Математические задачи описания анализа систем
Формализованные методы описания и исследования систем. Понятия и определения графов, способы их задания и типы. Применение графов для исследования систем, построение и преобразования их структуры. Случайные события и величины, их основные характеристики.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 21.01.2016 |
| Размер файла | 1,9 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
4
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Дагестанский государственный технический университет
Кафедра управления и информатики в технических системах
Курсовая работа
по дисциплине: Математические основы теории систем
на тему:
Математические задачи описания анализа систем
Выполнил: Маллаев М.Б.
студент 2 курса, гр. ЗУ-42
Руководитель: к.т.н.,
проф. Кадиев П.А.
Махачкала 2016 г.
Содержание
Введение
Глава 1. Теория графов
1.1 Основные понятия и определения. Способы задания графов
1.2 Типы графов
1.3 Применение графов для исследования систем
Глава 2. Аналитические методы исследования систем
2.1 Классификация элементов
2.2 Понятие передаточной функции
2.3 Построение и преобразования структуры системы с определением передаточной функции
Глава 3. Логические методы описания систем
3.1 Основные понятия алгебры логики
3.2 Элементарные булевы функции
3.3 Графическое представление логической функции
Глава 4. Статистические методы описания систем
4.1 Случайные события и величины, их основные характеристики
4.2 Решение задания
Заключение
Введение
Целью курсовой работы является получение практических навыков решения задач по формализованным методам описания и исследования систем и процессов.
Глава 1. Теория графов
1.1 Основные понятия и определения. Способы задания графов
Ориентированный граф G представляет собой множество элементов с их отображениями в этом множестве и обозначается символом G = (X, Г), где X={x1,x2,...,xn} - множество элементов, а Г: Х>Х - множество, определяющее закон отображения. Поясним данное определение посредством описания различных способов задания графа: аналитического, геометрического и матричного.
При аналитическом способе задания для каждого элемента хi множества X должно быть определено отображение Гхi. Пусть, например, X={x1,x2, x3,x4}, а Гx1 ={x2, x3}, Гx2 ={x3}, Гx3 ={x2, x4}, Гx4 ={x1, x4}. Эти множества однозначно определяют ориентированный граф G.
При геометрическом способе задания графа элементы множества X изображаются точками плоскости и называются вершинами графа. Линии, соединяющие любые пары точек xi, xj, из которых xj является отображением xi, называются дугами, или ориентированными ребрами. Дуги графа имеют направление, обозначаемое стрелкой в направлении от xi к xj.
На рис. 1.1 приведен пример графа, который выше был задан аналитически. Вершины графа могут располагаться в произвольном порядке и соединяться прямыми или кривыми линиями. Если xi = xj, то дуга изображается линией без стрелки и называется петлей. Каждую дугу (xi, xj) можно обозначить буквой , где V - множество упорядоченных дуг рассматриваемого графа. Тогда граф G можно определить также как G=(X,V), где V - множество упорядоченных пар (xi, xj) = vk. Две вершины xi и xj называются смежными, если существует соединяющая их дуга vk = (xi,xj). Если вершина хj является одним из концов дуги vk, то говорят, что они инцидентны, т. е. вершина инцидентна дуге, а дуга инцидентна вершине. Таким образом, смежность - отношение между однородными объектами, инцидентность - между разнородными.
Рис. 1.1
При матричном способе задания ориентированный граф можно описать матрицей смежности, или матрицей инцидентности. Матрица смежности RG ориентированного графа G(X, Г) с n вершинами - это квадратная матрица порядка n, элементы rij которой определяются следующим образом:
Матрица инцидентности AG ориентированного графа G(X,Г) - это прямоугольная матрица размером nЧm (n - число вершин, m - число дуг), элементы аij которой определяются следующим образом:
Для графа, изображенного на рис. 1.1, матрицы смежности и инцидентности имеют вид:
Иногда граф рассматривают без учета ориентации его дуг, в этом случае граф называют неориентированным. На рис. 1.2 изображен неориентированный граф, который получен из графа на рис. 1.1 удалением стрелок с дуг. Такой неориентированный граф называется соотнесенным данному ориентирован-ному. Будем обозначать неориентированные графы символом D=(X,V), где V - множество неупорядоченных пар (хi, хj) = vk.
Рис. 1.2
1.2Типы графов
Граф без петель и кратных ребер называется простым. Граф без петель, но с кратными ребрами называется мультиграфом (рис. 1.3, а). Наибольшее число ребер образует мультичисло и называется кратностью. Простой граф, в котором две любые вершины соединены ребром, называется полным и обозначается Kn, где n - число вершин.
На рис. 1.3, б приведен пример полного графа К с пятью вершинами.
