Эмпирические функции и статистические гипотезы

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЗАДАНИЕ 1. ПО ИМЕЮЩИМСЯ ДАННЫМ ВЫБОРОЧНОЙ СОВОКУПНОСТИ

1. Построить вариационный (или интервальный) ряд исследуемой случайной величины.

2. Произвести группировку данных вариационного ряда на 6 - 10 интервалов (разрядов, групп), построить таблицу частот, вычислить и представить графически эмпирические функции распределения исследуемой случайной величины.

3. Построить описательную статистику (определить основные характеристики выборочной совокупности), построить доверительные интервалы для генерального среднего игенеральной дисперсии заданной случайной величины (выбрать б = 0,05).

Уровень инфляции (% в месяц): 3.1; 3.7; 6.4; 3.8; 4.2; 3.0; 3.2; 3.7; 3.0; 3.1; 3.6; 4.1; 4.8; 5.5; 3.0; 3.1; 3.2; 3.0; 3.7; 3.5; 3.1; 3.2; 3.0; 3.1; 3.0; 3.4; 3.5; 3.6; 4.1; 3.7; 4.2; 3.8; 4.6; 4.7; 5.1; 5.8; 3.1; 3.0; 5.4; 6.0; 6.2; 3.0; 3.2; 3.4; 3.5; 3.3; 3.3; 3.0; 4.0.

Решение:

1. Построить вариационный (или интервальный) ряд исследуемой случайной величины.

Запишем данные в порядке возрастания и найдем для каждой варианты частоту. Получим вариационный ряд:

Таблица 1

ni	xi
9	3
6	3,1
4	3,2
2	3,3
2	3,4
3	3,5
2	3,6
4	3,7
2	3,8
1	4
2	4,1
2	4,2
1	4,6
1	4,7
1	4,8
1	5,1
1	5,4
1	5,5
1	5,8
1	6
1	6,2
1	6,4

2. Произвести группировку данных вариационного ряда на 6 - 10 интервалов (разрядов, групп), построить таблицу частот, вычислить и представить графически эмпирические функции распределения исследуемой случайной величины.

Находим минимальный и максимальный элемент выборки: x_min= 3 и x_max = 6,4.

По формуле Стерджесса определяем число групп:

Находим длину интервала группировки

.

Здесь m = 6 - число интервалов группировки.

К минимальному значению признака прибавляем h, получаем конец первого интервала, к нему прибавляем h, получаем коне второго интервала и т.д. для каждого интервала найдем количество элементов выборки, входящих в него. Получим таблицу 2:

Таблица 2.

Расчетная таблица

Эмпирической функцией распределения называется функция F*(x), определенная для всех х от -- ? до + ?; таких, что:

1) F(x) = 0, для всех x < x*1;.

2) F*(x) = (n1*/n)+(n2*/n)+…+(nk*/n) для всех x удовлетворяющих условию: хk*? x < х*k+1;

3) F*(x) = 1, для всех x ? x*m;.

Для построения функции заполним таблицу 3 в колонку F*(x) будем записывать накопленные относительные частоты

F*(x1*) = n1*/n

F*(x2*) = (n1*/n)+(n2*/n)

F*(x3*) = (n1*/n)+(n2*/n)+(n3*/n) ит.д.

Таблица 3.

Расчетная таблица относительных частот

начало интервала, xi	конец интервала, x i+1	частота ni	середина интервала, ci	относительная частота	накопленная частотность, wi
3	3,6	26	3,3	0,53	0,53
3,6	4,1	11	3,9	0,22	0,76
4,1	4,7	4	4,4	0,08	0,84
4,7	5,3	2	5,0	0,04	0,88
5,3	5,8	3	5,6	0,06	0,94
5,8	6,4	3	6,1	0,06	1,00

На оси абсцисс выбираем начальную точку чуть левее точки x₁* = 3, и такой масштаб, чтобы на оси поместился интервал [x₁* , x₆* ] = [ 3 , 6,4] и отчетливо различались точки x_k*.

На оси ординат выбираем начало отсчета в точке 0 и такой масштаб, чтобы на оси поместился интервал [0 , 1] и отчетливо различались точки n_k*/n.

