Аналитическая геометрия на плоскости

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тема 3.

Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант №16.



Содержание

Задача №1

Задача №2

Задача №3

Задача №4



Задача №1

Даны три последовательные вершины параллелограмма А(3;-2), В(1;-1), С(0;5). Не находя координаты вершины D, найти:

1) уравнение стороны AD;

2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;

3) длину высоты BK;

4) уравнение диагонали BD;

5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма.

Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.

Решение.

Сначала построим чертеж. Построим в прямоугольной декартовой системе координат точки , , . Построим отрезки и .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1

Достроим полученный рисунок до параллелограмма и нанесем на чертеж высоту BK.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2

1) Составим уравнение прямой AD.

а) Предварительно найдем уравнение прямой BС. Уравнение прямой, проходящей через точки и , имеет вид

(3.1)

По условию , . Подставим координаты точек и в уравнение (3.1)

: ,

т.е

.

Запишем полученное уравнение в общем виде, то есть в виде . Для этого в последнем уравнении избавимся от знаменателей

и проведем преобразования, перенося все слагаемые в левую часть равенства:

.

Из этого уравнения выразим :

.

Получили уравнение вида

- уравнение с угловым коэффициентом.

б) Воспользуемся тем фактом, что противоположные стороны параллелограмма параллельны. Составим искомое уравнение прямой AD как уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, имеет вид

(3.2)

где направление определяется угловым коэффициентом .

Условие параллельности двух прямых

и

имеет вид

(3.3)

По условию задачи , прямая

.

Подставим координаты точки в уравнение (3.2):

.

Так как прямая параллельна прямой , то в силу формулы (3.3) их угловые коэффициенты совпадают. Угловой коэффициент прямой равен , следовательно, уравнение прямой имеет вид

.

Запишем уравнение прямой в общем виде. Для этого раскроем скобки и все слагаемые перенесем в левую часть равенства: . Получим общее уравнение прямой :

.

Запишем уравнение прямой в виде с угловым коэффициентом. Для этого выразим из общего уравнения:

.

2) Составим уравнение высоты , проведенной из вершины на сторону как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

Условие перпендикулярности двух прямых

и

имеет вид

(3.4)

Подставим координаты точки в уравнение (3.2):

.

Так как высота перпендикулярна прямой , то их угловые коэффициенты связаны соотношением (3.4).

Угловой коэффициент прямой равен , следовательно, угловой коэффициент высоты равен и уравнение прямой имеет вид

.

Запишем уравнение высоты в общем виде:

.

Запишем это же уравнение в виде с угловым коэффициентом:

.

3) Найдем длину высоты как расстояние от точки до прямой .

Расстояние от точки до прямой

представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую и определяется формулой

(3.5)

Так как перпендикулярна , то длина может быть найдена с помощью формулы (3.5). По условию , прямая определяется уравнением . В силу формулы (3.5) длина высоты равна

=.

4) Найдем уравнение диагонали как уравнение прямой, проходящей через точки и , где - середина отрезка .

а) Если и , то координаты точки - середины отрезка , определяются формулами

(3.6)

По условию , . В силу формул (3.6) имеем:

,

.

Следовательно .

б) Так как точка пересечения диагоналей является их серединой, то точка (середина отрезка ) является точкой пересечения диагоналей и диагональ проходит через точку .

Воспользуемся уравнением (3.1). По условию , . В силу формулы (3.1) уравнение прямой (диагонали ) имеет вид:

или

.

Запишем это уравнение в общем виде:

.

Запишем это же уравнение в виде с угловым коэффициентом:

.

5) Найдем тангенс угла между диагоналями и .

а) Найдем уравнение диагонали как уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Воспользуемся уравнением (3.1). По условию , . Следовательно,

. Общее уравнение диагонали имеет вид

,

уравнение с угловым коэффициентом - вид

,

угловой коэффициент прямой равен .

б) Уравнение диагонали имеет вид

,

ее угловой коэффициент .

в) Тангенс угла между прямыми и определяется формулой

Следовательно,

. Отсюда .

Задача №2

Даны точки A(0;-3;2), B(1;2;-1), C(1;-2;4), D(1;1;-2). Найти:

1) общее уравнение плоскости АВС;

2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС;

3) расстояние от точки D до плоскости ABC;

4) канонические уравнения прямой АВ;

5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно прямой AB;

6) координаты точки пересечения прямой

и плоскости ABC.

Решение.

1) Уравнение плоскости, проходящей через точки , , имеет вид:

(3.7)

Тогда уравнение плоскости в силу уравнения (3.7) имеет вид

или .

Запишем полученное уравнение в общем виде, т.е. в виде

.

Для этого раскроем определитель по первой строке

.

После преобразований получим:

.

2) Составить уравнение плоскости , проходящей через точку параллельно плоскости :

.