Граф называется двудольном (биграфом), если множество его вершин X может быть разбито на два таких подмножества X1 и Х2, что каждое ребро имеет один конец в подмножестве X1, а другой в подмножестве Х2, при этом , ,. Пример двудольного графа приведен на рис. 1.3, в, где X1 ={x1, x3, x5, x7}, Х2= {х2, х4, х6}. Полный двудольный граф обозначается Km,n, где m и n - количество вершин в подмножествах X1 и Х2 соответственно.
Рис. 1.3
Подграфом графа D (или G) называется граф, в которой входит лишь часть вершин графа D (или G) вместе с ребрами, соединяющими эти вершины. Частичным графом по отношению к графу D (или G) называется граф, содержащий только часть ребер графа.
На рис. 1.4 показан граф D, его подграф и частичный граф.
Рис. 1.4
Граф называется связным, если каждую его вершину можно соединить с любой другой его вершиной некоторой последовательностью ребер. Если граф не связен, то его можно разбить на подграфы так, что все его вершины в каждом подграфе связны. Такие подграфы называются компонентами связности графа. На рис. 1.5, а приведен пример связного графа, а на рис 1.5, б - несвязного графа с тремя компонентами связности.
Рис. 1.5
Графы называются изоморфными, если между множествами их вершин существует взаимно-однозначное соответствие, такое, что вершины соединены ребрами в одном из графов в том и только в том случае, если соединены соответствующие им вершины в другом графе.
Изоморфные графы, приведенные на рис. 1.6, по существу различаются лишь начертанием. Если существенные свойства графа не связаны со способом его изображения на плоскости или нумерацией его вершин и ребер, то изоморфные графы, как правило, не различают между собой.
Рис. 1.6
Изоморфизм - это отношение эквивалентности на графах. Граф D = (X, V) называется плоским (планарным), если существует изоморфный ему граф, который может быть изображен на плоскости без пересечения ребер.
Пример планарного графа приведен на рис. 1.7, а, б. Хотя в одном из графов ребра пересекаются, изоморфный ему граф не имеет пересечений, а следовательно, он плоский.
На рис. 1.7, в, г показаны два не плоских графа, играющих фундаментальную роль в теории планарности и называемых графами Понтрягина.
Рис. 1.7
1.3 Применение графов для исследования систем
По заданному графу состояния системы составить:
а) Матрицы смежности и инцидентности.
б) Множество отношений между элементами.
в) Определить уровни элементов на графе и построить упорядоченную структуру с изменением нумерации элементов.
г) Построить граф с упорядоченной нумерацией элементов.
д) Составить матрицу смежности по упорядоченному графу (убедиться что она треугольная).
е) Определить количество связей различной длины между элементами структуры.
ж) Определить общее число транзитивных путей различной длины между вершинами графа.
Графом G(X,U) называется упорядоченная пара множеств: X и UX2. Элементы множества X называются вершинами графа, элементы множества U, представляющие собой пары {xi, xj}U называются ребрами графа, либо, если пары упорядочены (xi, xj)U, то они называются дугами.
Составим матрицу смежности А.
Элемент матрицы А - aij, который находится на пересечении i-ой строки, соответствующей элементу множества хi, и j-го столбца, соответствующей элементу множества хj, будет равен:
Размещено на http://www.allbest.ru/
4
|
А = |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
||
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
3 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
||
|
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
7 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
8 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
||
|
9 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
||
|
10 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
11 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
12 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Составим матрицу инцидентности В.
Элемент матрицы В - bij, который находится на пересечении i-ой строки, соответствующей элементу множества хi, и j-го столбца, соответствующей элементу множества хj, будет равен:
|
В = |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
||
|
1 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
-1 |
-1 |
0 |
0 |
||
|
3 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
||
|
5 |
-1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
-1 |
||
|
7 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
8 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
-1 |
0 |
1 |
||
|
9 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
||
|
10 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
||
|
11 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
12 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
Под множеством понимают совокупность определенных, вполне различимых объектов, рассматриваемых как единое целое. Множество задано, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он данному множеству или нет. Примеры множеств: множество студентов в данной группе, множество книг в библиотеке, множество точек на прямой, множество людей на Марсе и т.д. Объекты, составляющие множество, называются элементами множества
Составим множество отношений между элементами Fx = (Fx1, Fx2,..., Fxn), где Fx1, Fx2,..., Fxn - вершины, к которым имеется переход из вершины Fx.
|
Fx1 = () |
Fx5 = |
Fx9 = ( x2,х8, х10, x12) |
|
|
Fx2 =( x5, x3) |
Fx6 = |
Fx10 =(x2, х8) |
|
|
Fx3 = ) |
Fx7 = (x3, х2) |
Fx11 = (x6) |
|
|
Fx4 = (x11) |
Fx8 = (x12, x4) |
Fx12 =( x6) |
Определим уровни элементов на графе.
