Разрешимость Диофантовых уравнений с двумя переменными

Размещено на http://www.allbest.ru/

Статья

Разрешимость Диофантовых уравнений с двумя переменными.

Ч.3

Белотелов В.А.

Заволжье

2016г.



То, что будет написано в начале статьи, это повторение одной из предыдущих статей, - "Пифагоровы тройки, - их количество". Повторение начала той статьи.

Возникла идея воспользоваться свойством исследуемого числа состоять в уравнениях вида,

-

У простого числа (ПЧ) подобное уравнение может быть в единственном числе, например, для числа - У числа

Где - ПЧ, тоже подобное уравнение единственное. Тогда как для составного числа (СЧ) подобных уравнений может быть несколько, - по числу пар сомножителей, образующих это число, -

1Ч21=21

3Ч7=21

1Ч45=45

3Ч15=45

5Ч9=45

Введём общие обозначения, -

(1)

Где

Другое уравнение для числа составить можно и даже в выше указанных символах. Проку всё равно никакого. Решая в системе с уравнением (1) получим 0=0. О составлении уравнений поговорим в следующих работах.

Составим таблицу для всех СЧ.

Таблица 1.

Все числа в таблицу не убрались, но принцип, по которому она создавалась прост, - горизонтальные ряды пронумерованы величиной "a" из формулы (1), вертикальные ряды пронумерованы величиной "b-a", что является меньшим сомножителем любого числа из пар сомножителей.

Некоторое время назад была сочинена "Разрешимость Диофантовых уравнений с двумя переменными" (РДУ). Именно под идентификацию ПЧ и СЧ РДУ и разрабатывалась. Сейчас на некоторых примерах будем дорабатывать РДУ и параллельно заниматься идентификацией.

Возьмём Число "13" взято, чтобы матрицы расписывать маленькие. Будем работать с формулой (1). Величина "а" д.б. чётной, а "b" нечётной. Чётность - нечётность определяется по численным значениям "" и "". В нашем случае, - Отсюда следует чётность - нечётность для

"а" и "b". Формулу (1) преобразуем в виду,

-

Таблица 2.

Распишем подобную таблицу для тогда

а - нечётное число,

b - чётное число.

Таблица 3.

Разница в таблицах (2) и (3) в количестве лучей, для РДУ это несущественно. Попробуем схитрить, - из таблицы 2 сделаем другую.

Таблица 4.

В таблице 4 уберём верхнюю строчку и первый столбец.

Таблица 5.

От нуля мы избавились лишь визуально, тогда как РДУ его чувствует и выдаст соответствующее решение. Составить новое уравнение, которое бы связывало и не реагировало на и , - это не возможно. К тому же таблицы 2 и 3 изображены не целиком, но об этом позже.

Попробуем избавиться в матрицах от нулей определяемых и . Будем работать с таблицей 1, но откажемся от КС в которой есть и Новая КС будет образована из самих чисел матрицы. Для нумерации горизонтальных рядов используем ряд чисел, - х=15, 21, 27, 33, 39, … . Для нумерации вертикальных рядов используем ряд чисел, - у=15, 35, 63, 99, 143, … .

Нормируем к натуральному ряду числа ряда "х", -

		6		6
	15		21		27,

Нормируем к натуральному ряду числа ряда "у", -



			8		8
		20		28		36
	15		35		63		99,

Перепишем таблицу 1 с новой КС.

Таблица 6.

Выведем формулу для с новой КС.

Опишем вертикальные ряды, -

		6		6
	15		21		27,

		10		10
	35		45		55,

		14		14
	63		77		91,

		18		18
	99		117		135,

Опишем коэффициенты при "", -

		4		4
	6		10		14,

Опишем свободные члены, -

			48		48
		60		108		156
	0		60		168		324,

Составим формулу для , -

Займёмся преобразованиями с целью избавиться от радикала, -

После упрощений окончательно, -

- (2)

где х=15, 21, 27, 33, … .

у=15, 35, 63, 99, … .

Выведем формулу Щn. Для этого в таблице 6 поменяем местами составляющие КС. Замена "" на "", и на оборот, в формуле 2 в этом случае не пройдёт, -

Щn надо находить из КС

.

Таблица 7.

