Дифференциальные уравнения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача №1 дифференциальный уравнение функция

Записать дифференциальное уравнение системы управления с одним выходом и двумя входами и , передаточные функции которых имеют вид:

Решение:

Система управления определяется двумя передаточными функциями:

1) передаточной функцией относительно входа :

2) передаточной функцией относительно входа :

С помощью передаточной функции уравнение рассматриваемой системы управления можно записать в виде:

Передаточные функции сложных систем легко могут быть определены через передаточные функции составляющих их элементов.

Имеющее наименьший порядок отношение изображений Лапласа выходной и входной переменных, вычисленных при нулевых начальных условиях, называется передаточной функцией в изображениях Лапласа. В соответствии с определением передаточная функция в изображениях Лапласа не может иметь равные между собой нули и полюса, так как в этом случае ее порядок может быть понижен путем сокращения числителя и знаменателя на общий множитель.

y = +

y =

y =

Так как оператор , то дифференциальное уравнение системы управления имеет вид:

Задача №2

На вход системы подается сигнал . Определить в установившемся режиме реакцию системы на входное воздействие при следующих передаточных функциях:

Решение:

Рассмотрим, как определить в установившемся режиме реакцию системы, если известна ее передаточная функция

а на ее вход подается гармонический сигнал

Для этого перейдем от передаточной функции в изображениях Лапласа к частотной передаточной функции , произведя подстановку , где :

Частота подаваемого на вход системы сигнала . Произведем ее оценку:

Подставим значение частоты в формулу:

Амплитудно-частотная характеристика

Фазочастотная характеристика

С учетом этого, согласно формуле, выходной сигнал системы в установившемся режиме имеет вид:

Задача №3

С помощью критерия Гурвица исследовать устойчивость систем управления, которые описываются следующими дифференциальными уравнениями ( - выход, - вход):

Решение:

Для определения устойчивости линейной системы управления необходимо определить переходную составляющую. Для этого необходимо решить однородное дифференциальное уравнение

Необходимым условием устойчивости системы является условие положительности всех коэффициентов ее характеристического уравнения:

Алгебраические критерии устойчивости определяют условия устойчивости в виде алгебраических неравенств, составленных из коэффициентов характеристического уравнения системы.

Согласно алгебраическому критерию устойчивости Гурвица, для того чтобы система управления была устойчива необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и все его диагональные миноры были положительными.

Для системы управления четвертого порядка характеристическое уравнение имеет вид:

Составим определитель Гурвица 4-го порядка:

Подставим значения

Если все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то условия устойчивости по Гурвицу имеют вид:

;

;

;

;

Элементы последнего столбца определителя Гурвица, за исключением нижнего, будут равны нулю. Поэтому определитель Гурвица можно представить в виде:

.

Определитель Гурвица и все его диагональные миноры положительны, следовательно система устойчива.

Задача №4

С помощью критерия Михайлова исследовать устойчивость замкнутой системы управления, у которой передаточная функция в разомкнутом состоянии имеет вид:

Решение:

Для анализа устойчивости замкнутой системы управления по ее передаточной функции в разомкнутом состоянии

вначале следует определить характеристическое уравнение замкнутой системы управления: 

Затем производят подстановку в и находят выражение для характеристического вектора:

Далее определяют выражения для вещественной и мнимой частей:

;

.

После чего определяют значения частот, при которых кривая Михайлова пересекает мнимую ось. Для этого находят вещественные корни уравнения . Получаем:

;

.

Затем определяют значения частот, при которых кривая Михайлова пересекает вещественную ось. Для этого находят вещественные корни уравнения . Получаем:

;

и .

После этого определяют координаты точек пересечения кривой Михайлова с осями координат. Результаты вычислений сводим в таблицу:

По полученным координатам точек строим кривую Михайлова. Анализируя расположение этой кривой на комплексной плоскости, видим, что она последовательно обходит против часовой стрелки квадранта, охватывая начало координат. Следовательно, исследуемая система 3-го порядка в замкнутом состоянии будет устойчива.

Рис. 1. Кривая Михайлова

Задача №5

Одноконтурная система управления содержит объект и пропорционально-интегральный регулятор (ПИ-регулятор), передаточные функции которых соответственно равны:

,

.

Определить оптимальные параметры настройки (коэффициент передачи) и (постоянная интегрирования) ПИ-регулятора, если даны:

- коэффициент передачи объекта;

- время транспортного запаздывания, с;

- постоянная времени объекта, с;

- порядок линейного дифференциального уравнения одномерной системы управления.

Исходные данные :

Решение:

1. Для определения окрестности оптимальных параметров настройки

,

вычисляем границы этой окрестности:

)

Таким образом, (0,003; 3,925).

2. Для значений частоты = 0,0035; 0,004; 0,0045; 0,005 вычисляем длину вектора:

Для тех же значений частоты вычисляем угол между вектором и отрицательной мнимой полуосью, причём - угол между отрицательной вещественной полуосью и лучом ОЕ (рис.2) обычно на практике используют значения

Рис.2. КЧХ объекта и графическое задание величины

0,055

0,435

0,781

1,093

Определяем вспомогательную функцию по формуле:

0,00216

Результаты вычислений сводим в таблицу:

Рис. 3. Настройка регулятора методом вспомогательной функции 

3. Из таблицы определяем, что вспомогательная функция принимает максимальное значение при частоте = 0,004 c-1 и соответствующему этой частоте коэффициенту передачи

.

Тогда искомая постоянная интегрирования ПИ-регулятора

и оптимальное значение передаточной функции ПИ-регулятора имеет вид:

Библиографический список

1. Автоматика: Основные понятия, терминология и условные обозначения: Справочное пособие / А.А. Герасенков, А.А. Шавров, О.А. Липа; Рос. гос. аграр. заоч. ун-т. - М., 2008.

2. Шавров А.В. Основы теории управления: учеб. пособие / А.В.Шавров, О.А.Липа, А.А.Шавров; Рос. гос. агр. заоч. ун-т. - М., 2005.

3. Бородин И.Ф., Судник Ю.А. Автоматизация технологических процессов. - М.: КолосС, 2004.

4. Ким Д.П., Дмитриева Н.Д. Сборник задач по теории автоматического управления. Линейные системы. - М.: Физматлит, 2007.

5. Солдатов В.В. Технические средства автоматизации: учеб. пособие / В.В.Солдатов, А.В.Шавров, А.А.Герасенков; Рос. гос. агр. заоч. ун-т. - М., 2004.

6. Радченко Г.Е. Автоматизация сельскохозяйственной техники: учеб. пособие. - Минск: УП «Технопринт», 2005.

7. Ротач В.Я. Теория автоматического управления: учебник для вузов. 2-е изд., перераб. и доп.- М.: Издательство МЭИ, 2004.

Размещено на Allbest.ru