Наибольший уровень соответствует пути наибольшей длины графа, следовательно, с=4. Определим подмножество вершин нулевого уровня, т. е. удовлетворяющих условию . В это подмножество войдут вершины x7,х9. В подмножество вершин первого уровня войдет x10, второго уровня - x2, x8, третьего уровня - x3, x4, х12 четвертого уровня - x1,x11 и пятого уровня -- x5, х6.
Построим упорядоченную структуру с изменением нумерации элементов.
Размещено на http://www.allbest.ru/
4
с(7) = 0
с(9) = 0
с(10) = 1
с(2) = 2
с(8) = 2
с(3) = 3
с(4) = 3
с(12) = 3
с(1) = 4
с(11) = 4
с(5) = 5
с(6) = 5
Составим по упорядоченному графу матрицу смежности, она является треугольной, так как все элементы матрицы ниже диагонали являются нулевыми.
|
А = |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
||
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
2 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
3 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
||
|
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
||
|
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
||
|
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
||
|
9 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
||
|
10 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
||
|
11 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
12 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Для определения количества транзитивных путей длиною «n» между вершинами хi и хj необходимо матрицу смежности графа А, возвести в n-ю степень. Количества путей длинною 2 между хi и хj вершинами графа будет отображено на позиции элемента aij матрицы А2=АхА, где А - матрица смежности графа.
|
А2 = |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
||
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
||
|
2 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
||
|
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
||
|
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
||
|
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
||
|
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
||
|
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
||
|
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
9 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
10 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
11 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
12 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
А3 = |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
||
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
||
|
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
||
|
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
||
|
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
||
|
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
||
|
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
9 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
10 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
11 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
12 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
А4 = |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
||
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
||
|
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
2 |
||
|
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
||
|
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
9 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
10 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
11 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
12 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
А5 = |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
||
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
||
|
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
9 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
10 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
11 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
12 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Для определения общего числа связей различной длины между вершинами хi и хj необходимо просуммировать все числа в матрицах от А до Ак, где к - наибольший порядок вершины в графе, стоящих на позиции элемента aij в этих матрицах. Общее число связей между парой вершин отображается в суммарной матрице М. Элементы матрицы М - mij - числа, показывающее общее число путей (связей) различной длины между вершинами хi и хj:
,
где - число стоящее в матрице АТ на пересечении i- ой строки и j -го столбца.
|
М = |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
||
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
2 |
0 |
0 |
2 |
0 |
3 |
0 |
||
|
2 |
0 |
0 |
1 |
2 |
2 |
2 |
2 |
3 |
2 |
2 |
4 |
5 |
||
|
3 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
||
|
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
2 |
0 |
||
|
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
2 |
||
|
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
||
|
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
||
|
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
||
|
9 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
||
|
10 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
||
|
11 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
12 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Глава 2. Аналитические методы исследования систем
2.1 Классификация элементов
Система автоматического управления - это совокупность элементов, соединенных в замкнутый контур, которые функционируют согласованно и подчинены определенной форме управления.
Элементы можно классифицировать следующим образом:
По функциональному назначению:
· Измерительные
· Усилительно-преобразовательные
· Исполнительные
· Корректирующие
По виду энергии, используемой для работы:
· Электрические
· Механические
· Гидравлические
· Пневматические
· Комбинированные
По характеру математического соответствия между входным и выходным сигналами.
При математическом описании элементы называются звеньями САУ. Несмотря на многообразие различного рода элементов (устройств) и независимо от физических принципов их работы, поведение каждого из них может быть описано дифференциальным уравнением, связывающим входную и выходную переменные. Элементы описываются, как правило, дифференциальными уравнениями первого или второго порядка. При объединении их в систему порядок дифференциального уравнения повышается.
Будем рассматривать одномерную модель с одним входом и одним выходом, и обозначим входную величину звена через u(t), а выходную через y(t) При рассмотрении линейных систем статическая характеристика y = f(t) любого звена может быть изображена прямой линией.
В позиционном (или усилительном) звене линейной зависимостью y = Ku связаны входная и выходная величина в установившемся режиме (рис. 3.1, а). Здесь - коэффициент передачи или коэффициент усиления звена.
В интегрирующих звеньях линейной зависимостью (рис. 3.1,б) связаны производная выходной величины и входная величина в установившемся режиме, или откуда и произошло название звена. Если входная и выходная величины имеют одинаковую размерность, то K имеет размерность [c-1].
В дифференцирующих звеньях линейной зависимостью (рис. 3.1, в) связаны в установившемся режиме выходная величина и производная входной величины. Если входная и выходная величины имеют одинаковую размерность, то K имеет размерность [с].
