1

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра математического анализа

Дипломная работа

Задача Коши и некоторые приближенные методы ее решения

Выполнил студент

Попов Дмитрий Владимирович

Научный руководитель:

Гапоненко Любовь Павловна

Иркутск 2001

Содержание

Введение

Глава 1. Приложения дифференциальных уравнений к решению задач

1.1 Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

1.2 Задачи, сводящиеся к задаче Коши первого порядка

Глава 2. Качественные вопросы теории дифференциальных уравнений

2.1 Правильные и особые начальные условия

2.2 Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши

2.3 Иллюстрация работы теоремы Коши

Глава 3. Приближенные методы решения задачи Коши

3.1 Метод изоклин

3.2 Метод последовательных приближений

3.3 Численные методы решения задачи Коши

3.3.1 Метод Эйлера

3.3.2 Метод Милна

Заключение

Литература

Приложения

Введение

Актуальность темы. Исследование большого круга естественно - научных и инженерных проблем приводит к математическим задачам, которые сводятся к решению дифференциальных уравнений. Так, например, к ним относятся основная задача баллистики, задача о свободных колебаниях маятника в сопротивляющейся среде, задача о радиоактивном распаде, задача об изменении популяции биологического вида и ряд других задач.

Современный учитель математики должен достаточно хорошо ориентироваться в этих вопросах, тем более при работе в гимназии или лицее, где понятие дифференциального уравнения входит в обязательную программу по математике.

В процессе обучения в ВУЗе достаточно полно изучается теория точных методов решения задачи Коши, должное внимание уделяется изложению методов решения типовых задач теории обыкновенных дифференциальных уравнений, но не достаточно освещены вопросы их приложений; существования и единственности решения и приближенных методов его отыскания. Обоснование постановки проблемы. Лишь в редких случаях удается решить дифференциальное уравнение в так называемой замкнутой форме, т.е. представить решение в виде аналитической формулы, использующей конечное число операций над элементарными функциями. Но такие прикладные задачи существуют, и будущий учитель должен достаточно полно представлять возможности теории дифференциальных уравнений в этом случае. Но даже если удается решить дифференциальное уравнение в замкнутой форме, то далеко не всегда такое решение можно проанализировать, ибо полученная зависимость между различными параметрами часто оказывается весьма сложной, тогда становится очевидной необходимость в приемах и методах, которые бы позволяли, не решая самих дифференциальных уравнений, все же получать необходимые сведения о тех или иных свойствах решений. Такие приемы и методы существуют, они и составляют содержание качественной теории дифференциальных уравнений, в основе которой лежат общие теоремы о существовании и единственности решений, о непрерывной зависимости решений от начальных данных и параметров. Когда же известно, что рассматриваемая задача Коши имеет единственное решение, то можно разрабатывать и метод ее приближенного решения. Цель работы. Познакомиться с качественной теорией дифференциальных уравнений первого порядка и, применяя ее, проанализировать различные методы приближенного решения задачи Коши, приводящие к различным способам задания ее решения. Задачи, которые необходимо решить для достижения цели. 1). Подобрать ряд прикладных задач, сводящихся к дифференциальным уравнениям первого порядка, показывающих важность теории дифференциальных уравнений. 2). Доказать теорему существования и единственности решения задачи Коши первого порядка. На отдельных примерах показать ее применение. 3). Рассмотреть различные методы приближенного решения задачи Коши, позволяющие получить решение заданное геометрически, аналитически и численно. 4). Подобрать примеры и, доказав существование их решения, найти эти решения, применяя рассмотренные приближенные методы. Практическая значимость работы. На наш взгляд работа имеет следующую практическую значимость: 1). Имеет раздел (задачи, сводящиеся к дифференциальным уравнениям), который может считаться содержательной основой факультатива по этой теме. 2). Знакомство с приближенными методами решения задачи Коши позволяет будущему учителю более качественно вести соответствующие разделы школьной математики, не знакомя их с типовыми решениями. Краткое содержание и объем работы. Работа состоит из введения, трех глав заключения и приложения, а также списка литературы, включающего наименований. Общий объем работы страниц. Первая глава содержит примеры прикладных задач, сводящихся к дифференциальным уравнениям. Отметим, что задачи подобраны так, чтобы показать все возможные типы дифференциальных уравнений первого порядка. Кроме того, они подобраны из различных разделов естественных наук. Во второй главе рассмотрены вопросы существования и единственности решения задачи Коши, а третья глава посвящена приближенным методам ее решения. Рассмотрение приближенных методов решения задачи Коши построено по принципу возрастания качества их результатов, т.е. начиная с простых методов, дающих результаты не очень высокой степени точности, и заканчивая методом Милна, который выгодно отличается от ранее рассмотренных.

В приложении, в дополнение к задачам, решенным в §2 главы 1, мы приводим еще довольно большой набор задач, сводящихся к дифференциальным уравнениям 1 - го порядка, и их решений. Эти задачи могут стать основой при проведении, например, факультативного курса для студентов математического факультета по исследуемой теме.

В работе применяется тройная нумерация для формул. Первая цифра определяет главу, вторая - параграф, третья - номер самой формулы.

Глава 1. Приложения дифференциальных уравнений к решению задач

дифференциальный коши математический

При изучении явлений природы, решение многих задач физики и техники, химии и биологии, других наук не всегда удается непосредственно установить прямую зависимость между величинами, описывающими тот или иной эволюционный процесс. Однако в большинстве случаев можно установить связь между величинами и скоростями их изменения относительно других независимых переменных величин, т. е. найти уравнение, в котором неизвестные функции входят под знак производной, т. е. дифференциальные уравнения.

В данной главе мы рассмотрим ряд таких задач. Их подбор осуществлялся по следующим принципам: 1). Это должны быть дифференциальные уравнения первого порядка, 2). Задачи должны демонстрировать применение дифференциальных уравнений к различным областям человеческой деятельности, 3). Решение таких задач должно сводиться к типовым дифференциальным уравнениям, т. е. их решение может быть найдено в конечном виде. Прежде чем приступить к рассмотрению этих задач рассмотрим основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

1.1 Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

Дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое содержит производные от искомой функции и может содержать искомую функцию и независимую переменную. Будем предполагать, что независимая переменная всегда принимает действительное значение.

