узагальнено інтегральні рівняння для ймовірності (не) розорення на нескінченному інтервалі часу як функції початкового капіталу компанії для розглянутих узагальнень класичного процесу ризику;

вперше виведено системи інтегральних рівнянь для ймовірностей нерозорення на нескінченному інтервалі часу для процесу ризику у випадковому марковському середовищі;

міжнародні конференції "Problems of decision making under uncertainties (PDMU-2003, 2004, 2005)", мм. Алушта, Тернопіль, Бердянськ;

Десята міжнародна конференція імені академіка М. Кравчука, 13-15 травня 2004 р., м. Київ;

VI Всеукраїнська конференція молодих наукових співробітників "Інформаційні технології в освіті, науці і техніці (ІТОНТ-2004)", 28-30 квітня 2004 р., м. Черкаси;

міжнародна конференція “Functional methods in approximation theory, operator theory, stochastic analysis and statistics II” пам'яті А.Я. Дороговцева (1935-2004 рр.), 1-5 жовтня 2004 р., м. Київ;

міжнародна конференція "Modern problems and new trends in probability theory", 19-26 червня 2005 р., м. Чернівці.

Публікації. Результати роботи опубліковано в 5 статтях у фахових наукових виданнях і в 7 тезах конференцій.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, семи розділів, висновків, списку використаних джерел (123 найменування). Загальний обсяг роботи 137 сторінок, основний текст роботи викладено на 125 сторінках.

ВИСНОВКИ

В дисертації отримано наступні основні результати.

1. Виведені інтегральні рівняння для ймовірності (не) розорення різних узагальнень класичного процесу ризику, зокрема процесу з детермінованими преміями, залежними від поточного капіталу, з випадковими преміями, з непуассонівськими потоками премій і вимог та для процесу ризику у випадковому марковському середовищі.

2. Встановлені загальні необхідні та достатні, а також конкретні достатні умови існування і єдиності розв'язків розглянутих інтегральних рівнянь і систем рівнянь страхової математики.

3. Теоретично і практично обґрунтовано метод послідовних наближень для числового розв'язання розглянутих інтегральних рівнянь страхової математики. інтегральний вольтерр марковський

4. Розроблена методика оцінки точності наближеного розв'язку інтегральних рівнянь страхової математики шляхом побудови наближень до точного розв'язку знизу і згори.

5. Запропонований метод послідовних наближень для розв'язання інтегральних рівнянь страхової математики апробовано на ряді числових прикладів, проведено його порівняння з методом Монте-Карло та з відомими наближеними оцінками ймовірності банкрутства.

Розроблений метод послідовних наближень для розв'язання інтегральних рівнянь страхової математики дозволяє:

· підвищити точність актуарних розрахунків;

· обчислити (у рамках обраної моделі) ймовірність розорення страхової компанії з будь-якою наперед заданою точністю;

· провести перевірку точності і застосовності різних відомих наближених формул для ймовірності розорення;

· за необхідності поліпшити точність емпіричних апроксимацій ітеративним шляхом;

· оцінити точність та скорегувати параметри загального Монте - Карло при обчисленні ймовірності розорення за допомогою імітаційного моделювання.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНО В ТАКИХ ПРАЦЯХ

1. Норкин Б.В. Система интегро-дифференциальных уравнений для вероятности банкротства процесса риска в Марковской среде // Теорія оптимальних рішень. Вип.1. - К.: Ін-т кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, 2002. - С. 21-29.

2. Норкин Б.В. О методе последовательных приближений для вычисления вероятности банкротства классического процесса риска // Теорія оптимальних рішень. Вип.2 - К.: Ін-т кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, 2003. - С. 10-18.

3. Норкин Б.В. Метод последовательных приближений для решения интегральных уравнений теории процессов риска // Кибернетика и системный анализ. - 2004. - № 4. - С.10-18.

4. Норкин Б.В. Метод последовательных приближений для вычисления вероятности банкротства процесса риска в марковской среде // Кибернетика и системний анализ - 2004. - №6. - C. 149-161.

5. Норкин Б.В. О вычислении вероятности банкротства непуассоновского процесса риска методом последовательных приближений // Проблемы управления и информатики. - 2005. - №2. - C. 133-144.

6. Норкін Б.В. Інтегральні рівняння для дивідендів і ймовірності банкрутства страхової компанії // Матеріали десятої міжнар. конф. ім. акад. М. Кравчука, 13-15 травня 2004 р., Київ. - К.: ТОВ “Задруга”, 2004. - С. 193.

7. Норкин Б.В. Математическое моделирование выплат дивидендов и риска разорения страховой компании // Матеріали IV Всеукр. конф. молодих науковців “Інформаційні технології в освіті, науці і техніці (ІТОНТ 2004)”, 28-30 квітня 2004 р. - Черкаси: Черкаський національний ун-т ім. Богдана Хмельницького, 2004. Ч. 1, - С. 194.

8. Norkin B.V. On calculation of ruin probability // Abstracts of intern. conf. “Problems of decision making under uncertainties (PDMU-2003), September 8-12, 2003, Alushta (Crimea). - Kyiv: Taras Shevchenko Kyiv National University, 2003. - P. 44-45.

