Отражающая функция линейной системы

Размещено на http://www.allbest.ru/

§1.Отображение за период. Основной принцип

Рассмотрим систему

(1)

Будем считать, что система (1) удовлетворяет следующим условиям

а) правая часть системы (1) непрерывно дифференцируема , и поэтому при всех (,)задача Коши для системы (1) имеет единственное решение

t, t

б) система 2щ- периодична по t, т.е. )=

Отображение : называют оператором или отображением сдвига вдоль решений системы (1).Имеют место следующие известные свойства оператора сдвига вдоль решений системы (1)

1)(; 2) °=

3)=; 4)=°;

Последнее свойство равносильно тождеству

= (2)

Каждое из этих свойств вытекает из свойства функции .

Отображение : при любом называют отображением за период или отображением Пуанкаре для системы (1).Областью определения отображения Пуанкаре является множество всех тех ,для которых решение , системы (1) определено для всех t.

Общий принцип [3, с,25,4, c.12]Для того чтобы продолжимое на [] решени системы (1) было 2щ-периодическим, необходимо и достаточно, чтобы точка была неподвижной точкой отображения Пуанкаре

Доказательство: Необходимость очевидна из 2щ-периодичности решения .

Достаточность. Пусть есть неподвижная точка отображения за период .Это означает,что (3)

Функция t определена на некотором множестве, содержащем отрезок [б-2щ,б] и в силу 2щ-периодичности системы (1) является решением системы (1).Согласно (3) оба решения и при t‹б cовпадают. Так как решения системы (1) однозначно определяются своими начальными условиями, то =.

Теорема доказана.

Таким образом, если при каком-то б удаётся отыскать отображение за период T=,то из уравнения T()= будут найдены начальные данные всех 2щ-периодических решений.

Пусть S:- некоторый диффеоморфизм и пусть нам удалось отыскать отображение ° T°S.Тогда если y есть решение уравнения

° T°S(y)=y,то =S(y) есть решение уравнения T()=.В связи с этим разумно следующее.

Определение: Отображение Пуанкаре системы (1) системы y),t (4)

Удовлетворяющей условиям а)и б) называются подобными, если существует диффеоморфизм S:,при котором =° °S.

Верны следующие утверждения:

1) Любые два отображения Пуанкаре одной и той же системы подобны

2) Если отображения Пуанкаре систем (1) и (4) подобны, то между 2щ-периодическими решениями этих систем можно установить взаимно однозначное соответствие.

3) Отношения подобия для отображений Пуанкаре разбивает множество систем вида (1), удовлетворяющих условиям а) и б), на классы эквивалентности таким образом, что две системы принадлежат одному классу эквивалентности если и только если их отображения Пуанкаре подобны. В самом деле для любого отображения Пуанкаре в силу свойств оператора сдвига верны соотношения

=°°=°

Из которых следует, что любое отображение Пуанкаре системы (1) подобно отображению .Откуда вытекает утверждение 1).Для доказательства утверждения 2) достаточно заметить, что нужное соответствие между начальными данными периодических решений систем (1) и (4) устанавливается с помощью формулы х=S(y).

Утверждение 3), как показывает проверка соответствующих условий, также имеет место. Из доказанного следует, что множество систем вида (1), все продолжимые на [-щ;щ],решения которых 2щ-периодичны,образуют класс эквивалентности. Простейшим представителем этого класса является система Пусть T-некоторое отображение, а -его неподвижная точка. Неподвижная точка -называется устойчивой по Ляпунову, если ? д>0 такое что ¦¦< для всех n ?1 и всех для которых ¦¦< д. Если устойчива по Ляпунову и ¦¦ 0 при n,то точка -называется асимптотически устойчивой[6,c.177].Имеет место

Теорема: Периодическое решение системы (1) устойчиво(асимптотически устойчиво) по Ляпунову тогда и только тогда, когда устоичива (асимптотически устойчива) неподвижная точка отображения Пуанкаре системы (1).

Доказательство см.в[6,с.177].

Для изучения вопросов существования и устойчивости периодических решений системы (1) можно использовать любое отображение Пуанкаре б.Мы будем использовать отображение .Поэтому в дальнейшем слова “Отображение Пуанкаре”(“отображение за период ”) будут означать, если не оговорено противное, только отображение ,которое для краткости обозначим через T.

§2. Отражающая функция и её свойства

Отражающей функцией системы

(2.1)

называется дифференцируемая функция F : , определяемая формулой

Для отражающей функции справедливы свойства:

1), , системы (2.1), верно тождество , где I-интервал существования решения.