Для построения графика эмпирической функции распределения наносим на ось абсцисс интервалы [xk* , xk+1*] и над каждым из них на высоте F*(x_k* ) строим горизонтальные отрезки. В правом конце отрезка помещаем стрелку, чтобы показать, что F*(x_k* ) в точке x*_k+1 делает прыжок в высоту на F*(x*_k+1 ) -- F*(x_k* ) = n*_k+1 /n.

Получаем график эмпирической функции распределения, изображенный на рисунке ниже.

Рисунок 1.

3. Построить описательную статистику (определить основные характеристики выборочной совокупности), построить доверительные интервалы для генерального среднего игенеральной дисперсии заданной случайной величины (выбрать б = 0,05).

Среднее арифметическое выборочной совокупности:

Дисперсия выборочной совокупности:

Среднее квадратическое отклонение совокупности:

Доверительный интервал для средней определяется так:

В нашем случае:

На уровне значимости б = 0,05 находим t:

Получаем:

Доверительный интервал для дисперсии (математическое ожидание не известно):

Так как у нас n = 49> 30, то надо считать по формулам:

Тогда:

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения равно:

ЗАДАНИЕ 2. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

Задача 1. По двум выборкам нормальных законов распределения проверить гипотезу о равенстве дисперсий (при конкурирующей гипотезе об их неравенстве) при уровне значимости 0,1. Определить:

1) дисперсию первой выборки;

2) дисперсию второй выборки;

3) вычисленное значение критерия;

4) теоретическое значение критерия;

5) вывод о принятии или не принятии гипотезы.

Вариант №10.

Задача 1.

Первая выборка:

66.9 50.0 59.1 60.5 59.8 64.2 64.4 52.2 44.2 68.6 61.9 57.2

Вторая выборка: 31.4 25.8 38.3 17.9 51.1 35.1 38.8 46.3 52.4

Решение:

Возьмем гипотезу , то есть дисперсии равны. Тогда конкурирующая гипотеза . Считаем F-статистику:

Посчитаем для каждой выборки средние и дисперсии:



Теперь считаем статистику. В ее формуле вместо надо брать большую дисперсию:

Критическое значение Фишера при k1=n-1=12-1=11, k2=n-1=9-1=8 на уровне значимости 0,1 равно.

Так как , то гипотеза принимается.

Ответ: на уровне значимости 0,1 гипотеза о равенстве дисперсий принимается.

Задача 2. По данным двух выборок нормального закона распределения проверить гипотезу о равенстве генеральных средних (при конкурирующей гипотезе об их неравенстве) при уровне значимости б.

В ответе привести:

1) выборочное среднее для первой выборки;

2) выборочное среднее для второй выборки;

3) вычисленное значение критерия;

4) табличное значение;

5) вывод о принятии или не принятии гипотезы.

Задача 2. б = 0.020

Выборка 1: 76.9 57.4 74.0 121.0 34.2 18.7 36.2 35.0 55.1 82.4 95.2 54.2

Выборка 2: 108.3 72.3 70.2 92.3 89.1 76.2 92.8 89.7 6.0 72.5 117.3 111.8 65.7 72.1 65.8 87.6 103.0

Решение:Проверяемая гипотеза H₀: . Тогда альтернативная гипотеза H₁: . Так как не известны генеральные оценки и , то .Считаем статистику:

,

которая имеет t-распределение Стьюдента с k = n₁ + n₂ - 2 степенями свободы.

Находим ее необходимые элементы:

Итак, считаем статистику:



Таблица 1

Расчетная таблица

X1	X2	X1^2	X2^2
76,9	108,3	5913,6	11728,9
57,4	72,3	3294,8	5227,3
74	70,2	5476,0	4928,0
121	92,3	14641,0	8519,3
34,2	89,1	1169,6	7938,8
18,7	76,2	349,7	5806,4
36,2	92,8	1310,4	8611,8
35	89,7	1225,0	8046,1
55,1	6	3036,0	36,0
82,4	72,5	6789,8	5256,3
95,2	117,3	9063,0	13759,3
54,2	111,8	2937,6	12499,2
	65,7	0,0	4316,5
	72,1		5198,4
	65,8		4329,6
	87,6		7673,8
	103		10609,0
Сумма 740,3	1392,7	55206,59	124484,77

Находим критическое значение на уровне значимости 0,02 при степенях свободы 12+17-2 = 27:

Так как , то гипотеза H₀ принимается. То есть на уровне значимости 0,02 можно считать, что средние равны.

Ответ:

На уровне значимости 0,02 можно считать, что средние равны.