Решение.

Уравнение плоскости, проходящей через точку , имеет вид

(3.8)

Подставим в уравнение (3.8) координаты точки :

.

Условие параллельности плоскостей

и

имеет вид

(3.9)

Так как плоскости и параллельны, то в качестве нормального вектора плоскости можно взять нормальный вектор плоскости , т.е. в формуле (3.9) отношение

можно принять равным единице. Следовательно, уравнение плоскости примет вид

.

Запишем это уравнение в общем виде:

.

3) Найти расстояние от точки до плоскости :

.

Решение.

Расстояние от точки до плоскости

представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость, и определяется формулой

(3.10)

Для плоскости

координаты нормального вектора определяются равенствами , , . Следовательно, .

4) Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки и .

Решение.

Уравнения прямой, проходящей через точки и имеют вид

(3.11)

Так как , ,

то в силу (3.11) получим уравнения

или

.

5) Составить канонические уравнения прямой , проходящей через точку параллельно прямой :

.

Решение.

Канонические уравнения прямой имеют вид

.

Здесь -

координаты точки, через которую проходит прямая.

В канонические уравнения прямой подставим координаты точки . Получим:

.

Условие параллельности прямых

и

имеет вид

(3.12)

Так как прямые и параллельны, то в качестве направляющего вектора прямой можно взять направляющий вектор прямой , т.е. в формуле (3.12) отношение

можно принять равным единице. Следовательно, уравнение прямой примет вид

.

6) Найти координаты точки пересечения прямой :

и плоскости :

.

Решение. Координаты точки

пересечения прямой

и плоскости

представляют собой решение системы

(3.14)

Запишем параметрические уравнения прямой :

и подставим выражения для в уравнение плоскости :

.

Отсюда ; .

Подставим найденное значение в параметрические уравнения прямой

: .

Следовательно, .



Задача №3

Уравнение кривой второго порядка

путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить кривую.

Решение. Для приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду применяют метод выделения полного квадрата.

Сгруппируем слагаемые, содержащие текущие координаты. Коэффициенты при и вынесем за скобки:

.

Выделим полный квадрат:

.

Разделим обе части равенства на 9 и запишем полученное уравнение в каноническом виде:

.

Выполним параллельный перенос осей координат по формулам

.

При таком преобразовании начало координат переносится в точку , уравнение эллипса принимает канонический вид

.

В нашем случае: , , , .

Итак, рассматриваемое уравнение определяет эллипс с центром в точке и полуосями и .

Рис. 3

Задача №4

Кривая задана в полярной системе координат уравнением .

Требуется:

1) найти точки, лежащие на кривой, давая значения через промежуток, равный , начиная от до ;

2) построить полученные точки;

3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала);

4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат.

Решение.

Сначала построим таблицу значений и :

	0
	-2	-1,84	-1,42	-0,76	0	0,76	1,42	1,84	2	1,84	1,42	0,76	0	-0,76	-1,42	-1,84

Построим эти точки в полярной системе координат. Полярная система координат состоит из начала координат (полюса) и полярной оси . Координаты точки в полярной системе координат определяются расстоянием от полюса (полярным радиусом) и углом между направлением полярной оси и полярным радиусом (полярным углом). Для того, чтобы построить точку , необходимо построить луч, выходящий из точки под углом к полярной оси; отложить на этом луче отрезок длиной .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 4

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5

Построим все точки, определенные в таблице и соединим их плавной линией

Запишем уравнение рассматриваемой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Для этого воспользуемся формулами перехода от декартовой к полярной системе координат.

Если полюс совпадает с началом координат прямоугольной декартовой системы координат, полярная ось - с осью абсцисс, то между прямоугольными декартовыми координатами и полярными координатами существует следующая связь:

,

Откуда

Рис. 6

Итак, в уравнении исходной кривой

,

.

Поэтому уравнение

принимает вид

.

После преобразований получим уравнение

.



Задача №5

Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами

1) ;

2) .

Решение. треугольник параллелограмм уравнение плоскость

Для того, чтобы решить неравенство на плоскости, надо построить график линии . Кривая разбивает плоскость на части, в каждой из которых выражение сохраняет свой знак. Выбирая пробную точку в каждой из этих частей, найдем часть плоскости, являющуюся искомым решением неравенства.

1) Построим прямые и , заштрихуем область, в которой . Затем построим прямые и , и заштрихуем область. Пересечение всех заштрихованных областей определит множество точек, представляющих решение рассматриваемой системы.

Рис. 7

2) Построим параболу

и заштрихуем область, содержащую ось симметрии параболы (расположенную внутри параболы)

Решением второй половины рассматриваемого двойного неравенства

является часть плоскости, расположенная между верхней половиной окружности с центром в точке радиуса .

Рис. 8

Размещено на Allbest.ru