Решение задач финансовой математики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА И ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ

ПРИ ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НИЖЕГОРОДСКИЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ

Факультет экономики и финансов

Кафедра финансов и кредита

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА»

НА ТЕМУ: «РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ»

Направление подготовки / Cпециальность: Экономика

Выполнил(а): студентка группы ЭК-713 Ерофеева Е.Ю

Научный руководитель: кандидат физико-

математических наук, доцент Сьянов С.А.

Нижний Новгород 2015



1.1 Найти сумму начисленных простых процентов I и конечную сумму S, если вклад P рублей размещен на t месяцев при годовой ставке i.

№	P	t	i %	I	S
8	1 283,58р.	4	68,5%	293,08р.	1576,66р.

I=P*t/T*i

I=1283,58*4/12*68,5%=293,08

S=P+I

S=1283,58+293,08=1576,66

Ответ: I=293,08 р., S=4576,66 р.

1.2 Найти обыкновенный (365/360) и точный (365/365) процент (процентные деньги) для депозита P рублей за период c t₁ по t₂ при начислении по простой годовой ставке i

№	P	t1	t2	i %	Ib	Ip
8	3 448,63р.	03.фев	13.июн	99,8%	1235,25р.	1252,41р.

I=P*t/T*i

Ip=3448,63*131/360*99.8%=1252,41

Ib=3448,63*131/365*99,8%=1235,25

Ответ:Ib=1235,25 р., Ip=1252,41 р.

1.3 Банк начисляет I рублей обыкновенного простого (365/360) процента за использование P рублей в течение t дней. Какова норма простого процента сделки i %?

№	P	t	I	i %
8	1 892,44р.	158	111,23р.	13,36

i=I/P*t/T

i=111,23/183,44*158/360=13,36%

Ответ:i=13,36%

1.4 Найти сумму долга P, если при окончательном расчете заемщик уплатил через t месяцев сумму S рублей при простой ставке i.

№	S	t	i %	P
8	1 571,94р.	9	71,4%	1023,73р.

S=P*(1+i*t/T)

1571,94=Р*(1+0,714*9/12)

1571,94=Р*(1+0,714*0,75)

1571,94=Р*1,5355

Р=1023,73

Ответ:P=1023,73 р.

1.5 Сколько дней t понадобится, чтобы сумма в P рублей «заработала» I рублей, если она инвестируются при ставке i обыкновенного простого процента?

№	P	I	i %	T
8	5 694,41р.	40,10р.	63,3%

t=(TЧI)/(PЧi)

t=(365Ч40,1)/(5694,41Ч0,633) ? 4

Ответ:t=4 дня

1.6 Для годового депозита P требуется определить величину начисленных процентов для каждого из значений ставки и общую сумму начисленных процентов (365/365).

№	Сумма депозита P	t0 дата начала действия ставки i1	Ставка i1	t1 дата окончания действия ставки i1	Дата начала действия ставки i2	Ставка i2	Дата окончания действия ставки i2	I1	I2
8	9 677,77р.	01.01.07	10,5%	17.02.07	18.02.07	40,7%	22.04.07	132,1р.	669,6р.

№	Дата начала действия ставки i3	Ставка i3	Дата окончания действия ставки i3	Дата начала действия ставки i4	Ставка i4	Дата окончания действия ставки i4	I3	I4	Iобщ
8	23.04.07	1,0%	25.07.07	26.07.07	83,3%	01.01.08	25,16р.	8222,81р.	9049,67р.

I=P*i*t/T

I₁=9677,77*10,5%*48/365=132,1

I₂=9677,77*40,7%*64/365=669,6

I₃=9677,77*1,0%*94/365=25,16

I₄=9677,77*83,3%*372/365=8222,81

I_общ=132,1+669,6+25,16+8222,81=9049,67

Ответ:I₁=132,1 р., I₂=669,6 р., I₃=25,16 р., I₄=8222,81 р.,I_общ=9049,67 р.

