2. Определите тип модели.

3. Определите метод оценки параметров модели.

4. Опишите последовательность действий при использовании указанного метода.

5. Результаты оформите в виде пояснительной записки.

Гипотетическая модель экономики:

Y₁ = a₁+b₁₁X₁+ b₁₃X₃+C₁₂Y₂+₁,

Y₂ = a₂+b₂₂X₂+ C₂₁Y₁ +₂,

Y₃ = a₃+b₃₂X₂ + b₃₃X₃₊₃.

Решение: Проверим необходимое и достаточное условия идентификации.

Эндогенные переменные - взаимозависимые переменные, которые определяются внутри модели (системы): Y₁, Y₂, Y₃ .

Экзогенные переменные - независимые переменные, которые определяются вне системы: х₁, х₂, х₃.

Пусть - число эндогенных переменных в уравнении, - число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе.

1-е уравнение: 1 + 1 = 2 - уравнение идентифицируемо.

Строим матрицу:



	х2	Y3
2-е уравнение 3-е уравнение	в22 в32	0 -1

detM ? 0 ; rangM = 2.

2-е уравнение: 2 + 1 > 2 - уравнение сверхидентифицируемо.

Строим матрицу:

	Y3	х1	х3
1-е уравнение 3-е уравнение	0 -1	в11 0	в13 в33

detM ? 0 ; rangM = 2.

3-е уравнение: 1 + 1 > 1 - уравнение сверхидентифицируемо.

Строим матрицу:

	х1	Y1	Y2
1-е уравнение 2-е уравнение	в11 0	-1 с21	с12 -1

detM ? 0 ; rangM = 2.

Как видно по всем уравнениям достаточное условие идентифицируемости выполнено, а необходимое условие идентифицируемости показывает, что система является сверхидентифицируемой. Таким образом, для оценки параметров модели будет использоваться двухшаговый метод наименьших квадратов.

Двухшаговый МНК заключается в следующем:

- составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого его уравнения обычным МНК;

- выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяют двухшаговым МНК, и находят расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели;

- обычным МНК определяют параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения.

ЗАДАНИЕ 4

Условие: Имеются данные за двенадцать лет по странам о годовом объеме продаж автомобилей. Данные приведены в табл. 6.

Таблица 6

Год Объем продаж 100 тыс.	Страна С
1986	5,2
1987	6,3
1988	4,5
1989	3,9
1990	3,8
1991	3,0
1992	4,8
1993	5,0
1994	4.6
1995	6,1
1996	6,7
1997	6,9

Требуется:

1. Определить коэффициенты автокорреляции уровней ряда первого и второго порядка.

2. Обосновать выбор уравнения тренда и определите его параметры.

3. Сделать выводы.

4. Результаты оформить в виде пояснительной записки.

Решение: Для решения задачи составим таблицу (см. табл. 7)

Коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка:

, где ; .

r₁ = = 0,619.

Таблица 7. Расчётная таблица.

Год	Годовой объем продаж автомобилей в стране С (тыс.шт.) у	Вспомогательные расчёты для коэффициентов автокорреляции первого порядка	Вспомогательные расчёты для коэффициентов автокорреляции второго порядка
1986	5,2
1987	6,3	6,3	5,2	32,76
1988	4,5	4,5	6,3	28,35	4,5	5,2	23,4
1989	3,9	3,9	4,5	17,55	3,9	6,3	24,57
1990	3,8	3,8	3,9	14,82	3,8	4,5	17,1
1991	3,0	3	3,8	11,4	3	3,9	11,7
1992	4,8	4,8	3	14,4	4,8	3,8	18,24
1993	5,0	5	4,8	24	5	3	15
1994	4.6	4,6	5	23	4,6	4,8	22,08
1995	6,1	6,1	4,6	28,06	6,1	5	30,5
1996	6,7	6,7	6,1	40,87	6,7	4,6	30,82
1997	6,9	6,9	6,7	46,23	6,9	6,1	42,09
Итого		55,6	53,9	281,44	49,3	47,2	235,5
Средняя		5,05	4,9	25,6	4,93	4,72	23,55
СКО		1,224	1,080		1,214949	0,962081

Коэффициент автокорреляции уровней ряда второго порядка:

,

где ; .

r₂ = = 0,2399.

Проанализировав полученные коэффициенты автокорреляции и построенный график, можно сделать вывод, что существует нелинейная тенденция. Это подтверждается тем, что коэффициент автокорреляции первого порядка меньше коэффициента автокорреляции второго порядка.

Рис.1 Динамика продажи автомобилей в стране С.

График показывает явно нелинейную модель.

Так как по графику сложно определить вид связи, проведём выравнивание данных методом трёхточечной скользящей средней.

По выровненным значениям можно предположить, что тренд имеет вид полинома пятой степени.

Параметры уравнения вычислим методом наименьших квадратов, решив систему нормальных уравнений:

Используя вспомогательные вычисления, получим:

Таблица 8 Расчетная таблица:

t	Трёхточечная скользящая средняя (у)
2	5,3	4	8	16	10,6	21,2
3	4,9	9	27	81	14,7	44,1
4	4,1	16	64	256	16,4	65,6
5	3,6	25	125	625	18	90
6	3,9	36	216	1296	23,4	140,4
7	4,3	49	343	2401	30,1	210,7
8	4,8	64	512	4096	38,4	307,2
9	5,2	81	729	6561	46,8	421,2
10	5,8	100	1000	10000	58	580
11	6,6	121	1331	14641	72,6	798,6
Итого	48,4	505	4355	39973	329	2679

аппроксимация распределение фишер

Уравнение регрессии:

y = 0,0966х² - 1,089х + 7,0508.

Оценим полученную модель, используя критерий Фишера:

Расчетное значение критерия Фишера равно

= 53,7 > ,

значит, модель надёжна.

.

Таблица 9. Расчётная таблица

t	Годовой объем продаж автомобилей в стране С (тыс.шт.) у	Трёхточечная скользящая средняя (у)
1	5,2
2	6,3	5,3	5,26	0,176	0,005	0,243
3	4,5	4,9	4,65	0,035	0,061	0,004
4	3,9	4,1	4,24	0,360	0,030	0,598
5	3,8	3,6	4,02	0,671	0,206	1,621
6	3,0	3,9	3,99	0,715	0,016	0,947
7	4,8	4,3	4,16	0,461	0,011	0,329
8	5,0	4,8	4,52	0,102	0,078	0,002
9	4.6	5,2	5,07	0,055	0,025	0,155
10	6,1	5,8	5,82	0,962	0,000	0,922
11	6,7	6,6	6,76	3,688	0,038	2,981
12	6,9
Итого		48,4	48,51	7,224	0,471	7,802

ЛИТЕРАТУРА

Катышев П.К., Пересецкий А.А. Сборник задач к начальному курсу эконометрики. - М.: Дело, 1999.

Практикум по эконометрике. Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2001.

Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решения. - М.: ЮНИТИ, 1997.

Эконометрика. Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2001.

Размещено на Allbest.ru