Жорданова нормальная форма матриц

1.1 Эквивалентность л-матриц

Математическим объектом, записываемым в виде прямоугольной таблице элементов кольца или поля, которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы, называется матрицей. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными.

Определение: Матрица называется квадратной n-го порядка, если число её строк равно числу столбцов и равно одному и тому же числу n

[1, с. 6].

Определение: Квадратной матрице A порядка n можно сопоставить число det A (или |А|, или ?), называемое ее определителем (детерминантом), следующим образом:

1. n = 1.

A=; det A = .

2. n = 2.

A=; det A = = .

3. n = 3.

A= ; det A = = [2, с. 14].

С понятием определителя матрицы связаны понятия вырожденной и невырожденной матрицами.

Определение: Квадратная матрица A называется вырожденной (или особенной), если ее определитель равен нулю, |А| = 0, и невырожденной (или неособенной), если |А| ? 0[3, с. 71].

Определение: Пусть дана квадратная матрица A = (a_ij)_nn. Будем называть минором элемента a_ij матрицы А определитель (n-1)-го порядка, соответствующий матрице, которая получается из матрицы А вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца. Минор элемента a_ij будем обозначать символом Mij [4, с. 15].

С минором связано еще одно понятие.

Определение: Алгебраическим дополнением элемента a_ij определителя ?, называется M_ij этого элемента, взятого со знаком (-1)^i+j [5].

Определение: Матрица А^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице A, если при умножении этой матрицы на данную матрицу, как справа, так и слева, получается единичная матрица, то есть

AA^-1 = A^-1A = E [6, с. 33].

Элементами квадратных матриц порядка n служат многочлены произвольных степеней от одного неизвестного л с коэффициентами из поля P. Такие матрицы называются многочленными, полиноминальными матрицами или л-матрицами. Примером л-матрицы служит характеристическая матрица A - лE произвольной квадратной матрицы A с элементами из поля P ; на главной диагонали этой матрицы стоят многочлены первой степени, вне главной диагонали - многочлены нулевой степени или нули. Всякая матрица с элементами из поля P - такие матрицы для кратности будем называть числовыми - также будет частным случаем л-матрицы: её элементы являются многочленами нулевой степени или нулями [7].

Любую л-матрицу n-го порядка можно представить в виде многочлена с матричными коэффициентами:

A(л) = A_m л^m + A_m-1 л^m-1 + … + A₁ л + A₀,

где A_m , A_m-1, …, A₁, A₀ - числовые квадратные матрицы n-го порядка, матрица A_m ? 0 - старший коэффициент, матрица A₀ - свободный член, неотрицательное целое число m - степень многочлена [8].

Пусть дана матрица

A(л) =

Элементарными преобразованиями этой матрицы называются преобразования следующих четырех типов:

1) Умножение любой строки матрицы A(л) на любое число б из поля Р, отличное от нуля;

2) Умножение любого столбца матрицы A(л) на любое число б из поля Р, отличное от нуля;

3) Прибавление к любой i-й строке матрицы A(л) любой ее j-й строки, i?j, притом умноженной на любой многочлен ц(л) из кольца Р[л];

4) Прибавление к любому i-му столбцу матрицы A(л) любого ее j-го столбца, i ? j, притом умноженного на любой многочлен ц(л) из кольца Р[л] [9, с. 365].

Существует обратное преобразование для каждого из элементарных преобразований л-матрицы, также являющееся элементарным. Так, обратным для преобразования 1) будет элементарное преобразование, состоящее в умножении той же строки на число б^-1, существующее ввиду условия б?0; обратным для преобразования 3) будет преобразование, состоящее в прибавлении к i-й строке j-й строки, умноженной на - ц(л).

Пусть, например, нужно переставить i-ю и j-ю строки матрицы A(л).Это можно сделать при помощи четырех элементарных преобразований, как показывает следующая схема:

>>>>

Здесь последовательно выполнялись такие преобразования: а) к i-й строке прибавлялась j-я; б) из j-й строки вычиталась новая i-я; в) к новой i-й строке прибавлялась новая j-я; г) новая j-я строка умножалась на -1.

Определение: Две л-матрицы называются эквивалентными, если одна может быть получена из другой некоторой последовательностью элементарных преобразований [10, с. 241].

