Методы численного интегрирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Аннотация

Данная курсовая работа содержит алгоритм нахождения подынтегральной функции и его пояснение. Для нахождения значения интеграла использованы два метода приближенных вычислений.

Первый - это метод Монте-Карло, суть которого заключается в переборе случайных значений, некоторые из которых могут входить в искомую площадь.

Второй метод - метод прямоугольников. Интеграл делится на прямоугольники с одинаковым шагом. Дальше просто находятся площади этих прямоугольников.

Для демонстрации алгоритма были использованы три среды:

1) Язык программирования C++

2) Редактор электронных таблиц Microsoft Excel

3) Программа для выполнения различных математических операций MathCad

Ключевые слова: Программирование, метод Монте-Карло, метод прямоугольников, языкc программирования C++, Microsoft Excel, MathCad.



Введение

Численное интегрирование (или квадратура) -- представляет собой вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое). Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определённого интеграла.

Численное интегрирование применяется, когда:

Сама подынтегральная функция не задана аналитически. Например, она представлена в виде таблицы значений в узлах некоторой расчётной сетки.

Аналитическое представление подынтегральной функции известно, но её первообразная не выражается через аналитические функции. Например, f(x)=exp(-x2).

В этих двух случаях невозможно вычисление интеграла по формуле Ньютона -- Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.

Точное нахождение первообразной (или интеграла) произвольных функций -- процедура более сложная, чем дифференцирование, то есть нахождение производной. Зачастую выразить интеграл в элементарных функциях невозможно.

Основная идея большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции на более простую, интеграл от которой легко вычисляется аналитически.



1. Теоретическая часть

1.1 Основные положения численного интегрирования

Определённый интеграл -- аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая -- область в множестве задания этой функции (функционала).

Пусть f(x) определена на отрезке [a; b]. Разобьём [a; b] на части несколькими произвольными точками: a=x0 < x1 < x2 < … < n = b. Тогда говорят, что произведено разбиение отрезка [a; b].

Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b] называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю, если он существует независимо от разбиения и выбора точек, то есть

Если существует указанный предел, то функция f(x) называется интегрируемой на [a; b] по Риману.

Рис. 1. Одномерный определённый интеграл как площадь криволинейной трапеции под графиком



Идея методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции на более простую, интеграл от которой легко вычисляется. При этом для оценки значения интеграла получаются формулы вида

где n -- число точек, в которых вычисляется значение подынтегральной функции. Точки Xi называются узлами метода, числа wi -- весами узлов. При замене подынтегральной функции на полином нулевой, первой и второй степени получаются соответственно методы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона). Часто формулы для оценки значения интеграла называют квадратурными формулами.

Частным случаем является метод построения интегральных квадратурных формул для равномерных сеток, известный как формулы Котеса. Метод назван в честь Роджера Котса. Основной идеей метода является замена подынтегральной функции каким-либо интерполяционным многочленом. После взятия интеграла можно написать

где числа Hi называются коэффициентами Котеса и вычисляются как интегралы от соответствующих многочленов, стоящих в исходном интерполяционном многочлене для подынтегральной функции при значении функции в узле xi=a+ih (h=(b-a)/n -- шаг сетки; n -- число узлов сетки, а индекс узлов i=0…n). Слагаемое rn(f)\, -- погрешность метода, которая может быть найдена разными способами. Для нечетных n> 1 погрешность может быть найдена интегрированием погрешности интерполяционного полинома подынтегральной функции.

Частными случаями формул Котеса являются: формулы прямоугольников (n=0), формулы трапеций (n=1), формула Симпсона (n=2), формула Ньютона (n=3) и т. д.

1.2 Формулы левых, правых, средних численного интегрирования

Метод прямоугольников -- метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене подынтегральной функции на многочлен нулевой степени, то есть константу, на каждом элементарном отрезке. Если рассмотреть график подынтегральной функции, то метод будет заключаться в приближённом вычислении площади под графиком суммированием площадей конечного числа прямоугольников, ширина которых будет определяться расстоянием между соответствующими соседними узлами интегрирования, а высота -- значением подынтегральной функции в этих узлах. Алгебраический порядок точности равен 0. (Для формулы средних прямоугольников равен 1).

