Евклидовость в математике

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки РФ

Центр педагогического образования

Новокузнецкого института (филиала)

федерального государственного бюджетного образовательного учреждения

высшего профессионального образования

«Кемеровский государственный институт»

Физико-математический факультет

Кафедра математики и методики обучения математике

Выпускная квалификационная работа

по математике

Евклидовость в математике

студентки группы Маз-09

Габидулиной Татьяны Александровны

Новокузнецк, 2015



Введение

Актуальность исследования

Цель исследования: Изучение теоретических и практических аспектов евклидовости в математике

Задачи исследования:

1. Изучить основные понятия и теоремы евклидовости в математике

2. Рассмотреть разные виды задач, связанных с евклидовыми кольцами, представить их подробное решение

Теоретическая значимость исследования заключается в систематизации теории по евклидовой математике.

Практическая значимость исследования заключается в том, что представлены задачи разного уровня сложности, которые могут быть использованы в практике в практике вузовского обучения. Всего рассмотрено 16 задач

Методы исследования: анализ математической литературы и других информационных источников; обобщение, конкретизация.

Структура работы: данная работа состоит из введения, двух глав, заключения, библиографического списка, общим объемом страниц. Во введении обоснована актуальность, ставиться цель и задачи. В первой главе рассматриваются основные понятия и теоремы

эвклидовость математика линейный уравнение



1. Теоретические основы эвклидовости в математике

1.1 Кольца целостности

Пусть В - пустое множество, конечное или бесконечное. Пусть на множестве В определены две бинарные алгебраические операции: сложение и умножение. Множество В вместе с определёнными на нем сложением и умножением элементов, называется коммутативным кольцом, если выполняются следующие аксиомы:

К1. Сложение ассоциативно, т.е. для любых a,b,c место равенство (a+b)+c = a+(b+c)

К2. Сложение коммутативно, т. е. для любых a, b имеет место равенство a+b = b+a

К3. Существует элемент 0В такое, что для каждого a имеет место равенство a+0 = a, где 0 - нулевой элемент

К4. Для каждого а существует элемент -аВ такой, что а+(-а) = 0, где

-а -противоположный элемент

Нуль и противоположные элементы коммутативного кольца обладают следующими свойствами:

1. нуль противоположен самому себе 0 = -0;

2. аналогия знака противоположности элемента с логическим отрицанием: -(-а) = а;

3. из одной части равенства двух сумм любое слагаемое можно перенести в другую часть с противоположным знаком: если a+b = с, то b = -a+c;

4. умножение дистрибутивно по отношению к вычетани: для любых a, b, c имеет место равенство c(a-b) = ca -cb;

5. аннулирование произведения: 0·с = 0, для любого с;

6. правила знаков при умножении: для любых a и b имеет место равенство (-a)b = a(-b) = -(ab), (-a)(-b) = ab;

К5. Умножение ассоциативно, т.е. для любых a, b, c имеет место равенство (ab)c = a(bc)

К6.Умножение коммутативно, т.е. для любых a, b имеет место равенство ab = ba

К7. Умножение дистрибутивно по отношению к сложению, т.е. для любых a, b, c имеет место равенство c(a+b) = ca +cb

Коммутативное кольцо называется кольцом целости, если операция умножения элементов удовлетворяет еще двум аксиомам:

К8. Если ab = 0, то a = 0 или b = 0

К9. Существует элемент 1 0 такой, что для каждого элемента имеет место равенство 1·а = а.

Непустое множество С по отношению к кольцу В называется подкольцом, если С?В и С является кольцом по сложению и умножению, определенным на В. Всегда существующие подкольца кольца В - само кольцо В и нулевое кольцо (кольцо состоящее из одного нуля кольца В) называются тривиальными. Каждое подкольцо некоторого кольца, не являющийся тривиальным, называется его собственным подкольцом.

Если для элементов с и b кольца целостности В, где b0, найдется элемент q такой, что с = bq, то говорят, что с делиться на b и выражают это формулой с b. Определенное таким образом бинарное отношение «b делит с» выражают формулой b/с. Если с 0, то b и q называют делителями элемента с; каждое из них называют дополнительными делителями по отношению к другому.

