Использование критерия Фишера в статистических расчетах

Анализ данных о потребительских расходах на душу населения. Расчёт среднего коэффициента эластичности. Оценка ошибки аппроксимации. Построение таблицы распределения Фишера. Поиск значения общей площади вторичного жилья методом наименьших квадратов.

Рубрика Математика
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 07.04.2016
Размер файла 94,4 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Файл не выбран
Обзор

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://allbest.ru

ЗАДАНИЕ 1

Условие: Имеются данные о потребительских расходах на душу населения (y, руб.), средней заработной плате и социальных выплатах (x, руб.) по 16 районам региона.

Данные приведены в табл. 1.

Таблица 1

Районы

A

B

C

D

E

F

G

H

y

440

525

450

240

545

447

469

435

x

1310

1490

12510

1280

1710

1497

1312

903

Районы

A

B

C

D

E

F

G

H

y

440

525

450

240

545

447

469

435

x

1310

1490

12510

1280

1710

1497

1312

903

1. Рассчитайте параметры уравнений регрессий и .

2. Оцените тесноту связи с показателем корреляции и детерминации.

3. Рассчитайте средний коэффициент эластичности и дайте сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

4. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации и оцените качество модели.

5. С помощью F-статистики Фишера (при ) оцените надежность уравнения регрессии.

6. Рассчитайте прогнозное значение , если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего значения. Определите доверительный интервал прогноза для .

7. Расчеты должны быть подробны, как показано в примере 1, и сопровождены пояснениями.

Решение: 1. Рассчитаем параметры уравнения регрессии линейного вида:

.

Параметры уравнения вычислим методом наименьших квадратов, решив систему нормальных уравнений:

Используя итоговые графы 2 - 5 таблицы 2, система уравнений примет следующий вид:

Решая систему уравнений, получим а = 408,4 и b = 0,035.

Модель будет иметь вид:

yх = 408,4 + 0,035х.

2. Оценим тесноту связи. Тесноту связи изучаемых явлений оценивает коэффициент парной корреляции ; для линейной регрессии :

,

где

.

= = 0,097,

Коэффициент детерминации: 2 = 0,0972 = 0,009.

Парный коэффициент корреляции указывает на отсутствие связи между стоимостью квартиры и размером площади, только 0,9% результата объясняется вариацией факторного признака.

3. Коэффициент эластичности позволяет проверить, имеют ли экономический смысл коэффициенты модели регрессии.

= 0,035 = 0,09%.

Если размер общей площади увеличить на 1%, то в среднем стоимость квартиры возрастёт на 0,09%.

4. Средняя ошибка аппроксимации (для расчёта используем табл. 2)

= = 14,8%.

Средняя ошибка аппроксимации вышла за допустимые пределы (8 - 10%), что свидетельствует о недостаточной надёжности полученной модели.

5. Критерий Фишера:

,где

Таблица 2

Исходные данные и схема определения параметров и показателей линейной модели.

