Методи лінеаризації для нелінійних матричних рівнянь
Розв’язування систем алгебраїчних рівнянь. Алгоритм зведення систем поліноміально-нелінійних матричних рівнянь, що задані над множиною некомутуючих матриць, до задач на власні значення. Аналіз похибок заокруглення та ефективності побудованих алгоритмів.
| Рубрика | Математика |
| Вид | автореферат |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 29.01.2016 |
| Размер файла | 30,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Міністерство освіти і науки України
Львівський національний університет імені Івана Франка
УДК 519.6
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук
Методи лінеаризації для нелінійних матричних рівнянь
01.01.07 - обчислювальна математика
Недашковська Анастасія Миколаївна
Львів-2007
Дисертацією є рукопис
Робота виконана на кафедрі обчислювальної математики в Львівcькому національному університеті імені Івана Франка
Науковий керівник:доктор фізико-математичних наук, професор Цегелик Григорій Григорович, Львівський національний університет імені Івана Франка, завідувач кафедри математичного моделювання соціально-економічних процесів.
Офіційні опоненти:доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник, Хіміч Олександр Миколайович, Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, завідувач відділу чисельних методів комп'ютерного моделювання,
доктор фізико-математичних наук, професор, Сявавко Мар'ян Степанович, Львівський державний інститут новітніх технологій та управління, завідувач кафедри обчислювальної математики та моделювання.
Захист відбудеться 7 лютого о 15 год 30 хв на засіданні спеціаліфзованої вченої ради К 35. 051.07 у Львівському національному університеті імені Івана Франка, за адресою: 79000, м.Львів, вул. Університетська 1, ауд. 377.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (м. Львів, вул. Драгоманова 5).
Автореферат розісланий „26” грудня 2007 р.
Вчений секретар
Спеціалізованої вченої радиОстудін Б.А.
алгебраїчний рівняння матричний похибка
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Із розвитком систем автоматизованого керування виникла необхідність у розв'язуванні систем матричних рівнянь. Зокрема, у лінійній теорії управління існують два основні підходи до розв'язування задач автоматизованого керування. Перший базується на розгляді систем у часовому проміжку (в просторі станів). У цьому випадку багато задач зводиться до дослідження матричних рівнянь і нерівностей типу Ляпунова та Ріккаті. Другий підхід - частотний, і він базується на використанні передаточних матриць. Тут задачі зводяться до дослідження матричних рівнянь із поліноміальними і дробово-раціональними матрицями, до різноманітних факторизаційних алгоритмів. Розв'язування отриманих рівнянь у обох випадках є дуже складним і актуальним завданням.
Найпростіші матричні рівняння розв'язувались ще у другій половині дев'ятнадцятого століття .
Розв'язуваність та умови існування розв'язків лінійних матричних та найпростіших нелінійних матричних рівнянь досліджували представники львівської школи Казимірський П.С., Урбанович М.М., Уханська В.Д., а також вчені Cayley A., Sylvestr J.J. Значний вклад у розробку методів розв'язування матричних рівнянь внесли Воєводін В.В., Гантмахер Ф.Р., Ікрамов Х.Д., Петков М., Bartels R.H., Golub G.H., Hagander P., Hammarling S.J., Van Loan C. та інші. Ними було побудовано ортогональні методи розв'язування лінійних матричних рівнянь та нелінійних матричних рівнянь типу Ляпунова та Сильвестра, створена техніка знакової функції від матриці та методи типу Ньютона. Однак універсального підходу до відшукання розв'язків поліноміально-нелінійних матричних рівнянь дані методи не дають.
В даній роботі запропоновані алгоритми, які дозволяють звести розв'язування системи поліноміально-нелінійних матричних рівнянь до задач на власні значення, причому власні значення будуть належати множині матриць заданої розмірності. Одержана задача є простішою за розв'язування вихідної системи матричних рівнянь, алгоритм її розв'язування в стадії розробки.
