Статистическое определение вероятности. Зависимые события

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение

высшего профессионального образования

"Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации"

Кфедра "Менеджмент и маркетинг"

Заочный факультет экономики

Направление подготовки: экономика

Контрольная работа

по дисциплине "Теория вероятности и математическая статистика"

Выполнил студент:

Охотникова Анна Андреевна

Курс: 2

Форма обучения: 3с

Зачетная книжка №10убб01846

Преподаватель: Черномордик В.Д.

Ярославль 2014

Контрольная работа №1

1. Ребенок играет кубиками, на которых написаны буквы: О, А, К, И, А, Р, Ш. Найти вероятность того, что произвольно поставленные в ряд пять букв образуют слово "ШАРИК".

Решение:

Испытание (опыт) заключается в выборе по одному пяти кубиков с буквами в случайном порядке без возврата.

Элементарным событием (исходом испытания) является полученная последовательность из пяти букв. Элементарные события являются размещениями из 7 букв (, , , , , , ) по 5 букв.

Число всех возможных исходов испытания:

.

Пусть событие заключается в том, что буквы выбраны в порядке заданного слова "ШАРИК".

Число исходов, благоприятствующих появлению события , соответствует числу всех возможных использований букв Ш, А, Р, И и К, входящих в слово "ШАРИК":

.

Воспользовавшись классическим определением вероятности, получаем:

.

Ответ:.

2. При тестировании качества радиодеталей установлено, что на каждые 10000 радиодеталей в среднем приходится четыре бракованных.

Определить вероятность того, что при проверке 5000 радиодеталей будет обнаружено:

а) не менее трех бракованных деталей;

б) не менее одной и не более трех бракованных деталей.

Решение:

Здесь мы имеем дело с независимыми испытаниями, каждое из которых заключается в тестировании качества радиодетали. Число испытаний в нашем случае .

В нашем случае событие состоит в том, что деталь является бракованной.

а) Вероятность обнаружения при проверке 5000 радиодеталей не менее трёх бракованных деталей равна

.

Вычислить искомые вероятности , , появления события в 5000 испытаниях по формуле Бернулли затруднительно из-за громоздкости вычислений. Искомые вероятности , , можно вычислить, используя асимптотические (приближённые) формулы Пуассона и Муавра - Лапласа.

Воспользуемся теоремой Пуассона:

если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна мала , число испытаний - велико и число - незначительно , то вероятность того, что событие появится раз в независимых испытаниях вычисляется по приближённой формуле

,

где - функция Пуассона.

В нашем случае вероятность появления события постоянна и мала, число независимых испытаний велико, число .

Значит вероятность появления события не менее 3 раз в 5000 испытаниях:

.

По таблице значений функции Пуассона находим:

, , .

Следовательно, вероятность обнаружения при проверке 5000 радиодеталей не менее трёх бракованных деталей равна

.

б) Вероятность обнаружения при проверке 5000 радиодеталей не менее одной и не более трёх бракованных деталей равна

.

Снова воспользуемся теоремой Пуассона:

если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и мала , число испытаний - велико и число - незначительно , то вероятность того, что событие появится раз в независимых испытаниях вычисляется по приближённой формуле

,

где - функция Пуассона.

В нашем случае вероятность появления события постоянна и мала, число независимых испытаний велико, число.

Значит вероятность появления события не менее 1 и не более 3 раз в 5000 испытаниях:

.

По таблице значений функции Пуассона находим:

, , .

Следовательно, вероятность обнаружения при проверке 5000 радиодеталей не менее одной и не более трёх бракованных деталей равна

.

Ответ: а) ; б) .

3. Вероятность гибели саженца составляет 0,4. Составить закон распределения числа прижившихся саженцев из имеющихся четырех.

Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и функцию распределения этой случайной величины.

Решение:

Случайная величина Х ? число прижившихся саженцев из имеющихся четырех.

Случайная величина Х может принимать следующие значения:

Вероятность гибели саженца составляет q=0,4. Значит вероятность того, что саженец приживется

Случайная величина Х распределена по биноминальному закону с параметрами и .

