Модель Бельтрамі-Клейна

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ М.П. ДРАГОМАНОВА

Кафедра вищої математики

РЕФЕРАТ

Модель Бельтрамі-Клейна

Студентки 31 МІА групи

Кнюх Анжели

Київ 2014

Площиною Лобачевського назвемо внутрішність круга будь-якого радіусу з будь-яким центром. Введемо наступні категорії основних об'єктів.

Точки - звичайні евклідові точки всередині кола. Точки на основному колі і поза цим колом до основних понять не відносяться.

Прямі - хорди кола. Терміни «належати» і «лежати між» розуміються в їх звичайному сенсі. Перебуваючи всередині основного кола зберігаються ті ж умови, що і в евклідовій геометрії. Це означає, що площинні аксіоми груп I і II (тобто аксіоми I_1-3, II_1-4), і всі наслідки з них вірні. Якщо замість кола взяти за основу сферу з внутрішніми точками, то будуть вірними аксіоми груп I і II цілком.

Щоб ввести термін «конгруентний», потрібно на колі позначити кінці U і V хорди UV (рис. 1). Знаходимо відношення, в яких кінець В і початок A відрізка АВ ділять хорду UV:- перше відношення; - друге відношення.

Рисунок 1. Модель Бельтрамі - Клейна площини Лобачевского

геометрія лобачевчький бельтрамі клейн

Складемо відношення цих відношень:, яке завжди додатне , так як точки А і В ділять відрізок UV всередині. Логарифм цього відношення при будь-якій, але фіксованій основі буде «відстанню» між точками А і В. Щоб зберегти довільність «одиниці масштабу», вводимо ще множник . Логарифм беремо натуральний. Часто називають цю «відстань» «неевклідовою відстанню»:

.

Знак визначає напрям «відрізка» АВ на «прямій» UV. Модуль цієї «відстані» будемо називати "довжиною" відрізка або його «неевклідовою довжиною».

Два відрізка АВ і CD називаються «конгруентними» якщо їх «довжини» рівні:

, якщо .

Перевіримо аксіоми конгруентності в представленій моделі.

Перевіряємо аксіому III1: необхідно знайти у вказаному напрямку від U' до V', (рис. 2) на прямий U'V ' таку "точку" В', щоб було; - дано.

Рисунок 2. Перевірка аксіоми III₁ в моделі Бельтрамі - Клейна

З рівняння

знайдемо невідоме відношення а отже, і шукане положення точки на прямій U'V '. Можливість відкладати відрізки встановлена.

Справедливість аксіоми III2 очевидна, тому що якщо в нашій моделі і , то це значить і , а отже , тобто .

Щоб встановити виконання аксіоми Ш3, потрібно довести, що «відстань» між двома точками має властивість «адитивності».

;

Доведена властивість справедлива для будь-яких спрямованих відрізків.

З властивості

випливає виконуваність аксіоми III_3.

Якщо рухатися з точки А в напрямку АV «неевклідово рівними» кроками, ми ніколи не дійдемо до точки V, так як «неевклідова відстань» AV - нескінченно велике. Справді, для точки В, яка прямує до V, відношення прямує до , а відношення незмінно, отже, (рис. 2).

Плоска геометрія Лобачевського, зображена на розглянутій моделі, називається картою Бельтрами (рис. 3).

Рисунок 3. Карта Бельтрами

На карті Бельтрами довжини і кути спотворюються, якщо мати на увазі евклидовий сенс креслення. При цьому треба відзначити такі винятки. В силу центральної симетрії карти Бельтрами, рівні на карті кути між променями, що виходять з центру, зображують рівні кути в натурі, а кути в натурі дорівнюють кутам зображення. Рівні на карті відрізки з началами в центрі зображують рівні відрізки в натурі. Прямі на карті кути між діаметром і хордою зображують прямі же кути в натурі, що випливає з осьової симетрії карти щодо діаметра.

Скористаємося аксіомою паралельності. На карті Бельтрами з «точки» М до «прямої» U'V '(рис. 4) можна провести: 1) «прямі», (наприклад, MN), які перетинають U'V'; 2) «прямі» (MU 'і MV'), що зображують паралелі Лобачевського, і 3) «прямі» заштрихованих кутів - сверхпараллелі Лобачевського. Як «паралелі», так і «надпараллелі» не мають жодної спільної «точки» (неевклідової) з даною «прямою» U'V '. На розглянутій моделі виконується постулат Лобачевського. В бельтрамівому колі, або в бельтрамієвій сфері (для просторової геометрії), виконується геометрія Лобачевського. Аксіоми неперервності IV1 і V2 або еквівалентна їм аксіома Дедекінда тут виконуються. Розглянемо деякі факти геометрії Лобачевського. На малюнку 4а ми маємо спільний перпендикуляр АВ до двох надпаралельні прямих а і b. На малюнку 4б показано, що дві паралельні прямі загального перпендикуляра не мають. На малюнку 4в ми бачимо, що перпендикуляри до однієї і тієї ж прямої - надпаралельні.

Рисунок 4. а) АВ загальний перпендикуляр до двох надпаралельних прямим а і b; б) дві паралельні прямі загального перпендикуляра не мають; в) перпендикуляри до однієї і тієї ж прямої - над паралельні

Легко зрозуміти в силу симетрії, що евклідово рівні відрізки, що мають початок в центрі бельтрамієвого кола, рівні між собою і в сенсі Лобачевського.

На малюнку 5а зображено «коло». В іншому місці карти Бельтрамі образ «кола» буде спотворений. Рисунок 5б показує, що в геометрії Лобачевського існують «кола», біля яких не можна описати трикутника. На малюнку 5в зображений «трикутник з нульовими кутами» .

Рисунок 5. а) «коло»; б) «коло», біля якої не можна описати трикутник; в) «трикутник з нульовими кутами»

Размещено на Allbest.ru