Модифікація методу лінеаризації для систем поліноміально-нелінійних матричних рівнянь, що запропонована у роботі, також є застосовною до розв'язування систем алгебраїчних рівнянь. Необхідність у їх розв'язуванні виникає у багатьох теоретичних та прикладних дисциплінах. Зокрема, у алгебраїчній геометрії, в теорії електромереж, у багатьох задачах фізики ядра, конденсованого середовища та елементарних часток. Вивченням цих систем, а також пошуком схем їх розв'язування займалися Пшеничний Б.М., Пшенічніков С.Б., Семерджієв Х.І., Ямалєєв Р.М., Buchberger B., Florez M., Pueyo L., Seijo L., Shou-Yoan Zhang та інші.
Попри значні успіхи у розробці методів розв'язування систем поліноміально-нелінійних рівнянь чимало проблем все ще залишаються невирішеними: так метод спінорної лінеаризації, запропонований Гєнгварєвим А.А. та Пшенічніковим С.Б., є важким у програмній реалізації на ЕОМ (оскільки попередньо має бути створена бібліотека підпрограм алгебри юніонів (узагальнення алгебри Кліффорда)), а метод побудови супроводжуючої матриці для систем поліноміально-нелінійних алгебраїчних рівнянь, запропонований у одній з робіт Семерджієва Х.І. та Ямалєєва Р.М., є швидше теоретичним: побудова супроводжуючих матриць вимагає громіздких аналітичних обчислень і схему неможливо узагальнити для систем рівнянь довільного степеня.
В роботі запропоновані алгоритми матричної лінеаризації, які дозволяють отримати кортежі розв'язків систем поліноміально-нелінійних алгебраїчних рівнянь та звести відшукання розв'язків систем поліноміально-нелінійних матричних рівнянь до розв'язування задач на власні значення. Алгоритми застосовні до систем рівнянь із багатьма невідомими довільної степені і допускають відносно просту програмну реалізацію.
Зв'язок із науковими програмами, планами, темами. Результати роботи одержані в рамках виконання держбюджетних тем Пм-22 Ф “Розробка нових чисельних методів розв'язування задач математичного аналізу та диференціальних рівнянь”, номер держ. реєстрації 0105U002231, та теми “Ітераційні методи розв'язування нелінійних операторних рівнянь і задач на екстремум”, номер держ. реєстрації 0106U005915 факультету прикладної математики та інформатики Львівського національного університету імені Івана Франка.
Мета і задачі дослідження.
Метою даної дисертаційної роботи є побудова методів розв'язування систем алгебраїчних рівнянь та зведення систем поліноміально-нелінійних матричних рівнянь до задач на власні значення. Для досягнення мети були поставлені такі задачі:
– розробка конструктивного методу розв'язування систем алгебраїчних поліноміально-нелінійних рівнянь над полем комплексних чисел;
– побудова і обґрунтування алгоритму зведення систем поліноміально-нелінійних матричних рівнянь, що задані над множиною некомутуючих матриць, до задач на власні значення;
– розробка та дослідження алгоритму зведення систем поліноміально-нелінійних матричних рівнянь, що розглядаються над множиною перестановочних матриць, до задач на власні значення;
– проведення аналізу похибок заокруглення та ефективності побудованих алгоритмів.
Об'єктом дослідження є системи алгебраїчних рівнянь та системи поліноміально-нелінійних матричних рівнянь.
Предметом дослідження є обчислювальні алгоритми розв'язування систем алгебраїчних рівнянь та систем поліноміально-нелінійних матричних рівнянь.
Методи дослідження. Методи розв'язування систем алгебраїчних рівнянь опирається на ідеї методу матричної лінеаризації, метод невизначених коефіцієнтів, прямі числові методи лінійної алгебри, використовує концепцію та результати зворотнього аналізу похибок заокруглення, алгоритм розв'язування узагальненої задачі на власні значення. В основу розв'язування систем поліноміально-нелінійних матричних рівнянь, заданих над множинами некомутуючих та перестановочних матриць, покладено ідею методу матричної лінеаризації, метод невизначених коефіцієнтів, схему Жордана та підхід зворотнього аналізу похибок заокруглення.