Отношение делимости обладает следующими свойствами:

1. Свойство транзитивности: если с b и b а, то с а.

2. Пусть s N. Если с₁ b, …, с_S b, то при любых элементах k₁,…, k_S имеет место делимость k₁с₁+...+ k_Sс_Sb

3. Пусть m 0. Если а b, то аm bm и обратно.

Элементы е и з (не исключено, что е = з), принадлижащие кольцу целостности и для которых выполняется равенство ез = 1, называются обратными

Для того чтобы кратко охарактеризовать множество всех обратимых элементов кольца целостности В, удобно воспользоваться понятием абелевой группы. Множество Н, на котором определена алгебраическая операция (назовем её умножением), называется абелевой (или коммутативной) группой, если выполняются следующие аксиомы:

Г1. для любых a, b, сН имеет место равенство (ab) с=a(bс),

Г2. для любых a, bН имеет место равенство ab=ba,

Г3. существует элемент 1Н такой, что для каждого аН имеет место равенство 1·а = а, где элемент 1 называется еденицей или нейтральным элементом,

Г4. для каждого аН существует элемент а^-1Н такой, что имеет место равенство аа^-1=1,где каждый из элементов а и а^-1 называется обратным или нейтрализующим по отношению к другому.

Так как алгебраическая операция на группе Н названа умножением и обозначена соответствующим образом, то группу Н называют еще мультипликативной абелевой группой.

Кроме групповых свойств, обратимые элементы обладают еще следующими свойствами по отношению к ненулевым элементам кольца целостности В

1. a е для любых a и е,

2. если а с, то а ес для любого е,

3. если еa с, то a с,

4. если a - необратимый элемент, то при любом е элемент еa также является необратимым,

5. если a с и с a, то существует элемент е такой, что имеет место равенство с = еa.

Биективное отображение кольца В на кольцо на кольцо В? называется изоморфизмом, а кольца В и В? - изоморфными, если при этом биективном отображении соответствие элементов обладает следующими свойствами: если а а?и b b?, то a+b а?+b?.

Теорема. Любой изоморфизм колец целостности В и В? обладает следующими свойствами: а) 0 0?, б) 1 1?, в) если а а?, то -а -а?, г) если ез = 1, е е ?, з з?, то е?з? = 1?.

Кольцо целостности В, в котором, кроме нуля, все элементы являются обратимыми, называется полем.

Каждое числовое поле содержит бесконечно много элементов и поэтов и поэтому называется бесконечным. Существуют и представляют большой интерес конечные поля, которые часто называют полями Галуа.

Теорема 1) Для каждого q = pⁿ, где p - положительное простое число и nN, существует поле Галуа GF(q) и характеристика его равна p.

2) Полей Галуа, количество элемент в которых является степенью простого числа, не существует.

3) Для поля Галуа, содержащие равные количества элементов, изоморфны.

В произвольном (не обязательно конечном) коммутативном кольце с единицей каждый элемент, не являющийся ни нулем, ни делителем нуля, не обратимым элементом, мы будем называть регулярным.

Теорема. В коммутативном настоящем кольце В произведение регулярных элементов является регулярным элементом.

Теорема. В конечном коммутативном кольце с единицей нет регулярных элементов.



1.2 Евклидовы кольца

Кольцо целостности Е называется евклидовым, если на множестве Е\ можно определить функцию е, значение которой является целыми неотрицательными числами, таким образом, что выполняются следующие аксиомы:

Е1. если a b, то е(а) е(b),

Е2. для любых a и b 0 найдутся элементы q, rЕ такие, что имеет место равенство а = bq+ r при выполнении условия r = 0 или е(r) е(b).

Представление элемента а через элемент b 0 в виде правой части равенства а = bq+ r с условием r = 0 или е(r) е(b) называется делением с остатком а и b; элемент q называется неполным частным и элемент r - остатком, независимо от того, равен нулю элемент r или не равен.