Если отрезок [a; b] является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по

Формуле левых прямоугольников:

Формуле правых прямоугольников:

Формуле прямоугольников (средних):



В случае разбиения отрезка интегрирования на n элементарных отрезков приведённые выше формулы применяются на каждом из этих элементарных отрезков между двумя соседними узлами. В результате, получаются составные квадратурные формулы

Для левых прямоугольников:

Для правых прямоугольников:

Для средних прямоугольников:

Формулу с вычислением значения в средней между двумя узлами точке можно применять лишь тогда, когда подынтегральная функция задана аналитически, либо каким-нибудь иным способом, допускающим вычисление значения в произвольной точке.

В задачах, где функция задана таблицей значений остаётся лишь вычислять среднее значение между интегралами, посчитанными по формулам левых и правых прямоугольников соответственно, что приводит к составной квадратурной формуле трапеций.

Поскольку составные квадратурные формулы являются ничем иным, как суммами, входящими в определение интеграла Римана, при n > ? они сходятся к точному значению интеграла. Соответственно, с увеличением n точность получаемого по приближённым формулам результата возрастает.

Рис. 2. Метод средних прямоугольников

Равномерную сетку можно описать следующим набором формул:

xi = a + ih, h = (b - a)/n,

где h -- шаг сетки.

Для равномерных сеток формулы прямоугольников можно записать в виде следующих формул Котеса:

Составная формула левых прямоугольников:

Составная формула правых прямоугольников:



Составная формула средних прямоугольников если нет возможности изменять точки в которых вычисляется значение функции выглядит так

Т.е. (с точностью до рис. 2) превращается в формулу трапеций. Если же есть возможность выбирать точки, в которых задано значение функции, то

1.3 Оценка погрешности

Алгебраический порядок точности численного метода (порядок точности численного метода, степень точности численного метода) -- наибольшая степень полинома, для которой численный метод даёт точное решение задачи.

Другое определение: говорят, что численный метод имеет порядок точности d, если его остаток Rn равен нулю для любого полинома степени d, но не равен нулю для полинома степени d+1.

Алгебраический порядок точности для метода левых и правых прямоугольников равен 0 (Для формулы средних прямоугольников равен 1).

Численное значение погрешности вычисляется по следующим формулам:

Для формул правых и левых прямоугольников:

Для формулы средних прямоугольников:



Для составных формул правых и левых прямоугольников на равномерной сетке:

Для составной формулы прямоугольников:

1.4 Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло)

Метод Монте-Карло (методы Монте-Карло, ММК) -- общее название группы численных методов, основанных на получении большого числа реализаций случайного процесса, который формируется таким образом, чтобы его вероятностные характеристики совпадали с аналогичными величинами решаемой задачи.

Создание математического аппарата стохастических методов началось в конце XIX века. В 1899 году лорд Релей показал, что одномерное случайное блуждание на бесконечной решётке может давать приближенное решение одного из видов параболического дифференциального уравнения. Андрей Николаевич Колмогоров в 1931 году дал большой толчок развитию стохастических подходов к решению различных математических задач, поскольку он сумел доказать, что цепи Маркова связаны с некоторыми интегро-дифференциальными уравнениями. В 1933 году Иван Георгиевич Петровский показал, что случайное блуждание, образующее Марковскую цепь, асимптотически связано с решением эллиптического дифференциального уравнения в частных производных. После этих открытий стало понятно, что стохастические процессы можно описывать дифференциальными уравнениями и, соответственно, исследовать при помощи хорошо на тот момент разработанных математических методов решения этих уравнений.

Сначала Энрико Ферми в 1930-х годах в Италии, а затем Джон фон Нейман и Станислав Улам в 1940-х в Лос-Аламосе предположили, что можно использовать связь между случайными процессами и дифференциальными уравнениями «в обратную сторону». Они предложили использовать стохастический подход для аппроксимации многомерных интегралов в уравнениях переноса, возникших в связи с задачей о движении нейтрона в изотропной среде.