Наукова новизна одержаних результатів.
– Вперше отримано і обґрунтовано конструктивні схеми зведення систем поліноміально-нелінійних матричних рівнянь, заданих над множинами некомутуючих та перестановочних матриць, до задачі на власні значення. Проведено оцінку складності запропонованого методу, виконано аналіз похибок заокруглення, що виникають при реалізації алгоритмів на ЕОМ, встановлено малість відповідних еквівалентних збурень.
– Сформульовано і доведено твердження, яке дозволяє врахувати вплив похибок заокруглення в обчислювальних алгоритмах, що складаються з кількох етапів обчислень.
– Розроблено і обгрунтовано модифікацію методу матричної лінеаризації для розв'язування систем алгебраїчних рівнянь із двома невідомими, що задані над полем комплексних чисел, яка дозволяє за допомогою елементарних перетворень звести вихідну систему до еквівалентної їй лінеаризованої системи матричних рівнянь та знайти кортежі її розв'язків. Дана модифікація, на відміну від існуючих методів матричної лінеаризації, є застосовною до систем рівнянь довільного степеня. Проведено оцінку складності, виконано аналіз похибок заокруглення для запропонованих схем, встановлено малість еквівалентних збурень.
Практичне значення отриманих результатів. Отримані результати є важливими при розв'язуванні ряду задач аналітичної геометрії. Вони можуть бути застосовані при аналізі та синтезі систем автоматизованого керування, при розв'язуванні задач фізики ядра, конденсованих середовищ та елементарних часток.
На базі побудованих алгоритмів у середовищі Matlab 7.01 створено проект, який призначений для обчислення розв'язку систем алгебраїчних рівнянь із двома невідомими, що задані над полем комплексних чисел.
Особистий внесок здобувача. Основні результати, що викладені у дисертації, отримані автором особисто.
Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідались на сьомій Всеукраїнській (другій міжнародній) студентській науковій конференції з прикладної математики та інформатики (СНКПМІ-2004) (22-23 квітня 2004 року, Львів), на десятій міжнародній конференції імені академіка М.Кравчука (13-15 травня 2004 року, Київ), на міжнародній математичній конференції імені В.Я. Скоробагатька (27 вересня -1 жовтня 2004 року, Дрогобич), на конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача (24-27 травня 2005 року, Львів), на міжнародній конференції „Питання оптимізації обчислень (ПОО-ХХХІІ)”, імені академіка В.С. Михалевича (19-23 вересня 2005 року, Крим, Велика Ялта, смт. Кацивелі), на дванадцятій Всеукраїнській науковій конференції „Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики”, присвяченої 70-річчю з дня народження проф. Й.В. Людкевича і 30-річчю факультету прикладної математики та інформатики (4-6 жовтня 2005 року, Львів), на наукових семінарах кафедри математичного моделювання соціально-економічних процесів та кафедри обчислювальної математики Львівського національного університету імені Івана Франка.
Публікації. За результатами проведених досліджень опубліковано 9 друкованих праць, із них 3 статті у фахових наукових виданнях, які входять до переліку видань, затвердженого ВАК України, 6 праць - у матеріалах наукових конференцій.
Структура дисертації. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, висновку, додатків та списку використаних джерел. Список використаних джерел включає 121 найменування. Загальний обсяг роботи - 130 сторінок, основний зміст дисертації викладений на 118 сторінках.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обгрунтовано актуальність проблеми, що досліджується у роботі, сформульовано мету та задачі досліджень, визначено наукову новизну і практичне значення отриманих результатів.