9. Norkin B.V. Calculation of ruin probabilities for a risk process in Markovian environment // Abstracts of intern. workshop “Prediction and decision making under uncertainties” (PDMU-2004, 25-30 May 2004), Ternopil, Ukraine. - Kyiv: Taras Shevchenko Kyiv National University, 2004. -P. 42-43.

10. Norkin B.V. On solution of the basic actuarial integral equation // Abstracts of сonf. “Functional methods in approximation theory, operator theory, stochastic analysis and statistics II” dedicated to the memory of A.Ya. Dorogovtsev (1935-2004), October 1-5, 2004, Kiev, Ukraine. - Kyiv: Taras Shevchenko Kyiv National University, 2004. - P. 90.

11. Norkin B.V. A successive approximation method for solution of actuarial integral equations // Abstracts II of Intern. conf. "Modern problems and new trends in probability theory", June 19-26, 2005, Chernivtsi, Ukraine. - Kyiv: Institute of mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2005. - P. 51.

12. Norkin B.V. On the theory of actuarial integral equations // Abstracts of intern. workshop “Problems of decision making under uncertainties” (PDMU-2005, 12-17 October 2005), Berdyansk, Ukraine, 2005. - Kyiv: Taras Shevchenko Kyiv National University, 2005. - P. 40-42.

АНОТАЦІЯ

Норкін Б.В. Метод послідовних наближень для розв'язання інтегральних рівнянь актуарної математики. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.01 - теоретичні основи інформатики та кібернетики. - Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, Київ, 2006.

В дисертації одержано наступні основні результати. Розглянуто різні узагальнення класичного процесу ризику (модель Крамера - Лундберга), що описує стохастичну еволюцію капіталу страхової компанії. Зокрема, розглянуті процеси ризику з непостійними детермінованими преміями, з випадковими преміями, з непуассонівськими потоками премій і вимог, процеси ризику у випадковому марковському середовищі. Виведено інтегральні рівняння для ймовірності (не) розорення як функції початкового капіталу компанії для різних узагальнень класичного процесу ризику. Для процесу ризику у випадковому марковському середовищі одержані системи інтегральних рівнянь для набору ймовірності нерозорення з різних початкових станів середовища як функцій початкового капіталу компанії. Встановлені загальні необхідні і достатні, а також конкретні достатні умови існування та єдиності рішень розглянутих інтегральних рівнянь і систем рівнянь страхової математики. Теоретично і практично обґрунтований метод послідовних наближень для чисельного або аналітичного розв'язання розглянутих інтегральних рівнянь математики страховки, зокрема, доведена його рівномірна збіжність і одержані оцінки швидкості збіжності. Розроблена методика оцінки точності наближеного розв'язку інтегральних рівнянь математики страховки шляхом побудови наближень до точного розв'язку зверху та знизу. Запропонований метод послідовних наближень апробований на низці числових прикладів, проведено його порівняння з методом Монте-Карло, з відомими наближеними оцінками розв'язку. Розроблений метод послідовних наближень для розв'язання інтегральних рівнянь математики страховки дозволяє підвищити точність актуарних розрахунків, а саме - обчислити в рамках обраної моделі ймовірність розорення страхової компанії з будь-якою наперед заданою точністю, провести перевірку точності і застосовності різних відомих наближених формул для ймовірності розорення. За необхідності поліпшити точність емпіричних апроксимацій ітеративним шляхом, оцінити точність і скоректувати параметри Монте-Карло при обчисленні ймовірності розорення за допомогою імітаційного моделювання.

Ключові слова: актуарна математика, страхова математика, процес ризику, ймовірність банкрутства, ймовірність розорення, інтегральні рівняння, існування та єдиність розв'язків, метод послідовних наближень.

Норкин Б.В. Метод последовательных приближений для решения интегральных уравнений актуарной математики. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.01 - теоретические основы информатики и кибернетики. - Институт кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украины, Киев, 2006.

В диссертации рассмотрены различные обобщения классического процесса риска (модель Крамера - Лундберга), описывающего стохастическую эволюцию капитала страховой компании. В частности, рассмотрены процессы риска с непостоянными детерминированными премиями (которые зависят от текущего капитала компании), процессы со случайными премиями (приходящими в случайные или детерминированные моменты времени), процессы с непуассоновскими моментами прихода премий и требований, процессы риска в случайной марковской среде.

Выведены интегральные уравнения для вероятности (не) разорения как функции начального капитала компании для различных обобщений классического процесса риска. В случае классического процесса риска соответствующее уравнение сводится к уравнению Вольтерра и известно много подходов к его решению. Этому случаю посвящено огромное число работ в страховой математике. Однако для рассмотренных обобщений классического процесса риска оказывается, что соответствующие актуарные интегральные уравнения не сводятся к уравнениям Вольтерра. Все эти уравнения имеют следующий общий вид, искомая функция равняется значению некоторого оператора от этой же функции. Это линейные однородные интегральные уравнения, не принадлежащие к известным типам интегральных уравнений. Они содержат интегралы по неограниченным областям. Операторы, входящие в уравнения, не являются сжимающими на своих областях определения. Данные уравнения имеют много решений, но ищется решение, удовлетворяющее граничному условию на бесконечности, а именно, решение, стремящееся к единице при росте капитала к бесконечности. Такое условие означает, что компания не разоряется из бесконечного начального капитала.

