Древнегреческие математики достигли чрезвычайно большого искусства в геометрических построениях с помощью циркуля и линейки. Однако три задачи не поддавались их усилиям. Прошли тысячелетия, и только в наше время, наконец, были получены их решения.

Вот эти три великие задачи: построение квадрата, равновеликого данному кругу (или, сокращенно, квадратура круга); деление произвольно заданного угла или дуги на три равновеликие части (или трисекция угла), и построение куба, объем которого вдвое больше объема заданного куба (или удвоение куба).

1. Квадратура круга

математический куб древность квадрат

История нахождения квадратуры круга длилась четыре тысячелетия, а сам термин стал синонимом неразрешимых задач. Как следует из подобия кругов, отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная, не зависящая от радиуса круга, она обозначается буквой р. Таким образом, длина окружности круга радиуса r равна 2 р r, а так как площадь круга равна S = р r², то задача о квадратуре круга сводится к задаче построения треугольника с основанием 2 р r и высотой r. Для него потом уже без труда может быть построен равновеликий квадрат.

Итак, задача сводилась к построению отрезка, длина которого равна длине окружности данного круга. Это было показано еще Архимедом в сочинении «Измерение круга», где он доказывает, что число р меньше чем

, но больше чем ,

т.е. 3,1408 < n < 3,1429.

В наши дни с помощью ЭВМ число р вычислено с точностью до миллиона знаков, что представляет скорее технический, чем научный интерес, потому что такая точность никому не нужна. Десяти знаков числа л (n = =3,141592653…) вполне достаточно для всех практических целей. Долгое время в качестве приближенного значения р использовали число 22/7, хотя уже в V в. в Китае было найдено приближение 355/113=3,1415929…, которое было открыто вновь в Европе лишь в XY1 в. В Древней Индии р считали равным v10= =3,1622…. Французский математик Ф. Виет вычислил в 1579 г. р с 9 знаками. Голландский математик Лудольф Ван Цейлен в 1596 г. публикует результат своего десятилетнего труда-число р, вычисленное с 32 знаками.

Но все эти уточнения значения числа р производились методами, указанными еще Архимедом: окружность заменялась многоугольником со все большим числом сторон. Периметр вписанного многоугольника при этом был меньше длины окружности, а периметр описанного многоугольника - больше. Но при этом оставалось неясным, является ли число р рациональным, т.е. отношением двух целых чисел, или иррациональным. Лишь в 1767 г. немецкий математик И.Г. Ламберт доказал, что число р иррационально, а еще через сто с лишним лет в 1882 г. другой немецкий математик - Ф. Линдеман доказал его трансцендентность, что означало и невозможность построения при помощи циркуля и линейки квадрата, равновеликого данному кругу.

Конечно, способов приближенного решения квадратуры круга с помощью циркуля и линейки было придумано великое множество. Так, в Древнем Египте было распространено правило: площадь круга равна площади квадрата со стороной, равной 8/9; р = 256/81 = = 3,1604….

Были найдены и другие пути определения квадратуры круга: кроме циркуля и линейки использовали другие инструменты или специально построенные кривые. Так, в V в. до н.э. греческий математик Гиппий из Элиды изобрел кривую, впоследствии получившую название квадратрисы Динострата (ее назвали по имени другого древнегреческого математика, жившего несколько позже и указавшего

способ построения квадратуры круга при помощи этой кривой).

Однако не в практическом отношении интересовала людей задача о квадратуре круга, а интересовала принципиальная ее сторона: возможно ли точно решить эту задачу, выполняя построение с помощью циркуля и линейки?

Следы задачи о квадратуре круга можно усмотреть еще в древнеегипетских и вавилонских памятниках II тысячелетия до н.э. Однако непосредственная постановка задачи о квадратуре круга встречается впервые в греческих сочинениях V в. до н.э. В своем произведении «О изгнании» Плутарх рассказывает, что философ и астроном Анаксагор (500-428 до н.э.), находясь в тюрьме, отгонял печаль размышлениями над задачей квадратуры круга. В комедии «Птицы» (414 г. до н.э.) знаменитый греческий поэт Аристофан, шутя на тему о квадратуре круга, вкладывает в уста астронома Метона следующие слова:

Возьму линейку, проведу прямую,

И мигом круг квадратом обернется,

Посередине рынок мы устроим,

А от него уж улицы пойдут-

Ну, как на Солнце! Хоть оно само

И круглое, а ведь лучи прямые!.