A

440

1310

1716100

576400

193600

98,01

12113,20

453,7

187,69

0,031

D

525

1490

2220100

782250

275625

5640,01

84134,80

459,9

4238,01

0,124

C

450

1250

1562500

562500

202500

0,01

2506,00

451,6

2,56

0,003

D

240

1280

1638400

307200

57600

44058,01

6409,6

452,6

45198,76

0,886

E

545

1710

2924100

931950

297025

9044,01

260161,2

467,5

6006,25

0,142

F

447

1497

2241009

669159

199809

8,41

88244,64

460,1

171,61

0,029

G

469

1312

1721344

615328

219961

364,81

12557,44

453,7

234,01

0,033

H

435

903

815409

392805

189225

222,01

88173,26

439,6

21,16

0,011

I

442

787

619369

347854

195364

62,41

170519,44

435,6

40,96

0,015

J

605

1012

1024144

612260

366025

24056,01

35321,44

4443,4

26114,59

0,267

K

352

1049

1100401

369248

123904

9584,41

22782,88

444,7

8593,29

0,263

L

405

1207

1456849

488835

164025

2016,01

49,84

450,1

2034,01

0,111

M

376

1221

1490841

459096

141376

5461,21

443,52

450,6

5565,16

0,198

N

462

1035

1071225

478170

213444

146,41

27205,2

444,2

316,84

0,039

O

505

1064

1132096

537320

255025

3036,01

18479,68

445,2

3576,04

0,118

P

500

1072

1149184

536000

250000

2510,01

16368,64

445,5

2970,25

0,109

7198

19199

23883070

8666375

3344508

106307,76

826991,2

-

105271,24

2,365

Среднее

449,875

1199,99

1492691,9

541648,4

209031,75

0,148

81,51

229,87

m - число параметров уравнения регрессии (число коэффициентов при объясняющей переменной х); п - объем совокупности.

= 0,13.

По таблице распределения Фишера находим:

Так как , то гипотеза о статистической не значимости параметра b уравнения регрессии не отклоняется, т.е., полученное уравнение является надёжным и его рекомендуется использовать для прогноза.

.

6. Прогнозное значение размера общей площади вторичного жилья:

Рассчитаем = 1199,94 *1,05 = 1259,9 м2.

Средняя ошибка прогноза

, где

- стандартная ошибка уравнения регрессии.

= 86,71,

= 86,71 = 89,6.

Точечный прогноз: = 408,4 + 0,035*1259,9 = 452,5.

Строим доверительный интервал с заданной доверительной вероятностью :

,

Tтабл(; н = n - 2) = 2,764.

452,5 - 235 452,5 + 235;

217,5 687,5.

Найденный интервальный прогноз достаточно надежен (доверительная вероятность ).

7. Рассчитаем параметры уравнения регрессии нелинейного вида:

.

Для этого составим таблицу.

Параметры уравнения вычислим методом наименьших квадратов, решив систему нормальных уравнений:

Используя итоговые графы таблицы 3, система уравнений примет следующий вид:

Решая систему уравнений, получим а = 384,9 и b = 1,885. Модель будет иметь вид: yх = 384,9 + 1,885.

8. Оценим тесноту связи нелинейной модели при помощи индекса корреляции:

= = 0,07,

Таким образом, связь между рассмотренными признаками не наблюдается.

Таблица 3

Исходные данные и схема определения параметров и показателей нелинейной модели.

Месяц

у

х

у

A

440

1310

36,2

15928

89,8

453,1

171,61

0,030

B

525

1490

38,6

20265

198,1

457,7

4529,29

0,128

C

450

1250

35,4

15930

63,6

451,6

2,56

0,004

D

240

1280

35,8

8592

77,0

452,4

45113,76

0,885

E

545

1710

41,3

22508,5

363,9

462,7

6773,29

0,151

F

447

1497

38,7

17298,9

200,9

457,8

116,64

0,024

G

469

1312

36,2

16977,8

89,8

453,1

252,81

0,034

H

435

903

30,0

13050

5,0

441,4

40,96

0,015

I

442

787

28,1

12420,2

32,8

437,9

16,81

0,009

J

605

1012

31,8

19239

1,4

444,8

25664,04

0,265

K

352

1049

32,4

11404,8

5,6

446,0

8836,0

0,267

L

405

1207

34,7

14053,5

44,6

450,3

2052,09

0,112

M

376

1221

34,9

13122,4

50,1

450,7

5580,09

0,199

N

462

1035

32,2

14876,4

3,9

445,6

268,96

0,036

O

505

1064

32,6

16463

7,2

446,3

3445,69

0,116

P

500

1072

32,7

16350

8,3

446,5

2862,25

0,107

7198

19199

551,6

248479,5

1229,6

---

105726,85

2,381

9. Средняя ошибка аппроксимации (для расчёта используем табл. 3)

= = 14,9%.

Средняя ошибка аппроксимации значительно вышла за допустимые пределы (8 - 10%), что свидетельствует о ненадёжности полученной модели.

10. Критерий Фишера:

,где

т - число параметров уравнения регрессии (число коэффициентов при объясняющей переменной х);

п - объем совокупности.

= 0,163

По таблице распределения Фишера находим:

.