Уравнения, в которых искомая функция является функцией только от одной независимой переменной, называются обыкновенными дифференциальными уравнениями. В дальнейшем всюду будем рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения.

Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения. Мы будем рассматривать уравнения первого порядка. Его можно записать так

Функция y=y(x), удовлетворяющая уравнению (1.1.1) называется его решением. Характерным свойством дифференциального уравнения является то, что оно имеет бесконечно много решений. Действительно, простейшим дифференциальным уравнением первого порядка является уравнение где f(x) - известная функция, а

y = y(x)

искомая функция независимой переменной х. Решением такого уравнения будет семейство первообразных. Поэтому для обыкновенных дифференциальных уравнений можно говорить о решениях, которые содержат произвольные постоянные - общее решение, и не содержат произвольных постоянных - частное решение. Данные пояснения нельзя считать определениями общего и частного решения в строгом математическом смысле. Ясно одно, что чтобы выделить из бесконечного множества решений то, которое описывает именно рассматриваемый процесс, надо иметь дополнительную информацию, например, знать начальное состояние процесса. В общем случае считается заданным значение искомой функции при некотором значении аргумента. Для уравнения (1.1.1) таким дополнительным условием может быть условие вида: (условие Коши). Используя это условие можем дать определения общего и частного решения. Определение. Функция y = ц(x,C) называется общим решением уравнения 1). Она удовлетворяет уравнению, т. е. при подстановке функции в уравнение получается верное равенство,

2). Содержит одну произвольную постоянную

3). Произвольная постоянная входит в функцию y = ц(x,C) так, что для любых x0, y0 существует единственное значение произвольной постоянной С0, при котором функция y = ц(x,C) удовлетворяет условию y = ц(x0,С0) = y0. Определение. Решение, получаемое из общего при конкретном произвольной постоянной С, называется частным решением уравнения (1. 1. 1) (включая С= ).

Замечание. Если общее решение задано в неявном виде уравнением вида f(x, y, C) = 0, то его называют общим интегралом. Из всех уравнений вида (1. 1. 1) можно выделить целый класс уравнений вида т. е. уравнений разрешенных относительно y?.Если дано уравнение (1. 1. 2) и дополнительное условие у(х0) = у0, то говорят дана задача Коши:

Приведем примеры уравнений вида (1. 1. 2) и их общих решений. Пример. Доказать, что функция у= х-0,5cos2x + C есть общее решение уравнения

Решение. Проверим выполнение всех условий из определения общего решения.

1). Покажем, что данная функция удовлетворяет уравнению (1. 1. 4). Найдем. Произвольная постоянная входит в функцию так, что для любых x0, y0 должно существовать единственное значение С0, такое, что

y0= x0 - 0,5cos2x0 + С0.

Это уравнение относительно С0 всегда имеет решение

С0= y0-x0 - 0,5cos2x0.

Следовательно, данная функция является общим решением. Пример. Доказать, что функция

у = Сх3

есть общее решение уравнения Решение. Проверим выполнение всех условий из определения общего решения. 1). Покажем, что данная функция удовлетворяет уравнению (1. 1. 5).Найдем ее производную и подставим это выражение и выражение функции в уравнение (1. 1. 5): Получили верное равенство. 2). По виду данной функции видим, что она содержит одну произвольную постоянную. 3). Произвольная постоянная входит в функцию так, что для любых x0, y0 должно существовать единственное значение С0, такое, что у0= Сх03. Это линейное уравнение относительно С0 и всегда имеет решение. Следовательно, данная функция является общим решением. Пример. Доказать, что функция

у = Сех

есть общее решение уравнения.

Решение. Проверим выполнение условий из определения общего решения. 1). Покажем, что данная функция удовлетворяет уравнению. Найдем ее производную и подставим это выражение и выражение функции в уравнение. Получили верное равенство. 2). По виду данной функции видим, что она содержит одну произвольную постоянную. 3). Произвольная постоянная входит в функцию так, что для любых x0, y0 должно существовать единственное значение С0, такое, что

у0= С0eх0

Это линейное уравнение относительно С0 и всегда имеет решение. Следовательно, данная функция является общим решением. Процесс нахождения решений данного дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения. Если при этом удается выразить все решения в элементарных функциях, то говорят, что уравнение проинтегрировано в элементарных функциях. Если уравнение не интегрируется в элементарных функциях, но все его решения выражаются через неопределенные интегралы от элементарных функций, то говорят, что уравнение проинтегрировано в квадратурах. Квадратурой называется операция взятия неопределенного интеграла.

Если уравнение удается проинтегрировать в элементарных функциях или в квадратурах, то говорят, что оно интегрируемо в конечном виде. Однако значительно большее число уравнений не интегрируется в конечном виде, и для аналитического представления решений приходиться привлекать более сложный математический аппарат. Основная задача теории интегрирования дифференциального уравнения состоит в нахождении всех решений этого уравнения и изучении их свойств. Эта задача наиболее полно решена для линейных уравнений.

Как уже говорилось, во многих задачах, которые приводятся к дифференциальным уравнениям 1 - го порядка, требуется найти решение, принимающее заданное значение при заданном значении независимой переменной. Такая задача называется начальной задачей или задачей Коши (1. 1. 3). Среди всех дифференциальных уравнений 1 - го порядка вида (1. 1. 2) выделяют типовые уравнения. 1). Уравнение с разделенными переменными, т. е. уравнение вида, которое решается в квадратурах непосредственным интегрированием. Форма общего решения: 2). Уравнение с разделяющимися переменными, т. е. уравнение вида. Такое уравнение всегда разрешается в квадратурах, т. к. его можно свести к уравнению с разделенными переменными с помощью разделяющего множителя. Применение разделяющего множителя сужает область допустимых значений, что может привести к потере решений, поэтому необходимо проверить, будут ли решениями исходного уравнения те значения х и у, которые обращают в нуль Х2(х) и У1(у) (подстановкой). Если удовлетворяют, то это решения, причем если они получаются из общего при каких - то С, то это частное решение, если же ни при каком С из общего решения не получаются, то они не будут частными, назовем их пока особыми. Форма общего решения 3). Однородные уравнения и сводящиеся к ним. Функция называется однородной степени н, если для всех >0выполняется равенство Например, функции являются однородными соответственно степени 0, 1, 2, н.