а б в
Рис. 2.1 Статические характеристики звеньев: а - усилительного, б - интегрирующего, в - дифференцирующего
Рассмотренные звенья идеализированы, так как не учитывается их инерционность.
2.2 Понятие передаточной функции
В инженерной практике широко используется метод решения дифференциальных уравнений, основанный на интегральном преобразовании Лапласа и позволяющий свести задачу к алгебраическим действиям.
Для сигнала f(t) преобразование Лапласа , где s - оператор Лапласа, а называется изображением функции .
При нулевых начальных условиях, т. е. в том случае, если при t < 0 (до момента подачи сигнала) входная и выходная величины, а так же их производные, тождественно равны нулю, oт уравнения
(1)
формально можно перейти к выражению:
(2)
Здесь учтено, что дифференцирование функции во временной области соответствует умножению ее изображения F(s) на оператор s в области изображений по Лапласу. Взятию производной второго порядка соответствует умножению на квадрат оператора и так далее.
Передаточная функция звена (системы) W(s) - это отношение изображения по Лапласу выходного сигнала Y(s) к изображению по Лапласу входного сигнала U(s) при нулевых начальных условиях, тогда из (2) следует:
(3)
Передаточная функция является дробно-рациональной функцией комплексной величины s. Передаточная функция элемента не зависит от того, какой функцией времени является его входное воздействие. Она зависит лишь от вида дифференциального уравнения и от значений параметров элемента, которые определяют коэффициенты уравнения. Передаточные функции рассмотренных ранее звеньев имеют вид:
· для позиционного или усилительного звена W(s) = K;
· для интегрирующего звена W(s) = K/s;
· для дифференцирующего звена W(s) = Ks.
Передаточная функция - это одна из форм математических моделей элементов. Зная W(s) и U(s) можно найти Y(s) - изображение по Лапласу выходного сигнала:
Y(s)=U(s)·W(s),
тогда y(t) можно найти как обратное преобразование Лапласа:
y(t)=L-1{ Y(s)} (4)
не решая дифференциального уравнения (1).
Передаточные функции типовых звеньев известны, а для сигналов существуют таблицы соответствия между описанием их во временной области и в области изображений по Лапласу. Поэтому решение (4) не представляет сложности.
W(s), заданную в форме (3), можно представить следующим образом:
(5)
где K - коэффициент усиления,
zj - нули системы, т.е. корни многочлена числителя,
pi - полюсы системы, т.е. корни многочлена знаменателя.
2.3 Построение и преобразования структуры системы с определением передаточной функции
По заданной структуре системы и типам динамических звеньев необходимо выполнить эквивалентное преобразование структуры с определением передаточной функции системы и ее характеристического уравнения.
Таблица 2.1
Множественный метод описания структуры системы
|
W1(p) |
W2(p) |
W3(p) |
W4(p) |
W5(p) |
W6(p) |
WОС(p) |
|
|
T1p |
T2p |
0 |
1/ T4p |
1/(T5p + 1) |
K6 |
kОС/(TОСp + 1) |
Размещено на http://www.allbest.ru/
4
Рис. 2.2 Представление структуры системы в виде схемы
Типы динамических звеньев структуры:
- дифференцирующее звено
- дифференцирующее звено
- консервативное звено
интегрирующее звено
1/(T5p интегрирующее звено
K6 - пропорциональное звено
-АПЗ-1
Эквивалентное преобразование структуры системы.
Заменить каждую группу из параллельно соединенных звеньев одним звеном с передаточной функцией, равной сумме передаточных функций всех n звеньев в этой группе.
Wэкв.гр(p) = ? Wj(p)
После этого преобразования структуру системы образует цепь последовательно соединенных звеньев
Размещено на http://www.allbest.ru/
4
Рис. 2.3 Представление эквивалентного преобразованная структуры системы
Здесь: W2-4(p) = W2(p) + W3(p) + W4(p) = 1/T2p + 1/T3p + K4 =
=
Далее необходимо заменить цепь из n последовательно соединенных звеньев одним эквивалентным звеном, с передаточной функцией WЭкв(p), равной произведению передаточных функций всех последовательно соединенных звеньев, определяемым по формуле:
После выполненного преобразования структуру системы, образуют эквивалентное звено со звеном обратной связи.