Эти стихи говорят о том, что задача уже была к тому времени очень популярной в Греции. Один из современников Сократа - софист Антифон считал, что квадратуру круга можно осуществить следующим образом: впишем в круг квадрат и, разделяя пополам дуги, соответствующие его сторонам, построим правильный вписанный восьмиугольник, затем шестнадцатиугольник и т.д., пока не получим многоугольник, который в силу малости сторон сольется с окружностью. Но так как можно построить квадрат, равновеликий любому многоугольнику, то и круг можно квадрировать.

Рис. 1

Однако уже Аристотель указал, что это будет только приближенное, но не точное решение задачи, так как никогда многоугольник не может совпасть с кругом.

Квадратурой круга занимался также самый знаменитый геометр V в. до н.э. - Гиппократ Хиосский. У многих занимавшихся этой задачей возникло сомнение, возможно ли вообще построить прямолинейную фигуру, равновеликую криволинейной. Эта возможность была доказана Гиппократом, построившим лунообразные фигуры (рис. 1), известные под названием «гиппократовых луночек». В полукруг с диаметром \ВС\ вписан равнобедренный прямоугольный треугольник ВАС (\ВА\ = \АС\). На \АВ\ и \АС\, как на диаметрах, описываются полуокружности. Фигуры-мениски ALBM и ADCE, ограниченные круговыми дугами, и называются луночками. По теореме Пифагора имеем:

\BC/² = \AB\² + \АС\² = 2\АС\². (1)

Отношение площадей кругов или полукругов ВМАЕС и AECD равно, как впервые доказал сам Гиппократ, отношению квадратов соответствующих диаметров, которое в силу (1) равно 2. Итак, площадь сектора ОАС равна площади полукруга, построенного на диаметре \АС\. Если из обеих этих равных площадей вычесть общую площадь сегмента АСЕ, то и получим, что площадь треугольника АОС равна площади луночки ADCE, или сумма площадей обеих луночек равна площади равнобедренного треугольника ВСА. Гиппократ нашел и другие луночки, допускающие квадратуру, и продолжал свои изыскания в надежде дойти до квадратуры круга, что ему, конечно, не удалось.

Различные другие попытки, продолжавшиеся в течение тысячелетий попытки найти квадратуру круга неизменно оканчивались неудачей. Лишь в 80-х годах XIX в. было строго доказано, что квадратура круга с помощью циркуля и линейки невозможна.

Задача о квадратуре круга становится разрешимой, если применять, кроме циркуля и линейки, еще другие средства построения. Так, еще в IV в. до н.э. греческие математики Динострат и Менехм пользовались для решения задачи одной кривой, которая была найдена еще в V в. до н.э. Гиппием Элидским. Однако ученых Древней Греции и их последователей такие решения, находящиеся за пределами применения циркуля и линейки, не удовлетворяли. Будучи вначале чисто геометрической задачей, квадратура круга превратилась в течение веков в исключительно важную задачу арифметико-алгебраического характера, связанную с числом пи, и содействовала развитию новых понятий и идей в математике.

2. Трисекция угла

Знаменитой была в древности и задача о трисекции угла (от латинских слов tria-три и sectio-рассечение, разрезание), т.е. о разделении угла на три равные части с помощью циркуля и линейки. В некоторых частных случаях это легко удается сделать. Так, деление прямого угла на три равные части умели производить еще пифагорейцы, основываясь на том, что в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60°.

Рис. 2

Пусть требуется разделить на три равные части прямой угол MAN (рис. 2). Откладываем на полупрямой \AN) произвольный отрезок \АС\, на котором строим равносторонний треугольник АСВ. Так как угол CAB равен 60°, то угол ВАМ = 30°. Построим биссектрису \AD\ угла CAB, получаем искомое деление прямого угла MAN на три равных угла: NAD, DAB, ВАМ. Задача о трисекции угла оказывается разрешимой и при некоторых других частных значениях угла.