Дифференциальное уравнение (1. 1. 2) называется однородным, если f (х, у) - однородная функция степени нуль. Уравнение является однородным, если и однородные функции одной и той же степени.

Областью определения однородного уравнения не обязательно должна быть вся координатная плоскость без точки О. Однородные уравнения можно рассматривать в любой однородной(инвариантной относительно растяжений) области, например в угле с вершиной О, и т. д. Замена у = zх приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными. Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными также в полярной системе координат. К однородным уравнениям приводятся уравнения вида Если с1 = с = 0,то данное уравнение есть, очевидно, однородное. Если с и с1(или одно из них) отличны от нуля, то делая замену переменных

Прием, применяемый к интегрированию исходного уравнения, применяется

1.2 Задачи, сводящиеся к задаче Коши первого порядка

Задачи, решение которых приводится к интегрированию дифференциальных уравнений, содержащих производные и дифференциалы неизвестных функций, весьма разнообразны. В таких задачах ищется функция или зависимость между переменными факторами какого - либо физического, химического или технического процесса, уравнение(форма) линии или поверхности.

При решении этих задач вначале составляется дифференциальное уравнение задачи, которое затем решается тем или иным способом в зависимости от его типа.

Дифференциальное уравнение задачи составляется по ее условию и в зависимости от условия задачи оно получается либо как соотношение между дифференциалами переменных величин, либо как соотношение, содержащее производные неизвестной функции. При составлении дифференциального уравнения задачи в виде соотношения между дифференциалами переменных можно делать различные допущения, упрощающие задачу и, вместе с тем, не отражающиеся на результатах. Так, например, подобно тому как и при отыскании дифференциала неизвестной величины, здесь можно небольшой участок кривой считать прямолинейным, небольшой участок поверхности - плоским, в течение малого промежутка времени переменное движение можно рассматривать как равномерное, а всякий физический, химический или технический процесс как протекающий с неизменной скоростью.

При составлении дифференциального уравнения задачи в виде соотношения между производными используется геометрический, физический или механический смысл производной.

Кроме того, при составлении дифференциального уравнения задачи, в зависимости от ее условия, используются известные законы физики, химии, механики и других наук и различные математические сведения.

Задачи, сводящиеся к дифференциальным уравнениям с разделенными переменными.

Задача 1. В прямолинейной трубе радиуса R течет жидкость. Скорость течения э каждого слоя жидкости увеличивается с приближением этого слоя к центру трубы (оси цилиндра). Найти э как функцию расстояния r соответствующего слоя жидкости от оси цилиндра.

Решение. Из гидравлики известно, что зависимость между э и r выражается уравнением:, где Э-коэффициент вязкости; i- гидравлический спад; г - плотность жидкости (знак "-" обусловлен тем, что с увеличением расстояния r скорость течения уменьшается).

Интегрируя уравнение, имеем. Значение постоянной С определим из условия, что скорость течения слоя жидкости, непосредственно прилегающего к трубе, равна 0, т.е. э(R)=0:

Задача 2. В цилиндрическом сосуде объемом V0 атмосферный воздух адиабатически (без обмена теплоты с окружающей средой) сжимается до объема V1. Вычислить работу сжатия.

Решение. Представим, что в цилиндрическом сосуде воздух сжимается с помощью поршня, При опускании поршня на бесконечно малое расстояние dx совершается работа где p- давление воздуха до опускания поршня, S- площадь поршня. Но

Sdx =dV

- бесконечно малое изменение объема, поэтому

dA= - pdV.

Согласно закону Пуассона,

где н- постоянная для данного газа величина.

Получаем дифференциальное уравнение

Решая его, находим:

При V=V1 имеем

Задачи, сводящиеся к дифференциальным уравнениям с разделенными переменными.

Задача 3. Метеорит, находящийся под влиянием земного притяжения, из состояния покоя начинает прямолинейно падать на Землю с высоты h. Какой была бы скорость метеорита при достижении им поверхности Земли, если бы отсутствовала земная атмосфера? Радиус Земли R= 6377 км.

Решение. Пусть х = х (t) - расстояние, пройденное метеоритом с начала падения, h - расстояние от метеорита в момент t до центра Земли. В момент t на метеорит действует сила F = ma, где m - масса метеорита, а - его ускорение. На поверхности Земли на метеорит действует сила тяжести Р = mg, где g - ускорение свободного падения на поверхности Земли.

Поэтому изменение скорости х метеорита в зависимости от пройденного расстояния х выражается формулой

На поверхности Земли

х = h - R

скорость метеорита

Т. к. h по условию неограниченно велико, то, переходя к пределу при h > ?, получим. При достижении Земли метеорит имеет скорость

Задача 4. Известно, что скорость распада радия пропорциональна наличному количеству его. Найти закон распада радия, если известно, что через 1600 лет останется половина первоначального количества. Какой процент окажется распавшимся через 100 лет?

Решение. Обозначим через R количество радия в момент t = 0, а через R0 первоначальное количество его, т. е. количество радия в момент времени t = 0. Тогда скорость распада равна. Эта скорость отрицательна (ибо R есть убывающая функция от t, а тогда ее производная должна быть отрицательной).

Найдем С и н. Для определения С воспользуемся начальными условиями R=R0 при t = 0. Подставляя в (1. 2. 2) получаем R0=С. Теперь

Для нахождения н воспользуемся указанными в задаче ЅпромежуточнымиЅ условиями R=0,5R0 при t =1600. Полагая в (1. 2.3) имеем:

Подставляя найденное значение н в формулу (1. 2.3), найдем искомую зависимость R от t:

Задачи, сводящиеся к линейным дифференциальным уравнениям.

Задача 5. На материальную точку массы m действует постоянная сила, сообщающая точке ускорение а. Окружающая среда оказывает движущейся точке сопротивление, пропорциональное скорости ее движения, коэффициент пропорциональности равен г. Как изменяется скорость движения со временем, если в начальный момент точка находилась в покое?