2.1 Определить номинал векселя S, со сроком погашения t _{погашения} и учетной ставкой d, если на дату t _{предьявления} дисконт составил D рублей.

№	D	t погашения	t предъявления	d	S номинал
8	2,54р.	08.02.2007	04.03.2007	35,04%	105,83р.

S_{номинал}=d*(t₀-t)=2,54*365/(0,3504*25)=105,83

Ответ: S_{номинал}=105,83 р.

2.2 Определить коэффициент дисконтирования для векселя с учетной ставкой d, сроком погашения t _{погашения} , предъявленного в момент t _{предъявления} (365/360).

№	d	t предъявления	t погашения	L
8	64,76%	11.01.2008	29.04.2008	0,82

L=1-d*(t-t₀)=1-0,6476*100/365=0,82

Ответ:L=0,82

2.3 За сколько дней до погашения необходимо предъявить вексель с учетной ставкой d, что бы обеспечить коэффициент дисконтирования равным L ?

№	L	d	t до погашения
8	0,21	0,24	1314 дней

L=1-d*(t-t₀)/T

0,21=0,76*(t-t₀)/T

(t-t₀)/T=0,76/0,21

(t-t₀)/365=3,6

t=1314

Ответ:t=1314 дней

2.4 По какой цене банк должен учесть вексель с номиналом S и учетной ставкой d, если до погашения t дней.

№	S	d	t до погашения	P
8	7 732,94р.	22,30%	61	7423,62р.

P=S*(1-d)t/T=7732,94*(1-(0,223*61/365))=7423,62

Ответ:P=7423,62 р.

3.1 Какую сумму получит вкладчик, разместив в банк P рублей под сложную ставку i_c на срок с t₀ по t₁ ?

№	P	t0	t1	ic	S
8	3 159,63р.	23.04.2006	05.03.2007	6,42%	1078,77р.

S=P*(1+i_c)^t/T

S=3159,6*(1+0,642)317/365=1078,77

Ответ:S=1078,77р.

3.2 Какую сумму необходимо разместить под сложную ставку i_c на срок с t₀ по t₁, чтобы получить величину S.

№	S	t0	t1	ic	P
8	3 223,34р.	13.04.2006	24.05.2006	1,23%	3219,16р.

S=P*(1+i_c)^t/T

3223,34=Р*(1+0,0123)42/365

3223,34=1,0013Р

Р=3219,16

Ответ:P=3219,16 р.

3.3 Определить число дней, за которое начальный банковский депозит в P рублей достигнет величины S при сложной ставке наращения i_c

№	P	ic	S	t1-t0
8	1 865,29р.	22,18%	2 221,81р.	319 дней

t=log S/P / log (1+i_c) *T

t= log 1865,29/2221,81 / log (1+0,2218) *365 = 319

Ответ:t=319 дней

3.4 При каком значении сложной ставки наращения исходная сумма P достигнет величины S за период времени от t₀ до t₁ ?

№	P	t0	t1	S	ic
8	1 211,66р.	25.03.2006	25.03.2006	2 242,04р.	85,03%

S=P*(1+i_c)^t/T

2242,04=1211,66(1+i_c)^1/365

(1+i_c)^1/365=2242,04/1211,66

i_c=85,03%

Ответ:i_c=85,03%

3.5 Найти процентные деньги, а так же величину средств, полученных вследствие капитализации процентов ("проценты на проценты") для вклада P, размещенного под ставку i_c на срок с t₀ до t₁

№	P	t0	t1	ic	Iобщ	I %на%
8	2 656,38р.	21.02.2005	02.03.2007	29,04%	1766,49р.	223,67р.

t=740

S=P*(1+i_c)^t/T

S=2656,38*(1+0,2904)^740/365=4422,87

I_общ=S-P=4422,87-2656,38=1766,49

I_%на%=1766,49-1542,82=223,67

Ответ: I_общ=1766,49 р., I_%на%=223,67 р.