Размещено на http://www.allbest.ru/
4
Рис 2.4 Вид эквивалентного звена со звеном обратной связи
W1-6(p) = W1(p) Ч W2-4(p) Ч W5(p) ЧW6(p) =
=
=
Передаточная функция звена с обратной связью равна дроби, числитель которого - передаточная функция самого звена, а знаменатель - сумма (при отрицательной обратной связи) единицы и произведения передаточных функций эквивалентного звена WЭкв(p) и звена обратной связи WОС(p). Если заданы передаточные функции звеньев, приведенной на структурной схеме, то следует их подставить в полученные формулы для эквивалентных элементов и выполнить арифметические операции. Результатом преобразования должна быть дробь, знаменатель которой является передаточной функцией системы. Преобразованная функция звена с передаточной функцией W1-6(p), охваченного обратной связью определяется следующим образом:
.
Тогда находим
= .
После преобразования передаточной функции в правильную дробь вида А/В, уравнение B = 0 является характеристическим уравнением системы.
В данном случае
B = =0.
Так как, старшая степень данного уравнения равна пяти, то порядок системы тоже будет равен пяти.
формализованный система граф случайный событие
Глава 3. Логические методы описания систем
3.1 Основные понятия алгебры логики
Математический аппарат, базирующийся на алгебре логики, широко используется для описания функционирования, анализа и синтеза цифровых схем. Основным понятием алгебры логики является высказывание. Высказыванием называется всякое суждение (утверждение), которое либо истинно, либо ложно. Одновременно истинным и ложным высказывание быть не может. Истинность высказывания обозначается единицей, а ложность - нулем. Простое высказывание не зависит от значений других высказываний. Значение истинности сложного высказывания зависит от истинности других высказываний, составляющих его. Любое сложное высказывание можно считать логической функцией от простых высказываний (аргументов). Логическая функция, как и ее аргументы, принимает только два значения: единица или нуль.
Множество символов X = {x1, х2,..., хn}, каждый из которых принимает значения единица или нуль, называется множеством переменных или аргументов. Функция f(x1, x2,..., xn), определенная на множестве всевозможных наборов аргументов из X и принимающая значения единица или нуль, называется функцией алгебры логики или булевой функцией. Областью определения булевой функции служит совокупность всевозможных n-мерных наборов из единиц и нулей.
Приняты три способа задания булевых функций:
1. Формула, указывающая в явном виде последовательность операций, производимых над переменными: F=f(x1, x2,..., xn).
2. Таблица истинности, в левой части которой перечисляются все возможные комбинации значений аргументов x1, x2,..., хn, а в правой - значения функции. При n переменных число строк таблицы равно 2n.
3. Логическая схема или условное графическое изображение логической функции.
3.2 Элементарные булевы функции
Элементарные булевы функции образуются путем использования однородных связей между двоичными переменными. Рассмотрим несколько элементарных функций, которые часто употребляются в алгебре логике и ее приложениях.
Имеется две функции, которые не зависят ни от одного аргумента. Это f1 = 0 - константа нуль и f2 = l - константа единица.
При n = 1 имеем две функции, существенно зависящие от одного аргумента x. Одна из них f3 = х называется функцией прямой передачи сигнала, другая f 4= (читается «не х»), называется функцией отрицания или инверсии. Функции f3, f4 представлены табл. 3.1.
Таблица 3.1
Значения f3(x) совпадают со значением переменной х, а f4(x) принимает значения, противоположные значениям переменной х.
Устройства, реализующие элементарные булевы функции, называются логическими элементами. Их входы соответствуют булевым переменным, а выход - реализуемой функции. Для обозначения логических элементов используют упрощенные изображения в виде прямоугольников, внутри которых помещаются условные названия или символы соответствующей функции.
На рис. 3.1, а и б в виде логических элементов изображены функции f3(x) и f4(x), где инверсный выход обозначается кружком.
Рис. 3.1
Функция называется дизъюнкцией, или логическим сложением x1 и x2. Читается «х1 или х2». Функция f5 принимает значение 1, если хотя бы одно из слагаемых х1 или х2 равно 1. Изображение функции дизъюнкции в виде логического элемента приведено на рис. 3.2, а, его называют элементом ИЛИ.
Функция называется конъюнкцией, или логическим умножением х1 и х2. Читается «x1 и х2». Функция f6 принимает значение 1 только в том случае, если оба сомножителя и x1 и х2 равны единице. Изображение функции конъюнкции в виде логического элемента приведено на рис. 3.2, б, его называют элементом И. В дальнейшем логическое умножение х1 и x2 будем записывать .
Рис. 3.2
Для простоты записи приведем основные законы алгебры логики для двух логических переменных: А и В. Эти законы распространяются и на другие логические переменные.
1. Закон противоречия:
2. Закон исключенного третьего:
3. Закон двойного отрицания:
4. Законы де Моргана:
5. Законы повторения: A & A = A; A v A = A; В & В = В; В v В = В.
6. Законы исключения констант: A & 1 = A; B & 1 = B; B & 0 = 0.
