История систем счисления

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

СУРГУТСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА (ФИЛИАЛ) ТюмГУ

Реферат

Тема: «История систем счисления»

Выполнила:

студентка 1 курса БД-154-О

Кутова А. А.

Проверила:

Волкова Т.Г

Сургут 2015

Содержание

1. История систем счисления

2. Десятичная система счисления

Вывод

Литература

1. История систем счисления

Система счисления - это совокупность приемов и правил для обозначения и именования чисел.

Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведём свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых долях рубля) и т.д. Числа, цифры... они с нами везде. А что знал человек о числах несколько тысяч лет назад? Вопрос непростой, но очень интересный. Историки доказали, что и пять тысяч лет назад люди могли записывать числа и производить над ними арифметические действия. Конечно, принципы записи были совсем не такими, как сейчас. Но влюбом случае число изображалось с помощью одного или нескольких символов.

Эти символы, участвующие в записи числа, в математике и информатике принять называть цифрами

Но что же люди понимают тогда под словом "число"?

Первоначально понятие отвлечённого числа отсутствовало, число было "привязано" к тем конкретным предметам, которые пересчитывали. Отвлечённое понятие натурального числа появляется вместе с развитием письменности. Дробные же числа изобрели тогда, когда возникла необходимость производить измерения. Измерение, как известно, это сравнение с другой величиной того же рода, выбираемой в качестве эталона.

Эталон называется ещё единицей измерения. Понятно, что единица измерения не всегда укладывалась целое число раз в измеряемой величине. Отсюда и возникла практическая потребность ввести более "мелкие" числа, чем натуральные. Дальнейшее развитие понятия числа было обусловлено уже развитием математики.

Понятие числа - фундаментальное понятие как математики, так и информатики. В дальнейшем при изложении материала под числом мы будем понимать его величину, а не его символьную запись.

Сегодня, в самом конце XX века, для записи чисел человечество использует в основном десятичную систему счисления. А что такое система счисления?

Система счисления - это способ записи (изображения) чисел.

Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы: позиционные и непозиционные.

Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число. Например, наша привычная десятичная система является позиционной: в числе 34 цифра 3 обозначает количество десятков и "вносит" в величину числа 30, а в числе 304 та же цифра 3 обозначает количество сотен и "вносит" в величину числа 300.

Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа, называются непозиционными.

Позиционные системы счисления - результат длительного исторического развития непозиционных систем счисления.

Единичная система

Потребность в записи чисел появилась в очень древние времена, как только люди начали считать. Количество предметов, например овец, изображалось нанесением чёрточек или засечек на какой - либо твёрдой поверхности: камне, глине, дереве (до изобретения бумаги было ещё очень и очень далеко). Каждой овце в такой записи соответствовала одна чёрточка. Археологами найдены такие "записи" при раскопках культурных слоёв, относящихся к периоду палеолита (10 - 11 тысяч лет до н.э.).

Учёные назвали этот способ записи чисел единичной ("палочной") системой счисления. В ней для записи чисел применялся только один вид знаков - "палочка". Каждое число в такой системе счисления обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых и равнялось обозначаемому числу.

Неудобства такой системы записи чисел и ограниченность её применения очевидны: чем большее число надо записать, тем длиннее строка из палочек. Да и при записи большого числа легко ошибиться, нанеся лишнее количество палочек или, наоборот, не дописав их.

Можно предложить, что для облегчения счёта люди стали группировать предметы по 3, 5, 10 штук. И при записи использовали знаки, соответствующие группе из нескольких предметов. Естественно, что при подсчёте использовались пальцы рук, поэтому первыми появились знаки для обозначения группа предметов из 5 и 10 штук (единиц). Таким образом, возникли уже более удобные системы записи чисел.

Древнеегипетская десятичная непозиционная система

В древнеегипетской системе счисления, которая возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э., использовались специальные цифры для обозначения чисел 1, 10, 10², 10³, 10⁴, 10⁵, 10⁶, 10⁷. Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из них повторялась не более девяти раз.

Пример. Число 345 древние египтяне записывали так:

Единицы Десятки Сотни

В основе как палочной, так и древнеегипетской системы счисления лежал простой принцип сложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его записи. Учёные относят древнеегипетскую систему счисления к десятичной непозиционной.