3.6 Р млн руб. инвестированы на 2 года по номинальной ставке i % годовых. Требуется определить наращенную за это время сумму и ее приращение при начислении процентов:

а) ежегодно;	в) ежеквартально;
б) по полугодиям;	г) ежемесячно.

№	P млн. руб.	i %	I	S
8	6	13,2	792000р.	6792000р.

Ежегодно

I=P*t/T*i

S=P+I

I=6000000*365/365*0,132=792000

S=6000000+792000=6792000

По полугодиям

I₁=6000000*181/365*0,132=392832

I₂=6000000=184/365*0,132=399168

S₁=6000000+392832=6392832

S₂=6000000+399168=6399168

Ежеквартально

1кв=90дн,2кв=91дн,3,4кв=по 92дн

I₁=6000000*90/365*0,132=195287,67

I₂=6000000=91/365*0,132=197457,53

I₃=6000000*92/365*0,132=199627,40

I₄=I₃=199627,40

S₁=6000000+195287,67=6195287,67

S₂=6000000+197457,53=6197457,53

S₃=6000000+199627,40=6199627,40

S₄=S3=6199627,40

Ежемесячно

I_{янв,апр,июнь,сент,нояб}=6000000*30/365*0,132=65095,89

I_{февраль}=6000000*28/365*0,132=60765,16

I_{март,май,июль,авг,окт,дек}=6000000*31/365*0,132=67265,75

S₁=6000000+65095,89=6065095,89

S₂=6000000+60765,16=6060765,16

S₃=6000000+67265,75=6067265,75

Ответ:I=792000 р.,S=6792000 р.

4.1 Найти стоимость банковского векселя номиналом P предъявленного за t дней до погашения при сложной учетной ставке d_c

№	S	dс	t до погашения	P
8	11 577,65р.	33,94%	90	10454,62р.

P=S*(1-d_c)^t/T

P=11577,65*(1-0,3394)^90/365=10454,62

Ответ:P=10454,62 р.

4.2 Найти номинал векселя, если за t дней до его погашения при сложной учетной ставке d_c его современная стоимость равна P рублей

№	P	dс	t до погашения	S
8	2 895,65р.	0,378	60	3124,22р.

S=P/(1-dc)^t/T

S=2895,65/(1-0,378)^60/365=3124,22

Ответ:S=3124,22 р.

4.3 Определить дисконт и коэффициент дисконтирования для банковского векселя номиналом S за t дней до погашения при сложной учетной ставке d_с.

дисконтирование процент капитализация ставка

№	dс	t до погашения	S	D	L
8	26,36%	134	23 648,60р.	2511,96р.	0,89378

L=(1-d_c)^t/T

L=(1-,02636)134/365=0,89378

P=S-D=S*L=21136,64

D=S-P=23648,6-21136,64=2511,96

Ответ:D=2511,96 р.,L=0,89378

4.4 При каком значении сложной учетной ставки d_c вексель номиналом S будет учтен по цене P за t дней до погашения ?

№	P	S	t до погашения	dс
8	10 235,71р.	51 013,865	482	29,6%

L=(1-d_c)^t/T=P/S=10235,71/51013,865=0,2006

d_c=1-^t/TvL=1-^1,32v0,2006=0,296 т.е.29,6%

Ответ: d_c=29,6%

4.5 Определить за сколько дней до погашения вексель номиналом S будет стоить P рублей, если сложная учетная ставка равна d_c

№	P	dс	S	t до погашения
8	18 401,87р.	44,79%	25 578,06р.	202 дня

t=logP/S / log(1-d_c) *T = log 18401,87/25578,06 / log(1-0,4479) *365=202 дня

Ответ:t=202 дня

4.6 Для погашения долга величиной Р тыс. руб. со сроком погашения 12 мес. заемщик выписал 3 векселя: 1-й вексель на сумму S₁ тыс. руб. со сроком погашения 4 мес., 2-й вексель на сумму S₂ тыс.руб. со сроком погашения 8 мес. и 3-й вексель со сроком погашения 12 мес. Определить номинальную величину этого векселя, если учетная ставка равна i % годовых.

