Прямые и плоскости в пространстве
Представление плоскости уравнением. Уравнение плоскости "в отрезках". Расстояние от точки до плоскости. Канонические и параметрические уравнения прямой. Расстояние между точками. Деление отрезка в данном отношении. Уравнение поверхности (гиперболоида).
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 27.01.2016 |
| Размер файла | 698,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
АУ СПО "Чебоксарский техникум технологии питания и коммерции"
Реферат
На тему: "Прямые и плоскости в пространстве"
Выполнил: Банифатьев Д.С.
Студент 912 группы
Проверила: Николаева Л.Н.
Чебоксары, 2015.
Плоскость и прямая в пространстве
Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z
Ax + By + Cz +D = 0
задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена данным уравнением, которое называется уравнением плоскости.
Вектор n (A, B, C), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости.
В уравнении коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.
Особые случаи уравнения:
1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.
2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.
3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.
4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.
Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.
уравнение плоскости, проходящей через точку М0 (x0; y0; z0) перпендикулярно к плоскостям
может быть представлено в следующем виде:
уравнение плоскости, проходящей через точки M1 (x1; y1; z1), M2 (x2, y2, z2), M3 (x3; y3; z3), может быть представлено в следующем виде:
уравнение плоскости, проходящей через две точки M1 (x1; y1; z1), M2 (x2, y2, z2) перпендикулярно к плоскости
может быть представлено в следующем виде:
Уравнение плоскости "в отрезках"
Каждое уравнение первой степени
Если ни один из коэффициентов A, B, C не равен нулю, то это уравнение может быть преобразовано к виду:
Расстояние от точки до плоскости
Пусть задана точка М0 (х0; у0; z0) и плоскость своим уравнением: Ax+By+Cz+D=0.
Прямая в пространстве может быть задана:
1) как линия пересечения двух плоскостей, т.е. системой уравнений:
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0;
2) двумя своими точками M1 (x1, y1, z1) и M2 (x2, y2, z2), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:
=
3) точкой M1 (x1, y1, z1), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:
Уравнения называются каноническими уравнениями прямой.
Вектор a называется направляющим вектором прямой.
Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений параметру t:
x = x1 +mt,
y = y1 + nt,
z = z1 + рt.
Решая систему как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой:
x = mz + a, y = nz + b.
От уравнений можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:
Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
Расстояние d между двумя точками
Размещено на http://www.allbest.ru/
и
Размещено на http://www.allbest.ru/
в пространстве определяется формулой
Координаты x, y, z точки М, которая делит отрезок, ограниченный точками
Размещено на http://www.allbest.ru/
и
Размещено на http://www.allbest.ru/
в отношении
Размещено на http://www.allbest.ru/
, определяется по формулам
Уравнение поверхности
Уравнением данной поверхности (в выбранной системе координат) называется такое уравнение с тремя переменными которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой поверхности, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на ней.
Сфера
В декартовых прямоугольных координатах сфера, имеющая центр и радиус r, определяется уравнением:
Сфера радиуса r, центр которой находится в начале координат, имеет уравнение:
Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением:
Уравнение называется каноническим уравнением эллипсоида. Величины a, b, c полуоси эллипсоида. Если все они различны, эллипсоид называется трехосным; в случае, когда какие-нибудь две из них одинаковы, эллипсоид называется вытянутым, при a=b>c - сжатым. В случае, когда a=b=c, эллипсоид представляет собой сферу.
Гиперболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются уравнениями:
Гиперболоид, определяемый уравнением (1), называется однополостным;
уравнение прямая точка поверхность
Гиперболоид, определяемый уравнением (2), - двуполостным
уравнения (1) и (2) называются каноническими уравнениями соответствующих гиперболоидов. Величины a, b, c называются полуосями гиперболоида. В случае однополостного гиперболоида, заданного уравнением (1), только первые из них (а и b) показаны на рис. В случае двуполостного гиперболоида, заданного уравнением (2), одна из них (именно, с) показана на рис.
Гиперболоиды, определяемые уравнениями (1) и (2), при a=b являются поверхностями вращения.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной заданному вектору, плоскости в отрезках, проходящей через три точки. Общее уравнение плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
презентация [106,9 K], добавлен 21.09.2013Уравнения линии на плоскости, их формы. Угол между прямыми, условия их параллельности и перпендикулярности. Расстояние от точки до прямой. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их уравнения и главные геометрические свойства.
лекция [160,8 K], добавлен 17.12.2010Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Биссектриса углов между прямыми. Деление отрезка в заданном отношении. Виды неполных уравнений. Понятие направляющего вектора. Расстояние от точки до прямой.
презентация [490,5 K], добавлен 10.11.2014Написание уравнения прямой, проходящей через определенную точку и удаленной от начала координат на заданное расстояние. Расчет длины высот параллелограмма. Построение плоскости и прямой, определение точки пересечения прямой и плоскости и угла между ними.
контрольная работа [376,1 K], добавлен 16.06.2012Метод координат. Основные задачи аналитической геометрии на прямой и на плоскости. Основные линии второго порядка. Алгебраическая и геометрическая интерпретация векторов. Уравнение поверхности и уравнение линии в пространстве. Общее уравнение плоскости.
учебное пособие [687,5 K], добавлен 04.05.2011Общее и каноническое уравнение прямой, декартова прямоугольная система. Перпендикулярность вектора к прямой и параметрические уравнения. Угловой коэффициент и наклон прямой к оси. Тангенс угла наклона и представление отрезка, отсекаемого линией.
лекция [124,0 K], добавлен 17.12.2011Понятие числовой прямой. Типы числовых промежутков. Определение координатами положения точки на прямой, на плоскости, в пространстве, система координат. Единицы измерения для осей. Определение расстояния между двумя точками плоскости и в пространстве.
реферат [123,9 K], добавлен 19.01.2012Правые и левые ориентации. Стороны прямой на плоскости и плоскости в пространстве. Деформации базисов и ориентации. Отношение одноименности отличных от нуля векторов прямой, деформируемости базисов. Задание направления движения по окружности в плоскости.
контрольная работа [448,0 K], добавлен 09.04.2016Способы определения плоскости. Прямые в пространстве, признаки их параллельности, пересечения, скрещивания. Принадлежность прямой плоскости, их параллельность и скрещивание. Перпендикулярность прямой и плоскости. Взаимодействие плоскостей в пространстве.
презентация [1,4 M], добавлен 13.04.2016Понятие плоскости и определение ее положения в пространстве. Задание плоскости ее следами на комплексном чертеже. Плоскости и проекции уровня. Свойство проецирующих плоскостей собирать одноименные проекции всех элементов, расположенных в данной плоскости.
реферат [69,0 K], добавлен 17.10.2010