Идея была развита Уламом, который задался вопросом, какова вероятность того, что пасьянс сложится. Вместо того, чтобы использовать обычные для подобных задач соображения комбинаторики, Улам предположил, что можно просто поставить эксперимент большое число раз и, подсчитав число удачных исходов, оценить вероятность. Он же предложил использовать компьютеры для расчётов методом Монте-Карло.

Появление первых электронных компьютеров, которые могли с большой скоростью генерировать псевдослучайные числа, резко расширило круг задач, для решения которых стохастический подход оказался более эффективным, чем другие математические методы. После этого произошёл большой прорыв и метод Монте-Карло применялся во многих задачах, однако его использование не всегда было оправдано из-за большого количества вычислений, необходимых для получения ответа с заданной точностью.

Годом рождения метода Монте-Карло считается 1949 год, когда в свет выходит статья Метрополиса и Улама «Метод Монте-Карло». Название метода происходит от названия коммуны в княжестве Монако, широко известного своими многочисленными казино, поскольку именно рулетка является одним из самых широко известных генераторов случайных чисел. Станислав Улам пишет в своей автобиографии «Приключения математика», что название было предложено Николасом Метрополисом в честь его дяди, который был азартным игроком.

В 1950-х годах метод использовался для расчётов при разработке водородной бомбы. Основные заслуги в развитии метода в это время принадлежат сотрудникам лабораторий ВВС США и корпорации RAND. Одними из первых Метод Монте-Карло для расчёта ливней частиц применили советские физики А. А. Варфоломеев и И. А. Светлолобов

В 1970-х годах в новой области математики -- теории вычислительной сложности было показано, что существует класс задач, сложность (количество вычислений, необходимых для получения точного ответа) которых растёт с размерностью задачи экспоненциально. Иногда можно, пожертвовав точностью, найти алгоритм, сложность которого растёт медленнее, но есть большое количество задач, для которого этого нельзя сделать (например, задача определения объёма выпуклого тела в n-мерном евклидовом пространстве) и метод Монте-Карло является единственной возможностью для получения достаточно точного ответа за приемлемое время. В настоящее время основные усилия исследователей направлены на создание эффективных Монте-Карло алгоритмов различных физических, химических и социальных процессов для параллельных вычислительных систем. Интегрирование методом Монте-Карло

Рис. 3. Численное интегрирование функции детерминистическим методом



Предположим, необходимо взять интеграл от некоторой функции. Воспользуемся неформальным геометрическим описанием интеграла и будем понимать его как площадь под графиком этой функции.

Для определения этой площади можно воспользоваться одним из обычных численных методов интегрирования: разбить отрезок на подотрезки, подсчитать площадь под графиком функции на каждом из них и сложить. Предположим, что для функции, представленной на рис. 3, достаточно разбиения на 25 отрезков и, следовательно, вычисления 25 значений функции. Представим теперь, мы имеем дело с n-мерной функцией. Тогда нам необходимо 25n отрезков и столько же вычислений значения функции. При размерности функции больше 10 задача становится огромной. Поскольку пространства большой размерности встречаются, в частности, в задачах теории струн, а также многих других физических задачах, где имеются системы со многими степенями свободы, необходимо иметь метод решения, вычислительная сложность которого бы не столь сильно зависела от размерности. Именно таким свойством обладает метод Монте-Карло.

Предположим, требуется вычислить определённый интеграл

Рассмотрим случайную величину u, равномерно распределённую на отрезке интегрирования [a; b]. Тогда f(u) также будет случайной величиной, причём её математическое ожидание выражается как

где ц(x) -- плотность распределения случайной величины u, равная на участке [a; b].

Таким образом, искомый интеграл выражается как

Но математическое ожидание случайной величины f(u) можно легко оценить, смоделировав эту случайную величину и посчитав выборочное среднее.

Итак, бросаем N точек, равномерно распределённых на [a; b], для каждой точки ui вычисляем f(ui). Затем вычисляем выборочное среднее:

В итоге получаем оценку интеграла

Точность оценки зависит только от количества точек N.

Этот метод имеет и геометрическую интерпретацию. Он очень похож на описанный выше детерминистический метод, с той разницей, что вместо равномерного разделения области интегрирования на маленькие интервалы и суммирования площадей получившихся «столбиков» мы забрасываем область интегрирования случайными точками, на каждой из которых строим такой же «столбик», определяя его ширину как , и суммируем их площади.