У першому розділі праці зроблено огляд стану проблем за тематикою дисертації: проаналізовано методи чисельного розв'язування систем нелінійних рівнянь, деякі відомі прямі алгоритми розв'язування систем поліноміально-нелінійних та матричних рівнянь, у тому числі й метод матричної та спінорної лінеаризації. Обгрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи.
Другий розділ присвячений побудові нових підходів до розв'язування систем матричних рівнянь - запропоновано метод зведення систем поліноміально-нелінійних матричних рівнянь над множиною некомутуючих та перестановочних матриць до задач на власні значення.
Прирівнявши коефіцієнти при одночленах з однаковими степенями для обчислення невідомих коефіцієнтів матриць із систем (1) та (5) отримаємо систем із лінійних рівнянь, кожна з яких матиме невідомих. У роботі показано (твердження 2.1), що отримані системи є недовизначеними, а отже матимуть безліч ненульових розв'язків, наведено покроковий алгоритм, що дозволяє шляхом елементарних перетворень отримати невідомі коефіцієнти матриць (4).
Твердження 2.2. Cистеми (1) та (2) - еквівалентні.
Для лінеаризованої системи (2) розроблено схему її зведення до систем вигляду
де обчислюється із елементів вихідної системи. Приведення системи (2) до вигляду (6) вимагає елементарних операцій.
Кожна із систем (6) буде мати ненульові розв'язки тоді і тільки тоді, коли
Таким чином, розв'язування системи матричних рівнянь (2) зводиться до розв'язування задач на власні значення (7).
У підрозділі 2.2 даються деякі загальні положення теорії похибок. Окрім того сформульовано та доведено твердження про сумарне еквівалентне збурення, яке можна застосовувати для оцінки похибки алгоритмів, що складаються з кількох етапів.
Твердження 2.3. Нехай вхідні дані опрацьовуються за алгоритмом який складається з етапів так, що Припустимо, що реалізації алгоритму на ЕОМ, , відповідає еквівалентне збурення вхідних даних а еквівалентні збурення, що виникають при реалізації кожного з етапів алгоритму, -тих - Тоді справедлива нерівність:
У підрозділі 2.3. виконано зворотній аналіз похибок запропонованого у підрозділі 2.1 методу. Встановлено, що еквівалентні збурення, котрі відповідають алгоритму, співрозмірні з похибками заокруглення, що виникають при правильному заокругленні вхідних даних до розрядів:
У підрозділі 2.4. розглянуто систему поліноміально-нелінійних матричних рівнянь
Як і у випадку, коли невідомі та коефіцієнти систем поліноміально-нелінійних рівнянь задані над полем комплексних чисел чи множиною некомутуючих матриць, будемо шукати представлення системи (8) у вигляді тут вектор причому де
Коефіцієнти матриць належать множині перестановочних матриць розмірності відповідно
Очевидно, що (8) буде частковим випадком системи (1) і на неї також будуть поширюватись наведені в підрозділі 2.1. викладки. Проте, завдяки тому, що система розглядається на множині перестановочних матриць, кількість обчислень у алгоритмі методу матричної лінеаризації для системи (8) можна значно зменшити, що й показано у роботі. Зокрема, для знаходження невідомих коефіцієнтів матриць системи (9) отримано систем із рівнянь, кожна з яких має невідомих. Показано, що ці системи рівнянь є недовизначеними (Твердження 2.4.). Окрім того, вони матимуть меншу кількість рівнянь, ніж у випадку некомутуючих матриць, а отже для зберігання даних знадобиться менше оперативної пам'яті. Також суттєво зменшиться кількість операцій, що необхідні для зведення матриці системи (9) до блочно-діагонального вигляду, оскільки складність даного алгоритму оцінюється, як , а . В той час, як для некомутуючих матриць
Проведено зворотній аналіз похибок заокруглення алгоритмів, запропонованих у підрозділі 2.4., встановлено малість еквівалентних збурень, що виникають.