Говорят, что л-матрицы А(л) и В(л) эквивалентны и записывать это символом А(л) ~ В(л).

Из определения эквивалентности л-матриц непосредственно вытекают следующие свойства:

1. Отношение эквивалентности транзитивно: если A(л) ~ B(л), а B(л) ~ G(л), то A(л) ~ G(л).

В самом деле, по условию B(л) можно получить из G(л), а A(л) из B(л) цепочкой элементарных преобразований; следовательно, A(л) можно получить цепочкой элементарных преобразований из G(л).

2. Отношение эквивалентности симметрично: если A(л) ~ B(л), то B(л) ~ A(л). Другими словами A(л) можно получить из B(л) цепочкой элементарных преобразований, то и B(л) можно получить из A(л) цепочкой элементарных преобразований.

Докажем сначала, что если A(л) можно получить из B(л) каким-нибудь одним элементарным преобразованием, то B(л) также можно получить из A(л) одним элементарным преобразованием. Для этого мы пересмотрим все четыре типа элементарных преобразований. Пусть A(л) получается из B(л) преобразований типа 1, т. е. умножением какой-либо i-й строки B(л) на число б?0. Тогда, умножая i-ю строку A(л) на б^-1, получим B(л). Пусть теперь A(л) получится из B(л) преобразованием типа 2, например, путем прибавления к i-й строки матрицы B(л) ее j-й строки, умноженной на f(л). В таком случае, прибавляя к i-й строке матрицы A(л) ее j-ю строку, умноженную на - f(л), получим обратно B(л). То же самое можно сказать и относительно преобразований типа 3, 4. Для каждого элементарного преобразования существует элементарное преобразование, ему обратное, отменяющее результат первого. Поэтому, если матрица A(л) получается из B(л) цепочкой элементарных преобразований, то, совершая обратные преобразования в обратном порядке, из матрицы A(л) получим матрицу B(л), что и требовалось.

3. Отношение эквивалентности рефлексивно: каждая матрица эквивалентна самой себе [11, с. 176].

Например, совершая над A(л) два взаимно обратных преобразования, получим снова A(л).

Все квадратные л-матрицы порядка n над полем Р распадаются на непересекающиеся классы эквивалентных матриц.

Всякий класс л-матриц будет содержать единственную каноническую л -матрицу: каждая л-матрица эквивалентна единственной канонической матрице. Такая матрица называется нормальной формой или канонической формой данной матрицы.

Многочлены, которые стоят на главной диагонали канонической формы данной л-матрицы, называются инвариантными множителями данной матрицы. Одним из методов при вычислении инвариантных множителей является приведение данной л-матрицы к канонической форме.

Определение: Канонической л-матрицей называется л-матрица, обладающая следующими тремя свойствами:

а) Эта матрица диагональная, т.е. имеет вид

; (1)

б) Всякий многочлен e_i(л), i=2, 3, …, n, нацело делится на многочлен e_i-1(л), т.е. всякий следующий многочлен делится нацело на предыдущий;

в) Старший коэффициент каждого многочлена e_i(л), i=1, 2, …, n, равен единице, если этот многочлен отличен от нуля [9, с. 365].

Если среди многочленов e_i(л), которые стоят на главной диагонали канонической л-матрицы (1), встречаются равные нулю, то непременно занимают на главной диагонали последние места, ввиду свойства б). С другой стороны, если среди многочленов e_i(л) встречаются многочлены нулевой степени, то, по свойству в), все они равны 1 и, по свойству б), занимают на главной диагонали матрицы (1) первые места.

К числу канонических л-матриц принадлежат некоторые числовые матрицы, в том числе матрицы единичная и нулевая.

Определение: Квадратная матрица n-го порядка, у которой все элементы главной диагонали равны единице, а остальные равны нулю, называется единичной матрицей n-го порядка, и она обозначается буквой Е [1, с. 6]. Единичная матрица имеет вид:

E = [1, с. 8].

Определение: Матрица любого размера называется нулевой, или нуль-матрицей, если все её элементы равны нулю [1, с. 8].

Теорема: Всякая л-матрица эквивалентна некоторой канонической л-матрице, т. е., иными словами, она приводится элементарными преобразованиями к каноническому виду [9, с. 366].

Доказательство: (метод математической индукции по порядку n рассматриваемых л-матриц).

При n=1 будет

A(л)=(a(л)).