Для процесса риска в случайной Марковской среде получена система линейных интегральных уравнений для набора вероятностей неразорения как функций начального капитала компании при различных начальных состояниях среды. Математически задача состоит в том, чтобы найти решение уравнения или системы, удовлетворяющее указанному граничному условию на бесконечности. В диссертации установлены общие необходимые и достаточные, а также конкретные достаточные условия существования и единственности решений рассмотренных интегральных уравнений и систем интегральных уравнений страховой математики. Эти условия сводятся к существованию некоторой монотонной функции (обобщенной нижней границы Крамера - Лундберга) со значениями между нулем и единицей такой, что интегральные операторы уравнений переводят эту функцию в некоторую большую функцию.

Достаточные условия существования и единственности решения уравнений имеют форму положительной разрешимости некоторых нелинейных неравенств, которые заведомо имеют решение, если средние поступления средств в компанию больше средних выплат по требованиям.

В силу общности и сложности рассматриваемых интегральных уравнений страховой математики получить их точное аналитическое решение невозможно, за исключением очень редких специальных случаев. Поэтому в диссертации предложен, теоретически и практически обоснован метод последовательных приближений для численного или приближенного аналитического решения рассмотренных интегральных уравнений страховой математики, в частности, доказана его равномерная сходимость к решению и получены оценки скорости сходимости. Показано, что метод равномерно сходится в любую окрестность решения со скоростью геометрической прогрессии (знаменатель которой зависит от размера окрестности). Предложена методика оценки точности приближенных решений интегральных уравнений страховой математики путем организации приближений к точному решению сверху и снизу. Показано, что запущенный с единичного начального приближения метод порождает монотонно убывающую последовательность приближений, а запущенный с обобщенной нижней границы Крамера - Лундберга - монотонно возрастающую последовательность приближений, сходящуюся к решению. Все эти результаты справедливы и для решения систем интегральных уравнений, описывающих вероятности неразорения процесса риска в марковской случайной среде.

Предложенный метод последовательных приближений апробирован на ряде численных примеров, проведено его сравнение с методом Монте - Карло, с известными приближенными оценками вероятности разорения.

Разработанный метод последовательных приближений для решения интегральных уравнений страховой математики позволяет повысить точность актуарных расчетов, а именно, вычислить в рамках выбранной модели вероятность разорения страховой компании с любой наперед заданной точностью; провести проверку точности и применимости различных известных приближенных формул для вероятности разорения; при необходимости улучшить точность эмпирических аппроксимаций итеративным путем; оценить точность и скорректировать параметры общего метода Монте - Карло при вычислении вероятности разорения с помощью имитационного моделирования.

Ключевые слова: актуарная математика, страховая математика, процесс риска, вероятность банкротства, вероятность разорения, интегральные уравнения, существование и единственность решения, метод последовательных прибли-жений.

Norkin B.V. A successive approximation method for solution of actuarial integral equations. - Manuscript.

Dissertation for a scientific candidate degree of physical and mathematical sciences by speciality 01.05.01 - theoretical bases of computer science and cybernetics. - V.M. Glushkova Institute of Cybernetics of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kiev, 2006.

In the dissertation various generalizations of the classical risk process describing a stochastic evolution of the capital of an insurance company (Kramer - Lundberg model) are considered. In particular risk processes with variable deterministic premiums, with random premiums, with non Poisson flows of premiums and claims, risk processes in a stochastic markovian environment are studied. Integral equations for the probability of nonruin as a function of the initial capital of the company for various generalizations of the classical risk process are deduced. For a risk process in a stochastic markovian environment system of integral equations for a set of nonruin probabilities from various initial states of the process are obtained. A general necessary and sufficient, and also concrete sufficient conditions of the existence and uniqueness of solutions of the considered integral equations and systems of equations are established. A successive approximation method for a numerical or analytical solution of the considered integral equations of insurance mathematics is theoretically and practically validated, in particular its uniform convergence and rate of such convergence are established. A technique of estimation of the accuracy of approximate solutions of integral equations of insurance mathematics is developed by construction of approximations to the exact solution from above and from below. The suggested method of consecutive approximations was tested on a number of numerical examples, its comparison with Monte Carlo method, with known approximations of solutions was carried out.

The developed method of successive approximations for the solution of integral equations of insurance mathematics allows to increase accuracy of actuarial calculations, namely, to calculate within a chosen framework a probability of ruin of an insurance company with any prescribed accuracy, to check applicability and accuracy of various empirical approximate formulas for the probability of ruin, if necessary to improve accuracy of empirical approximations in an iterative way, to estimate accuracy and to correct parameters of Monte Carlo simulation method for calculation of the probability of ruin.

Keywords: actuarial mathematics, insurance mathematics, risk process, ruin probability, probability of bankruptcy, integral equations, existence and uniqueness of solutions, successive approximation method.

Размещено на Allbest.ru