№	P тыс. руб.	dс %	S1 тыс. руб.	S2 тыс. руб.	S3
8	60	13,2	10	20	39124,42р.

60000=S*(1-d_c)^t/T

60000=S*(1-0,132)^365/365

60000=S*0,868

S_общ=69124.42

S₃=69124,42-10000-20000=39124,42

Ответ:S₃=39124,42 р.

5.1 Кредитной схемой предусмотрена уплата процентов за кредит при его выдаче. На указанных условиях банк выдал кредит P рублей на срок t под простую ставку i. Определить эффективную процентную ставку по кредиту.

	P	t	i	j
8	6 087,54р.	68	34,38%	34,38%

S=P*(1+i)^t/T

S=6087,54*(1+0,3438)^68/365=6431,486

j=^68/365v6431,486/6087,54 -1=34,38

Ответ:j=34,38%

5.2 При погашении векселя банк удерживает комиссию k процентов от выданной суммы. Определить эффективную учетную ставку для векселя номиналом S рублей, предъявленного за время t дней до погашения, если простая учетная ставка равна d.

№	k	S	t	d	j
8	2,90%	1 690,31р.	19	16,96%	17,6%

j=1-^t/TvP/S

P=S*(1-d_c)^t/T

P=1690,31*(1-0,169)^19/365=1673,41

j=1-^0,052v1673,41/1690,31 = 1-0,824 = 0,176 т.е 17,6%

Ответ:j=17,6%

5.3 Для номинальной ставки i % с ежемесячным начислением процентов найти эффективную годовую ставку j и эквивалентную ставку i_экв' с начислением процентов ежеквартально.

№	i %	j %	i %
8	19,2

6.1 Ссуда в размере P рублей выдана под ставку i. Задолженность в течение года была погашена четырьмя платежами актуарным способом. Определить сумму последнего платежа по ссуде.

№	ссуда P	ставка i	начало t0	срок первого платежа t1	платеж q1
№	P	i	t0	t1	q1
8	10019,55р.	47,2%	02.01.06	18.01.06	260,17р.

№	срок второго платежа t2	платеж q2	срок третьего платежа t3	платеж q3	срок погашения ссуды t4	завершающий платеж
8	24.02.06	200,72р.	29.03.06	425,16р.	31.12.07	10270,033р.

I₁=P*i*(t₀-t₁)/T=10019,55*0,472*17/365=220,265

R₁=P-(q₁-I₁)=10019,55-(260,17-220,265)=9979,645

I₂=R₁*i*(t₂-t₁)/T=9979,645*0,472*38/365=490,397

I₃=R₁*i*(t₃-t₁)/T=9979,645*0,472*71/365=916,268

q₂+q₃=200,72+425,16=625,88

R₂=R₁+(I₃-q₂+q₃)=10270,033

I₄=R₂*i*(t₃-t₄)/T=10270,033*0,472*643/365=8539,49

Ответ: завершающий платеж = 10270,033 р.

6.2 Ссуда в размере P рублей выдана на год (365/365) под ставку i с двумя промежуточными платежами в погашение по правилу торговца. Определить сумму последнего платежа по ссуде.

№	ссуда P	ставка i	начало t0	срок первого платежа t1	платеж q1	срок второго платежа t2	платеж q2	срок погашения ссуды t3	завершающий платеж
№	P	i	t0	t1	q1	t2	q2	t3
8	3780,99р.	44,4%	14.01.06	27.01.06	483,56р.	17.03.06	241,78р.	06.04.06	3031,83р.