2) Для отображающей функции F любой системы выполнены тождества

3) Дифференцируемая функция F : будет отражающей функцией системы (1) , когда она удовлетворяет системе уравнений в частных производных + (2.2)

и начальному условию .

Уравнение (2.2) будем называть основным уравнением (основным соотношением) для отражающей функции.

Доказательство: Свойство 1) следует непосредственно из определения. Для доказательства свойства 2) заметим, что согласно свойству 1) для любого решения системы (1) верны тождества

Из этих тождеств в силу того, что через каждую точку проходит некоторое решение системы (1), и следуют тождества (2.2).Приступим к доказательству свойства 3). Пусть - отражающая функция системы (1). Тогда для неё верно тождество

.

Продифференцируем это тождество по и воспользуемся тем, что - решение системы (1), и самим тождеством. Получим тождество

из которого в силу произвольности решения следует, что - решение системы (3). Начальное условие согласно свойству 2) так же выполняется.

Пусть некоторая функция F удовлетворяет системе (2.2) и условию

Так как этой системе и этому условию удовлетворяет так же и отражающая функция, то из единственности решения задачи

и

функция F должна совпадать с отражающей функцией. Свойство 3) доказано.

§3 Построение систем по данной отражающей функции

Пусть ,D,есть произвольная, определённая в некоторой области D ? ,содержащей гиперплоскость t=0,дифференцируемая функция, для которой

(3.1)

(3.2)

а E единичная матрица nЧn.

Лема:Для всякой непрерывно дифференцируемой функции D,для которой выполнены свойства 1) и 2), выполнены соотношения

(3.3)

( (3.4)

Доказательство: Для доказательства продифференцируем равенство (1)

по получим тождества

;

из которых следует неравенство det и тождества (3.3) и (3.4)

Теорема 1: Для всякой дважды непрерывно дифференцируемой функции D,определённой в области D ? ,содержащей гиперплоскость t=0, для которой выполнены тождества (1) и (2),при всех x ? , и достаточно малых ¦t¦ существует дифференциальная система

Отражающая функция которой совпадает с , а общий интеграл задаётся формулой

Доказательство: При t=0 собственные значения матрицы равны .Значит при всяком x и достаточно малых¦t¦значит , а матрица имеет обратную, поэтому система (3.5) существует.

Чтобы показать, что есть отражающая функция системы (3.5),воспользуемся свойством (3.3) отражающей функции. Для этого покажем, что для и системы (3.5) выполнено основное соотношение(см.5 на с.11). Действительно, используя тождества (3.3) и (3.4),получаем

+

Тогда по свойству (3.3) есть отражающая функция системы (3.5) продифференцировав соотношение (3.6), в силу системы (3.5), убедимся в том, что (3.6) есть общий интеграл системы.

Следствие: Дважды непрерывно дифференцируемая функция D, является отражающей функцией хотя бы одной дифференциальной системы тогда и только тогда, когда для неё выполнены тождества (3.1) и (3.2)

Доказательство: Это следствие объединяет теорему (1) и свойство (3.2) отражающей функции.

Замечание: Как показывает пример функции

При больших ¦t¦матрица может оказаться вырожденной. Если же n=1, то система (3.5) определена при всех (t,x) D. Для доказательства достаточно заметить, что при n=1 из и следует неравенство >0 при всех (t,x) D.Обазаначим через G некоторую область в пространстве .

Теорема 2 : Пусть Ф:Gесть отражающая функция некоторой дифференциальной системы с непрерывно дифференцируемой правой частью, а для дважды непрерывно дифференцируемой функции D,

Выполнены тождества (3.1) и (3.2). Тогда, для того чтобы в области D?G функция Ф совпадала с , необходимо и достаточно, чтобы раасматриваемая система имела вид

(3.7)

где R: D?G, есть некоторая непрерывно дифференцируемая вектор-функция.

Доказательство:

Необходимость: Пусть Ф- отражающая функция некоторой системы

и пусть Ф совпадает с . Положим =1/2[]. Тогда, использовав тождества(3.3) и (3.4), и основное соотношение для отражающей функции Ф, получим тождества

1/2[]- Ѕ[][]+

отражающая функция матрица

Что и доказывает необходимость.

Достаточность: Пусть в системе (3.7) R: D?G, есть такая функция для которой правая часть системы (3.7) непрерывно дифференцируема. Тогда, в чём можно убедиться подстановкой, выполняется основное соотношение для отражающей функции (3.5) (см.с.11). Поэтому согласно свойству (3.3)

отражающей функции является отражающей функцией системы (3.7).

Пример. ,

где )-нечётная дифференцируемая функция, имеющей в качестве общей отражающей функции функцию =. Уравнением такого вида является уравнение Риккати , где ,-д(t)-непрерывные нечётные функции. Здесь )=. Убедиться в этом можно, используя основное соотношение отражающей функции.