Так как , то гипотеза о статистической не значимости параметра b в уравнении регрессии не отклоняется, т.е., полученное уравнение не является надёжным и его не рекомендуется использовать для прогноза.

ЗАДАНИЕ 2

Условие: Имеются данные 12 месяцев по району города о рынке вторичного жилья, (у - стоимость квартиры, тыс. у.е., х1 - размер жилой площади, м2, х2 - размер кухни, м2. Данные приведены в табл. 4.

Таблица 4

у

х1

х2

23,0

22,8

5,0

26,8

27,7

5,2

28,0

34,5

6,0

18,4

26,4

5,1

30,4

19,8

4,8

20,8

17,9

4,5

22,4

25,2

5,4

21,8

20,4

4,9

18,5

20,7

5,0

23,5

21,4

5,2

16,7

19,6

4,5

20,4

24,5

4,9

1. Рассчитайте параметры линейного уравнения множественной регрессии.

2. Дайте оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних коэффициентов эластичности.

3. Оцените статистическую зависимость параметров и уравнения регрессии в целом с помощью соответственно критериев Стьюдента и Фишера (б=0,01).

4. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации. Сделайте вывод.

5. Составьте матрицы парных и частных коэффициентов корреляции и укажите информативные факторы.

6. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Решение: Обобщением модели парной регрессии является модель множественной регрессии.

Множественная регрессия - уравнение связи с несколькими независимыми переменными:

,

где - зависимая переменная (результативный признак);

- независимые переменные (факторы).

Чаще всего используются линейные уравнения множественной регрессии:

= .

Вычислим параметры этого уравнения методом наименьших квадратов, решив систему нормальных уравнений.

,

или, что тоже самое,

Используем вспомогательные вычисления из таблицы 5:

,

Уравнение регрессии примет вид:

= .

2. Определим средние коэффициенты эластичности по формуле:

или .

- оборот капитала: ,

- использованный капитал: .

Таким образом, если оборот капитала возрастет на 1 %, то чистый доход снизится на 0,171 %, а при росте использованного капитала на 1 % чистый доход возрастет на 1,44 %.

3. Оценим статистическую зависимость параметров и уравнения регрессии в целом. Вычислим коэффициент множественной детерминации:

R2 = 1 - = 1 - = 0,225

Значимость уравнения множественной регрессии в целом оценивается с помощью F-критерия Фишера:

, где

п - число единиц совокупности;

т - число параметров при переменных х.

,

Fр = = 1,31.

Так как Fр < , то полученная модель не является в целом значимой.

Частный - критерий Фишера оценивает статистическую значимость присутствия каждого из факторов в уравнении.

В общем виде для фактора частный -критерий определится как

.

Выясним статистическую значимость каждого фактора в уравнении множественной регрессии.

Для этого рассчитаем частные -статистики.

= 0,123 < ;

= 0,971 < .

Следовательно, можно сделать вывод, что оба фактора включать в модель нецелесообразно.

Таблица 5.

Расчётная таблица.

y

x1

x2

yx1

yx2

x1x2

x12

x22

1

23

22,8

5

524,4

115

114

519,84

25

22,390

0,195

0,3721

0,027

2

26,8

27,7

5,2

742,36

139,36

144,04

767,29

27,04

22,870

17,992

15,449

0,147

3

28

34,5

6

966

168

207

1190,25

36

26,901

29,612

1,2078

0,039

4

18,4

26,4

5,1

485,76

93,84

134,64

696,96

26,01

22,441

17,292

16,3297

0,220

5

30,4

19,8

4,8

601,92

145,92

95,04

392,04

23,04

21,597

61,492

77,4929

0,290

6

20,8

17,9

4,5

372,32

93,6

80,55

320,41

20,25

19,979

3,092

0,674

0,037

7

22,4

25,2

5,4

564,48

120,96

136,08

635,04

29,16

24,570

0,025

4,7089

0,097

8

21,8

20,4

4,9

444,72

106,82

99,96

416,16

24,01

22,142

0,575

0,1170

0,017

9

18,5

20,7

5

382,95

92,5

103,5

428,49

25

22,736

16,470

17,9437

0,229

10

23,5

21,4

5,2

502,9

122,2

111,28

457,96

27,04

23,909

0,887

0,1673

0,017

11

16,7

19,6

4,5

327,32

75,15

88,2

384,16

20,25

19,698

34,320

8,9760

0,180

12

20,4

24,5

4,9

499,8

99,95

120,05

600,25

24,01

21,466

4,658

1,1364

0,052

270,7

280,9

60,5

6414,93

1373,31

1434,34

6808,85

306,81

270,700

186,609

144,57

1,352

Средн.