Если a(л)=0, то матрица уже каноническая.

Если же a(л)? 0, то достаточно разделить многочлен a(л) на его старший коэффициент - это будет элементарное преобразование матрицы - и получим каноническую матрицу.

Пусть теорема уже доказана для л-матриц порядка n - 1. Рассмотрим произвольную л-матриц A(л) порядка n. Если она нулевая, то уже является канонической и доказывать нечего. Будем считать поэтому, что среди элементов матрицы A(л) имеются ненулевые.

Переставляя, если понадобится, строки и столбцы матрицы A(л), можно перевести один из ненулевых элементов в левый верхний угол. Т.о., среди л-матриц, эквивалентных матрице A(л), имеются такие, в верхнем углу которых стоит ненулевой многочлен. Рассмотрим все такие матрицы. Многочлены, стоящие в левом верхнем углу этих матриц, могут иметь разные степени. Степень многочлена является натуральным числом, а во всяком непустом множестве натуральных чисел существует наименьшее число. Можно найти, следовательно, среди всех л-матриц, эквивалентных матрице A(л) и имеющих ненулевой элемент в левом верхнем углу, одну из таких, что многочлен, стоящий в её левом верхнем углу, имеет наименьшую возможную степень. Деля первую строку этой матрицы на старший коэффициент указанного многочлена, получим такую л-матрицу, эквивалентную матрице A(л),

A(л) ~ ,

что e₁(л)?0, старший коэффициент этого многочлена равен 1 и никакой комбинацией элементарных преобразований нельзя перейти от полученной матрицы к такой матрице, в верхнем левом углу которой стоял бы ненулевой многочлен меньшей степени.

Докажем, что все элементы первой строки и первого столбца полученной матрицы нацело делятся на e₁(л). Пусть, например, для

2 ? j ? n

b_1j(л) = e₁(л) q(л) + r(л),

где степень r(л) меньше степени e₁(л), если r(л) ? 0. Тогда, вычитая из j-го столбца матрицы её первый столбец, умноженный на q(л), а затем переставляя первый и j-й столбцы, приходим к такой матрице, эквивалентной матрице A(л), в левом верхнем углу которой стоит многочлен r(л), т.е. многочлен меньшей степени, чем e₁(л), что противоречит выбору этого многочлена. Отсюда следует r(л) = 0, что и требовалось доказать.

Вычитая теперь из j-го столбца нашей матрице её первый столбец, умноженный на q(л), заменим элемент b_1j(л) нулем. Делая такие преобразования для j = 2, 3, …, n, заменим нулями все элементы b_1j(л). Аналогичным путем заменяются нулями и все элементы b_i1(л), i = 2, 3, ..., n. Придем к такой матрице, эквивалентной матрице A(л), в левом верхнем углу которой стоит многочлен e₁(л), а все остальные элементы первой строки и первого столбца равны нулю,

A(л) ~ . (2)

По индуктивному предположению, матрица (n - 1)-го порядка, стоящая в правом нижнем углу полученной нами матрицы (2), элементарными преобразованиями приводится к каноническому виду:

~ .

Совершив эти же преобразования над соответствующими строками и столбцами матрицы (2) - при этом первая строка и первый столбец этой матрице останутся, очевидно, без изменения, - получим, что

A(л)~. (3)

Для доказательства того, что матрица (3) является канонической, остается показать, что e₂(л) нацело делится на e₁(л). Пусть

e₂(л) = e₁(л) q(л) + r(л),

где r(л) ? 0 и степень r(л) меньше степени e₁(л). Прибавляя, однако, ко второму столбцу матрицы (3) ее первый столбец, умноженный на q(л), а затем вычитая из второй строки первую строку, заменим элемент e₂(л) элементом r(л). Переставляя, далее, первые две строки и первые два столбца, переместим многочлен r(л) в левый верхний угол матрицы, что противоречит выбору многочлена e₁(л).

Теорема о приведении л-матрицы к каноническому виду доказана. Эта теорема должна быть дополнена следующей теоремой единственности:

Всякая л-матрица эквивалентна лишь одной канонической матрице [9, с. 368].

Доказательство: В самом деле, пусть дана произвольная л-матрица A(л) порядка n. Фиксируем некоторое натуральное число k, 1 ? k ?n, и рассмотрим все миноры k-го порядка матрицы A(л). Вычисляя эти миноры, получим конечную систему многочленов от л; наибольший общий делитель этой системы многочленов, взятый со старшим коэффициентом 1, обозначим через d_k(л).