Опишем вертикальные ряды, трапеции рисовать не будем, они расписаны выше, -

Опишем коэффициенты при -

		2		2
	3		5		7,



Опишем свободные члены, -

			8		8
		12		20		28
	3		15		35		63,

(3)

Составим формулу Щn, -

где х=15, 21, 27, 33, … .

у=15, 35, 63, 99, … .

Сделаем проверку. Возьмём ().

У числа нашли отображение через диагональ , -

Займёмся хулиганством, ибо то, что будет твориться ниже, назвать иными словами нельзя.

Работать будем с

Выбор сделан из следующих соображений, - число достаточно маленькое и к тому же в таблице 1 встречается два раза. В уравнение (2) подставим -

(4)

Введём в уравнение (4) новые переменные, -

и пусть у>х (у=35, х=21).

Уравнение (4) примет вид,-

Сократим на меньшее переменное , -

Имеем

тогда, -

(5)

Полученное уравнение (5) надо бы решить относительно с последующим нахождением "". Всего ничего, теоретически решаемо, а практически море проблем.

Если всеми правдами - неправдами найти значения то получим и Чтобы голову не забивать назовём это догадкой. Имеем, - и Т.е. уравнение (5) можно переписать в виде, -

Чуть упростим, -

Уберём "", -

(6)

Составим соотношение, -

(7)

Тут бы и возрадоваться. Ну как же, появилась надежда, что можно не использовать АРДУ для получения новых КС. Если в уравнении (6) раскрыть скобки и в полученном соотношении произвести упрощения, получиться уравнение (4). Оказалось, что радоваться рано. У меня в этом деле есть маленький опыт. Опираясь на этот опыт попытаюсь объяснить почему не обойтись без АРДУ с целью получения "", и, соответственно, нахождения новых КС. Оказалось, что КС надо находить именно при помощи АРДУ, и мало того, "" должна содержать радикал. В работе от 12.2015г. при работе с уравнениями первого порядка, кстати, "" не содержало радикалов. Мне попадались уравнения второго порядка для которых "" не содержало радикалов, получалась белиберда, РДУ не работала. Пусть есть уравнение, какого - либо порядка, в нашем случае, с двумя переменными. Уравнение может иметь, либо не иметь решений в целых числах. В принципе невозможно составить другое уравнение того же порядка, с теми же переменными, с теми же корнями. КС, в которой есть "" с радикалом, позволяет составить уравнение другого порядка, более высокого. Полученное новое уравнение будет содержать корни в целых числах, что и исходное уравнение, тогда как корни в дробных числах исходного уравнения за счёт радикала преобразуются в другие численные значения. Мне так кажется. Мы являемся королями при работе с уравнениями вида Тогда уравнение (5) преобразуем к виду, -

(8)

Из уравнения (8) можно найти

с последующим нахождением "".

Дальше не пойдём. Давайте возьмём число - это раз, а во вторых, составим новую КС. Для этого переделаем таблицу 1.

Таблица 8.

Столбцы экстраполированы вверх на одну позицию и добавлен столбец для значения

Для таблицы 8 составим нормированную КС.

Если раньше горизонтальные ряды нумеровали рядом чисел то сейчас пронумеруем рядом чисел

Хотя это не существенно. Нормируем последний ряд выражением

.

Нормируем ряд "", -

			8		8
		8		16		24
	1		9		25		49,

Таблицу 8 снабдим нормированной КС.

Таблица 9.

Составим уравнение для чисел таблицы

9 с КС

Сначала составим формулы вертикальных рядов.

		2		2
	3		5		7,

		6		6
	15		21		27,

		10		10
	35		45		55,

		14		14
	63		77		91,

Опишем коэффициенты при "", -

		2		2		2
	1		3		5		7,

Опишем свободные члены, -

			8		8
		6		14		22
	0		6		20		42,

Составим уравнение для чисел таблицы 9, -

Избавимся от радикала, -

(9)

Получили уравнение (9), которое симпатичнее уравнения (2), ибо короче.

В одноименной работе от 12.2015г., ставился вопрос, - а всегда ли Щn находится переменой в формуле и местами? Сейчас, для данного случая, Щn надо также вычислять как и Щв. Выше по тексту это уже встречалось. Сейчас Щn находим с использованием

КС

Займёмся этим, - в таблице 9 поменяем местами составляющие КС, - и

Таблица 10.