7. Законы склеивания:
Для логических переменных справедливы и общематематические законы. Для простоты записи приведем общематематические законы для трех логических переменных A, В и С:
1. Коммутативный закон: A & B = B & A; A ? B = B ? A;
2. Ассоциативный закон: A & (B & C) = (A & B) & C;
3. Дистрибутивный закон: A & (B > C) = (A & B) > (A & C).
В алгебре логики на основе принятого соглашения установлены следующие правила (приоритеты) для выполнения логических операций: первыми выполняются операции в скобках, затем в следующем порядке: инверсия (отрицание), конъюнкция (&), дизъюнкция (v), импликация (>), эквиваленция (-).
3.3 Графическое представление логической функции
По заданной таблице истинности логического выражения составить:
а) Логическую функцию в дизъюнктивно - нормальной форме.
б) Преобразовать логическую функцию методами алгебры Буля.
в) Преобразовать логическую функцию методом Карно.
г) Составить функциональные схемы, соответствующие исходному и преобразованному логическому выражению с использованием логических элементов и, или, не.
д) Составить релейно-контактную схему соответствующую функциональным схемам.
Таблица 3.3
Таблица истинности логической функции
|
F(x) |
|||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
По заданной таблице составим логическую функцию в дизъюнктивно-нормальной форме. Истинности логической функции соответствует символ “1”, в столбце значений , символу “0” - соответствует условие ложности переменной.
Логическое выражение может быть представлено в дизъюнктивно - нормальной форме (ДНФ) в виде «Суммы произведения логических переменных», либо в конъюнктивно - нормальной форме (КНФ) - виде произведения сумм переменных.
F(x) = + + ++
+ +.
Для рассмотренного выше примера карта Карно имеет следующий вид:
Таблица 3.4
Карта Карно для логического выражения
|
1 |
1 |
1 |
|||
|
1 |
1 |
||||
|
1 |
|||||
|
1 |
1 |
Размещено на http://www.allbest.ru/
4
Рис. 3.5 Схемы реализации исходного и упрощенного логического выражения
Данное выражение получается путем упрощения методом карт Карно. После преобразований число конъюнкций равно числу контуров. Во время преобразования записываем те элементы функции, которые не меняются в ячейках. Следовательно, получаем выражение:
F(x) = + + .
В качестве исполнительных элементов для наглядности модели используют сигнальную лампочку. Если сигнальная лампочка горит, то это условие истинности логического выражения. Таким образом, рассмотренное в примере выше логическое выражение реализует функцию управления сигнальной лампочкой, приведенной на рис. 3.6 релейно-контактной схеме.
Размещено на http://www.allbest.ru/
4
Рис. 3.6 Релейно-контактная схема упрощенного логического выражения
Глава 4. Статистические методы описания систем
4.1 Случайные события и величины, их основные характеристики
Результат любого случайного эксперимента можно характеризовать качественно и количественно. Качественный результат случайного эксперимента - случайное событие. Любая количественная характеристика, которая в результате случайного эксперимента может принять одно из некоторого множества значений, - случайная величина. Случайная величина является одним из центральных понятий теории вероятностей.
Пусть - произвольное вероятностное пространство. Случайной величиной называется действительная числовая функция x = x (w), w W, такая, что при любом действительном x .
Событие принято записывать в виде x < x. В дальнейшем случайные величины будем обозначать строчными греческими буквами x, h, z, …
Случайной величиной является число очков, выпавших при бросании игральной кости, или рост случайно выбранного из учебной группы студента. В первом случае мы имеем дело с дискретной случайной величиной (она принимает значения из дискретного числового множества M={1, 2, 3, 4, 5, 6}; во втором случае - с непрерывной случайной величиной (она принимает значения из непрерывного числового множества - из промежутка числовой прямой I=[100, 3000]).
Функция распределения случайной величины. Её свойства
Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.
Если x.- случайная величина, то функция F(x) = Fx (x) = P(x < x) называется функцией распределения случайной величины x. Здесь P(x < x) - вероятность того, что случайная величина x принимает значение, меньшее x.
Важно понимать, что функция распределения является “паспортом” случайной величины: она содержит всю информация о случайной величине и поэтому изучение случайной величины заключается в исследовании ее функции распределения, которую часто называют простораспределением.
Функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:
· F(x) определена на всей числовой прямой R;
· F(x) не убывает, т.е. если x1x2, то F(x1) F(x2);
· F(-)=0, F(+)=1, т.е. и ;
· F(x) непрерывна справа, т.е.