Имеем многочлены

d₁(л), d₂(л),…, d_n(л), (4)

однозначно определяемые самой матрицей A(л). При этом d₁(л) есть наибольший общий делитель всех элементов матрицы A(л), взятый с коэффициентом 1, а d_n(л) равен определителю матрицы A(л), деленному на его старший коэффициент. Заметим также, что если матрица A(л) имеет ранг r, то

d_r+1(л) =…= d_n(л) =0,

В то время как все остальные многочлены системы (4) отличны от нуля.

Теорема: Наибольший общий делитель d_k(л) всех миноров k-го порядка л-матрицы A(л), k = 1, 2, …, n, не меняется при выполнении в матрице A(л) элементарных преобразований [9, с. 369].

Доказательство: Если в матрице выполняются элементарные преобразования типа 1) и 2). Например, если i-я строка матрицы умножается на число б из поля P, то миноры k-ого порядка, через которые i-я строка проходит, будут умножаться на б, все же остальные миноры k-ого порядка останутся без изменения. Но при разыскании наибольшего общего делителя нескольких многочленов любые из этих многочленов можно беспрепятственно умножать на отличные от нуля числа из поля P. Рассмотрим теперь элементарные преобразования типа 3) или 4). Пусть, например, к i-й строке матрицы A(л) прибавляется ее j-я строка, i ? j, умноженная на многочлен ц(л); получающуюся после этого преобразования матрицу обозначим за ?(л), а наибольший общий делитель всех ее миноров k-го порядка, взятый со старшим коэффициентом 1, - через ?_k(л).

При указанном преобразовании не будут меняться те миноры, через которые i-я строка не проходит. Не меняются и те миноры, через которые проходят как i-я, так и j-й строки, т. к. определитель не меняется от прибавления к одной его строке кратного другой его строки. Возьмем любой из тех миноров k-го порядка, через которые проходит i-я строка, но не проходит j-я; обозначим его М. Соответствующий минор матрицы ?(л) можно представить как сумму минора М и умноженного на ц(л) минора Мм матрицы A(л), получающегося из минора заменой элементов i-й строки матрицы A(л) соответствующими элементами ее j-й строки. Т. к. и М, и Мм делятся на d_k(л), то и М + ц(л) Мм будет делиться на d_k(л).

Отсюда следует, что все миноры k-го порядка матрицы ?(л) нацело делятся на d_k(л), а поэтому ?_k(л) делится на d_k(л). Т. к. для рассматриваемого элементарного преобразования того же типа, что и d_k(л) делится на ?_k(л). Если же учесть, что старшие коэффициенты обоих этих многочленов равны 1, то ?_k(л) = d_k(л), что и требовалось доказать.

Всем л-матрицам, эквивалентным матрице A(), соответствует один и тот же набор многочленов (4). Это относится к любой канонической матрице, эквивалентной A(л). Пусть (3) будет одна из таких матриц.

Пользуясь матрицей (3) вычислим многочлен d_k(л), k = 1, 2, …, n. Ясно, что минор k-го порядка, стоящий в левом верхнем углу этой матрицей равен произведению

e₁(л), e₂(л), …, e_k(л). (5)

Если, далее, берем в матрице (3) минор k-го порядка, стоящий в строках с номерами i₁, i₂, …, i_k, где i₁ < i₂ < …, < i_k, и в столбцах с теми же самыми номерами, то этот минор равен произведению e₁(л) e_i2(л) … e_ik(л), которое делится на (5). Действительно, 1 i₁ и поэтому e_i1(л) делится на e₁(л), 2 i₂, и поэтому e_i2(л) делится на e₂(л) и т. д. Наконец, если в матрице (3) взят минор k-го порядка, через который хотя бы для одного i проходит i-я строка этой матрицы, но не проходит её i-й столбец, то этот минор содержит нулевую строку и поэтому равен нулю.

