Производная. Правила и формулы дифференцирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

Производная. Правила и формулы дифференцирования

Выполнила: Лобачева О.А.



Содержание

Введение

Понятие производной

Геометрический смысл производной

Физический смысл производной

Логарифмическое дифференцирование

Заключение

Список литературы



Введение

математика логарифмический дифференцирование производный

Функция - одно из основных определений математики. Понятие функции не сразу возникло в таком виде, как мы им пользуемся сейчас, а, как и другие фундаментальные понятия прошло длинный путь диалектического и исторического развития. Свое начало функциональная зависимость получила в Древней Греции. Перед древнегреческой математикой стояла задача измерение площади и объема фигур в зависимости от изменения размеров. Однако, древние греки осознавали функциональную зависимость интуитивно.

С развитием промышленности в XVI-XVII в. толчок к развитию получила и математика. Математические методы постоянных величин уже не могли решать задачи, которые ставило развивающееся производство и судостроение.

Знаменитый немецкий математик и философ Лейбниц в 1694 г. впервые вводит термин «функция». Определение функции он не дает, Лейбниц понимает функцию как изменение ординаты кривой в зависимости от изменения ее абсциссы. То есть, Лейбниц определяет понятие функции только для геометрии. В современной математике это определение можно сравнить с определением функции в теории множеств: «Функция есть произвольный способ отображения множества А = {а} во множество В = {в}, по которому каждому элементу аА поставлен в соответствие определенный элемент вВ.» Функциональная зависимость при этом : аА!bB. Под элементами множеств А и В понимаются при этом элементы произвольной природы.

Самое большое достижение математики XVII в. изобретение интегрального и дифференциального исчисления. Сформировалось оно в ряде сочинений Ньютона и Лейбница и их ближайших учеников. Введение в математику методов анализа бесконечно малых стало началом больших преобразований. Но наряду с интегральными методами складывались и методы дифференциальные. Вырабатывались элементы будущего дифференциального исчисления при решении задач, которые в настоящее время и решаются с помощью дифференцирования. В то время такие задачи были трех видов: определение касательных к кривым, нахождение максимумов и минимумов функций, отыскивание условий существования алгебраических уравнений квадратных корней.

В 1969г. первый в мире печатный курс дифференциального исчисления опубликовал в 1696 г. Лопитaль. Этот курс состоит из предисловия и 10 глав, в которых излагаются определения постоянных и переменных величин и дифференциала, объясняются употребляющиеся обозначения dx, dy, и др.

Появление анализа бесконечно малых революционизировало всю математику, превратив ее в математику переменных величин.

Исследование поведения различных систем (технические, экономические, экологические и др.) часто приводит к анализу и решению уравнений, включающих как параметры системы, так и скорости их изменения, аналитическим выражением которых являются производные. Такие уравнения, содержащие производные, называются дифференциальными.

В этой работе я рассмотрю только основные понятия и определения связанные с производной функции, а также основы дифференцирования.



Понятие производной

Для решения различных задач физики, геометрии, механики и других отраслей знания возникла необходимость перехода от исходной функциональной зависимости к новой с помощью одного и того же аналитического процесса. Так из некоторой функции y=f(x) получать новую функцию

которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x).

Процесс получения новой функции f ' (x) из исходной функции f(x) называется дифференцированием. Нахождение дифференциала функции связано с теорией пределов и состоит из трех этапов:

Для аргумента x выбирается приращение x. Определяем соответствующее приращение функции y = f(x+x) -f(x).

Составляем отношение приращения функции к приращению аргумента

Находим предел этого отношения. Аргумент x считаем постоянным, приращение x бесконечно малое и стремится к 0.

.

Находим этот предел, и если он существует и конечен, то полученное значение называется производной функции f(x) и обозначается f ' (x).

Таким образом,

Или

Если предел

не существует или принимает значение ? в некоторой точке б, то функция f(x) не имеет производной или не дифференцируема в точке x=a.

Получаем определение производной:

Производная (функции в точке) -- основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при приращения аргумента стремящемся к нулю, если такой предел существует и конечен. Функцию, имеющую конечную производную в некоторой точке, называют дифференцируемой в данной точке.

Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрестностях точки x0



Возьмем некоторую точку x0, значение функции в ней f (х0). Обозначим эту точку А(x0, f (х0)).

Проведем прямую, проходящую через точку A и пересекающую график функции в некоторой точке B(x , f(x)). Прямая АВ называется секущей. Проведем прямую параллельную оси Ox из точки А, и параллельную оси Оу из точки В. Точку пересечения этих прямых обозначим С.

Рассмотрим ?АВС, в нем: АС = ?x; ВС =?у; tgв=?y/?x

Точку пересечения прямой АВ с осью Ox обозначим L.

Сравним ALO и BAC. АС || Ox по построению. Значит, ALO = BAC = в (как соответственные при параллельных). ALO - это угол наклона секущей АВ к положительному направлению оси Ох. Следовательно, tgв=?y/?x = k - угловой коэффициент прямой АВ.

Будем сокращать приращение аргумента ?х, т.е. ?х> 0. По построению точка B должна пересекать график. Значит при уменьшении ?х точка В будет приближаться к точке А по графику. Прямая АВ будет поворачиваться. Последним (предельным) положением точки В будет прямая (б) при ?х> 0 . Прямая б называемая касательной к графику функции у = f (х) в точке А.