Функция е называется евклидовой нормой. Евклидова норма определяется аксиомами Е1 и Е2 неоднозначно. Свойства евклидовой нормы:

1. Если с и а 0, то е(с) = е(а).

Доказательство. Из условия ассоциированности ненулевых элементов с и а следует, что а с и с а. Из этих отношений делимости и аксиомы Е1 вытекают неравенства е(а) е(с) и е(с) е(а), следствие которых является доказываемое равенство.

2. Если с а и е(с) = е(а), то с и a - ассоциированные элементы.

Доказательство. Разделим с остатком а на с:а = сq+r. Если предположим, что r 0, то е(r) е(а). С другой стороны, из условия с а следует, что r а и е(r) е(а). Из полученного противоречия следует, что r=0. Но тогда a с, и элементы а и с ассоциированы

3. е(с) = е(1) тогда и только тогда, когда сG.

Доказательство. Достаточность условия вытекает из свойства 1 при а = 1, необходимость условия вытекает из свойства 2 при а = 1.

4. если еG, е(е) = е₁.

Доказательство. Пусть для некоторого с верно равенство е(с) = е₁. Так как с е, то из аксиомы Е1 следует неравенство е(е) е(с) (=е₁). Вследствие минимальности числа е₁ как значения евклидной нормы от сюда следует, что е(е) = е₁

5. Если а не является элементом G, то е(а) е₁

Доказательство проведем от противного. Допустим, чтое(а) = е₁. Тогда, в силу свойства 4, е(а) = е(е). Отсюда с учетом отношения делимости а е и свойства 2 следует аG, что противоречит условию. Следовательно, свойство 5 верно

6. Если с а и с не ассоциировано с а, то е(с) е(а).

Доказательство вытекает из свойства 2 и аксиомы Е1

7. В евклидовом настоящем кольце множество значений евклидовой нормы бесконечно.

Доказательство. В евклидовом настоящем кольце содержится по крайней мере один регулярный элемент а. В силу свойства 6 последовательность значений евклидовой нормы е(а), е(а²), …, е(а^S), … монотонно возрастает и не ограничена сверху

Пусть n - натуральное число и а₁, …, а_н, …, а_n - произвольная система элементов произвольно взятого кольца целостности, содержащая по крайней мере один ненулевой элемент. Такие системы элементов мы будем называть ненулевыми в отличие от нулевых систем элементов, содержащих только нули. Общие делители элементов системы а₁, …, а_н, …, а_n всегда существуют; таковым, например, является любой обратимый элемент кольца целостности.

Теорема (о существовании наибольшего общего делителя (НОД)). В евклидовом кольце Е для элементов каждой ненулевой системы вида а₁, …, а_н, …, а_n существует НОД; каждый НОД элементов такой системы можно представить в виде линейной комбинации, составленной из элементов этой системы с коэффициентами из кольца Е.

Доказательство. Для исключения небольших тривиальных осложнений будем предполагать, что система а₁, …, а_н, …, а_n не содержит нулей. Рассмотрим линейную форму над Е

(1)

c n 1 неизвестными. На множестве всех ненулевых значений линейной формы евклидова норма е принимает свое наименьшее значение; пусть оно достигается при , н = 1, …,n. Положим

(2)

Докажем, что для всех н = 1, …, n. С этой целью разделим на с остатком коэффициент на :

(3)

Предположение о том, что , приводит к противоречию. Действительно, исключая из равенства (3) при помощи равенства (2), получаем новое выражение для :

(4)

которое представляет собою значение линейной формы . В силу минимальности числа е() как значения е() имеет место неравенство е()е(), противоречащее неравенству е()е(), вытекающему из уравнения (3) и аксиомы Е2 из определения евклидового кольца. Следовательно, = 0 и для всех указанных выше значений индекса н. Поэтому является общим делителем системы а₁, …, а_н, …, а_n.

Так как любой общий делитель тех же элементов делит правую часть (2), то ; следовательно является НОД системы а₁, …, а_н, …, а_n. Одновременно с существованием НОД доказано второе утверждение теоремы о возможности линейного представления НОД - это следует из формулы (2).

Теорема. Если S2 и , то .