Задача 3. По данным двух выборок нормального закона распределения (первая - с дисперсией S₁², вторая - с дисперсией S₂²) проверить гипотезу о равенстве средних значений при уровне значимости б (при конкурирующей гипотезе об их неравенстве). В ответе привести:

1) выборочное среднее для первой выборки;

2) выборочное среднее для второй выборки;

3) вычисленное значение критерия;

4) критическое значение;

5) вывод о принятии или не принятии гипотезы.

Задача 3. S₁ = 24, S₂ = 36, б = 0.020

Выборка 1:

124.1 82.5 69.0 85.4 32.4 77.7 78.2 96.6 39.6 34.2 67.8 35.1 30.9 69.6 101.0 61.6 115.1 39.2 66.6 92.3 53.0 95.3 55.5 92.2 66.1 57.2 29.5 68.2 40.5 54.0 40.4 72.0 69.2 35.2 98.5 26.9 47.0 106.4 50.2 46.2 88.4 56.6 45.4 69.3 63.5 42.6 66.0 80.1 66.4 92.0 60.9 75.7 109.2 47.1 64.5 93.3 49.4 65.9 98.7 46.2 24.2 50.5 92.4 75.1 112.0 14.6 41.0 59.5 59.7 44.9

108.7 68.8 49.9 44.4 48.2 48.3 87.9 59.5 67.8 62.7 61.5 40.7 68.1 65.1 59.6 77.3 77.0 74.0 99.4 67.2 76.9 99.9 29.0 18.3 56.5 81.8 28.3 66.7 63.1 79.6

Выборка 2: вариационный интервал гистограмма дисперсия

65.3 67.8 91.3 87.9 58.2 124.8 37.1 86.1 53.6 59.4 94.4 79.7 73.1 18.5 54.7 107.0 78.0 70.2 99.7 117.4 97.0 82.8 68.3 98.3 42.1 76.9 71.2 54.4 98.5 103.8 119.6 47.1 91.8 99.1 90.8 36.4 64.3 72.6 81.1 120.5 79.2 99.4 96.3 77.4 148.4 85.6 92.8 104.3 61.4 83.5 43.1 97.0 111.4 169.8 88.1 52.0 138.4 49.9 79.3 45.2 18.6 108.2 142.9 22.3 79.0 39.9 146.6 76.9 65.4 125.8

27.0 54.4 43.7 88.0 54.7 115.8 66.1 78.8 76.6 55.8 61.8 47.1 80.3 90.9 52.5 16.2 35.0 89.4 30.5 87.0 94.1 73.6 99.2 66.9 62.3 85.8 64.6 96.4 22.0 78.8

Решение:

Проверяемая гипотеза H₀: . Тогда альтернативная гипотеза H₁: . Считаем статистику:

Находим ее необходимые элементы:

Итак, считаем статистику:

Находим критическое значение:

Так как , то гипотеза H₀ о равенстве средних на уровне значимости 0,02 не принимается.

Ответ:

Гипотеза H₀ о равенстве средних на уровне значимости 0,03 принимается.

Задача 4. При проведении n₁ испытаний в первой серии число благоприятных исходов равнялось m₁. Во второй серии из n₂ испытаний число благоприятных исходов равнялось m₂. Проверить гипотезу о равенстве вероятностей благоприятного исхода в двух сериях (при конкурирующей гипотезе об их неравенстве) при уровне значимости б. В ответе привести:

1) вычисленное значение критерия;

2) критическое значение;

3) вывод о принятии или не принятии гипотезы.

Задача 4. n_{1 =} 700, m₁ = 496, n₂ = 800, m₂ = 576, б = 0.030.

Решение: вариационный интервал гистограмма дисперсия

Согласно условиям задачи требуется проверить нулевую гипотезу о равенстве значений вероятности p «успеха» - появления бракованной детали () для первого и второго рабочего, причем, поскольку объем выборки достаточно велик, можно использовать статистику z. Поскольку m₂>m₁, то альтернативную гипотезу следует принять в виде (левосторонняя критическая область).

Посчитаем необходимые элементы:

Итак, считаем статистику:

Для критическое значение равно:

Таким образом, по модулю. Следовательно, нулевая гипотеза о равенстве вероятностей благоприятного исхода в двух сериях принимается на уровне значимости 0,03.