Произведение (5) и будет наибольшим общим делителем всех миноров k-го порядка матрицы (3), и поэтому и исходной матрицы A(л),

d_k(л) = e₁(л) e₂(л) … e_k(л), k = 1, 2, …, n. (6)

Многочлены e_k(л), k = 1, 2, …, n, определятся однозначным образом самой матрицей A(л). Пусть ранг этой матрице равен r. Тогда, как мы знаем,

d_r(л) ?0,

но

d_r+1(л) = 0,

а поэтому, ввиду (6),

e_r+1(л) = 0.

Отсюда, ввиду свойств канонической матрицы, вообще следует, что если ранг r матрицы A(л) меньше n, то

e_r+1(л) = e_r+2(л) = … = e_n(л) = 0. (7)

с другой стороны, для k r из (6) следует, ввиду

d_k-1(л) ? 0,

что

. (8)

Этим заканчивается доказательство единственности канонического вида л-матрицы. Одновременно получили способ разыскания многочленов e_k(л), называемых инвариантными множителями A(л).

1.2 Унимодулярные матрицы

Критерию эквивалентности л-матрицы можно придать формулировку:

Две л-матрицы тогда и только тогда эквивалентны,

1) если они приводятся к одному и тому же каноническому виду;

2) если они обладают одинаковыми инвариантными множителями.

Выделим еще один критерий, имеющий уже иной характер.

К числу канонических л-матриц принадлежит единичная матрица E. Назовем л-матрицу U(л) унимодулярной, если она имеет матрицу E своим каноническим видом, т.е. если все её инвариантные множители равны единице.

Теорема: л-матрица U(л) тогда и только тогда унимодулярна, если ее определитель отличен от нуля, но не зависти от л , т. е. является отличным от нуля числом из основного поля P [9, с. 371].

Доказательство: Действительно, если U(л) ~ E, то этим двум матрицам соответствует один и тот же многочлен d_n(л). Но для единичной матрицы d_n(л) = 1. Отсюда следует, что определитель матрицы U(л), отличающийся от d лишь отличным от нуля числовым множителем, будет отличным от нуля числом из поля Р. Обратно, если определитель матрицы U(л) отличен от нуля и не зависит от л, то для этой матрицы многочлен d_n(л) будет равен 1, а поэтому по формуле

d_k(л) = e₁(л) e₂(л) … e_1k(л),

все инвариантные множители e_i(л) матрицы U(л), i= 1, 2, …, n, равны единицы.

А это означает, что всякая невырожденная числовая матрица является унимодулярной л-матрицей. Унимодулярная л-матрица может иметь очень сложный вид. Так, л-матрица

унимодулярна, т. к. ее определитель равен 20, т. е. отличен от нуля и от л не зависит.

Произведение унимодулярных л-матриц само унимодулярно - достаточно вспомнить, что при умножении матриц их определители перемножаются.

Теорема: л-матрица U(л) тогда и только тогда унимодулярна, если для нее существует обратная матрица, также являющаяся л-матрицей [9, с. 372].

Доказательство: Пусть дана невырожденная л-матрица, то для разыскания обратной матрицы обычным способом, разделим алгебраическое дополнение к элементам данной матрицы на определитель этой матрицы, т.е. на некоторый многочлен от л. Поэтому в общем случае элементы обратной матрицы будут рациональными дробями от л, а не многочленами от л, т.е. эта матрица не будут л-матрицей. Если же дана унимодулярная матрица, то делить алгебраическое дополнение придется лишь отличное от нуля число из поля P, т. е. элементы обратной матрицы будут многочленами от л и поэтому обратная матрица сама будет л-матрицей.

Если л-матрица U(л) обладает обратной л-матрицей U^-1(л), то определители этих обеих матриц являются многочленами от л, их произведение равно 1, а поэтому оба определителя должны быть многочленами нулевой степени.

Из последнего замечания вытекает добавление к доказанной выше теореме:

л-матрица, обратная к унимодулярной л-матрице, сама унимодулярна.

Рассмотрим новый критерий эквивалентности л-матриц:

Теорема: Две л-матрицы A(л) и B(л) порядка n тогда и только тогда эквивалентны, если существует такие унимодулярные л-матрицы U(л) и V(л) того же порядка n, что

B(л)=U(л) A(л) V(л). (1)

Введем понятие, используемое при доказательстве этого критерия.

Элементарная матрица - это числовая (и, следовательно, л-) матрица, отличающиеся от единичной матрицы лишь тем, что на некотором i-м месте главной диагонали, 1? i ?n, стоит произвольное число б из поля P, отличное от нуля.