3780,99+3780,99*44,4%=5459,74956

q₁=483,56+483,56*0,444*14/365=491,79

q₂=241,78+241,78*0,444*53/365=257,37

Зав.платеж=3780,99-491,79-257,37=3031,83

Ответ: завершающий платеж = 3031,83 р.

6.3 Величина потребительского кредита Р тыс. руб., со сроком погашения кредита n мес. под процентную ставку i % годовых.

При погашении кредита равными частями и начислении простых процентов на сумму оставшегося долга составить план погашения процентов I и платежей по кредиту Q в конце каждого месяца.

№	Р тыс. руб.	n мес.	i %
8	60	6	19,2

I=i*P

I=60000*0,192=11520

S=P+I

S=60000+11520=71520

I₁=60000*0,192*30/365=946,849

I₂=60000*0,192*28/365=883,726

I₃=60000*0,192*31/365=978,411

I_общ=946,849*2+883,726+978,411*3=5712,73

7.1 Ссуда, выданная на год под ставку i % сложных процентов, погашается тремя платежами Q₁, Q₂, Q₃ через каждые четыре месяца. Определить размер ссуды. Каким разовым платежом может быть погашена ссуда в конце срока? Какими равными ежеквартальными платежами может быть погашена ссуда?

№	Q1 тыс. руб.	Q2 тыс. руб.	Q3 тыс. руб.	i %
8	20	30	70	10,8

20000/(1-0,108)12+Х/(1-0,108)8=30000/(1-0,108)4+70000

20000/0,892 12+Х/0,892 8 =30000/0,892 4 +70000

20000/0,2537+Х/0,40079=30000/0,63308+70000

78833,2676+Х/0,40079=47387,3760+70000

78833,2676+Х/0,40079=117387,376

Х/0,40079=38554,1084

Х=96195,2853

7.2 Вексель номиналом S₁ млн. руб., выданный под сложную учетную ставку d %, нужно погасить через полгода, а второй вексель на S₂ млн. руб. при таких же условиях через полтора года. Эмитент векселей желает заплатить Р млн. руб. сегодня и рассчитаться полностью двумя одинаковыми платежами в те же сроки. Какими будут эти платежи?

№	dс %	S1 млн. руб.	S2 млн.руб.	P млн. руб.
8	19,2	1	3	1



8.1 Оборудование нужно заменять через t лет после установки, стоимость замены S млн. руб. Какую сумму нужно инвестировать компании в конце каждого года для того, чтобы заменить оборудование, если инвестиции приносят i процентов годовых?

№	i %	t лет	S млн.руб.
8	15,6	11	12

12000000=R*(1+0,156)-1)/((1+0,156)-1))

R=12000000*0,156/(1+0,156) 11 -1)=12000000*0,612456=476821,19

8.2 Арендная плата составляет Q тыс. рублей в конце каждого квартала в течение двух лет при ставке i ссудного процента. Какими разовыми суммами можно оплатить аренду в начале или в конце срока? Какова будет ежемесячная арендная плата, если вносится аванс Q₀ тыс. рублей?

№	Q тыс. руб.	i %	Q0 тыс. руб.
8	170	18,0.	120

P=170*2=340000 - в год без %

I=340000*0,18=61200 - %

S=P+I

S=340000+61200=401200

401200-120000=281200

Остаток = 281200/24=11716,67

9.1 Потребительский кредит в размере Р тысяч рублей погашается двумя платежами Q₁ и Q₂ в конце каждого полугода, проценты I по кредиту выплачиваются сразу при покупке. Определить полную доходность по кредиту.

№	P тыс. руб.	I тыс. руб.	Q1 тыс. руб.	Q2 тыс.руб.
8	170	30	85	85

Если платежи по кредиту выплачиваются через равные промежутки времени m раз в году, то для дисконтирования членов денежного потока применяется годовая номинальная ставка доходности j:

Решим данное уравнение через дискриминант.

Ответ: полная доходность по кредиту 29,9%.

Размещено на Allbest.ru