Перейдем к пределу при ?х > 0 в равенстве tgв =?y/?x, получим



Этот предел имеет конечное значение

так как -угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох.

По определению производной:

Следовательно, tg =f '(x0). Но tg = k - угловой коэффициент касательной, значит, k = tg = f '(x0).

Геометрических смысл производной заключается в следующем:

Производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x0.

Физический смысл производной

Рассмотри задачу на движение. Пусть точка x движется по прямой. Функциональная зависимость дает нам координату этой точки в любой момент времени y = x(t).

Средняя скорость (из курса физики) за промежуток времени [t0; t0+ ?t] равна отношению расстояния, пройденного за этот промежуток времени, на время, т.е.

Устремим приращение аргумента к 0 и перейдем к пределу в последнем равенстве при ?t > 0.

Это есть мгновенная скорость в момент времени t0, ?t > 0.

А по определению производной

Следовательно, /

Сделаем вывод о физическом смысле производной: производная функции y = f(x) в точке x0 - это скорость изменения функции f (х) в точке x0.

Применение производной в физике очень велико. Рассмотрим некоторые случаи:

1) Имеется функциональная зависимость координаты от времени. С помощью производной мы сможем найти:

(t) = x'(t) - скорость,

a(f) = '(t) - ускорение, или скорость изменение скорости

a(t) = x"(t) - ускорение, вторая производная или производная от производной.

2) Известен закон движения материальной точки по окружности, то можем найти:

ц = ц(t) - изменение угла от времени,

щ = ц'(t) - угловая скорость,

е = ц'(t) - угловое ускорение, или е = ц"(t).

3) Закон распределения массы неоднородного стержня, то применяя дифференцирование находим:

m = m(х) - масса,

x [0; l], l - длина стержня,

р = m'(х) - линейная плотность.

С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических колебаний. Рассмотрим закон Гука

F = -kx, x - переменная координата,

k- коэффициент упругости пружины.

Пусть щ2 =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника х"(t) + щ2x(t) = 0,

где щ = ?k/?m частота колебаний (l/c), k - жесткость пружины (H/m).

Уравнение вида у" + щ2y = 0 называется уравнением гармонических колебаний (механических, электрических, электромагнитных). Решением таких уравнений является функция

у = Asin(щt + ц0) или у = Acos(щt + ц0), где

А - амплитуда колебаний, щ - циклическая частота,

ц0 - начальная фаза.

Правила дифференцирования

Дифференцирование - это вычисление производной. Рассмотрим основные формулы дифференцирования, которые для решения задач придется выучить и тогда решение сводится к тому, чтоб привести формулы к известному виду.

Рассмотрим формулы для дифференцирование:

Производная константы:

Производная степенной функции:

Производные тригонометрических функций:

Производные логарифмов:

Производная показательной функции:

Производная экспоненты:

Теперь, рассмотрим основные правила дифференцирования, с помощью которой любую функцию можно привести к функциям производные которых известны.

Возьмем функции u(x), v(x),f(x),g(x):

Производная суммы (разности) функций равно сумме (разности) производных:

Производная частного:

Производная произведения:

Производная сложной функции:

Производная степенно-показательной функции:

, где f(x) > 0

Логарифмическое дифференцирование

Рассмотри функцию y= f(x) и f(x) не обращается в 0 в точке .

Если функции f(x) сложная, то найти ее производную с помощью обычных формул не получится. Известно, что f(x) не равно 0 в точке . Сделаем новую функцию 

Найдем ее производную

- логарифмическая производная функции.

Получаем:

Следовательно

При нахождении производной сложной функции задача сводится к тому, чтобы с помощью формул сложного дифференцирования свести задачу к известным производным.



Заключение

Эта работа носит обзорный характер: основные сведения о производной, а также некоторых области ее применения. Данная работа может быть полезна ученикам старших классов общеобразовательных учреждений, а также абитуриентам высших учебных заведений.

В реферате дается определение производной, через теорию пределов. Производная (функции в точке) -- основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Геометрический смысл производной: производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x0. Физический смысл производной: производная функции y = f(x) в точке x0 - это скорость изменения функции f (х) в точке x0. Также в работе даны простые формулы дифференцирования, а также формулы для дифференцирования сложной функции и рассмотрена логарифмическая производная функции.

Нахождение производной применяется во многих областях науки. В математике производная позволяет провести анализ функции. В физике Вычисление скорости и ускорения при прямолинейном движении, вычисление силы и энергии. В производстве и строительстве, например, для решения задачи: Заготовленной плиткой нужно облицевать 6000 кв. м боковых стенок и дна желоба прямоугольного поперечного сечения длиной 1000 м. Каковы должны быть размеры сечения, чтобы пропускная способность желоба была наибольшей? В Химии для решения задач на нахождения скорости реакции. И во многих других науках. Знание производной и умение дифференцировать позволяет решать многие задачи.

Список литературы

1. “Справочник по математике” И. Бронштейн, К. Семендяев 1948 г.

2. “Математика--абитуриенту”. В. В. Ткачук, М.: Просвещение, 1980.

3. “Математика” Р. Л . Вейцман, Л . Р. Вейцман, 2000 г.

4. “Алгебра начала анализа 10-11” А . Н . Колмогоров, 1993 г.

5. “Математика для старшеклассников. Теория задачи”. Д. Т. Письменный, М.: “Айрис”, “Рольф”, 1996.

Размещено на Allbest.ru