Решение. Будем отсчитывать время с момента начала движения. Через х(t) обозначим скорость движения точки в момент времени t. Тогда х(0) = 0. В произвольный момент t на точку действует сила ma - г х(t). Согласно второму закону Ньютона, эта сила сообщает точке ускорение, равное. Ускорение в момент t - это скорость изменения скорости движения в этот момент, т. е. производная скорости как функции времени. Поэтому

Запишем это уравнение так:

Одним из решений является постоянная функция. Она обращает правую часть уравнения в нуль, а производная постоянной функции также равна нулю, поэтому все решения полученного уравнения определяются выражением

Выберем то решение, которое удовлетворяет условию х(0) = 0. Полагая в (1. 2. 4) t = 0, получим. Скорость движения материальной точки изменяется по закону

Из этой формулы видно, что скорость движения материальной точки возрастает со временем, приближаясь к. Через некоторое время после начала движения точка будет двигаться практически равномерно со скоростью, близкой к.

Задача 6. В сосуд, содержащий 20 л воды, непрерывно со скоростью 5 л в минуту поступает раствор, в каждом литре которого содержится 0,2 кг соли. В сосуде раствор перемешивается, и смесь вытекает из сосуда с той же скоростью. Сколько соли будет в сосуде через 4 минуты?

Решение. Обозначим через m(t) количество соли в сосуде через t минут после начала процесса. Вычислим насколько изменится количество соли в сосуде за промежуток времени [ t; t + ?t].

За время ?t в сосуд поступит 5?t л раствора. В этом растворе содержится 0,2*5?t=?t кг соли. За это же время из сосуда вытечет 5?t л раствора. В момент t в сосуде было m(t) кг соли, следовательно, в 5?t л вытекающего раствора содержалось бы кг соли, если бы за время ?t количество соли в сосуде не изменялось. Так как за это время данное количество соли изменится на некоторую величину б (отметим, что б>0 при?t>0), то из сосуда за время ?t вытечет кг соли, где 0<в<б.

Т. о., в растворе, втекающем в сосуд за промежуток [ t; t + ?t], содержится ?t кг соли, а в вытекающем за это же время кг соли. Приращение количества соли за это время равно разности найденных величин, т. е.

Разделим обе части этого равенства на ?t и перейдем к пределу при ?t>0. Учитывая, что в>0, когда ?t>0, имеем Получили дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция m(t). Решения этого уравнения имеют вид

Так как в момент t = 0 соли в сосуде не было, т. е. m(0) = 0, то С= -4. Итак, количество соли в сосуде со временем изменяется по закону

В момент t = 4 в сосуде будет m (4) = 4(1-e-1) ? 2,4 кг соли.

Задача, сводящаяся к уравнению Бернулли.

Задача 7. Если тело движется в среде с сопротивлением, то сопротивление среды зависит от скорости так:

Найти скорость движения тела, если в момент времени t =0, х=хо.

Левая часть уравнения (1. 2. 6) линейна относительно скорости и производной. В правой части - функция n. Очевидно, имеем уравнение Бернулли.

Найдем закон изменения скорости в уравнении (1. 2. 5) или (1. 2. 6). В уравнении (1. 2. 6) - сила сопротивления трения, а - сила сопротивления давления.

Замечание.

1). Если скорость невелика, то сила давления пропорциональна квадрату скорости.

2). Если скорость близка к скорости света, то сила давления пропорциональна кубу скорости.

3). Если скорость больше скорости света, то сила давления пропорциональна квадрату скорости.

Рассмотрим решение задачи в общем виде, не используя готовую формулу:

Функцию z, в силу ее произвольности, берем так, чтобы

Первое уравнение системы (1. 2. 7) - линейное однородное, его решение

Найдем функцию из второго уравнения системы:

Проинтегрируем это уравнение, в результате получим:

При t = 0

Итак, мы показали, что уравнение Бернулли разрешимо в квадратурах.

Задачи, сводящиеся к однородным дифференциальным уравнениям. Задача 8. Найти уравнение кривой, которая проходит через точку (2, 3) и обладает тем свойством, что отрезок любой ее касательной, заключенный между координатными осями, делится в точке касания пополам.

Решение. Рассмотрим произвольную точку кривой Р(х, у). Угловой коэффициент касательной к кривой в этой точке равен у?. С другой стороны этот угловой коэффициент можно найти из условия, что Р - середина отрезка АВ

Действительно,, но из подобия треугольников АОВ и PQB следует, что

QB=QO=x

Поэтому в любой точке кривой, т. е. получаем однородное дифференциальное уравнение. Определим С из начального условия: С=6. Следовательно, искомой кривой является гипербола

Глава 2. Качественные вопросы теории дифференциальных уравнений

Теоремы существования и единственности имеют принципиальное значение, гарантируя законность применения качественных методов теории дифференциальных уравнений для решения задач естествознания и техники. Они являются обоснованием для создания новых методов и теорий. Часто доказательства самих теорем существования и единственности являются конструктивными, т. е. методы доказательства дают и методы приближенного отыскания решений с любой степенью точности. Т. о., теоремы существования и единственности лежат в основе не только упоминавшейся выше качественной теории дифференциальных уравнений, но и в основе методов численного интегрирования.

2.1 Правильные и особые начальные условия

Определение общего решения дифференциального уравнения, известное в литературе, не является вполне точным, т.к., во - первых, начальные условия могут быть такими, которым нельзя удовлетворять, во - вторых, начальным условиям может удовлетворять бесконечно много решений данного уравнения. Однако такие условия являются исключительными, а для обычных начальных условий все обстоит благополучно. Т. о., слова из общего определения общего решения произвольная постоянная С входит существенно… означают, что подбором этой произвольной постоянной можно удовлетворить любым обычным начальным условиям. Если начальные условия таковы, что подобрать С не удается, то их как раз и называют особыми - исключительными.

Геометрически речь идет о нахождении интегральной кривой, проходящей через точку М0 (х0,у0), т. е. точка М0 (х0,у0) будет правильной, если через нее проходит единственная интегральная кривая и исключительной, особой, если через нее либо не проходит ни одной интегральной кривой, либо их бесконечно много.