22,558

23,408

5,042

534,578

114,443

119,528

567,404

25,568

0,11265

3,943

4,411

0,386

Примечание: х1 - размер жилой площади, м2

х2 - размер кухни, м2 ; у - стоимость квартиры, тыс. у.е.

Оценку значимости коэффициентов уравнения регрессии определим также с помощью t-критерия Стьюдента:

,

;

tb1 = = 0,351 < t; tb2 = = 0,985 < t,

значит, параметры b1 и b2 незначительно отличаются от нуля.

4. Средняя ошибка аппроксимации:

= = 11,3%. > 10%

Средняя ошибка аппроксимации вышла за допустимые пределы (8 - 10%), что свидетельствует о ненадёжности полученной модели.

5. Парный линейный коэффициент корреляции:

; .

= (119,528 - 23,408*5,042) : (4,411*0,386) = 0,883;

= (534,578 - 23,408*22,558) : (3,943*4,411) = 0,376;

= (114,443 - 5,042*22,558) : (3,943*0,386) = 0,463.

Матрица парных линейных коэффициентов корреляции:

y

y

1

0,376

0,463

0,376

1

0,883

0,463

0,883

1

Частные коэффициенты (или индексы) корреляции, измеряющие влияние на фактора при неизменном уровне других факторов, можно определить по формуле:

.

Частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от -1 до 1.

= = 0,116; = = 0,312.

Межфакторная связь повлияла на завышенные оценки силы тесноты связи.

Вывод: Рекомендуется строить парное линейное уравнение регрессии вида:

= .

Уравнение множественной регрессии является ненадежным.

ЗАДАНИЕ 3

Условие: 1. Используя необходимое и достаточное условие идентификации, определить, идентифицировано ли каждое уравнение модели.

2. Определите тип модели.

3. Определите метод оценки параметров модели.

4. Опишите последовательность действий при использовании указанного метода.

5. Результаты оформите в виде пояснительной записки.

Гипотетическая модель экономики:

Y1 = a1+b11X1+ b13X3+C12Y2+1,

Y2 = a2+b22X2+ C21Y1 +2,

Y3 = a3+b32X2 + b33X3+3.

Решение: Проверим необходимое и достаточное условия идентификации.

Эндогенные переменные - взаимозависимые переменные, которые определяются внутри модели (системы): Y1, Y2, Y3 .

Экзогенные переменные - независимые переменные, которые определяются вне системы: х1, х2, х3.

Пусть - число эндогенных переменных в уравнении, - число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе.

1-е уравнение: 1 + 1 = 2 - уравнение идентифицируемо.

Строим матрицу:

х2

Y3

2-е уравнение

3-е уравнение

в22

в32

0

-1

detM ? 0 ; rangM = 2.

2-е уравнение: 2 + 1 > 2 - уравнение сверхидентифицируемо.

Строим матрицу:

Y3

х1

х3

1-е уравнение

3-е уравнение

0

-1

в11

0

в13

в33

detM ? 0 ; rangM = 2.

3-е уравнение: 1 + 1 > 1 - уравнение сверхидентифицируемо.

Строим матрицу:

х1

Y1

Y2

1-е уравнение

2-е уравнение

в11

0

-1

с21

с12

-1

detM ? 0 ; rangM = 2.

Как видно по всем уравнениям достаточное условие идентифицируемости выполнено, а необходимое условие идентифицируемости показывает, что система является сверхидентифицируемой. Таким образом, для оценки параметров модели будет использоваться двухшаговый метод наименьших квадратов.