Из полученных выше результатов следует, что для каждой дважды дифференцируемой функции , для которой выполнены тождества

Можно составить множество систем вида (3.7). Для этих систем функция является отражающей функцией. Интересно отметить, что сама функция может задаваться неявным образом, а получаемые дифференциальные системы вида (3.7) при удачном выборе вектор-функции будут иметь нормальную форму.

Пусть, к примеру, функция задаётся отношением вида

(3.8)

где U-дифференцируемая функция, для которой det

(соотношением такого вида можно задать любую оттражающую функцию).

Построим дифференциальную систему

(3.9)

Соотношение =c, что не трудно проверить, представляет собой общий интеграл системы (3.9). Поэтому для любого решения x(t)-данной системы =. А это означает, что отражающая функция системы (3.9) задаётся соотношением (3.8). Из соотношения (3.8) найдём

=.

Тогда, что можно проверить с помощью свойства (3.3) отражающей функции (см.также лемму на с.24), всякая система вида

(3.10)

Также имеет отражающую функцию , задаваемую соотношением (3.8).

В качестве возьмём функцию вида

S(t,U(t,x)).

Тогда =.

Поэтому система (3.10) может быть записана в виде

(3.11)

Правая часть системы (3.11) уже не содержит . Таким образом теорема доказана.

Теорема 3 : Каковы бы ни были непрерывно дифференцируемые отражающие функции S(t,x) и U(t,x), для которых det ?0, отражающая функция системы -] задаётся отношениием =.

Из теоремы следует что, все уравнения вида

например, имеют отражающую функцию, которая задаётся соотношением 2F+sinF=2x+sinx+2sint. Все продолжимые на[-р;р] решения этого уравнения имеет 2р-периодическими функциями, как отображение за период для данного уравнения задаётся формулой F(-р;x)x.

§4. Классы систем с одной и той же отражающей функцией

§5. Отражающая функция линейной системы

Рассмотрим систему

(5.1)

с непрерывной матрицей .Пусть -фундаментальная матрица решений этой системы, можно записать в виде = .

Поэтому отражающая функция системы линейна и имеет вид

Матрицу называют отражающей матрицей системы. Из свойств отражающей функции, определения отражающей матрицы вытекают следующие свойства:

1) для отражающей матрицы любой системы справедливы соотношения

(5.2)

2) дифференцируемая матрица будет отражающей матрицей системы

(5.1) тогда и только тогда, когда является решением уравнения

и удовлетворяет начальному условию

3) для каждой не особой дифференцируемой матрицы, t удовлетворяющей условиям (5.2), существует линейная система,

(5.3)

общий интеграл которой совпадает с

4) непрерывно дифференцируемая не особая матрица ,t , является отражающей матрицей хотя бы одной линейной системы вида (5.1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет соотношения (5.2)

5) всякая линейная система с отражающей функцией может быть записана в виде

,

где R(t)-непрерывная на R матрица.

§6. О периодических решениях системы с треугольной отражающей матрицей

В данном параграфе мы рассматриваем периодические решения системы (1),здесь имеет место следующая теорема.

Теорема: Пусть для 2w-периодической системы (1), выполнены условия

(4.1).Тогда

1) Если

?1 , , то система (1) имеет

единственное 2-w решение x?0,y?0;

2) Если

?1 , то система (1) имеет

бесконечно много 2-w периодических решений, которые имеют начальные данные x(-w)=0,y(-w)-любое число;

3) Если

=1 , , то система (1), имеет

бесконечно много 2-w решений вида ;

Доказательство: Т.к. выполнены условия леммы, то отражающая матрица нашей системы треугольна,т.е. имеет вид

Для 2-w периодических решений системы согласно с [ст.65,§2.2] начальные данные 2-w периодических решений системы (1) находятся из алгебраической системы

(5.1)

где m= ; p=; n=;

При этом нам могут представиться случаи:

1) ?1 , , в этом случае система (5.1),

имеет только нулевое решение,откуда и следует утверждение

теоремы;

2) ?1 , в этом случае система

имеет бесконечно много 2-w периодических решений, которые имеют начальные данные x(-w)=0,y(-w)-любое число, откуда и следует утверждение теоремы;

3) =1 , , в этом случае система, имеет

бесконечно много 2-w решений вида , что и требовалось доказать.

Замечание: «Везде выше мы рассматривали, нижнюю треугольную матрицу, но такая же ситуация складывается и с верхней треугольной матрицей, но этот случай мы не будем рассматривать, т.к. он аналогичен».

Размещено на Allbest.ru