Говорят, что точка М0 (х0,у0) особая, если через нее проходит более одной интегральной кривой или не проходит не одной.

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих это положение.

Пример 1.

Общее решение этого уравнения

х2+у2=С2

Здесь

f(x,y)=-.

Отсюда видно, что для любой точки (х0, у0) за исключением точки (0, 0), т. е. условия у(0)=0, постоянная С может быть найдена. Так, например, если у(3)=4, то С=5 и существует единственная кривая х2+у2=25, проходящая через точку (3,4)

Если же одновременно х=0, у=0, то подобрать такие значения С не удается. Условие у(0)=0 будет особым. Через точку (0, 0) не проходит не одной интегральной кривой данного уравнения.

Пример 2.

Общим решением этого уравнения будет семейство функций

у=Сх2

семейство парабол. Здесь, аналогично предыдущему, любое начальное условие, за исключением у(0)=0, будет обычным, т. к. уравнение

у0=Сх0

с неизвестным С имеет единственное решение, т. е. всегда можно подобрать такое С, что функция

у=Сх2

будет удовлетворять указанным начальным условиям. Так, например, условие у(1)=1 (точка М (1, 1)) - правильное, т. к. при С=1 имеем решение

у=х2

т. е. функцию, удовлетворяющую этим начальным условиям.

Условие у(0)=0 - особое условие, иначе - точка (0, 0) особая, причем ясно, что можно взять любое С, чтобы интегральная кривая прошла через эту точку

Пример 3.

Семейство интегральных кривых имеет вид ху=С. И опять точка (0, 0) особая, т. к. из вида общего решения ясно, что через точку (0, 0) проходят две интегральные кривые х=0, у=0.

Исключительно большое значение для теории дифференциальных уравнений и ее приложений имеет как раз вопрос о правильности начальных условий или другими словами вопрос о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. Ясно, что свойство единственности зависит от самого дифференциального уравнения и от начальных условий, иногда от свойств функции f (x, y) и точки (х0, у0). Условия, позволяющие заранее определить можно ли найти решение задачи Коши (2. 2. 1), (2. 2. 2) и будет ли оно единственным, имеют принципиальное значение, т. к. они позволяют по виду уравнения, не решая его, выяснить вопрос существования этого решения. Если такие условия будут определены, то фактически не зная общего решения, мы сможем ответить на вопрос о правильности начального условия. Следующий параграф как раз и будет посвящен получению таких условий.

2.2 Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши

Итак, нас интересует ответ на вопрос: Когда решение дифференциального уравнения будет существовать и будет единственным? Этот ответ дает теорема существования и единственности решения задачи Коши. Первое доказательство существования решения дифференциального уравнения принадлежит Огюстену Коши; приводимое мной доказательство дано Пикаром. Это доказательство производится при помощи метода последовательных приближений, который не только устанавливает, что решение существует, но и дает возможность приближенно найти его.

Прежде чем формулировать и доказывать теорему существования и единственности решения задачи Коши покажем, что задача Коши эквивалентна интегральному уравнению вида:

Пусть у(х) - функция, удовлетворяющая уравнению (2. 2. 1) и начальным условиям (2. 2. 2). Рассматривая правую часть уравнения (2. 2. 1) как сложную функцию от х, возьмем определенный интеграл по переменной х от х0 до некоторого значения

х [ x0-a, x0+a]

от каждой части дифференциального уравнения (2. 2. 1) (при этом переменную интегрирования обозначим через х)

Интеграл существует в силу предположения о непрерывности f (x, y) и непрерывности у (х). Т. к.

Обратно, если у (х) удовлетворяет уравнению (2. 2. 3), то ясно, что у =у0 при х = х0. Дифференцируя обе части уравнения (2. 2. 3) по х и пользуясь правилом дифференцирования определенного интеграла по переменному верхнему пределу, получим: у=f (x, y), т. е. доказана равносильность (2. 2. 1) и (2. 2. 3). Т. о., решить задачу Коши (2. 2. 1), (2. 2. 2) - это значит решить интегральное уравнение (2. 2. 3).

Теорема: Если функция f (x, y) удовлетворяет следующим условиям:

1). f (x, y) - непрерывная функция двух переменных в некотором прямоугольнике

D = [x0-a, x0+a; y0-b, y0+b],

2). Частная производная (х, у) существует и ограничена как функция двух переменных в прямоугольнике D, то существует единственное решение данного дифференциального уравнения (2. 2. 1), определенное в некотором промежутке [x0-h, x0+h] и удовлетворяющее начальным условиям (2. 2. 2).

Прежде чем доказывать теорему сделаем ряд замечаний.

Замечание 1. В условии 1) теоремы областью определения функции f (x, y) может быть любая область плоскости ХОУ, в частности вся плоскость; из этой области выделяем прямоугольную область D с центром в точке (x0, y0).

Здесь а и b - некоторые положительные числа. Т. к. непрерывная функция является в замкнутой области ограниченной, то из условия 1) следует существование такого положительного числа М, что неравенство f (x, y)М выполняется для всех точек области D.

Замечание 2. Ясно, что если точка (х, у)D, то имеют место неравенства

Замечание 3. Из условия 2) теоремы имеет место следующее неравенство: которое называют условием типа Липшица. Докажем это. Возьмем точки (х, у2)D и (х, у1)D. Применим теорему Лагранжа по у к разности f (х, у2) - f (х, у1), имеем т. е. (х, ) D. (Имеем право применить теорему Лагранжа, т.к. в D существует частная производная по у, и функция f (х, у) непрерывна в D.)

Оценим по абсолютной величине данную разность и сразу имеем (2. 2. 4).

Примечание. Отметим, что в теореме гарантируется существование и единственность решения задачи Коши только при х[x0-h, x0+h]. Т. о., фактически оговаривается область существования и единственности решения. С учетом предыдущих замечаний можно уточнить условия из которых выбирается h:

Доказательство теоремы Коши(состоит из четырех частей).

Общая идея: Т. к. задача Коши (2. 2. 1), (2. 2. 2) эквивалентна интегральному уравнению (2. 2. 3), то для доказательства теоремы достаточно показать существование и единственность решения уравнения (2. 2. 3). Применяют метод последовательных приближений Пикара [ ].