Вавилонская шестидесятеричная система

Также далеко от наших дней, за две тысячи лет до н.э., в другой великой цивилизации - вавилонской - люди записывали цифры по-другому.

Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов: прямой клин служил для обозначения единиц, а лежачий клин - для обозначения десятков.

Для определения значения числа надо было изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинался с появления прямого клина после лежачего, если рассматривать число справа налево.

Например: Число 32 записывали так:

Знаки прямой клин и лежачий клин служили цифрами в этой системе. Число 60 снова обозначалось тем же прямым клином, что и 1, этим же знаком обозначались и числа 3600=60², 216000=60³ и все другие степени 60. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной.

Значение числа определяли по значениям составляющих его цифр, но с учётом того, что цифры в каждом последующем разряде значили в 60 раз больше тех же цифр в предыдущем разряде.

Пример. Число 92=60+32 записывали так:

а число 444 в этой системе записи чисел имело вид

т.к. 444=7*60+24.

Исключительно для наглядности разделён пробелом (которого не было у вавилонян) старший разряд (левый) и младший.

Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а число в целом - в позиционной системе с основанием 60. число единичный шестидесятеричный

Запись числа у вавилонян была неоднозначной, т.к. не существовало цифры для обозначения нуля. Запись числа 92, приведённая выше, могла обозначать не только 92=60+32, но и, например, 3632=3600+32. Для определения абсолютного значения числа требовались дополнительные сведения. Впоследствии вавилоняне ввели специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда

что соответствует появлению цифры 0 в записи десятичного числа.

Пример. Число 3632 теперь нужно было записывать так:

Но в конце числа этот символ обычно не ставился, т.е. этот символ всё же не был цифрой "ноль" в нашем понимании, и опять же требовались дополнительные сведения для того, чтобы отличить 1 от 60, от 3600 и т.д.

Таблицу умножения вавилоняне никогда не запоминали, т.к. это было практически невозможно. При вычислениях использовались готовые таблицы умножения.

Шестидесятеричная вавилонская система - первая известная нам система счисления, частично основанная на позиционном принципе.

Система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии, её следы сохранились и до наших дней. Так, мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Следуя примеру вавилонян, мы и окружность делим на 360 частей (градусов).

Римская система

Знакомая нам римская система не слишком принципиально отличается от египетской. В ней для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, C, D и M соответственно, являющиеся цифрами этой системы счисления.

Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд цифр. Значение числа равно:

1. сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых цифр (назовём их группой первого вида);

2. разности значений двух цифр, если слева от большей цифры стоит меньшая. В этом случае от значения большей цифры отнимается значение меньшей цифры. Вместе они образуют группу второго вида. Заметим, что левая цифра может быть меньше правой максимум на один порядок: так, перед L(50) и С(100) из "младших" может стоять только X(10), перед D(500) и M(1000) - только C(100), перед V(5) - только I(1);

3. сумме значений групп и цифр, не вошедших в группы первого или второго вида.

Пример 1. Число 32 в римской системе счисления имеет вид XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2 (две группы первого вида).

Пример 2. Число 444, имеющее в своей десятичной записи 3 одинаковые цифры, в римской системе счисления будет записано в виде CDXLIV=(D-C)+(L-X)+(V-I)=400+40+4 (три группы второго вида).

Пример 3. Число 1974 в римской системе счисления будет иметь вид MCMLXXIV=M+(M-C)+L+(X+X)+(V-I)=1000+900+50+20+4 (наряду с группами обоих видов в формировании числа участвуют отдельные "цифры").

2. Десятичная система счисления

Десятичная система счисления - это всем нам привычная и хорошо известная позиционная система счисления, но мы начнем изучение именно с нее и рассмотрим ее с позиций, которые помогут нам понять другие непривычные нам системы счисления.

Итак, основанием системы является число десять (10), это значит что для изображения чисел используется десять цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).

Давайте просто посчитаем в этой системе, будем считать и записывать числа из имеющихся в нашем распоряжении цифр:

Ноль - 0;

Один - 1;

Два - 2;

и так далее

Восемь - 8;

Девять - 9;

А что делать дальше? Все цифры кончились. Как же изобразить число десять? Чтобы выкрутится из ситуации, введем новое понятие - "десяток" и скажем, что десять - это один десяток и ноль единиц. А это уже можно и записать - "10".