Двухшаговый МНК заключается в следующем:

- составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого его уравнения обычным МНК;

- выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяют двухшаговым МНК, и находят расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели;

- обычным МНК определяют параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения.

ЗАДАНИЕ 4

Условие: Имеются данные за двенадцать лет по странам о годовом объеме продаж автомобилей. Данные приведены в табл. 6.

Таблица 6

Год Объем продаж 100 тыс.

Страна С

1986

5,2

1987

6,3

1988

4,5

1989

3,9

1990

3,8

1991

3,0

1992

4,8

1993

5,0

1994

4.6

1995

6,1

1996

6,7

1997

6,9

Требуется:

1. Определить коэффициенты автокорреляции уровней ряда первого и второго порядка.

2. Обосновать выбор уравнения тренда и определите его параметры.

3. Сделать выводы.

4. Результаты оформить в виде пояснительной записки.

Решение: Для решения задачи составим таблицу (см. табл. 7)

Коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка:

, где ; .

r1 = = 0,619.

Таблица 7. Расчётная таблица.

Год

Годовой объем продаж автомобилей в стране С (тыс.шт.) у

Вспомогательные расчёты для коэффициентов автокорреляции первого порядка

Вспомогательные расчёты для коэффициентов автокорреляции второго порядка

1986

5,2

1987

6,3

6,3

5,2

32,76

1988

4,5

4,5

6,3

28,35

4,5

5,2

23,4

1989

3,9

3,9

4,5

17,55

3,9

6,3

24,57

1990

3,8

3,8

3,9

14,82

3,8

4,5

17,1

1991

3,0

3

3,8

11,4

3

3,9

11,7

1992

4,8

4,8

3

14,4

4,8

3,8

18,24

1993

5,0

5

4,8

24

5

3

15

1994

4.6

4,6

5

23

4,6

4,8

22,08

1995

6,1

6,1

4,6

28,06

6,1

5

30,5

1996

6,7

6,7

6,1

40,87

6,7

4,6

30,82

1997

6,9

6,9

6,7

46,23

6,9

6,1

42,09

Итого

55,6

53,9

281,44

49,3

47,2

235,5

Средняя

5,05

4,9

25,6

4,93

4,72

23,55

СКО

1,224

1,080

1,214949

0,962081

Коэффициент автокорреляции уровней ряда второго порядка:

,

где ; .

r2 = = 0,2399.

Проанализировав полученные коэффициенты автокорреляции и построенный график, можно сделать вывод, что существует нелинейная тенденция. Это подтверждается тем, что коэффициент автокорреляции первого порядка меньше коэффициента автокорреляции второго порядка.

Рис.1 Динамика продажи автомобилей в стране С.

График показывает явно нелинейную модель.

Так как по графику сложно определить вид связи, проведём выравнивание данных методом трёхточечной скользящей средней.

По выровненным значениям можно предположить, что тренд имеет вид полинома пятой степени.

Параметры уравнения вычислим методом наименьших квадратов, решив систему нормальных уравнений:

Используя вспомогательные вычисления, получим:

Таблица 8 Расчетная таблица:

t

Трёхточечная скользящая средняя (у)

2

5,3

4

8

16

10,6

21,2

3

4,9

9

27

81

14,7

44,1

4

4,1

16

64

256

16,4

65,6

5

3,6

25

125

625

18

90

6

3,9

36

216

1296

23,4

140,4

7

4,3

49

343

2401

30,1

210,7

8

4,8

64

512

4096

38,4

307,2

9

5,2

81

729

6561

46,8

421,2

10

5,8

100

1000

10000

58

580

11

6,6

121

1331

14641

72,6

798,6

Итого

48,4

505

4355

39973

329

2679

аппроксимация распределение фишер

Уравнение регрессии:

y = 0,0966х2 - 1,089х + 7,0508.

Оценим полученную модель, используя критерий Фишера:

Расчетное значение критерия Фишера равно

= 53,7 > ,

значит, модель надёжна.

.