У третьому розділі запропоновано модифікацію існуючої схеми матричної лінеаризації - конструктивний метод розв'язування систем нелінійних алгебраїчних рівнянь над полем комплексних чисел.
У роботі показано (Твердження 3.1.), що системи (12) є недовизначеними, а отже матимуть безліч ненульових розв'язків. Також встановлено, що матриці систем (12) за допомогою елементарних перетворень зводяться до одиничних матриць відповідної розмірності, тобто розв'язування систем (12) не вимагає операцій множення та додавання.
Твердження 3.2. Cистеми (10) та (11) еквівалентні.
Таким чином, розв'язування системи алгебраїчних рівнянь (10) зводиться до розв'язування задач на власні значення (14).
Для розв'язування задач на власні значення (14) потрібно операцій множення, операцій додавання і операцій для обчислення кореня квадратного.
Наведено покроковий алгоритм отримання розв'язків систем (12), зведення системи (11) до задач на власні значення та отримання кортежу розв'язків системи (10).
У підрозділі 3.2. наведено зразки розв'язування систем алгебраїчних рівнянь за допомогою алгоритму, що був викладений у підрозділі 3.1. На прикладі систем, що розглядались у роботах Семерджієва Х.І. та Ямалєєва Р.М., продемонстровано, що метод є цілком придатний до практичного застосування. Його безперечною перевагою є те, що він може застосовуватись до систем рівнянь довільного степеня, на відміну від методів матричної та спінорної лінеаризації Семерджієва Х.І. та Ямалєєва Р.М.
У підрозділі 3.3. виконано зворотній аналіз похибок заокруглення запропонованого у розділі алгоритму. Припускалось, що обчислення ведуться у системі з плаваючою комою із двійковими розрядами для зберігання мантиси чисел, а сума та добуток великої кількості доданків чи множників або ж скалярні добутки можуть бути накопичені із -розрядною мантисою. З'ясовано, що для розв'язків системи поліноміально-нелінійних рівнянь (10)
Тобто, еквівалентні збурення, які виникають при реалізації алгоритму на ЕОМ є малими, співрозмірними із похибками, які виникають при правильному заокругленні вхідних даних до розрядів.
ВИСНОВКИ
Одержані в роботі результати є важливими для теорії систем алгебраїчних та матричних рівнянь, а також для теорії похибок заокруглення. Вони також можуть бути застосовані при розв'язуванні задач алгебраїчної геометрії, в теорії електромереж, у багатьох задачах фізики ядра, конденсованих середовищ та елементарних часток, а також при аналізі та синтезі лінійних систем автоматизованого управління.
Основні результати виконаної роботи:
1. На основі методу матричної лінеаризації вперше отримано і обгрунтовано ефективні алгоритми зведення систем поліноміально-нелінійних матричних рівнянь довільного порядку, заданих над множиною некомутуючих та перестановочних матриць, до задач на власні значення.
2. Одержано твердження загального характеру для проведення зворотнього аналізу похибок заокруглення в обчислювальних алгоритмах, що складаються із кількох етапів, і застосовано їх для оцінки еквівалентних збурень запропонованих схем матричної лінеаризації.
3. Запропоновано і досліджено конструктивний метод розв'язування систем алгебраїчних рівнянь заданих над полем комплексних чисел. Розроблений алгоритм є модифікацією методу матричної лінеаризації і дозволяє отримувати кортежі розв'язків системи на ЕОМ.
4. Проведено оцінку складності методів лінеаризації розв'язування систем поліноміально-нелінійних алгебраїчних та матричних рівнянь, виконано зворотній аналіз похибок заокруглення для побудованих алгоритмів і встановлено, що еквівалентні збурення співрозмірні з похибками, які виникають при правильному заокругленні вхідних даних.