За начальное приближение к решению выбирают у0 и строят последовательность приближений:

Далее показывают, что последовательность такова, что

1). (х, уn(x)) D, n = 0, 1, 2,…

2). limyn(x) = y*(x)

3). y*(x) - решение уравнения (2. 2. 3)

4). y*(x) - единственное решение при х[x0-h, x0+h].

Проведем доказательство теоремы, исходя из общей идеи.

1). Покажем, что (х, уn(x)) D, n = 0, 1, 2,…

Это значит надо показать что при (Смотри замечание 2).

Доказательство этому проведем методом математической индукции.

При n = 0 (х, у0) D (очевидно).

Предположим, что (х, уn(x)) D и покажем, что (х, уn+1(x)) D. Из (2. 2. 5) имеем: Тогда: а). Если х>х0, т. е. х[x0, x0+h], то

Смотри замечание 1

Если х<х0, т. е. х[x0-h, x0], то

Т. о., при х[x0-h, x0+h] yn+1(x)-y0b. Что и требовалось доказать.

2). Покажем, что limyn(x) = y*(x).

Составим вспомогательный функциональный ряд

Частичная сумма ряда. Т. о., если мы докажем сходимость ряда (2. 2. 6) при хX, то будет существовать т. е. докажем существование предела последовательности при хX.

а). Если х>х0, т. е. х[x0, x0+h], то

Используем (2. 2. 4) (Смотри замечание 3), получим

Для получения этих неравенств пользовались тем, что (х, уn(x)) D и неравенством (2.2.4)).

б). Если х<х0, т. е. х[x0-h, x0], то мы получим аналогичные неравенства вида:

Т. о., для х[x0-h, x0+h] имеем

На основании (2. 2. 7) ряд является мажорантным для исходного вспомогательного ряда (2. 2. 6).

Умножим (2. 2. 7) на и прибавим 1(сходимость не нарушится), получим ряд

Разложение функции в окрестности точки х0). Этот ряд сходится при х, и в том числе при х-х0 < h, т.е. существует

limyn(x) = y*(x),

причем y*(x) - непрерывная функция и (х, y*(x))D. Что и требовалось доказать.

3). Покажем, что полученная таким образом функция y*(x) есть решение уравнения (2. 2. 3). т. к. предел от интеграла равен подынтегральной функции.

Покажем, что при х-х0 < h.

Т. к. равномерно при х-х0 < h, то

Т. о., (2. 2. 8) имеет место, а значит получим

т. е. y*(x) - решение уравнения (2. 2. 3). Что и требовалось доказать.

4). Докажем единственность решения при х-х0 < h. Воспользуемся методом от противного. Пусть при х-х0 < h существует два решения уравнения (2.2.3): у*(х) и у**(х), т. е. имеют место равенства:

Вычтем из второго уравнения первое:

Если х>х0, т. е. х[x0, x0+h], то

Если х<х0, т. е. х[x0-h, x0], то аналогично рассуждая получим аналогичную формулу, и следовательно в итоге имеем:

Т. о., последнее равенство выполняется х[x0-h, x0+h], а значит и для такого х, когда левая часть принимает наибольшее значение:

Т. к. h<,, следовательно пришли к противоречию, которое доказывает единственность решения уравнения (2. 2. 3). Что и требовалось доказать.

Т. о., если выполнены условия теоремы, то существует единственное решение задачи Коши (2. 2. 1), (2. 2. 2) при х-х0 < h.

Теорема доказана.

В заключении отметим, что теорема имеет локальный характер: она гарантирует существование единственного решения

у = у*(х)

уравнения

у'=f(х, у)

лишь в достаточно малой окрестности точки хо.

Из теоремы вытекает, что уравнение

у'=f(х, у)

имеет бесконечное множество различных решений(например, одно решение, график которого проходит через точку (хо, уо); другое решение, когда, график проходит через точку (хо, у1), и т. д.).

Теорема дает достаточные условия существования единственного решения уравнения

у'=f(х, у)

Это означает, что мы можем гарантировать существование единственного решения

у = у*(х) уравнения у'=f(х, у),

удовлетворяющего условию

у(хо) = уо,

хотя в точке (хо, уо) могут не выполняться условия теоремы 1) или 2) или оба вместе.

Например, для уравнения, имеем. В точках оси ОХ функции f(x, y) и f y'(x, y) разрывны, причем при Но через каждую точку (хо, 0) оси ОХ проходит единственная интегральная кривая

Кроме этого теорема дает достаточные условия того, что в некоторой области D не существует особых начальных условий (особых точек), т. е. через каждую точку области, где выполнены условия теоремы, проходит единственная интегральная кривая.

2.3 Иллюстрация работы теоремы Коши

В этом параграфе мы рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих возможность применения теоремы для доказательства существования решения. Примеры взяты из [ ] литературы для самостоятельной работы.

Пример 1. Рассмотрим дифференциальное уравнение

f (x, y) =, уо=0, хо=0.

Функция определена и непрерывна на всей плоскости. Но не определена при у = 0, т. е. на всей оси ОХ.

Он содержит внутри себя участок оси ОХ, на котором не существует. Т. о., нарушается второе условие теоремы и нельзя гарантировать существование единственного решения уравнения (2. 3. 1) при начальных условиях (2. 3. 2).

Рассмотрим уравнение (2. 3. 1), но с другими начальными условиями

Можно указать такой прямоугольник D, в котором условия теоремы выполняются. Для этого надо взять прямоугольник таких размеров, чтобы он не захватывал оси ОХ, например. Для в D справедливо неравенство так как в D.

Укажем размеры промежутка изменения х, в котором теорема гарантирует существование единственного решения уравнения.

Число а может быть любым. Следовательно, можно взять и по теореме существование единственного решения уравнения (2. 3. 1), удовлетворяющего начальным условиям (2. 3. 3), гарантировано по крайней мере в промежутке.

Отметим, что решение может оказаться существующим и в более широком промежутке.