Закон распределения Х:

X	0	1	3	4	5
P	0,0256	0,153	0,3456	0,3456	0,1296

Математическое ожидание случайной величины Х:

Дисперсия случайной величины Х:

Среднее квадратическое отклонение случайной величины Х:

Функция распределения

При

При

При

При

При

При

Ответ:

X	0	1	3	4	5
P	0,0256	0,153	0,3456	0,3456	0,1296

4. Независимые случайные величины X и Y заданы законами распределения:

Найти вероятности и .

Составить закон распределения случайной величины и проверить свойство математического ожидания

.

Решение:

1) Воспользуемся тем, что сумма вероятностей всех возможных исходов равна 1.

Для случайной величины:; ; ;

Вероятность того, что случайная величина примет значение, равное 4, составляет .

Закон распределения случайной величины имеет вид:

	-1	4
	0,3	0,7

Для случайной величины: ; ;

; ; .

Вероятность того, что случайная величина примет значение, равное 3, составляет

.

Закон распределения случайной величины имеет вид:

	-2	0	3
	0,1	0,4	0,5

2) Найдём закон распределения случайной величины .

Разностью (соответственно суммой, произведением) случайных величин и называется случайная величина, которая принимает все возможные значения вида (соответственно , ), где ,, с вероятностями того, что случайная величина примет значение , а - значение : . Если случайные величины и независимы, то по теореме умножения вероятностей независимых событий

Для удобства нахождения всех значений случайной величины и их вероятностей составим вспомогательную таблицу, в каждой клетке которой поместим в левом верхнем углу значения случайной величины , а в правом нижнем углу - вероятности этих значений, полученные в результате перемножения вероятностей соответствующих значений случайных величин и (в нашем случае случайные величины и независимы).

			0	3
		0,1	0,4	0,5
	0,3	0,03	0,12	0,15
4	0,7	8 0,07	24 0,28	48 0,35

Таким образом, закон распределения случайной величины имеет вид:

				8	24	48
	0,15	0,12	0,03	0,07	0,28	0,35

Убеждаемся в том, что сумма вероятностей всех возможных исходов равна 1.

Действительно, .

3) Проверим свойство математического ожидания

.

Вычислим математическое ожидание случайной величины .

Математическое ожидание дискретной случайной величины , закон распределения которой имеет вид, вычисляется по формуле .

			…
			…

В нашем случае

.

Аналогично,

;

.

Значит

, то есть выполнено равенство .

				8	24	48
	0,15	0,12	0,03	0,07	0,28	0,35

Ответ:; ;

.

5. Плотность вероятности случайной величины Х имеет вид:

Найти:

а) функцию распределения F(x);

б) математическое ожидание M(Х) и дисперсию D(Х);

в) вероятность .

Построить графики функций и .

С помощью неравенства Маркова оценить вероятности того, что случайная величина Х примет значения:

а) больше 6;

б) не больше 5/3.

Найти те же вероятности с помощью функции распределения и объяснить различие результатов.

Решение:

а)

При

При

При

б)

в)

Неравенство Маркова:

Вероятность того, что случайная величина Х примет значение больше 6, не более 2/9.

Результат, полученный с помощью функции распределения не противоречит результату, полученному с помощью неравенства Маркова. Так как с помощью неравенства Маркова установлена верхняя граница вероятности того, что случайная величина Х примет значение больше 6.

Вероятность того, что случайная величина Х примет значение не больше 5/3, не менее 1/5.

Результат, полученный с помощью функции распределения не противоречит результату, полученному с помощью неравенства Маркова. Так как с помощью неравенства Маркова установлена нижняя граница вероятности того, что случайная величина Х примет значение не больше 5/3.

Ответ:

а)

б)

в)

Вероятность того, что случайная величина Х примет значение больше 6, не более 2/9.

Вероятность того, что случайная величина Х примет значение не больше 5/3, не менее 1/5.

Контрольная работа №2

1. В филиале заочного вуза обучается 2000 студентов.

Для изучения стажа работы студентов по специальности по схеме собственно-случайной бесповторной выборки отобрано 100 студентов.