Доказательство. и Достаточно доказать, что . Нетрудно убедиться в том, что имеют место следующие отношения делимости: и . Из них непосредственно следует, что . С другой стороны, очевидно, что является общим делителем элементов ; поэтому . Следовательно, элементы и ассоциированы.

Элементы при n 2 называются взаимно простыми, если . Отметим следующие свойства НОД двух и более элементов, большинство которых связано с понятием взаимной простоты элементов системы.

1. Если , то для любого с 0 имеет место отношение принадлежности .

2. Если , то .

3. При n 2 равенство имеет место тогда и только тогда, когда .

4. Если и , то

5. Если , и , то

Вернемся к рассмотрению системы элементов вида

(5)

где n 1. Будем предполагать, что среди элементов системы (5) нет нулей. Элемент m? 0 такой, что m? a_i, i=1, …, n, называется общим кратным системы (5), если n 2, и кратным элемента a_i, если n=1. Общие кратные любой системы ненулевых элементов существуют; например, их общим кратным является их произведение. Наибольшим общим кратным (НОК) системы (5) называется такое их общее кратное, на которое делится любое их общее кратное.

Теорема (о существовании НОК) В евклидовом кольце Е для каждой ненулевой системы элементов (5) существует НОК.

Доказательство. Пусть М - множество всех общих кратных элементов системы (5). На множестве М значения евклидовой нормы е(х) достигают своего минимума и пусть этот минимум достигается при х = m. Произвольно взятое разделим с остатком на m: m₁ = mq + r. Предположение о том, что r 0, сразу приводит к противоречию: в силу свойства 2 делимости , в силу аксиомы Е2 имеем неравенство е(r) е(m), противоречащее минимальности е(m) на множестве М. Поэтому r = 0, ,следовательно, m есть НОК элементов системы (5)

Теорема (о связи между НОК и НОД). Пусть и , , тогда .

Доказательство. Элементы a и b представим в виде

,(6)

где

(7)

Пусть m₁ - произвольное общее кратное элементов a и b. По определению общего кратного m₁ = aq = bt. Исключая из этих равенств a и b при помощи равенства (6), получаем равенства

m₁ = a₁dq = b₁dt(8)



Из правого равенства (8) следует a₁q = b₁t. Отсюда и из равенства (7) получаем q = b₁s. Подставляем это выражение для q в левое из равенств (8), получаем равенство m₁ = b₁d s. Такой вид имеют все общие кратные элементов a и b. При s = е общее кратное

m = еa₁b₁d(9)

обладает очевидным свойством: для любого общего кратного m₁ элементов a и b имеет место отношение делимости m₁ m. Поэтому . Умножая равенство (9) на d и используя равенство (6), получаем требуемый результат: md = еab

Теорема. Если s ? 2 и , то

Теорема. В евклидовом кольце каждое множество элементов, имеющих одно и то же значение евклидовой нормы, конечно тогда и только тогда, когда группа обратимых элементов этого кольца конечна.

Доказательство. Необходимость условия тривиальным образом вытекает из свойства евклидовой нормы 1. Для доказательства достаточности условия применим индукцию по порядковому номеру значений евклидовой нормы, расположенных в порядке монотонного возрастания. Неравенству е(х) ? е₁ удовлетворяют только обратимые элементы (см. свойство евклидовой нормы 3), количество которых конечно по условию. Предположим, что для произвольного n ? 1 неравенству е(х) ? е_n удовлетворяет лишь конечное число значений переменного х, и докажем, что неравенству е(х) ? е_n+1 также удовлетворяет лишь конечное число значений переменного х. Будем доказывать это от противного: допустим, что неравенству е(х) ? е_n+1 удовлетворяет бесконечно много попарно различных значений переменного х. Из этого допущения следует, что существует бесконечная последовательность х₁, …, х_н, … попарно различных элементов евклидового кольца такая, что выполняется равенство с(х_н) = е_n+1 для нN. Произвольно выбираем элемент a с одним условием: е(a) = е_n+2, что возможно в силу 7 свойства евклидовой нормы. Выбранный элемент a делим с остатком на х_н и получаем последовательность равенств