5. Теоретичне обгрунтування розроблених методів підтверджується обчислювальними експериментами для модельних задач виконаними в середовищі Matlab 7.1. Отримані числові результати порівнювались з результатами, одержаними іншими методами. В ряді випадків встановлено переваги запропонованого методу лінеаризації.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Недашковская А.Н. Решение полиномиально-нелинейных матричных уравнений методом линеаризации// Кибернетика и системный анализ. - 2006. - №3. - С.60-69.
2. Недашковская А.Н. Решение полиномиально-нелинейных матричных уравнений над кольцом коммутативных матриц методом линеаризации// Компьютерная математика. - 2006. - №1. - С.109-120.
3. Недашковська А.М. Метод лінеаризації для розв'язування поліноміально-нелінійних матричних рівнянь із двома невідомими// Вісник Львів. ун-ту. Серія прикл. матем. та інформ. ? 2004. ? №8. ? С.52-59.
4. Недашковська А.М. Розв'язування поліноміально-нелінійних матричних рівнянь над кільцем комутативних матриць// Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача (24-27 травня 2005 року, Львів). Тези допов. - Львів: ТзОВ „Сплайн”. - 2005. - С.155-156.
5. Недашковська А.М. Алгоритм методу лінеаризації розв'язування поліноміально-нелінійних матричних рівнянь із двома невідомими// Сьома Всеукраїнська (друга міжнародна) студентська наукова конференція з прикладної математики та інформатики (СНКПМІ-2004) (22-23 квітня 2004 року, Львів). Тези допов. - Львів: Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка. - 2004. - С.144.
6. Недашковська А.М. Аналіз стійкості алгоритму матричної лінеаризації для поліноміальних матричних рівнянь// Дванадцята Всеукраїнська наукова конференція „Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики”, присвячена 70-річчю з дня народження проф. Й.В. Людкевича і 30-річчя факультету прикладної математики та інформатики (4-6 жовтня 2005 року, Львів). Тези допов. - Львів: Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка. - 2005. - С.117.
7. Недашковська А.М. Метод лінеаризації для поліноміальних матричних рівнянь// Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробагатька (27 вересня -1 жовтня 2004 року, Дрогобич). Тези допов. - Львів: Поліграфічний центр видавництва Національного університету „Львівська політехніка”. - 2004. - С.152.
8. Недашковська А.М. Метод лінеаризації для розв'язування поліноміально-нелінійних матричних рівнянь із двома невідомими// Десята міжнародна конференція імені акад. М.Кравчука (13-15 травня 2004 року, Київ). Тези допов. - Київ: За друга. - 2004. - С.463.
9. Недашковська А.М. Метод лінеаризації для розв'язування поліноміальних матричних рівнянь із багатьма невідомими// Міжнародна конференція „Питання оптимізації обчислень (ПОО-ХХХІІ)”, присвяченої пам'яті академіка В.С. Михалевича (19-23 вересня 2005 року, Крим, Велика Ялта, смт. Кацивелі). - Київ: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України. - 2005. - С.159.
АНОТАЦІЯ
Недашковська А.М. Методи лінеаризації для нелінійних матричних рівнянь. - Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.07 - обчислювальна математика. - Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2007.
У дисертаційній роботі розглядаються системи матричних рівнянь. Розроблено ефективні алгоритми зведення систем поліноміально-нелінійних матричних рівнянь довільного порядку, заданих над множиною некомутуючих та перестановочних матриць, до задач на власні значення. Запропоновано і досліджено конструктивний метод розв'язування систем алгебраїчних рівнянь, заданих над полем комплексних чисел. Розроблений алгоритм є модифікацією методу матричної лінеаризації і дозволяє отримувати кортежі розв'язків системи на ЕОМ. Проведено оцінку складності методу лінеаризації розв'язування систем алгебраїчних рівнянь, що задані над полем комплексних чисел та запропонованих методів зведення систем поліноміально-нелінійних матричних рівнянь до задач на власні значення. Виконано зворотній аналіз похибок заокруглення для побудованих алгоритмів.