Геометрический алгоритм Монте-Карло интегрирования



Рис. 4. Численное интегрирование функции методом Монте-Карло

Для определения площади под графиком функции можно использовать следующий стохастический алгоритм:

ограничим функцию прямоугольником (n-мерным параллелепипедом в случае многих измерений), площадь которого Spar можно легко вычислить; любая сторона прямоугольника содержит хотя бы 1 точку графика функции, но не пересекает его;

«набросаем» в этот прямоугольник (параллелепипед) некоторое количество точек (N штук), координаты которых будем выбирать случайным образом;

определим число точек (K штук), которые попадут под график функции;

площадь области, ограниченной функцией и осями координат, S даётся выражением

Для малого числа измерений интегрируемой функции производительность Монте-Карло интегрирования гораздо ниже, чем производительность детерминированных методов. Тем не менее, в некоторых случаях, когда функция задана неявно, а необходимо определить область, заданную в виде сложных неравенств, стохастический метод может оказаться более предпочтительным.

При том же количестве случайных точек, точность вычислений можно увеличить, приблизив область, ограничивающую искомую функцию, к самой функции. Для этого необходимо использовать случайные величины с распределением, форма которого максимально близка к форме интегрируемой функции. На этом основан один из методов улучшения сходимости в вычислениях методом Монте-Карло: выборка по значимости.

прямоугольник численный интегрирование алгебраический



2. Практическая часть

Для выполнения численного интегрирования и демонстрации работы алгоритма задана следующая формула:

Y=

Необходимо представить выполнение функции в программах MS Excel, MathCAD, а также составить алгоритм и продемонстрировать его работу на языке программирования C++.

2.1 Численное интегрирование методом прямоугольников

Все методы прямоугольников выполнены в одной таблице MS Excel.

Рис.5. Интегрирование методом прямоугольников в MS Excel



Рис.6. Формулы, использованные для метода прямоугольников в MS Excel

В ячейку A5 и B5 заносятся соответственно нижняя и верхняя границы интегрирования.

В C5 заносится шаг, как нам известно, чем меньше шаг, тем точнее будет результат. В ячейку A8 вносится нижняя границ, т.е. то что находится в A5. В ячейках ниже заносятся результат сложения предыдущего значения с шагом h, например, в A9 = A8+C5; A10 = A9 + C5 и так далее, пока не результат не будет равен верхней границе.

Блок ячеек B8-B27 вычисляет среднее арифметическое двух чисел, находящихся левее. Таким образом находятся значения x для метода средних прямоугольников. Например, в В8 = (A8+A9)/2, B9 = (A9+A10)/2 и так далее.

В следующем блоке C8-C27 находятся значения функций для соответствующих x из B8-B27, так как наша формула выглядит следующим образом:



Y=

то и значения ячеек заданы соответствующие, например C8= ((B8+B8) ( (B8+B8)+5*B8+1 ) ), С9= ( (B9+B9) / ( (B9+B9)+5*B9+1 ) ) и так далее.

В ячейку D8 вписывается конечное значение интеграла, вычисленное методом средних прямоугольников. Находится оно как произведение суммы блока C8:C27 и шага C5, т.е. D8= СУММ(C8:C27)*C5.

В ячейки Е8:E28 заносятся соответствующие значения функции при xi из A8:A28. E8= ( (A8+A8) / ( (A8+A8)+5*A8+1 ) ), E9= ( (A9+A9) / ( (A9+A9)+5*A9+1 ) ) и так далее.

В F8 заносится значение интеграла функции, вычисленное методом левых прямоугольников. Оно находится как произведение шага и суммы всех значений от функции, кроме верхней границы, так как метод левых не учитывает крайнее верхнее значение. Таким образом, F8=СУММ(E8:E27)*C5

В E8 наоборот, вычисляется значение интеграла методом правых прямоугольников, и не учитывается крайняя нижняя граница. E8= СУММ(E9:E28)*C5.

Далее продемонстрируем выполнение метода прямоугольников в MathCAD.