(10)

где

(11)

По предположению индукции существует лишь конечное число попарно различных элементов r _н, удовлетворяющих условию (11). Поэтому существует бесконечная подпоследовательность

(12)

последовательности х₁, …, х_н, …, для элементов которой в равенстве (10) будет одно и тоже значение остатка для всех s N. Отсюда непосредственно следует, что имеет место бесконечная цепочка равенств . Таким образом члены бесконечной последовательности (12) являются попарно различными делителями элемента a - r. С другой стороны, из предположения о конечности группы G следует, что полное число делителей элемента a - r ? 0 равно gф(a - r) r. Полученное противоречие говорит о том, что неравенству е(х) ? е_n+1 удовлетворяет лишь конечное число значений переменной х. Шаг индукции и теоремы доказан.

1.3 Матрицы над евклидовым кольцом

Введем следующее определение: строку над евклидовым кольцом Е будем называть канонической, если, кроме главного элемента, все остальные ее элементы являются нулями кольца Е; это определение дословно переносится на столбцы кольца Е.

Теорема (о канонической строке). Если А - ненулевая строка над евклидовым кольцом, то в классе содержится каноническая строка.

Доказательство. Пусть какой-нибудь минимальный элемент класса содержится в строке . Можно предположить, что минимальный элемент является главным элементом строки А₀. Поэтому строка А₀ имеет вид . Применяя аксиому Е2 из определения евклидова кольца, разделим с остатком элементы строки А₀ на элемент . В результате получим равенства

(13)

где или , или Применив теперь к строке А₀ элементарные преобразования, состоящие в прибавлении к i-му элементу главного элемента , умноженного на -q_i, i=2, …., n, получим строку

(14)

В силу минимальности элемента классе неравенства не, невозможны. Поэтому r₂ = … = r_n = 0 и строка А₁ является канонической

Теорема. Если из строки над Е

(15)

при помощи одного элементарного преобразования получена строка



(16)

то множество всех НОД элементов строки (15) совпадает с множеством всех элементов строки (16)

Доказательство. Существует только три типа элементарных преобразований строк. В результате применения одного из элементарных преобразований к строке (15) между элементами строки (15) и элементами строки (16) могут иметь место только следующие связи:

1: b'_i=еb_i, i = 1, …,n, еG,

2: b'_i=еb_i, еG; b'_i=b_i, если i ? 1,

3: b'_i=b_i + b_kq, qЕ; b'_i=b_i, если i ? 1.

Пусть d - какая-нибудь НОД элементов строки (15), д - какая-нибудь НОД элементов строки (16). Для каждого преобразования 1, 2, 3 тривиальным образом устанавливается, что d является общим делителем элементов строки (16), д - общим делителем элементов строки (15). Поэтому д d и d д. Из этих отношений делимости следует равенство .

Из доказанной теоремы вытекает следующее.

Следствие 1. Если то

Следствие 2. Если - минимальный элемент класса , к которому принадлежит строка , то

Диагональная матрица, независимо от размеров, называется канонической, если все ее ненулевые элементы расположены на главной диагонали подряд, начиная с главного элемента; каждый ненулевой элемент делит следующий за ним элемент главной диагонали, если таковой имеет. Например, следующие матрицы над Z , - канонические. Канонической считается каждая ненулевая одноэлементная матрица.

Теорема (о канонической матрице). Если А - ненулевая матрица над евклидовым кольцом, то в классе содержится каноническая матрица.

Доказательство проведем индукцией по минимальному порядку матриц t. Утверждение теоремы верно для всех матриц, для которых t = 1. Это следует из того, что: 1) ненулевая матрица, минимальный порядок которой равен 1, может быть только или одноэлементной матрицей, или строкой, или столбцом; 2) одноэлементная матрица уже является канонической, а для строк и столбцов утверждение теоремы верно. Предположим, что утверждение теоремы верно для матриц, минимальный порядок которых равен t 1, и докажем, что утверждение теоремы будет верно и для матриц, минимальный порядок которых равен t+1. Пусть матрица А имеет размер s n и минимальный порядок t+1. В классе найдется матрица, главный элемент которой будет минимальный. Пусть это будет матрица

.