Рис. 3. а, б, в; конхоида Никомеда

Рис. 4. Рис. 5

Однако не в общем случае, т.е. любой угол невозможно разделить на три равные части с помощью только циркуля и линейки. Это было доказано лишь в первой половине XIX в.

Задача о трисекции угла становится разрешимой и в общем случае, если не ограничиваться в геометрических построениях одними только классическими инструментами, циркулем и линейкой. Попытки решения задачи с помощью инструментов и средств были предприняты еще в V в. до н.э. Так, например, Гиппий Элидский, знаменитый софист, живший около 420 г. до н.э., пользовался для трисекции угла квадратрисой. Александрийский математик Никомед (II в. до н.э.) решил задачу о трисекции угла с помощью одной кривой, названной конхоидой Никомеда (рис. 3), и дал описание прибора для черчения этой кривой.

Интересное решение задачи о трисекции угла дал Архимед в своей книге «Леммы», в которой доказывается, что если продолжить хорду \АВ\ (рис. 4) окружности радиуса r на отрезок \ВС\ = r и провести через С диаметр \FE \, то дуга BF будет втрое меньше дуги АЕ. Действительно, на основе теорем о внешнем угле треугольника и о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника имеем:

Отсюда следует так называемый способ «вставки» для деления на три равные части угла АОЕ. Описав окружность с центром О

и радиусом \ОЕ\ = \ОА [, проводим диаметр EF. Линейку СВ, на которой нанесена длина |СB| радиуса r (например, с помощью двух штрихов), прикладываем и двигаем так, чтобы ее точка С скользила по продолжению диаметра (EF), а сама линейка все время проходила бы через точку А окружности, пока точка В линейки не окажется на окружности. Тогда угол BCF и будет искомой третьей частью угла АОЕ (рис. 5). Как видно, в этом приеме используется вставка отрезка СВ между продолжением диаметра EF и окружностью так, чтобы продолжение отрезка СВ прошло через заданную точку А окружности. В указанном выше построении применяется, помимо циркуля, не просто линейка как инструмент для проведения прямых, а линейка с делениями, которая дает длину определенного отрезка

Напомним, что в классической постановке задачи о трисекции угла такое построение требовалось произвести лишь с помощью циркуля и линейки. В 1837 г. французский математик П. Ванцель доказал, что в общем виде задача не имеет решения, а возможно такое деление лишь в нескольких исключительных случаях, в частности для угла б= р /2 и всех углов вида р /2^п. Как известно, имеет место тождество cos б = 4cos³(б/3) - 3cos (б/3). Если обозначим 2cosб = a, 2cos (б/3) = х, то получим такое кубическое уравнение: х³ - 3х - а =0. Оказалось, что трисекция угла возможна для тех углов б, для которых корни этого уравнения выражаются через параметр а и целые числа лишь с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня. В частности, если б = л/2, т.е. а = - 0, то получаем уравнение х³ - Зх = 0, имеющее корни 0, + v3, - v3.

Теорема Морли

Одна из трех знаменитых задач древности - задача о делении произвольного угла на три равные части. Лишь сравнительно недавно было доказано, что деление угла с помощью циркуля и линейки не всегда возможно. Видимо, этим объясняется то, что лишь в 1899 г. был открыт следующий удивительный факт: если в произвольном треугольнике разделить каждый угол на три равные части, то точки пересечения делящих их лучей (рис. А) окажутся вершинами равностороннего треугольника. Эта теорема получила название теоремы Франка Морли, по имени американского математика, открывшего этот факт. Позже было замечено, что этим свойством обладают также и точки пересечения лучей, делящих на равные части внешние углы произвольного треугольника (рис. В).

Рис. А

Рис. В

3. Удвоение куба

К кубическому уравнению сводится и знаменитая «делосская задача» удвоения куба. Свое название она получила от острова Делос в Эгейском море, где, по легенде, чтобы избавить жителей от эпидемии, оракул повелел удвоить алтарь, имевший форму куба. Но в действительности она, наверное, возникла в умах математиков как обобщение задачи об удвоении квадрата. Для того чтобы построить квадрат вдвое большей площади, чем данный, достаточно провести у данного квадрата диагональ и принять ее за сторону нового квадрата.