Пример 2. Дана задача Коши

Эта функция определена и непрерывна на всей плоскости, кроме прямой. Чтобы функция удовлетворяла первому условию теоремы, необходимо, чтобы прямоугольник D, с центром в точке (1,1), не содержал участков прямой, где f (x, y) не существует. Найдем для этого точки пересечения прямых у =1 и х = 1 с прямой. В результате получим точки (1;-0,5) и (-2,1). Следовательно, а<3, b<1,5 (а>0, b>0). Теперь можем построить прямоугольник. Здесь отметим, что если взять а = 2, то, чтобы в D не попали участки прямой, найдем точку пересечения прямых и - (-1; 0,5), т. е. надо взять b = 0,7. Окончательно,

Теперь найдем, т. е. число М. Из прямоугольника D очевидно, что

Используя эти условия, получим, что. Следовательно, М = 5,7.

Далее определим N, т. е. покажем, что, т. е. ограниченность. В результате вычислений имеем. Следовательно, выполнено второе условие теоремы и N=15. Наконец, находим, т. е.

Т. о., все условия теоремы выполнены, следовательно существует единственное решение

у = у*(х),

определенное в промежутке

Пример 3. Дана задача Коши. Функция определена и непрерывна на всей плоскости. Определим на каком промежутке существует решение. Пусть a =b=10. Построим прямоугольник

Чтобы удовлетворить всем условиям теоремы и найти промежуток существования единственного решения найдем М, N, h. Находим М из неравенства. Из прямоугольника D очевидно, что, используя эти условия получим, что

Определим N из неравенства, в результате имеем, т. е. N=22. Найдем

Т. о., все условия теоремы выполнены, следовательно существует единственное решение у = у*(х), определенное в промежутке

Глава 3. Приближенные методы решения задачи Коши

Рассмотрение некоторых приближенных методов решения задачи Коши построено в этой главе по принципу возрастания качества их результатов, т. е. сперва рассмотрим простые методы, не обладающие высокой степенью точности, а затем в противовес им, проиллюстрируем метод Милна, который выгодно отличается высокой степенью точности.

В начале скажем несколько слов о приближенных методах в целом.

Пусть дано дифференциальное уравнение

Предположим, что функция f (x, y) и начальные данные хо, уо таковы, что уравнение (3. 0. 1) имеет единственное решение у =у(х), удовлетворяющее начальному условию (3. 0. 2). Как его найти?

Если уравнение (3. 0. 1) удается проинтегрировать в конечном виде, то обычно решение задачи Коши (3. 0. 1), (3. 0. 2) ищут при помощи формулы общего решения или общего интеграла, выбирая соответствующее значение произвольной постоянной.

В случаях, когда уравнение (3. 0. 1) не интегрируется в конечном виде или полученное общее решение (общий интеграл) слишком сложно, применяют приближенные методы.

Приближенное решение ищется в окрестности точки хо, которая должна обязательно содержаться в интервале существования точного решения

у =у*(х).

Известно, что приближенные методы решения задачи Коши делятся по своей природе на три типа: геометрические, аналитические и численные.

Если приближенное решение получено в виде графика, то такой метод называют геометрическим. Нами будет рассмотрен метод изоклин.

Аналитическим приближенным решением задачи Коши (3. 0. 1), (3. 0. 2) называется функция

у =у(х)

определенная в окрестности точки хо (х принадлежит окрестности существования решения) и удовлетворяющая условию у(хо)=уо, которую решаем рассматривать как приближенное решение этой задачи Коши. Нами будет рассмотрен метод последовательных приближений.

Численным приближенным решением задачи Коши (3. 0. 1), (3. 0. 2) называется функция, заданная таблично при условии, что рассматриваем ук как приближенное значение точного решения

у =у*(х) при х =хк.

Таблица строится обычно так, что числа хо, х1, х2, …,хn отстоят друг от друга одинаково. При этом число h, определяемое формулой

называется шагом интегрирования.

Численные методы различаются способом вычисления последовательности значений у1, у2,…, ук,…, уn.

Отметим, что численные методы в последнее время получили широкое применение в связи с внедрением ЭВМ.

К настоящему времени разработаны многочисленные методы численного решения дифференциальных уравнений. Хотя эти методы обладают тем недостатком, что всегда дают лишь какое - то конкретное решение, что сужает возможности их использования, они тем не менее, как было сказано выше, широко используются на практике. Мы рассмотрим два численных метода - метод Эйлера и метод Милна.

3.1 Метод изоклин

Рассмотрим геометрический метод, который вытекает из геометрического истолкования дифференциального уравнения первого порядка и его решений. Метод изоклин нам интересен тем, что он позволяет приближенно отыскать решение задачи Коши в виде графика. Однако для серьезной работы он непригоден; он дает лишь наглядное представление.

Итак, установим связь между уравнением и его интегральными кривыми. Предположим, что правая часть уравнения (3. 1. 1) определена и непрерывна в области G и пусть есть интегральная кривая этого уравнения, проходящая через точку М(х, у). Проведем касательную к интегральной кривой (3. 1. 2) в точке М и обозначим через угол образованный касательной МТ с положительным направлением оси ОХ. Тогда

tg= у'(х)

у'(х)=f (х, у(х)),

поэтому

tg= f (х, у(х)).

Т. о., если через точку М(х, у) проходит интегральная кривая (3. 1. 2), то наклон касательной к ней в этой точке определяется формулой

так что наклон касательной к интегральной кривой определен заранее самим дифференциальным уравнением.

Наклон касательной (как и всякой прямой) есть тангенс угла , образованного касательной с положительным направлением оси ОХ.

Наклоны касательных можно указать, не находя интегральных кривых. Для этого построим в каждой точке М области G отрезок (для определенности - единичной длины) с центром в точке М(рис.), составляющий с положительным направлением оси ОХ угол , тангенс которого определяется формулой (3. 1. 3). Получим так называемое поле направлений, определяемое уравнением (3. 1. 1) в этой точке.

Чтобы найти угол, под которым интегральные кривые могут пересекать ось ОХ, достаточно подставить в правую часть уравнения (3. 1. 1) у = 0, и получим тангенс угла . Аналогично интегральные кривые уравнения (3. 1. 1) в точках их пересечения с осью ОУ образуют с осью ОХ угол :

Вообще, если надо узнать, какой угол с осью ОХ образуют интегральные кривые уравнения (3. 1. 1) в точках их пересечения с заданной кривой у = (х), то достаточно подставить у = (х) в правую часть уравнения (3. 1. 1). Получим

Кривая = (х, у), в каждой точке которой направление поля, определяемое дифференциальным уравнением (3. 1. 1), одно и тоже, называется изоклиной этого уравнения.