Ключові слова: матричні рівняння, системи поліноміально-нелінійних алгебраїчних рівнянь, метод лінеаризації, похибки заокруглення.
АННОТАЦИЯ
Недашковская А.Н. Методы линеаризации для нелинейных матричных уравнений. - Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.07 - вычислительная математика. - Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2007.
Решение систем матричных уравнений занимает важное место среди прикладных задач. Не смотря на значительное развитие и широкое применение ортогональных методов решения матричных уравнений, вопросы их разрешимости нельзя считать исчерпанным: и на сегодняшний день отыскание хотя бы одного из существующих решений матричного уравнения есть большим успехом.
В дисертационной работе рассматриваются системы матричных уравнений, заданные над множеством некомутирующих и перестановочных матриц. С помощью элементарных преобразований разработанный метод матричной линеаризации сводит исходную систему полиномиально-нелинейных матричных уравнений произвольного порядка к линеаризированной системе. Показана эквивалентность даных систем и в случае комутирующих, и для перестановочных матриц. К полученой системе применяется схема Жордано исключения переменных, обобщенная для случая систем линейных матричных уравнений. В результате получается совокупность задач на собственные значения. Причем собственные значения в даном случае - матрицы. Для разработанного метода матричной линеаризации предложен алгоритм его компьютерной реализации. Основные шаги схемы проилюстрированы на примере полиномиальной системы матричных уравнений с двумя переменными. Проведена оценка сложности предложеных алгоритмов.
Предложен и исследован конструктивный метод решения систем алгебраических уравнений произвольной степени с двумя переменными. Данная система рассматривается над полем комплексных чисел. Разработана эффективная алгоритмическая реализация модификации метода матричной линеаризации. С помощью элементарных преобразований она позволяет сравнительно легко перейти к решению эквивалентной системы уравнений. Причем каждое уравнение данной системы состоит из двух сомножителей: один - линейный относительно переменных, с коэфициентами-матрицами, другой - тождественно не равная нулю вектор-функция , что зависит от переменных системы. При условии, что матрицы-коэфициенты хорошо обусловлены, отыскание решений даной системы сведется к решению задач на собственные значения. Таким образом, мы можем получать кортежи решений исходной системы на ЭВМ. Даный метод проилюстрирован на примерах систем алгебраических уравнений второй и третей степени с двумя переменными. Проведена оценка сложности методов линеаризации решения систем полиномиально-нелинейных алгебраических уравнений, выполнено обратный анализ погрешностей округления для построенных алгоритмов.
Получен результат общего характерактера для обратного анализа ошибок округления алгоритмов, что состоят из нескольких этапов. Данное утверждение было использовано при обратном анализе ошибок округления предложеных в роботе алгоритмов. Показано, что эквивалентные возмущения, соизмеримы с ошибками округления, которые возникают при правильном округлении входных даных.
Теоретическое обоснование разработанных методов подтверждается численными экспериментами выполненными в среде MatLab 7.1. Полученные численные результаты сравнивались в точными решениями, а также решениями полученными другими методами.
Ключевые слова: матричные уравнения, системы полиномиально-нелинейных алгебраических уравнений, метод линеаризации, ошибки округления.
ANNOTATION
Nedashkovska A.M. Solving polynomial nonlinear matrix equations with the linearization method. - Manuscript.
Dissertation for a scientific candidate degree of physical and mathematical sciences by specialty 01.01.07 - computational mathematics. - Ivan Franko National University in Lviv, Lviv, 2007.
The dissertation deals with solving the systems of matrix equations. Effective algorithms are worked up. These algorithms are applicable to the systems of polynomial nonlinear matrix equations with random order that are given on the set of noncommutative and commutative matrixes. They reduce the given systems of matrix equations to the eigenvalue problem. Constructive method for solving systems of algebraic equations, that are given on the complex field are proposed and studied. The concerned scheme is a modification of linearization method and it allows find tuples of solutions for systems on computer. The estimate of difficulty for the linearization methods solving nonlinear polynomial equations is given. Backward analysis of the inaccuracies is performed for the proposed algorithms.