Ответ:

Нулевая гипотеза о равенстве вероятностей благоприятного исхода в двух сериях принимается на уровне значимости 0,03.

Задача 5.По данным выборки выбрать гипотезу о виде закона распределения и проверить ее, используя критерий Пирсона при уровне значимости б. В ответе привести:

1) выбранную гипотезу о виде закона распределения;

2) вычисленное значение критерия;

3) критическое значение;

4) вывод о принятии или не принятии гипотезы.

Задача 5. б = 0.050

1.1 9.5 -12.7 -8.2 -14.1 -15.9 -2.9 -3.1 0.1 -2.7 5.1 3.5 -5.4 13.7 17.8 1.3 6.7 1.9 -8.0 9.1 -1.9 7.3 9.2 -1.5 1.9 -13.1 -2.6 -2.8 -28.2 15.7 2.2 -4.7 9.1 7.2 -8.2 2.7 4.5 2.5 -6.5 5.9 4.3 -3.7 -3.9 0.2 10.6 5.8 13.5 0.8 5.0 6.9 9.5 -4.1 -10.2 -3.6 12.5 17.9 -4.9 3.1 -23.5 -8.4 0.5 -1.7 -4.4 3.0 -4.5 -13.7 -1.5 -8.6 3.0 -6.1 0.0 23.1 1.9 6.5 -4.3 3.8 2.6 5.5 -6.6 -16.4

-10.6 3.6 -9.4 4.9 9.5 -2.5 7.9 -5.9 4.7 2.7 15.7 -9.8 7.4 11.2 -1.5 -3.1 -9.7 -6.1 7.8 -5.0

Решение:

Находим минимальное и максимальное значение:

.

Выборку будем группировать на пять интервалов. Размер интервала:

Берем минимальное значение совокупности, прибавляем к нему h, получаем конец первого интервала, прибавляем к нему h, получаем конец второго интервала, и так далее. Для каждого интервала найдем его центр, частоту (количество элементов, в него попавших). Получим таблицу 1.

Таблица 1

Расчетная таблица

x i	x i+1	центр интервалов	попало в интервал, nk*
-28,2	-17,94	-23,07	2	0,020	0,002
-17,94	-7,68	-12,81	16	0,162	0,015
-7,68	2,58	-2,55	40	0,404	0,037
2,58	12,84	7,71	35	0,354	0,032
12,84	23,1	17,97	6	0,061	0,006

Так как частота первого интервала меньше пяти, его следует объединить со вторым интервалом.

Таблица 2

Расчетная таблица

x i	x i+1	центр интервалов	попало в интервал, nk*
-28,2	-7,68	-17,94	18	0,182	0,017
-7,68	2,58	-2,55	40	0,404	0,037
2,58	12,84	7,71	35	0,354	0,032
12,84	23,1	17,97	7	0,061	0,006

Находим математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение для интервального ряда:

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

Строим полигон абсолютных частот:

Рисунок 1

Строим полигон относительных частот:

Рисунок 2.

Строим гистограмму по необъединенным интервалам:

Рисунок 3.

По всем трем графикам видно, что имеет место нормальный закон распределения. Проверим гипотезу H₀ , о том что распределение подчиняется нормальному закону.

Считаем вероятность попадания случайной величины в данный интервал:



Сведем полученные расчеты в таблицу 3.

Таблица 3

Расчетная таблица

x i	x i+1	Ф (ti)	Ф (t i+1)		n*pi	ni
-28,2	-7,68	-0,998	-0,583	0,207	20,740	18	0,362
-7,68	2,58	-0,583	0,248	0,415	41,539	40	0,057
2,58	12,84	0,248	0,851	0,302	30,162	35	0,776
12,84	23,1	0,851	0,990	0,069	6,943	7	0,000
				0,994	99,384	100	1,195

На уровне значимости 0,05 при степенях свободы k =n - r - 1 = 4 - 2 - 1 = 1 критическое значение критерия Пирсона равно . Так как расчетное значение меньше критического , то есть, то на уровне значимости 0,05 гипотеза о нормальном распределении согласуется с опытными данными.

Ответ:

Гипотеза H₀ , о том что распределение подчиняется нормальному закону.

Вычисленное значение критерия: .

Табличное значение критерия: .

На уровне значимости 0,05 гипотеза о нормальном распределении согласуется с опытными данными.

Размещено на Allbest.ru