Побудова графіків тригонометричних функцій

Размещено на http://www.allbest.ru/

Коледж інформаційних технологій та землеустрою

РЕФЕРАТ Тема: "Побудова графіків тригеометричних функцій

Виконав: студент І-го курсу,

група К-15

Рябченко Валерий Янович

Київ 2015

Якщо при повороті навколо точки О на кут початковий радіус ОА переходить у радіус ОВ, то при повороті на кут початковий радіус ОА перейде у радіус , симетричний ОВ відносно осі абсцис (рис. 16).

Абсциси точок В і рівні, а ординати рівні за модулем, але протилежні за знаком. Це означає, що

, ,

, .

Таким чином, функції , , непарні, а функція парна.

Приклад 20. Дослідити на парність функції:

а) ;

б) ; в) .

Розв'язання

а)

функція є непарною.

б) функція є парною.

При дослідженні функції на парність можна скористатися системою Maple, замінивши незалежну змінну хна -х у прикладі в):

> f:=x->sin(2*x)*cos(5*x);

> f(-x);

Очевидно, що функція є непарною.

Періодичність тригонометричних функцій

Для періодичної функції виконується рівність , де Т - відмінне від нуля число, назване періодом функції. Кожна періодична функція має велику кількість періодів, тобто якщо Т - період, топТ - період, де , . Звичайно, говорячи про період, мають на увазі найменший додатний період, який називається основним. Основними періодами для тригонометричних функцій є: для функцій , ; для функцій , . У більш загальному вигляді можемо записати:

, , , , .

Якщо кути виражаються в радіанах, то - основний період функцій , ; - основний період функцій , .

Відомо, що періоди функцій і обчислюються за формулою , а періоди функцій і - за формулою .

Якщо період функції дорівнює , а період функції дорівнює , то період функції і дорівнює найменшому числу, при діленні якого на і дістаємо цілі числа.

Приклад 21. Знайти період функції: а) ; б) ;

в) .

Розв'язання

а) Період функції дорівнює .

б) Для того, щоб знайти період функції , потрібно застосувати формули пониження степеня:

,

тобто .

Період функції , а отже і даної функції є число .

в) Знаходимо періоди доданків. Період функції дорівнює , а період функції дорівнює . Очевидно, що період заданої функції дорівнює .

Властивості функцій і та їх графіки

Таблиця 5 - Властивості функцій і

Графік функції називається синусоїдою (рис. 17), а графік функції - косинусоїдою (рис. 18).

Властивості функцій і та їх графіки

Таблиця 6 - Властивості функцій і

Графік функції називається тангенсоїдою (рис. 19), а графік функції - котангенсоїдою (рис. 20).

Побудова графіків тригонометричних функцій

Приклад 27. Побудувати графік функції .

Розв'язання: тригонометричний функція степінь синусоїд

Шляхом елементарних перетворень будуємо графіки таких функцій:

1) ;

2) (стиснути графік вздовж осі до осі у 2 рази);

3) (зсунути графік вздовж осі на 1 одиницю вгору).

> plot([cos(x),cos(2*x),cos(2*x)+1],x=-2*Pi..2*Pi,-2..2,color=[red,blue,black]);

Приклад 28. Побудувати графік функції .

Розв'язання

І спосіб: Перетворим

о .

Шляхом елементарних перетворень будуємо графіки таких функцій:

1) ;

2) (зсуваємо графік на вправо вздовж осі );

3) (стискаємо графік до осі у 3 рази);

4) (перевертаємо графік відносно осі ).

> plot([sin(x),sin(x-Pi/2),(1/3)*sin(x-Pi/2),-(1/3)*sin(x-Pi/2)],x=-2*Pi..2*Pi,-2..2,color=[blue, brown,black,red],linestyle=[3,2,0,1],thickness=3);

ІІ спосіб: Перетворимо функцію за допомогою фор-

мул зведення:

.

Переконаємось в Maple, що графіки початкової функції і функції, отриманої за допомогою формул зведення, - ідентичні:

> plot(-(1/3)*sin(x-Pi/2),x=-2*Pi..2*Pi,-2..2);

> plot((1/3)*cos(x),x=-2*Pi..2*Pi,-2..2);

Приклад 29. Побудувати графік функції .

Розв'язання

Спочатку будуємо графік функції . Для того, щоб утворився графік функції , потрібно ту частину графіка , яка вище осі , залишити без змін, а ту, що нижче осі , симетрично відобразити на верхню півплощину.

> plot(abs(cos(x)),x=-2*Pi..2*Pi,-2..2,color=black,thickness=2);

Приклад 30. Побудувати графік функції .

Розв'язання

Будуємо графік функції . Ту частину побудованого графіка, яка в лівій півплощині відносно осі OY, відкидаємо, а ту, що в правій, - залишаємо і симетрично відображаємо на ліву півплощину.

> plot(sin(abs(x)),x=-2*Pi..2*Pi,-2..2,color=black);

Приклад 31. Побудувати графік функції .

Розв'язання

.

Оскільки підмодулевий вираз це х, то розглянемо два випадки:

Якщо : .

Якщо : .

Шляхом елементарних перетворень будуємо відповідні графіки функцій.

> plot(abs(x)/x-2*sin(abs(x))*sin(x),x=-2*Pi..2*Pi,-2..2,color=black,discont=true);

Размещено на Allbest.ru