Уравнения изоклин дифференциального уравнения (3. 1. 1) имеют вид

tg= const

С увеличением наклон интегральных кривых возрастает.

Если в точке М(х, у) правая часть уравнения (3. 1. 1) обращается в , то естественно считать, что направление поля в такой точке параллельно оси ОУ. В этом случае надо рассматривать перевернутое уравнение

Т. о., во всякой точке М(х, у), в которой правая часть уравнения (3. 1. 1) имеет конечное значение или обращается в , это уравнение задает вполне определенное направление поля. Интегральные кривые перевернутого уравнения (3. 1. 4), которое надо рассматривать наряду с уравнением (3. 1. 1) в окрестности точек, где f (х, у) обращается в , будем присоединять к интегральным кривым уравнения (3. 1. 1).

Когда правая часть уравнения (3. 1. 1) не определена в точке (хо, уо), но определена в окрестности этой точки, говорят, что поле направлений в точке (хо, уо) не задано. Такие точки называются особыми точками дифференциального уравнения. Если при этом существует интегральная кривая у = у(х) (х =х(у)), обладающая свойством у(х)уо при ххо (х(у) хо при ууо), то будем говорить, что эта интегральная кривая примыкает к точке (хо, уо).

Построив достаточно густое семейство изоклин, можно получить сколь угодно точное представление об интегральных кривых, в связи с этим рассмотрим следующий пример.

Пример. Дано дифференциальное уравнение. Определить поле направлений и построить изоклины.

Решение. Правая часть уравнения определена на всей плоскости, кроме начала координат, где она обращается в неопределенность вида . Т. о., поле направлений задано всюду, кроме начала координат; причем в точках, не лежащих на оси ОУ (х0), имеем. Отсюда ясно, что соответствующими интегральными кривыми будут полупрямые примыкающие к началу координат. В точках полуосей оси ОУ направление поля параллельно оси ОУ. Из рассмотрения перевернутого уравнения ясно, что эти полуоси являются интегральными кривыми.

Итак, интегральными кривыми исходного уравнения являются все полупрямые примыкающие к началу координат. Они являются изоклинами исходного уравнения.

Если в какой - либо задаче требуется выделить из общего решения одно частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям (3. 0. 2), то геометрически это сводится к тому, что требуется из семейства интегральных кривых на плоскости выделить одну интегральную кривую, проходящую через заданную точку плоскости М (хо, уо). Теорема Коши указывает, в каких случаях можно ручаться за то, что через данную точку плоскости проходит только одна интегральная кривая.

Действительно, теорему Коши можно прочитать следующим образом: Если даны дифференциальное уравнение (3. 0. 1) и начальные условия (3. 0. 2) и его правая часть непрерывна в окрестности точки (хо, уо), то через точку плоскости М(хо, уо) проходит одна и только одна кривая уравнения (3. 0. 1).

Теперь перейдем непосредственно к рассмотрению метода изоклин для задачи Коши.

Еще раз отметим, что метод изоклин для решения задачи Коши позволяет построить приближенно график интегральной кривой, проходящей через точку (хо, уо).

Идея метода изоклин такова:

1. Строим густое поле направлений, т. е., другими словами, сеть изоклин, соответствующих различным значениям угловых коэффициентов (=tg) касательных поля направлений.

2. Выбираем изоклину о, на которой лежит точка (хо, уо) с угловым коэффициентом . В этой точке строим малый участок кривой, которая касается направления поля в точке (хо, уо) до пересечения с близлежащей изоклиной 1.

3. Через точку пересечения вновь проводим участок кривой, так, чтобы направление изоклины 1 было касательной для этого участка кривой, и т. д. В результате мы получим кривую - график искомой интегральной кривой.

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих применение метода изоклин для решения задачи Коши.

Пример 1. Методом изоклин решить задачу Коши

Пример 2. Методом изоклин решить задачу Коши

3.2 Метод последовательных приближений

Доказательство теоремы Коши производится при помощи метода последовательных приближений (метода Пикара), который не только устанавливает, что решение существует, но и дает возможность приближенно вычислять его. Перейдем к рассмотрению этого метода.

Дано дифференциальное уравнение и поставлено начальное условие

Решаем задачу Коши (3. 2. 1), (3. 2. 2). Будем предполагать, что в некоторой окрестности точки М(хо, уо) уравнение (3. 2. 1) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Искомое решение у =у(х) будем строить для х хо (случай когда х хо аналогичен). Т. к. дифференциальное уравнение (3. 2. 1) эквивалентно интегральному уравнению, а учитывая (3. 2. 2) то решение уравнения (3. 2. 3) будет удовлетворять дифференциальному уравнению (3. 2. 1) и начальному условию (3. 2. 2).(см. Глава 2, §2).

Для нахождения решения уравнения (3. 2. 3) применим метод последовательных приближений. Для этого в правую часть уравнения (3. 2. 3) вместо искомой функции подставим значение уо, так мы получим первое приближение. Далее, подставляя в (3. 2. 3) вместо у(х) найденное у1(х), получим второе приближение: где n = 1, 2, 3, … (3. 2. 4) Геометрически последовательные приближения представляют собой функции

уn=уn(х)

это кривые, проходящие через заданную точку Мо(хо, уо) (рис.)

Из теории дифференциальных уравнений известно, что если правая часть уравнения (3. 2. 1) удовлетворяет условию Липшица (2. 2. 4), то последовательные приближения имеют смысл, и последовательность приближений уn(х) сходится так, что lim уn(х)=у(х), причем у(х) удовлетворяет уравнению (3. 2. 1) и начальному условию (3. 2. 2) на некотором отрезке [xo, xo+h]. Если функция f (x, y) определена и непрерывна в области и, то в качестве h можно выбрать В этом случае интегральная кривая у = у(х) на отрезке [ xo, xo+h] будет располагаться в угле между прямыми