Пользуясь аксиомой Е2 из определения евклидового кольца, разделим с остатком элементы а₁₂, …, а_1n первой строки и элементы а₂₁, …, а_s1 первого столбца матрицы А₀ на элемент . В результате получим равенства

Применяя к матрице А₀ суперпозицию элементарных преобразований, состоящих в прибавлении к i-му столбцу первого столбца, умноженного на -q_1i, i = 2, …, n и затем - в прибавлении к j-й строке первой строки, умноженной на -q_1j, j = 2, …, s, получим некоторую матрицу А_1. В этой матрице первая строка и первый столбец будут и

Так как , то, в силу минимальности элемента , имеют место равенства . Поэтому матрица А₁ должна иметь вид

Матрица А₂ этой матрицы, которая получается из нее вычеркиванием первой строки и первого столбца, имеет минимальный порядок t и по предположению индукции приводится к каноническому виду

Так как элементарные преобразования, приводящие подматрицу А₂ к каноническому виду, выполняется в рамках матрицы А₁ без изменения ее первой строки и первого столбца, то матрица А^*

принадлежит классу . Остается доказать, что . Для этого выполняем деление с остатком элемента на элемент : , где r = 0 или е(r)< е(). Выполнив это, применим к матрице А^{* п}оследовательно два элементарных преобразования:

1) ко второму столбцу прибавим первый,

2) ко второй строке прибавим первую, умноженную на -q. В результате получим матрицу, содержащую на втором месте главной диагонали элемент r. В силу минимальности элемента в классе возможно только r = 0.Это значит, что и матрица А^* - каноническая в классе .

Теорема (о минорах). Если А и В - пара эквивалентных матриц, имеющих ранг r, то для каждого натурального числа k ? r верно равенство

Доказательство. Можно ограничиться рассмотрением матриц А и В, размер которых s n удовлетворяет условию: s ? 2, n ?2. Докажем сначала утверждение теоремы в предположении, что матрица В получена из матрицы А одним элементарным преобразованием. Из всех миноров порядка k матрицы А составим строку .

На ряду со строкой S рассмотрим строку соответствующих миноров матрицы В .

Эти строки составляются так, что соответствующие миноры из матриц А и В имеют одинаковые индексы: , н = 1, …, h. Докажем, что Т ~ S. Для этого рассмотрим элементарные преобразования матриц четырех типов, одно из которых может быть преобразующим матрицу А в матрицу В.

1. Пусть матрица В получена из матрицы А умножением ее на i-й строки на обратный элемент е. Очевидно, что , если минор не содержит i-й строки, и , если минор сдержит i-й строку. Следовательно, строка Т получается из строки S умножением некоторых ее элементов на е. Поэтому Т ~ S.

2. Пусть матрица В получена из матрицы А прибавлением к i-й строке матрицы А ее i-й строки, умноженной на элемент q, причем i ? j. Если в минор не входит i-я строка, то . Если в минор входят и i-я и j-я строки, то, в силу известного свойства определителей, имеет место равенство . Если же в минор входит i-я строка, но не входит j-я строка, то , где минор получается из минора заменой в нем i-й строки матрицы А ее j-й строкой. Из полученных выражений для миноров, входящих в строку Т, следует, что Т ~ S

3. В случае, когда матрица В получена из матрицы А умножением ее

i-го столбца на обратимый элемент е, доказательство ничем существенным не отличается от доказательства в случае 1.

4. В случае, когда матрица В получена из матрицы А прибавлением к

i-му столбцу матрицу А ее j-го столбца, умноженного на элемент q, доказательство ничем существенным не отличается от доказательства в случае 2 Тем самым эквивалентность срок Т ~ S соответствующих минорам матриц А и В доказано. Из эквивалентности Т ~ S вытекает, что . Таким образом, в случае, когда матрица В получена из матрицы А утверждение теоремы доказано.