(2)

С другой стороны, элементарной матрицей называется л-матрица, которая отличается от единичной матрицы лишь тем, что на пересечении i-й строки и j-го столбца, 1 ? i ? n, 1 ? j ? n, причем i ? j, стоит произвольный многочлен ц(л) из кольца P[л].

(3)

Теорема: Всякая элементарная матрица унимодулярна.

Доказательство: В самом деле, определитель матрицы (2) равен б, но, по условию б ? 0; определитель матрицы (3) равен 1.

Выполнение в л-матрице A(л) любого элементарного преобразования равносильно умножению этой матрицы слева и справа на некоторую элементарную матрицу.

Проверим справедливость следующих четырех утверждений:

1. умножение матрицы A(л) слева на матрицу (2) равносильно умножению i-й строки матрицы A(л) на число б;

2. умножение матрицы A(л) справа на матрицу (2) равносильно умножению i-го столбца матрицы A(л) на число б;

3. умножение матрицы A(л) слева на матрицу (3) равносильно прибавлению к i-й строке матрицы A(л) ее j-й строки, умноженной на ц(л);

4. умножение матрицы A(л) справа на матрицу (3) равносильно прибавлению к j-му столбцу матрицы A(л) ее i-го столбца, умноженного на ц(л);

Доказательство критерия эквивалентности л-матриц.

Если A(л) ~ B(л), то от A(л)можно перейти к B(л) при помощи конечного числа элементарных преобразований. Заменяя каждое из этих преобразований умножением слева или справа на элементарную матрицу, приходим к равенству

B(л) = U₁(л) … U_k(л)A(л)V₁(л) … V_l(л), (4)

где все матрицы U₁(л), … U_k(л), V₁(л) … V_l(л) элементарны и, следовательно, унимодулярны. Унимодулярными будут, поэтому и матрицы

U(л) = U₁(л) … U_k(л), V(л) = V₁(л) … V_l(л), (5)

являющееся произведениями унимодулярных матриц, а равенство (4) перепишется в виде (1). Замечаем, что если k = 0, т. е. элементарные преобразования совершались лишь над столбцами, то полагаем просто U(л) = E.

Из выше приведенных доказательств следует, что л-матрица тогда и только тогда унимодулярна, если она представима в виде произведения элементарных матриц.

Т.о. любая произвольная унимодулярная матрица W(л) будет эквивалентна единичной матрице E. применяя проведенное выше доказательство вместо матриц A(л) и B(л) к матрицам E и W(л), из (4) получим равенство

W(л) = U₁(л) … U_k(л)V₁(л) … V_l(л),

т.е. матрица W(л) оказалась представленной в виде произведения элементарных матриц.

Доказательство обратного утверждения критерия.

Пусть для матриц A(л) и B(л) существуют такие унимодулярные матрицы U(л) и V(л), что имеет место равенство (1). По доказанному, матрицы U(л) и V(л) можно представить в виде произведений элементарных матриц; пусть это будет представление (5). Равенство (1) перепишется теперь в виде (4) и, заменяя каждое умножение элементарной матрицы соответствующим элементарным преобразованием, получим, что A(л) ~ B(л).

Матричным л-многочленом порядка n над полем P многочлен от л, коэффициенты которого служат квадратные матрицы одного и того же порядка n с элементами из поля P, его общим видом будет

. (6)

Всякий матричный л-многочлен порядка n можно записать в виде л-матрицы порядка n. Так,

.

И обратно, всякая л-матрица порядка n может быть записана в виде матричного л-многочлена порядка n. Так,

.

Соответствие между л-матрицами и матричными л-многочленами является взаимно однозначным. В самом деле, равенство матричного л-многочленов вида (6) как матриц равносильно равенству матричных коэффициентов при одинаковых степенях л, а умножение матрицы на л равносильно умножению ее на скалярную матрицу с л на главной диагонали.

Пусть дана л-матрица A(л), причем

A(л) =,

Где матрица A₀ не является нулевой. Число k называется степенью - матрицы A(л).

Теорема: Пусть над полем P даны л-матрицы порядка n

A(л) =,

B(л) =,

причем предположим, что матрица B₀ невырожденная, т. е. существует матрица B₀^-1. Тогда над полем P можно найти такие л-матрицы Q₁(л) и R₁(л) порядка n, что