Составим формулы вертикальных рядов, с учетом, что трапеции расписаны выше, -

Опишем коэффициенты при -

		2		2		2
	1		3		5		7,

Опишем свободные члены, -

			8		8
		10		18		26
	2		12		30		56,

Составим формулу

для Щn, -

(10)

Займёмся выводом формулы для Щв на конкретном примере, - возьмём число

Работаем с уравнением (9), -

(11)

Имеем ичисла нечётные, и мы знаем, что

В уравнении (11) введём новые переменные, -

Сократим на меньшее переменное -

(12)

Имеем,

тогда уравнение (12) примет вид, -



(13)

У нас та же проблема, что и с уравнением (5). Но поскольку условие для уравнения (13) тогда как для уравнения (5) было имеем

Уравнение (13) перепишем в виде, -

Уравнение (13) можно перепишем и в таком виде, -

Последнее уравнение как один из вариантов. Остановимся на предыдущем уравнении, -

(14)

Для получения Щв есть КС. Таблицу 10 перепишем с новой КС.

Таблица 11.

Опишем вертикальные ряды; -

		2		2
	3		5		7,

		6		6
	15		21		27,

		10		10
	35		45		55,

		14		14
	63		77		91,



Опишем коэффициенты при "", -

		4		4		4
	2		6		10		14,

Опишем свободные члены, -

			8		8
		8		16		24
	1		9		25		49,

Составим формулу для Щв, -

Составим уравнение Щв = Щп , -

где - формула (14).

В последней формуле произведём сокращение на "".

Если левую и правую часть последнего уравнения разделить на два, получим, -

Получено равенство составляющих двух разных КС. Вернёмся к этому факту ниже, а пока продолжим.

Избавимся от радикала -

После сокращений, -

Имеем, -

тогда в последней формуле произведём сокращение на этот трёхчлен, -

(15)

Полученное уравнение надо решить в системе с уравнением (9). Облегчим себе жизнь.

Уравнение (9) получено из уравнения

Тогда система уравнений примет вид, -

(15)

(16)

Имеем,

-

Сделаем заготовки для уравнения (15), -

Наши заготовки вставим в уравнение (15), -

(17)

Уравнение приведём к общему знаменателю и приравняем числитель к нулю, -

После упрощений окончательно имеем, -

(18)

Члены уравнения (18) сократим на "", -

(19)

Очень странный результат. Ожидалось получить Если избавиться от радикала, получим однородное уравнение шестой степени. Ответ мы знаем, - Подставим в уравнение (19).

Подставим в уравнение (19) значения, - и -

Подставим те же значения в уравнение (16), -

Объясню к чему такие опыты. Дело в том, что таблица 8 изображена не целиком. Её надо продлить влево и вверх. Тогда таблица примет вид, -

Таблица 12.

Таблицу 12 можно строить двумя способами.

Можно по - шагово.

Возьмём горизонтальный ряд чисел, - 3, 15, 35, 63, 95 … . В таблице 12 он подчёркнут. Строим трапецию, -

		8		8		8
	12		20		28		36
3		15		35		63		99.

В верхнем ряду все числа одинаковые, тогда добавим ещё одну восьмёрку слева, -

		8		8		8
	?		12		20		28
		3		15		35		63.

Вычислим величину "?", -

тогда

Вставим число "4" в трапецию вместо "?".



		8		8		8
	4		12		20		28
?		3		15		35		63.

Снова ищем "?", -

тогда

Окончательно имеем, -

		8		8		8
	4		12		20		28
-1		3		15		35		63.

Один шаг сделали, этим методом можно шагать и влево, и вправо, и вверх и вниз тоже.

Или же можно использовать более прогрессивный метод. Для этого составим формулу, для примера, того же подчёркнутого ряда чисел, -

			8		8
		12		20		28
	3		15		35		63,

Чтобы продлить ряд чисел влево, в полученную формулу требуется подставлять значения и т.д.

Полученную таблицу 12 разделим на квадранты числами, которые жирным шрифтом, и пронумеруем, -

II	I
III	IV



Число в таблице 12 встречается 4 раза. В первом и во втором квадрантах имеет координаты соответственно.