Из теоремы вытекают два следствия

Следствие 1. Пусть rang А = r > 1. Если в классе канонической является матрица

,

то /

Следствие 2. Если матрица , определенная в следствии 1, является канонической в классе , то каноническими в классе являются все матрицы вида



с любыми е₁, е₂, …, е_rG и только они.

Теорема (об элементах канонической матрицы). Если rang А = r и

(17)

то в качестве ненулевых элементов канонической матрицы в классе можно взять элементы

(18)

Доказательство. Пусть - все ненулевые элементы некоторой канонической матрицы в классе . Из условия (17), которым подчинены элементы , и следствия 1 вытекают равенства

(19)

где е₁, е₂, …, е_r - подходящие элементы на G. Из этих равенств тривиальным способом следует, что

(20)

Так как элементы канонической матрицы определяются с точностью до ассоциированности, то, как это вытекает из равенства (20), в качестве элементов канонической матрицы в классе можно взять элементы (18) и только в том порядке, в котором они уже расположены.

1.4. Линейные уравнения и системы линейных уравнений над кольцом целостности

Математическое предположение, которое может быть только истинным, или ложным, «существует столбец значений неизвестных такой, что соответствующие этому столбцу значения линейных выражений f b h равны» записывается с помощью знака равенства в следующей форме:

(21)

Формула (21) с учетом ее смысла называется линейным уравнением над кольцом целостности В. Линейное выражение, находящееся в формуле (21) слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, находящееся с права - его правой частью. Элементы b₀ и c₀ называют свободными членами, элементы b₁, …, b_n, c₁, …, c_n называются коэффициентами (при соответствующих неизвестных).

О неизвестных x1, …, xn говорят, что они входят в линейное уравнение (21). О неизвестном x_н (н = 1, …, n) говорят, что оно существенно входит в линейное уравнение (21), если b_н ? c_н, то говорят, что неизвестное входит в линейное уравнение (21) несущественно.

Если существует столбец над кольцом В такое, что соответствующие этому столбцу значения левой и правой частей линейного уравнения (21) равны, то столбец К называется решением линейного уравнения (21), а о самом линейном уравнении говорят, что оно разрешимо. Решение линейного уравнения записывают не только в виде столбца К, но и в виде строки К^Т и, еще, в виде системы равенств

Пусть задано s ? 2 пар линейных выражений над кольцом целостности В: , где н =1, …., s. Математическое предположение, которое может быть только или истинным, или ложным, «существует столбец значений неизвестных такой, что соответствующие этому столбцу значения линейных выражений f_н и h_н равны для всех указанных значений индекса н» записывается в форме упорядоченной (сверху вниз) системы s равенств

(22)

…………………………………………………………

Упорядоченная система равенств (22) с учетом ее смысла, придаваемого ей предыдущим предложением, называется системой линейных уравнений над кольцом целостности В.

Преобразование систем линейных уравнений

ЭПС-1 Умножение уравнения системы на элемент еG

ЭПС-2 Прибавление к одному уравнению системы другого ее уравнения, умноженного на элемент qB.

Элементарные преобразования систем линейных уравнений обладают следующими свойствами, доказательства которых тривиальны.

1. Каждое ЭПС обратимо

2. Каждое ЭПС преобразует систему линейных уравнений в равносильную.

Рассмотрим систему линейных уравнений:



(23)

……………………………………

Пусть А - матрица коэффициентов системы линейных уравнений (23), В - столбец свободных членов той же системы линейных уравнений. Системе линейных уравнений (23) взаимно однозначно соответствует блочная матрица , которая называется расширенной матрицей системы, и столбец неизвестных Х. С помощью введенных матриц систему линейных уравнений (23) можно записать в матричной форме

АХ = В(24)

которая называется матричным уравнением. Два матричных уравнения с одним и тем же столбцом неизвестных называются равносильными, если их общие решения совпадают.

Теорема. Пусть две системы линейных уравнений записаны в матричных формах. Если системы линейных уравнений равносильны, то соответствующие им матричные уравнения равносильны, и обратно.

Доказательство тривиальным образом вытекает из определения равносильности систем линейных уравнений и равносильности матричных уравнений.

Размещено на Allbest.ru