Полученные данные о стаже работы студентов по специальности представлены в таблице.

Найти:

а) вероятность того, что доля всех студентов филиала, имеющих стаж работы менее шести лет, отличается от выборочной доли таких студентов не более чем на 5% (по абсолютной величине);

б) границы, в которых с вероятностью 0,997 заключен средний стаж работы по специальности всех студентов филиала;

в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего стажа работы по специальности (см. п. б) можно гарантировать с вероятностью 0,9898.

Решение:

а) Выборочная доля студентов, имеющих стаж работы менее 6 лет, составляет . Имеем . Тогда средняя ошибка выборки для доли составляет (учитывая, что отбор бесповторный):

.

Т. к. предельная ошибка выборки , то:

.

Вероятность, гарантирующую данную предельную ошибку, ищем по таблицам:

б) Найдём точечные оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины X. Обозначим - номер интервала, -середина соответствующего интервала.

Вычислим выборочное среднее:

.

Вычислим выборочную дисперсию:

.

Тогда средняя ошибка выборки для средней составляет (учитывая, что отбор бесповторный):

.

Предельная ошибка выборки для средней:

,

где ищем по таблицам из соотношения:

,

,

,

.

Тогда:

.

Границы для средней:

,

,

.

в) ищем по таблицам из соотношения:

,

,

,

.

Тогда:

.

Численность выборки составляет (учитывая, что отбор бесповторный):

.

Формально искомый объём выборки чуть меньше, чем первоначальный (100 человек), но на практике тот же самый, т. к. число элементов выборки целое.

Ответ: а) 0,697;

б) ;

в) 100.

2. По данным задачи 1, используя -критерий Пирсона, на уровне значимости проверить гипотезу о том, что случайная величина Х - стаж работы студентов по специальности - распределена по нормальному закону.

Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

Решение:

В предположении нормальности распределения рассчитаем теоретические частоты. Обозначим эмпирические значения частот , а вычисленные теоретические частоты . Значения функции находим по таблицам. - шаг. Все расчёты сведены в таблицу 1.

Таблица 1

1	1	10	-1,64	0,1040	7,146
2	3	19	-0,96	0,2516	17,288
3	5	24	-0,27	0,3847	26,434
4	7	27	0,42	0,3653	25,101
5	9	12	1,11	0,2155	14,808
6	11	5	1,79	0,0804	5,525
7	13	3	2,48	0,0184	1,264

Составим таблицу 2 для применения критерия Пирсона с целью проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.

Таблица 2

1	1	10	7,146	1,140
2	3	19	17,288	0,170
3	5	24	26,434	0,224
4	7	27	25,101	0,144
5	9	12	14,808	0,532
6	11	5	5,525	0,050
7	13	3	1,264	2,384
		100		4,644

В результате расчетов получено значение критерия Пирсона.

Найдем число степеней свободы, учитывая, что групп выборок , число параметров нормального распределения , тогда .

По таблице критических точек распределения по полученному значению и числу степеней свободы находим вероятность .

Так как P> (0,3>0,05), то на данном уровне значимости нет оснований отвергать нулевую гипотезу о нормальном распределении, расхождение эмпирических и теоретических частот случайно.

Т.е. при этом уровне значимости наблюдаемые данные согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.

На рис. 1 изображена гистограмма эмпирического распределения и теоретическая кривая распределения (данные взяты из табл. 1).

Рис. 1

Ответ: гипотеза не отвергается;

3. Распределение 100 предприятий по количеству работников Y (чел.) и величине средней месячной надбавки к заработной плате X(%) представлено в таблице.

Необходимо:

1. Вычислить групповые средние и , построить эмпирические линии регрессии.

2. Предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость:

а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;

б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;

в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить среднюю месячную надбавку к заработной плате при числе работников предприятия 46 человек.

Решение:

1) Найдём средние значения :

При х1 = 10 ;

При х2 = 15 ;

При х3 = 20 ;

При х4 = 25 ;

При х5 = 30 ;

При х6 = 35 .

Построим график ломаной по полученным точкам - эмпирическую линию регрессии у на х (рис. 2, синяя линия).