Данные значения удовлетворяют формуле (11). То же самое и с третьим, и с четвёртым квадрантами. Для имеет место следующая закономерность по квадрантам, -

I

II

III

IV

В таблице 12 лишь в квадранте IV встречается условие например

Но даже в квадранте IVв основном закономерность Поэтому рассмотрим следующий пример, - опять но пусть Берём в качестве универсального соотношения, так как встречается для всех чисел в таблице 12.

Вернёмся к уравнению (11), -

(11)

Изменим условие, возьмём

Введём в уравнение (11) новые переменные, -

(20)

Сократим на меньшее переменное -

(21)

Имеем

тогда уравнение (21) примет вид, -

Имеем,

-

тогда, -

Где

Читатель, если ты достаточно наблюдателен, должен был заметить, что новые переменные (20) имеют вид отличный от предыдущих. А именно наличием "+1", тогда как раньше писалось "". Дело в том, что мы нумеруем матрицы числами самих матриц. Ввели для матрицы таблицы 8 новый горизонтальный ряд чисел, - 1, 9, 25, 49, 81, 121, …, но его использовали только для нумерации. Т.е. расписывали трапецию, например, первого столбца, из чисел 3, 5, 9, 11, …, тогда как правильнее было бы трапецию расписать из чисел 1, 3, 5, 7, 9, 11, … . А если бы трапецию расписывали из чисел 5, 7, 9, 11, …, тогда система новых переменных выглядела бы, -

Система (20), если по честному, появилась в результате моего просчёта. Забыл использовать ряд, - 1, 9, 25, 49, 81, 121, … . В работе ни один шаг не делался без проверок, поэтому ошибка была найдена. Исправлять и переписывать не стал, легче было "минус" на "плюс" исправить. А поскольку мы набиваем руку, ошибка оказалась как нельзя кстати.

Для квадранта IV имеем, -

Таблица 13.

Горизонтальные ряды пронумерованы выражениями

и

Будем составлять формулу Щв. Таблицу 13 преобразуем к виду, -

Таблица 14.

Составим формулы вертикальных рядов, трапеции расписаны выше, -

Опишем коэффициенты при "" -

		2		2		2
	1		3		5		7,

Опишем свободные члены, -

			8		8
		10		18		26
	2		12		30		56,

Составим формулу для Щв, -

Составим уравнение Щв = Щп,-

(22)

Если уравнение (22) расписать в лоб, с целью избавиться от радикалов, история получится длинной. Облегчим себе жизнь, уравнение (22) разорвём на части, сделаем из него два уравнения, -

(23)

(24)

А это уже чудеса. Чтобы описать событие оказалось, что хватает части уравнения. Мне такое уже попадалось, поэтому и удалось подобное разглядеть в очередной раз. Будем работать с уравнением (23), -

Второй раз по тексту, а это уже закономерность. Оказалось что иногда можно не использовать соотношения Щв = Щп, Дв = Дп, а сразу составлять уравнение из тождественных составляющих двух разных КС. Идея изложена выше, - лишь бы получить уравнение более высокого порядка по сравнению с исходным. Следуем далее, -

Возведём в квадрат, -

После упрощений, -

Получено уравнение четвёртого порядка, по сравнению с исходным уравнением (11), которое третьего порядка.

Сократим коэффициенты на "4" и составим систему уравнений с уравнением (11), - пифагоровый простой число диофантовый

(25)

(11)

Будем работать с уравнением (25), выразим величину "х". -

Из уравнения (11) также выразим величину "х", -

Приравняем "х" из уравнений

(25) и (11), -

Приведём к общему знаменателю, -

Возведём в квадрат, -

Результат, - 0 = 0.

Вот это закономерно, ибо в матрице присутствует. простое число, та же история будет и с числами составными.



Заключение

Читатель, пока пытаюсь объяснить тебе РДУ, сам начал понимать эту тему. В данной статье часть вопросов, которая могла возникнуть после публикации от 12.2015г., была снята. И были достигнуты тактические успехи, как мне кажется. Один - два вопроса остались, но с ними разделаюсь в ближайшие 2 - 4 месяца. А поскольку РДУ более - менее развита, можно приступить непосредственно к теме "идентификация простых и составных чисел".

Статьи появятся в те самые 2 - 4 месяца. Боюсь ошибиться, но в черновиках что - то вырисовывается. Предвосхищаю, чтобы тебя, читатель, заинтересовать в РДУ.

Размещено на Allbest.ru