Функция распределения дискретной случайной величины
Если x - дискретная случайная величина, принимающая значения x1 < x2 < … < xi < … с вероятностями p1 < p2 < … < pi < …, то таблица вида называется распределением дискретной случайной величины.
|
x1 |
x2 |
… |
xi |
… |
|
|
p1 |
p2 |
… |
pi |
… |
Функция распределения случайной величины, с таким распределением, имеет вид
У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая. Например, для случайного числа очков, выпавших при одном бросании игральной кости, распределение, функция распределения и график функции распределения имеют вид:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины
Если функция распределения Fx (x) непрерывна, то случайная величина x называется непрерывной случайной величиной.
Если функция распределения непрерывной случайной величины дифференцируема, то более наглядное представление о случайной величине дает плотность вероятности случайной величины px (x), которая связана с функцией распределения Fx (x) формулами
и .
Отсюда, в частности, следует, что для любой случайной величины
.
4.2 Решение четвертого задания
по приведенным исходным данным необходимо:
а) Представить на временной оси наблюдаемый поток событий, отметив моменты появления события точками;
б) Составить выборку значений случайной величины (СВ) - интервалов времени между событиями (Т).
в) Определить выборочную оценку значения СВ - Тср.
г) Определить дисперсию СВ - DТ.
д) Определить выборочную оценку интенсивности потока сообщений ? лср (число сообщений в единицу времени) по всей выборке и на k отдельных участках, протяженностью ?t.
е) Определить вероятность наступления за интервал времени ф не более K событий, в предположении, что поток событий является простейший с параметром лср.
ж) Определить относительную частоту появления значений СВ ? Т.
з) Определить значение функции эмпирического распределения СВ ? Т для значений Т = 2, Т = 4, Т = 6.
|
№ вар. |
Моменты появления сообщений в потоке от начала наблюдения в часах |
ф, час |
k |
Дt |
|
|
4 |
3,9,14,21,26,32,34,40,47,51,57,63,66,70,74 |
12 |
3 |
16 |
а) Для выполнения данного пункта задачи, необходимо изобразить временную ось и отметить на ней в выбранном масштабе моменты наблюдения событий, приведенных в задании.
Размещено на http://www.allbest.ru/
4
Рис. 4.1 Поток событий на временной оси
б) Выборку образуют все наблюдаемые значения случайной величины - времени между соседними сообщениями. Для приведенного на рис. 5.1. потока выборка имеет вид: Т = (3,6,5,7,5,6,2,6,7,4,6,6,3,4,4).
в) Определение значения выборочной оценки значения случайной величины Т сводится к определению среднего ее значения по всем наблюдениям:
,
где Ti ? значение СВ,
n - число наблюдаемых значений.
Для данного случая:
.
Необходимо отметить, что, в соответствии с теоремой Бернулли, значение оценки СВ, полученная по результатам наблюдений, при увеличении числа наблюдений стремится к такой характеристике закона распределения СВ, как математическое ожидание.
г) Дисперсия СВ характеризует рассеяние ее значений относительно математического ожидания. Определяется выборочная дисперсия по формуле:
,
где Ti ? значение СВ,
n - число наблюдаемых значений,
Тср ? значение выборочной средней СВ.
Для данного случая:
д) Под интенсивностью потока сообщений понимается число сообщений, приходящих на единицу времени. Время наблюдений за потоком определяется моментом времени поступления последнего сообщения. Из рис. 5.1 видно, что время наблюдений за потоком равно 74 часам, число событий, наблюдаемых за это время равно 15. Интенсивность потока сообщений равно
е) Предположение о том, что поток сообщений является простейшим, означает, что он описывается законом распределения Пуассона. Вероятность появления равно к событий на заданном интервале величиной ф при этом определяется по формуле:
Pk(ф) = .
По условию задания = = const. Вероятность случайного события, заключающегося в том, что за время ф появятся не более k событий, определяется как сумма вероятностей появления числа событий не более чем k, т.е.
Pn ? k(ф) = P1(ф) + P2(ф) +…+ Pk(ф).
P1(ф) = ;
P2(ф) = ;
P3(ф) = ;
P4(ф) = ;
Pn ? k(ф) = 0.15 + 0.22 + 0.22 + 0.17 = 0.76
ж) Относительная частота появления значений СВ ? Т показывает частоту принятия этой величиной тех или иных из возможных ее значений по результатам наблюдений. Определяется она как отношения числа принятия СВ тех или иных значений ? nx к общему числу наблюдений - n.
Для данного задания имеется одно наблюдения, при котором значение СВ равно двум (Т=2, n2 = 1 ), имеются два наблюдения при которых значение СВ равно трем (Т = 3, n3 = 2), имеются три наблюдения, при котором значение СВ равно четырем (Т = 4, n4 = 3), имеются два наблюдения, при котором значение СВ равно пяти (Т = 5, n5 = 2), имеются пять наблюдений, при котором значение СВ равно шести (Т = 6, n6 = 5), имеются два наблюдения, при котором значение СВ равно семи (Т = 7, n7 = 2), общее число наблюдений случайной величины равно пятнадцати (n = 15).