Итак, Десять - 10 (один десяток, ноль единиц)

Одиннадцать - 11 (один десяток, одна единица)

и так далее…

Двадцать - 20 (два десятка, ноль единиц)

и так далее…

Девяносто девять - 99 (девять десятков, девять единиц)

А дальше опять нужно вводить новое понятие - "сотня"

Сто - 100 (одна сотня, ноль десятков, ноль единиц)

и так далее...

И так всегда, когда нам перестает хватать цифр для отображения следующего числа, мы укрупняем единицы счета (т.е. считаем десятками, сотнями и т.д.) и записываем число с удлинением на один разряд.

Рассмотрим число 4329 записанное в десятичной системе счисления. Про него можно сказать, что оно содержит: четыре тысячи, три сотни, два десятка и девять единиц. И получить его значение через входящие в него цифры можно следующим образом.

4329 = 4*1000+3*100+2*10+9*1, здесь и далее знак * (звездочка) означает умножение.

Но ряд чисел 1000, 100, 10, 1 есть не что иное, как целые степени числа 10 (основания системы счисления) и поэтому можно записать:

4329 = 4*10³+3*10²+2*10¹+9*10⁰

Аналогично для дробного числа (десятичной дроби) например: 0.235 (ноль целых двести тридцать пять тысячных), про него можно сказать, что оно содержит: две десятых доли, три сотых доли и пять тысячных долей. И его значение можно вычислить следующим образом :

0.235 = 2*0.1 + 3*0.01 + 5*0.001

И здесь ряд чисел 0.1 0.01 0.001 1 есть не что иное, как целые степени числа 10 и мы также можем записать:

0.235 = 2*10^-1 + 3*10^-2 + 5*10^-3

Для смешанного числа 752.159 аналогичным образом можем записать:

752.369 = 7*10²+5*10¹+2*10⁰+3*10^-1+6*10^-2+9*10^-3

Теперь, если мы пронумеруем разряды целой части любого числа, справа налево, как 0,1,2…n (нумерация начинается с нуля!). А разряды дробной части, слева направо, как -1,-2,-3…-m, то значение любого произвольного десятичного числа может быть вычислено по формуле :

N = d_n10ⁿ+d_n-110^n-1+…+d₁10¹+d₀10⁰+d_-110^-1+d_-210^-2+…+d_-(m-1)10^-(m-1)+d_-m10^-m

Где: n - количество разрядов в целой части числа минус единица;

m - количество разрядов в дробной части числа

d_i - цифра стоящая в i-м разряде

Эта формула называется формулой поразрядного разложения десятичного числа, т.е. числа записанного в десятичной системе счисления. Но если в этой формуле число десять заменить на некоторое натуральное число q, то мы получим формулу разложения для числа выраженного в системе счисления с основанием q:

N = d_nqⁿ+d_n-1q^n-1+…+d₁q¹+d₀q⁰+d_-1q^-1+d_-2q^-2+…+d_-(m-1)q^-(m-1)+d_-mq^-m

С помощью последней формулы мы всегда можем получить значение числа записанного в любой позиционной системе счисления.

Вывод

Сегодня мы привыкли пользоваться в повседневной жизни десятичной системой счисления. Десятичными цифрами выражаются время, номера домов и телефонов, цены, бюджет, на них базируется метрическая система мер.

Арифметические действия над десятичными числами производятся с помощью достаточно простых операций, в основе которых лежат известные каждому школьнику таблицы умножения и сложения. Изучаемые в самом раннем возрасте, эти правила в результате повседневной практики усваиваются так прочно, что мы оперируем ими уже подсознательно. По этой причине сегодня многие люди даже не догадываются о существовании других систем счисления.

Литература

1. http://sch69.narod.ru/mod/1/6506/system.html

2. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%81%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%81%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F

3. http://comp-science.narod.ru/Demenev/files/history.htm

4. Босова Л.Л. Информатика и ИКТ: Учебник для 6 класса. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012

5. http://www.reshinfo.com/desytichnaja_systema.php

Размещено на Allbest.ru