Задача об удвоении куба оказалась существенно более трудной. Если обозначить через а длину стороны исходного куба, а через х - длину стороны вдвое большего куба, то получим соотношение х³ = 2а³-снова кубическое уравнение. В 1837 г. тот же П. Ванцель доказал, что невозможно построить с помощью только циркуля и линейки отрезок, в корень кубический из 2 раз больший данного, т.е. подтвердил неразрешимость задачи удвоения куба.

Удвоение куба - так называется третья классическая задача древнегреческой математики. Эта задача наряду с двумя первыми сыграла большую роль в развитии математических методов.

Задача состоит в построении куба, имеющего объем, вдвое больший объема данного куба. Если обозначить через а ребро данного куба, то длина ребра х искомого куба должна удовлетворять уравнению х³ = 2а³.

Задача является естественным обобщением аналогичной задачи об удвоении квадрата, которая решается просто: стороной квадрата, площадь которого равна 2а², служит отрезок длиной равной диагонали данного квадрата со стороной а. Наоборот, удвоение куба - задача не простая, так как ребро куба, объем которого равен 2а³ не может быть построен с помощью циркуля и линейки. Однако это было доказано лишь в первой половине XIX в.

Задача об удвоении куба носит также название «делосской задачи» в связи со следующей легендой.

На острове Делос (в Эгейском море) распространилась эпидемия чумы. Когда жители острова обратились к оракулу за советом, как избавиться от чумы, они получили ответ: «Удвойте жертвенник храма Аполлона». Сначала они считали, что задача легка. Так как жертвенник имел форму куба, они построили новый жертвенник, ребро которого было в два раза больше ребра старого жертвенника. Делосцы не знали, что таким образом они увеличили объем не в 2 раза, а в 8 раз. Чума еще больше усилилась, и в ответ на вторичное обращение к оракулу последний посоветовал: «Получше изучайте геометрию…»

Рис. 6

Согласно другой легенде, бог приписал удвоение жертвенника не потому, что ему нужен вдвое больший жертвенник, а потому, что хотел упрекнуть греков, «которые не думают о математике и не дорожат геометрией».

Задачей удвоения куба еще в V в. до н.э. занимался Гиппократ Хиосский, который впервые свел ее к решению следующей задачи: построить «два средних пропорциональных» отрезка х, у между данными отрезками а, b, т.е. найти х и у, которые удовлетворяли бы следующей непрерывной пропорции:

а: х = х: у = у: b. (1)

Суть одного механического решения задачи об удвоении куба, относящегося к IV в. до н.э., основано на методе двух средних пропорциональных. Отложим на стороне прямого угла отрезок \АО | == а, где а - длина ребра куба (рис. 6), а на другой его стороне - отрезок \ОВ\ = 2а. На продолжениях сторон прямого угла стараемся найти такие точки М и N, чтобы (AM) и (BN) были перпендикулярны к (MN); тогда |ОM|(x) и \ON\(y) будут двумя средними пропорциональными между отрезками \АО\ и |ВО|. Для этого устраивается угольник с подвижной линейкой. Линейку располагают так, как показано на рисунке. Имеем:

Это значит, что отрезок \ОМ\ искомый. Архит Тарентский дал интересное стереометрическое решение «делосской задачи». После него, кроме Евдокса, дали свои решения Эратосфен, Никомед, Аполлоний, Герон, Папп и др. Решение вышеизложенных трех задач долго разыскивалось и безрезультатно лишь потому, что ставились условия применения только циркуля и линейки.

Заключение

Естественно, что существовали способы приближенного решения этой задачи и решения ее с помощью других инструментов и кривых. Так, уже в IV в. до н.э. древнегреческие математики умели находить корень уравнения х³ = 2а³ как абсциссу точки пересечения двух парабол х² = ау и у² = 2 ах, а также других конических сечений.

На протяжении многих веков три знаменитые задачи древности привлекали внимание выдающихся математиков. В процессе их решения рождались и совершенствовались многие математические методы.

Литература

Глейзер Г.И. История математики в школе. М. 1982.

Энциклопедический словарь юного математика. М. 1985.

Размещено на Allbest.ru