По приведенным данным определяются значения относительных частот по формуле:
P(x) = ,
P(2) = ,
P(3) = ,
P(4) = ,
P(5) = ,
P(6) = ,
P(7) = . P(3) + P(4) + P(5) + P(6) + P(7) = 1
Сумма относительных частот всегда равна 1.
з) Эмпирическая функция распределения СВ показывает отношение числа наблюдаемых значений, меньших или равных данному значению к общему числу наблюдений.
F(X ? Xзад) = ,
где nx - число наблюдений значения случайной величины Х, при которых это значение не больше заданного Хзад.
Для данного задания:
F(T ? 2) = ,06,
где число 1 есть число значений СВ - Т, не превышающие заданное число 2.
F(T ? 4) = ,
где число 3 есть число значений СВ - Т, не превышающие заданное число 4.
F(T ? 6) = ,
где число 5 есть число значений СВ - Т, не превышающие заданное число 6.
Заключение
При выполнении данной курсовой работы были закреплены знания основных законов булевой алгебры. Для выходных сигналов была написана функция алгебры логики и минимизирована методом карт Карно. По минимизированным функциям начерчена функциональная схема, а также релейно-контактная схема.
Список литературы
1. Н.Н. Ползунова, В.Н. Краев. Исследование систем управления М.; Академический проект, 2004
2. Ю.М. Коршунов. Математические основы кибернетики М.; Энергоатомиздат, 1987 (или другие издания автора)
3. В.С. Пугачев. Теория вероятностей и математическая статистика (любое издание)
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Основные понятия теории графов. Степень вершины. Маршруты, цепи, циклы. Связность и свойства ориентированных и плоских графов, алгоритм их распознавания, изоморфизм. Операции над ними. Обзор способов задания графов. Эйлеровый и гамильтоновый циклы.
презентация [430,0 K], добавлен 19.11.2013История возникновения, основные понятия графа и их пояснение на примере. Графический или геометрический способ задания графов, понятие смежности и инцидентности. Элементы графа: висячая и изолированная вершины. Применение графов в повседневной жизни.
курсовая работа [636,2 K], добавлен 20.12.2015Основные понятия теории графов. Матричные способы задания графов. Выбор алгоритма Форда–Бэллмана для решения задачи поиска минимальных путей (маршрутов) в любую достижимую вершину нагруженного орграфа. Способы выделения пути с наименьшим числом дуг.
курсовая работа [109,1 K], добавлен 22.01.2016Основные понятия теории графов. Расстояния в графах, диаметр, радиус и центр. Применение графов в практической деятельности человека. Определение кратчайших маршрутов. Эйлеровы и гамильтоновы графы. Элементы теории графов на факультативных занятиях.
дипломная работа [145,5 K], добавлен 19.07.2011Граф как множество вершин (узлов), соединённых рёбрами, способы и сфера их применения. Специфика теории графов как раздела дискретной математики. Основные способы преобразования графов, их особенности и использование для решения математических задач.
курсовая работа [1,8 M], добавлен 18.01.2013Изучение вопросов применения теории множеств, их отношений и свойств и теории графов, а также математических методов конечно-разностных аппроксимаций для описания конструкций РЭА (радиоэлектронной аппаратуры) и моделирования протекающих в них процессов.
реферат [206,9 K], добавлен 26.09.2010Элементы теории графов. Центры и периферийные вершины графов, их радиусы и диаметры. Максимальный поток транспортировки груза и поток минимальной стоимости. Пропускная способность пути. Анализ сетей Петри, их описание аналитическим и матричным способами.
задача [1,3 M], добавлен 28.08.2010Теория графов как раздел дискретной математики, исследующий свойства конечных множеств с заданными отношениями между их элементами. Основные понятия теории графов. Матрицы смежности и инцидентности и их практическое применение при анализе решений.
реферат [368,2 K], добавлен 13.06.2011Основополагающие понятия теории графов. Определение эквивалентности, порождаемое группой подстановок, и доказательство леммы Бернсайда о числе ее классов. Понятие перечня конфигурации и доказательство теоремы Пойа. Решение задачи о перечислении графов.
курсовая работа [649,2 K], добавлен 18.01.2014Понятие и классификация систем, их типы и методика управления. Сущность и методология математического моделирования. Системы, описываемые дифференциальными уравнениями. Некоторые задачи теории графов: о Кенигсбергских мостах, о выходе из лабиринта.
презентация [640,6 K], добавлен 23.06.2013