Аналогично найдём средние значения :

При у1 = 15 ;

При у2 = 25 ;

При у3 = 35 ;

При у4 = 45 ;

При у5 = 55 ;

Построим график ломаной по полученным точкам - эмпирическую линию регрессии х на у (рис. 3, синяя линия).

2) а) Построим корреляционную таблицу в условных вариантах, взяв в качестве ложныхнулей С2=35и С1=30 (эти варианты имеют наибольшую частоту). Для перехода к условным вариантам используем формулы

, ;

где h1 - шаг (разность между двумя соседними вариантами Х); h2 - шаг (разность между двумя соседними вариантами Y), у нас h1=5, h2 = 10.

u	-2	-1	0	1	2	nu
-4	-	-	-	6	4	10
-3	-	-	6	6	2	14
-2	-	-	10	2	-	12
-1	3	6	8	2	-	19
0	4	11	10	-	-	25
1	10	6	4	-	-	20
nv	17	23	38	16	6	n=100

Найдём u и:

,

.

Найдём вспомогательные величины и:

,

.

Найдёми.

,

.

Найдём, для чего построим расчётную таблицу.

u	-2	-1	0	1	2		uV
-4	-	-	-	6 6 -24	8 4 -16	14	-56
-3	-	-	0 6 -18	6 6 -18	4 2 -6	10	-30
-2	-	-	0 10 -20	2 2 -4	-	2	-4
-1	-6 3 -3	-6 6 -6	0 8 -8	2 2 -2	-	-10	10
0	-8 4 0	-11 11 0	0 10 0	-	-	-19	0
1	-20 10 10	-6 6 6	0 4 4	-	-	-26	-26
	7	0	-42	-48	-22	-	-
Uv	-14	0	0	-48	-44	-	-106

Найдём коэффициент корреляции:

.

Найдём, , , (h1=5, h2 = 10; С2=35, С1=30):

;

;

;

.

Подставляя найденные величины в уравнение регрессии , получаем:

,

Или

.

Построим эту прямую на начальном графике (рис. 2, красная линия). Сравнивая результат сданными испытаний (эмпирической линией регрессии), можно сделать вывод о достаточно тесной корреляционной связи между величиной средней месячной надбавки к заработной плате (величина Х) и количеством работников на предприятии (величина У). Эта связь обратная: чем больше величина средней месячной надбавки к заработной плате, тем меньше количество работников на предприятии, и наоборот, чем меньше величина средней месячной надбавки к заработной плате, тем крупнее предприятие.

Рис. 2

Выпишем уравнение регрессииХ наУ , получаем:

,

Или

.

Построим эту прямую на начальном графике (рис. 3, красная линия). Сравнивая результат сданными испытаний (эмпирической линией регрессии), можно сделать вывод о достаточно тесной корреляционной связи между количеством работников на предприятии (величина У) и величиной средней месячной надбавки к заработной плате (величина Х).

Эта связь обратная: чем крупнее предприятие, тем меньше величина средней месячной надбавки к заработной плате, и наоборот, чем меньше количество работников на предприятии, тем больше величина средней месячной надбавки к заработной плате.

пуассон математический дисперсия квадратический

Рис. 3

б) Коэффициент корреляции:

(см. п. а)). Оценим его значимость. Найдём величину:

.

Для заданного уровня значимости по таблицам находим коэффициент Стьюдента:

.

Поскольку , то на данном уровне значимости можно сделать вывод о том, что между Х и У действительно существует достаточно тесная корреляционная зависимость.

Поскольку коэффициент корреляции отрицателен, то связь между Х и Уобратная. Поскольку коэффициент корреляции по абсолютной величине ближе к единице, чем к нулю, то можно сделать вывод о достаточно тесной корреляционной связи между Х и У.

в) Для оценки средней месячной надбавки к заработной плате х при числе работников предприятия у=46 человек используем уравнение регрессии Х на У:

(%).

Ответ: 1) рис. 2; рис. 3;

2) а) ; ;

б) ;

в) 17,36%.

Размещено на Allbest.ru