Здесь на рисунке также описаны все три метода



Рис.7. Интегрирование методом прямоугольников в MathCAD

Итак, в f(x) заносится исходная подынтегральная функция, без указания границ интегрирования, в переменные-поля a и b заносятся соответственно верхняя и нижняя границы, в поле n указывается число шагов. h - вычисляется как размер одного шага, и далее для сравнительного анализа предоставляется значение функции вычисленное самим MathCAD'ом.

Функция I1 вычисляет значение левых прямоугольников. В качестве параметров функции pr_l передается соответственно верхняя граница, нижняя граница, число шагов, размер шага, и собственно подынтегральная функция. Осуществляется сложение всех значений функций в левых частях, затем полученная сумма умножается на длину одного шага.

Функция I2 вычисляет значение правых прямоугольников. В качестве параметров функция pr_p принимает такие же, как и функция pr_l. И далее точно так же находится сумма всех значений, но уже правых частей, то есть значение нижней границы не будет иметь значения. После этого процедура повторяется аналогично предыдущей, то есть сумма умножается на длину шага.

Функция I3 выполняет вычисление значения функции для средних прямоугольников. В качестве параметров функция pr_s принимает такие же переменные, как и предыдущие две функции, однако внутри самой функции она находит середину этих значений прямоугольника, и находит значение подынтегральной функции в этой точке. Далее, как и прежде, складываются все значения функций и умножаются на длину шага.

Далее продемонстрируем работу программы в C++. Приведем листинг исходного кода программы.

#include <iostream>

#include <stdio.h>

#include <math.h>

using namespace std;

double InFunction(double x) //Подынтегральная функция

{

return ((x*x) / ((x*x) + (5*x) + 1));

}

double CalcIntegralLeft(double a, double b, double h)

{

int i;

double result;

result = 0;

for(i = 0; i < (b - a)/h; i++)

{

result += InFunction(a + h * i);

}

result *= h;

return result;

}

double CalcIntegralRight(double a, double b, double h)

{

int i;

double result;

result = 0;

for(i = 0; i < (b - a)/h; i++)

{

result += InFunction(a + h * (i + 1));

}

result *= h;

return result;

}

double CalcIntegralCenter(double a, double b, double h)

{

int i;

double result;

result = 0;

for(i = 0; i < (b - a)/h; i++)

{

result += InFunction(a + h * (i + 0.5)); //Вычисляем в средней точке и добавляем в сумму

}

result *= h;

return result;

}

int main(void)

{

setlocale(LC_ALL, "rus");

double integral;

double a = 1.0;

double b = 3.0;

double h = 0.1;

integral = CalcIntegralLeft(a, b, h);

cout << "Интеграл функции для левых = " << integral << endl;

integral = CalcIntegralRight(a, b, h);

cout << "Интеграл функции для правых = " << integral << endl;

integral = CalcIntegralCenter(a, b, h);

cout << "Интеграл функции для средних = " << integral << endl;

return 0;

}

В главной функции, в переменных a и b задаются верхние и нижние границы интеграла в h - шаг. Сама функция заранее задана в функции Infunction(double x). Далее по очереди вызываются функции вычисление левых, правых и средних, в которые в качестве параметров передаются границы и шаг.

Продемонстрируем работу программы запустив ее в консоли:

Для начала, пусть число шагов h будет 0.1



Рис.8. Демонстрация значений интеграла разными методами с шагом 0.1

Мы видим, что значения отличаются друг от друга довольно сильно - примерно на 8*10-3

Посмотрим, что случится, если мы уменьшим длину шага h в функции

int main() до 0.005

Рис.9. Демонстрация значений интеграла разными методами с шагом 0.005

Теперь мы можем увидеть, что разница между методами составляет всего лишь около 4*10-4.

2.2 Численное интегрирование методом Монте-Карло

Далее продемонстрировано интегрирование методом Монте-Карло в Excel. Стоит отметить, что из-за малого числа случайных значение Excel не всегда бывает лучшим выбором, однако для примерных значений он вполне подходит.

Здесь так же отмечена нижняя и верхняя границы a и b. Случайные числа заполняют ячейки A8:B30, значения в этих ячейках определяются по одинаковой для всех формуле =$A$5+(СЛЧИС()*($B$5-$A$5)).