Таблица 9. Расчётная таблица

t

Годовой объем продаж автомобилей в стране С (тыс.шт.) у

Трёхточечная скользящая средняя (у)

1

5,2

2

6,3

5,3

5,26

0,176

0,005

0,243

3

4,5

4,9

4,65

0,035

0,061

0,004

4

3,9

4,1

4,24

0,360

0,030

0,598

5

3,8

3,6

4,02

0,671

0,206

1,621

6

3,0

3,9

3,99

0,715

0,016

0,947

7

4,8

4,3

4,16

0,461

0,011

0,329

8

5,0

4,8

4,52

0,102

0,078

0,002

9

4.6

5,2

5,07

0,055

0,025

0,155

10

6,1

5,8

5,82

0,962

0,000

0,922

11

6,7

6,6

6,76

3,688

0,038

2,981

12

6,9

Итого

48,4

48,51

7,224

0,471

7,802

ЛИТЕРАТУРА

Катышев П.К., Пересецкий А.А. Сборник задач к начальному курсу эконометрики. - М.: Дело, 1999.

Практикум по эконометрике. Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2001.

Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решения. - М.: ЮНИТИ, 1997.

Эконометрика. Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2001.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Оценка неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки, при помощи метода наименьших квадратов. Аппроксимация многочленами, обзор существующих методов аппроксимации. Математическая постановка задачи аппроксимации функции.

    курсовая работа [1,9 M], добавлен 12.02.2013

  • Прямолинейные, обратные и криволинейные связи. Статистическое моделирование связи методом корреляционного и регрессионного анализа. Метод наименьших квадратов. Оценка значимости коэффициентов регрессии. Проверка адекватности модели по критерию Фишера.

    курсовая работа [232,7 K], добавлен 21.05.2015

  • Постановка задачи аппроксимации методом наименьших квадратов, выбор аппроксимирующей функции. Общая методика решения данной задачи. Рекомендации по выбору формы записи систем линейных алгебраических уравнений. Решение систем методом обратной матрицы.

    курсовая работа [77,1 K], добавлен 02.06.2011

  • Изучение аппроксимации таблично заданной функции методом наименьших квадратов при помощи вычислительной системы Mathcad. Исходные данные и функция, вычисляющая матрицу коэффициентов систему уравнений. Выполнение вычислений для разных порядков полинома.

    лабораторная работа [166,4 K], добавлен 13.04.2016

  • Исследование точности прогнозирования случайного процесса с использованием метода наименьших квадратов. Анализ расхождения между трендом и прогнозом, последующая оценка близости распределения расхождений наблюдений и распределения сгенерированного шума.

    курсовая работа [1,0 M], добавлен 29.01.2010

  • Определение среднего квадратичного отклонения. Расчет значения критерия Стьюдента, значения доверительных границ с его учетом. Обоснование выбора математической модели прогнозирования. Параметры по методу наименьших квадратов, наработка до отказа.

    контрольная работа [394,1 K], добавлен 18.06.2014

  • Построение теоретико-вероятностной модели исследуемого явления случайной величины математическими выводами. Реализация выборки статистической моделью, описывающей серию опытов. Точечная (выборочная) оценка неизвестного параметра и кривая регрессии.

    курсовая работа [311,7 K], добавлен 10.04.2011

  • Исследование вопросов построения эмпирических формул методом наименьших квадратов средствами пакета Microsoft Excel и решение данной задачи в MathCAD. Сравнительная характеристика используемых средств, оценка их эффективности и перспективы применения.

    курсовая работа [471,3 K], добавлен 07.03.2015

  • Определение математического ожидания и среднеквадратического отклонения с целью подбора закона распределения к выборке статистических данных об отказах элементов автомобиля. Нахождения числа событий в заданном интервале; расчет значения критерия Пирсона.

    контрольная работа [336,3 K], добавлен 01.04.2014

  • Определение частных производных первого и второго порядков заданной функции, эластичности спроса, основываясь на свойствах функции спроса. Выравнивание данных по прямой методом наименьших квадратов. Расчет параметров уравнения линейной парной регрессии.

    контрольная работа [99,4 K], добавлен 22.07.2009

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.