Keywords: matrix equations, systems of polynomial nonlinear algebraic equations, linearization method, inaccuracies of round-up.
Формат 60X90/16.
Папір офсетний. Ум. друк. арк. 0,93.
Тираж 100 прим.
СПД - ФО Костенко С.Б.
Реєстраційне свідоцтво №5338-3 від 24 жовтня 2002 р.
вул. Гребінки 5, оф. 1, м. Львів, 79007
тел.: (032)225-60-14, (032)272-83-98
e-mail: koslsv@lac.lviv.ua
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Чисельні методи розв’язання систем нелінійних рівнянь: лінійні і нелінійні рівняння, метод простих ітерацій, метод Ньютона. Практичне використання методів та особливості розв’язання систем нелінійних рівнянь у пакеті Mathcad, Excel та на мові С++.
курсовая работа [2,0 M], добавлен 30.11.2010Основні етапи розв'язування алгебраїчних рівнянь: аналіз задачі, пошук плану розв'язування та його здійснення; перевірка та розгляд інших способів виконання. Раціоналізація розв'язування алгебраїчних рівнянь вищих степенів методом заміни змінних.
курсовая работа [229,8 K], добавлен 13.05.2013Історія створення теорії алгебраїчних рівнянь. Сутність системи лінійних алгебраїчних рівнянь в лінійній алгебрі. Повна характеристика методів розв'язання рівнянь: точні, ітераційні та ймовірнісні. Особливості теорем Гауса-Жордана та Габріеля Крамера.
реферат [543,7 K], добавлен 23.04.2015Аналіз найвідоміших методів розв’язування звичайних диференціальних рівнянь і їх систем, користуючись рекомендованою літературою. Розробка відповідної схеми алгоритму. Розв’язання системи звичайних диференціальних рівнянь в за допомогою MathCAD.
лабораторная работа [412,4 K], добавлен 21.10.2014Розгляд теоретичних основ рівнянь з параметрами. Основні види даних рівнянь. Аналітичний та графічний методи розв’язування задач із використанням формул, властивостей функцій. Ознайомлення із системою розв’язування задач з параметрами для 9 класу.
курсовая работа [605,9 K], добавлен 29.04.2014Класичні та сучасні наближені методи розв'язання диференціальних рівнянь та їх систем. Класифікація наближених методів розв'язування. Розв'язування трансцендентних, алгебраїчних і диференціальних рівнянь, методи чисельного інтегрування і диференціювання.
отчет по практике [143,9 K], добавлен 02.03.2010Класифікація та типи чисельних методів розв’язування систем лінійних рівнянь і обернення звернення матриць точні, ітераційні та комбіновані. Їх порівняльна характеристика та умови використання в окремих випадках. Вектори та операції над ними, норми.
презентация [85,6 K], добавлен 06.02.2014Системи лінійних алгебраїчних рівнянь, головні означення. Коротка характеристика головних особливостей матричного способу, методу Жордано-Гаусса. Формули Крамера, теорема Кронекера-Капеллі. Практичний приклад розв’язання однорідної системи рівнянь.
курсовая работа [690,9 K], добавлен 25.04.2013Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса. Еквівалентні перетворення системи, їх виконання як елемент методів розв’язування системи рівнянь. Базисні та вільні змінні. Лінійна та фундаментальна комбінації розв’язків, таблиці коефіцієнтів.
контрольная работа [170,2 K], добавлен 16.05.2010Етапи розв'язування інженерних задач на ЕОМ. Цілі, засоби й методи моделювання. Створення математичної моделі. Побудова обчислювальної моделі. Реалізація методу обчислень. Розв’язання нелінійних рівнянь методом дихотомії. Алгоритм метода дихотомії.
контрольная работа [86,1 K], добавлен 06.08.2010