Рис.10. Интегрирование методом Монте-Карло в MS Excel

Рис.11. Формулы интегрирования методом Монте-Карло в MS Excel.

В значения функций от случайных чисел заносятся значения после применения случайных чисел в качестве точек.

Для нашей функции

Y=

В C8 нужно занести =(A8*A8) / ((A8*A8) + (5*A8) + 1), в C9 = (A9*A9) / ((A9*A9) + (5*A9) + 1) и так далее

Последним шагом мы находим собственно значение интеграла функции. Оно определяется как среднее арифметическое всех функций от случайных чисел, умноженное на разницу между верхней и нижней границой интегрирования, т.е. b-a. Итоговая формула E8= СРЗНАЧ(C8:D30)*(B5-A5).

Теперь рассмотрим реализацию метода Монте-Карло в MathCAD.

Рис.12. Интегрирование методом Монте-Карло в MathCAD

В f(x) задается подынтегральная функция далее вызывается функция Integral принимающая в качестве параметров соответственно саму функцию, нижнюю границу, верхнюю границу, количество случайных чисел и еще одно число, которое необходимо для генерации случайных чисел. Сама же функция Integral генерирует случайные числа, суммирует значения функции от соответствующих значений и наконец возвращает полученный результат.

Рассмотрим исходный код программы на C++, выполняющей интегрирование методом Монте-Карло:

#include <iostream>

#include <stdlib.h>

#include <stdio.h>

#include <time.h>

using namespace std;

double func(double x)

{

return ( (x*x) / ((x*x) + (5*x) + 1 ) );

}

int main()

{

setlocale(LC_ALL, "rus");

int point_a = 1;

int point_b = 3;

int number_of_random = 0;

double s = 0;

cout << "Введите количество случайных точек" << endl;

cin >> number_of_random;

srand((unsigned)time(NULL));

for (int i=0; i<number_of_random; i++)

{

s += func(point_a + ((double) rand() / RAND_MAX * (point_b - point_a)) );

}

s = s / (double)number_of_random * (point_b-point_a);

cout << "\nИнтеграл функции = " << s;

return 0;

}

В функцию func(double x) заносится подынтегральное выражение. Границы задаются в функции int main(), в переменных point_a и point_b. Далее пользователь должен ввести число случайных чисел, от которых будет зависеть точность выполнения метода. Далее генератор случайных чисел, чтобы не генерировать каждый раз одинаковые числа. После этого и вызывается функция func(), куда передаются в качестве параметра случайно сгенерированные числа на данном отрезке.

Все полученные значения складываются и после выхода из функции делятся на общее число точек. Полученное значение и будет искомым.

Продемонстрируем работоспособность программы:

Рис.13. Демонстрация значений интеграла методом Монте-Карло

Здесь мы передали 100000 случайных чисел функции на отрезке от 1 до 3.



Заключение

В данной курсовой работе были рассмотрены различные методы численного интегрирования. Среди них были метод Монте Карло, а также методы левых, правых и средних прямоугольников. В теоретической части была рассмотрена постановка задачи численного интегрирования.

В практическое части большое внимание было уделено методу Монте Карло, так как этот метод дает минимальную погрешность при большом количестве случайных чисел. Все действия выполнялись поочередно - в начале был составлен алёгоритм по каждому из методов, затем методы были выполнены в среде MS Excel и MathCAD. Далее представлен листинг программы, выполненный на языке программирования C++.

При выполнение курсовой работы я убедился, что для правильности выбора метода необходимо учитывать многие факторы, такие как возможную погрешность, время выполнения алгоритма компьютером, простоту реализации.

В ходе работы были закреплены теоретические знания по данной дисциплине, способствовало приобретению навыков формализации и составления алгоритмов решения математических задач, а также дало опыт практического решения технических задач, что и являлось целью курсовой работы.



Литература

1. Копченова Н. В., Марон И. А. Вычислительная математика в примерах и задачах. - М: Высшая школа, 1972, 370 с.

2. Демидович Л. В., Марон И. А. Основы вычислительной математики. - М. «Высшая школа», 1972, 572 с.

3. Иванова В. М. и др. Математическая статистика М: Высшая школа, 1981 г.

Размещено на Allbest.ur